Grundgesamtheit handelt, stellt sich die Frage nach der Unsicherheit dieser Schatzung.

Transkript

1 R Lösug zu Aufgabe 4: Kofideziervall a) Abschäzug vo Erwarugswer ud adardabweichug: Wie bereis i Übugsaufgabe eigeführ, selle der Mielwer ud die reuug eier ichprobe die bese chäzwere für de Erwarugswer ud die adardabweichug der zugrude liegede Grudgesamhei dar. Der arihmeische Mielwer x vo Messwere erreche sich gemäß: x = i= 1 x i Die empirische reuug vo Messwere erreche sich gemäß: = + i= 1 ( x x) i 1 Im vorliegede Fall ergib sich für die Messgröße L: x = L = 10,6 mm L 5,4406 mm b) Kofideziervall des Erwarugswers: Da es sich bei dem uer Aufgabeeil a) ermiele Mielwer L, bedig durch zufällige Abweichuge der Messgröße, ur um eie chäzwer für de Erwarugswer μ L der zugehörige Grudgesamhei hadel, sell sich die Frage ach der Usicherhei dieser chazug. Diese Usicherhei läss sich durch Berechug des sogeae Kofideziervalls quaifiziere. Aschaulich sell das Kofideziervall ei symmerisch um de bese chäzwer x ageordees Iervall dar, ierhalb desse der asächliche, us ubekae, Erwarugswer der Grudgesamhei mi eier vorgegebee Wahrscheilichkei lieg. Wir uerscheide bei ormalvereiler Größe X de Fall eier bekae adardabweichug ud de Fall, dass die adardabweichug ubeka is. Für diese beide Fälle ergib sich eie uerschiedliche Vorgehesweise zur Besimmug des Kofideziervalls. I Aufgabeeil b) wird zuächs davo ausgegage, dass der Erwarugswer ud die adardabweichug ubeka sid ud daher, wie obe geschehe, durch de Mielwer ud die reuug eier ichprobe abgeschäz werde. I diesem Fall erreche sich das Kofideziervall für de Erwarugswer gemäß:

2 x 1;1 ;x + 1;1 Das Kofideziervall lieg also symmerisch zum Mielwer x, währed die Breie des Kofideziervalls vo der reuug, dem ichprobeumfag ud dem p-quail s;p der ude sche -Vereilug abhäg. Währed us Mielwer, reuug ud ichprobeumfag im vorliegede Fall bereis beka sid, muss das p-quail s;p der ude sche -Vereilug ers och besimm werde. Das p-quail s;p häg vo zwei Parameer ab zum eie vo der Zahl der Freiheisgrade s ud zum adere vo der saisische icherhei p. Die Zahl der Freiheisgrade s beräg im vorliegede Fall der Abschäzug des Erwarugsweres eier ormalvereile Messgröße s = ( 1). Mi = 10 ergib sich daher: s = (10 1) = 9 Die saisische icherhei p wird im Allgemeie je ach Erkeisieresse geeige gewähl. I userem Fall is die saisische icherhei durch die Aufgabesellug vorgegebe. Lau Aufgabesellug wird für das Kofideziervall eie Aussagewahrscheilichkei vo P = 95% (espreched 0,95) geforder. Eie aleraive Möglichkei zur Agabe der Aussagewahrscheilichkei sell das sogeae igifikaziveau dar. Währed, aschaulich berache, die Aussagewahrscheilichkei P agib, mi welcher Wahrscheilichkei der asächliche Erwarugswer ierhalb des Kofideziervalls lieg, kezeiche das igifikaziveau higege, mi welcher Wahrscheilichkei dieser außerhalb des Kofideziervalls lieg. Die umme dieser beide Wahrscheilichkeie beräg offesichlich 1 bzw. 100%. Für de Zusammehag vo Aussagewahrscheilichkei P ud igifikaziveau gil daher allgemei: P= 1 Die beide i der Aufgabesellug gemache Agabe P = 95% ud = 0,05 sid daher äquivale. Die für die Besimmug des p-quails s;p beöige saisische icherhei p ergib sich gemäß obiger Darsellug des Kofideziervalls zu: p 1 = Dass hier mi dem halbe igifikaziveau gereche wird, is aschaulich so zu deue, dass usere Forderug eier Aussagewahrscheilichkei vo 95% bedeue, dass zwar mi eier Wahrscheilichkei vo isgesam 5% der Erwarugswer außerhalb des Iervalls lieg, dass jedoch wege der ymmerie der Vereilug davo jeweils die Hälfe auf de Bereich oberhalb bzw. uerhalb der Iervallgreze efäll. Das p-quails s;p gil jedoch (ählich

3 T wie die bereis i Übugsaufgabe 3 eigeführe ummefukio der sadardisiere Normalvereilug) für das Iervall vo bis s;p (vgl. Vorlesugsskrip). Im vorliegede Fall mi = 0,05 ergib sich die saisische icherhei p zu: 0,05 p= 1 = 0,975 Das zu besimmede p-quail s;p laue i userem Fall dami: = mi: = 10, = 0,05 1;1 9; 0,975 De zugehörige Zahlewer lese wir aus der im Ahag des Übugsskipes zu fide Tabelle ab. Am chipuk der Zeile s = 9 ud der pale p = 0,975 fide wir: 9 ;0, 975 =,6 Die Usicherhei useres chäzweres des Erwarugsweres beräg somi: 1;1 5,4406 mm =,6 3,89 mm 10 Das Kofideziervall des Erwarugsweres P = 95% laue somi: [ 10,6 mm 3,89 mm;10,6 mm + 3,89 mm] μ L für eie Aussagewahrscheilichkei vo Im Allgemeie wird für die Agabe eies vollsädige Messergebisses folgede Darsellug gewähl: L = 10,6 mm ± 3,89 mm; P = 95% oder aleraiv L = 10,6 mm ± 3,89 mm; = 0,05 Wichig is, zu beache, dass ei vollsädiges Messergebis ses aus folgede Kompoee beseh: 1. dem eigeliche Messwer. der quaiaive Agabe der Usicherhei 3. der Eihei des Messergebisses 4. der Agabe der saisische icherhei c) Azahl der erforderliche Wiederholuge bei ubekaem σ: Währed i Aufgabeeil b) aus eier vorliegede ichprobe das Kofideziervall des Erwarugsweres bereche werde solle, seh ma i der Praxis im Vorfeld eier ichprobeeahme häufig zuächs vor der umgekehre Fragesellug, ämlich welche Umfag

4 U eie ichprobe mideses aufweise muss, um mi eier gefordere saisische icherhei de Erwarugswer mi eier besimme Usicherhei abschäze zu köe. I Aufgabeeil c) besimme wir daher uer der Aahme, dass us ebeso wie uer Aufgabeeil b) Erwarugswer ud adardabweichug der Grudgesamhei ubeka sid, de mideses beöige ichprobeumfag, um für de chäzwer des Erwarugsweres bei eier saisische icherhei vo P = 95% eie maximale Usicherhei vo c = ±3 mm zu erhale. Usere Forderug laue also:! 1;1 3 mm Da sowohl der Neerausdruck als das p-quail 1;1 vom gesuche ichprobeumfag abhäge, köe wird obige Ugleichug ich ach auflöse ud daher auch ich aalyisch löse. adesse muss die Lösug hier ieraiv oder durch geschickes Ausprobiere erfolge. Wir bereche daher zuächs esweise das Ergebis für eie ichprobeumfag vo = 15. Mi = 15 ud = 0,05 sowie uer Verwedug der Tabelle des p-quails der ude sche -Vereilug erhale wir: = 14;0, 975 1;1 =,145 eze wir weierhi das ermiele p-quail, die uer Aufgabeeil a) berechee reuug sowie de geesee ichprobeumfag i obige Ugleichug ei, erhale wir: 5,4406 mm,145 3,013 mm 3 mm 15 Wie wir erkee, is für eie ichprobeumfag vo = 15 usere Forderug kapp och ich erfüll. Wir erhöhe de geesee ichprobeumfag daher auf = 16 ud erhale dami: = 15;0, 975 1;1 =,131 5,4406 mm,131,898 mm 3 mm 16 Für eie ichprobeumfag vo = 16 uerschreie die berechee Usicherhei also de gefordere Wer vo ±3 mm. Die Awor auf die geselle Frage laue somi: Um de Erwarugswer mi eier saisische icherhei vo P = 95% mi eier Usicherhei vo höchses ±3 mm abschäze zu köe, is ei ichprobeumfag vo mideses = 16 erforderlich!

5 V c) Azahl der erforderliche Wiederholuge bei bekaem σ: We über de Prozess, desse Erwarugswer mi Hilfe eier ichprobe ermiel werde soll, zusäzliche Iformaioe vorliege (ewa aus eier lagfrisige Beobachug), so ka die adardabweichug des Prozesses möglicherweise beka sei ud muss daher ich ers aus der ichprobe selbs abgeschäz werde. Durch diese zusäzliche Iformaio verriger sich die Usicherhei userer Abschäzug des Erwarugsweres, wodurch bereis ei gerigerer ichprobeumfag ausreiched is, um eie vergleichbar gerige Usicherhei zu erziele. Für de Fall eier bekae adardabweichug σ laue das Kofideziervall: k σ k σ x ;x+ Im direke Vergleich mi dem obe berachee Kofideziervall für ubekaes σ, ri a die elle der empirische reuug die u bekae adardabweichug σ ud a die elle des p-quails s; p der Erweierugsfakor k. Der Erweierugsfakor k sell eie auf die adardabweichug ormiere Iervallbreie dar: c P% k = σ Diese Fakor köe wir für spezielle Were der Tabelle. des Vorlesugsskrips eehme. Aleraiv köe wir jedoch auch die Tabelle des p-quails s; p der ude sche - Vereilug verwede, da der Erweierugsfakor k de Grezwer des p-quails s; p für de Grezfall darsell: k( ) = lim 1;1 Für de vo us beöige Fakor k zu eier saisische icherhei vo 95% gil daher: k( = 0,05) = ;0,975 De zugehörige Zahlewer eehme wir der Tabelle des p-quails s; p der ude sche -Vereilug: ; 0,975 = 1,96 Usere Forderug für das vom ichprobeumfag abhägige Kofideziervall laue im vorliegede Fall für bekae adardabweichug σ: k σ! 3mm

6 W Da der gesuche ichprobeumfag hier ur och a eier elle aufauch, köe wir die Ugleichug ach umselle ud erhale: k σ 3mm k σ 3mm Mi dem obe ermiele Erweierugsfakor k ud der i der Aufgabesellug als beka vorgegebee adardabweichug vo σ = 5,5 mm führ das Eiseze der Zahlewere zu: 1, 96 5, 5 mm = 1,9104 3mm Da der ichprobeumfag aurgemäß ur ei gazzahliger Wer sei ka, rude wir de berechee Wer auf die ächse gaze Zahl auf. Die Awor auf die geselle Frage laue somi: Um uer der Aahme eier bekae adardabweichug vo σ = 5,5 mm de Erwarugswer mi eier saisische icherhei vo P = 95% mi eier Usicherhei vo höchses ±3 mm abschäze zu köe, is ei ichprobeumfag vo mideses = 13 erforderlich!