Ordnungsstatistiken und Quantile
|
|
- Curt Innozenz Otto
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der Stchprobe aufsteged aorde: x ( x (... x (. Wr ee x ( de -te Ordugsstatst der Stchprobe. Zum Bespel st x ( = m x das Mmum ud x ( = max x das Maxmum der Stchprobe. =,..., =,..., Defto... Der Stchprobemeda st gegebe durch x +, falls ugerade, med = med (x,..., x = ( x ( + x ( +, falls gerade. Somt befdet sch de Hälfte der Stchprobe über dem Stchprobemeda ud de adere Hälfte der Stchprobe daruter. Bespel..3. Der Meda st e robuster Lageparameter. Als Bespel dafür betrachte wr zwe Stchprobe mt Stchprobeumfag = 8. De erste Stchprobe se (x,..., x 8 = (,,,,,,,. Somt sd de Ordugsstatste gegebe durch (x (,..., x (8 = (,,,,,,,. Daraus lässt sch der Meda bereche ud deser st med 8 = + =.5. Als zwete Stchprobe betrachte wr De Ordugsstatste sd gegebe durch (y,..., y 8 = (,,,,,,, 0. (y (,..., y ( = (,,,,,,, 0, ud der Meda st ach we vor med 8 =.5. Des zegt, dass der Meda robust st. Bemerug..4. Im Allgemee glt med x. E weterer robuster Lageparameter st das getrmmte Mttel.
2 Defto..5. Das getrmmte Mttel eer Stchprobe (x,..., x st defert durch =+ De Wahl vo etschedet, we vele Date cht berücschtgt werde. Ma a zum Bespel = [0.05 ] wähle, da werde 0% aller Date cht berücschtgt. I desem Fall sprcht ma auch vom 5%-getrmmte Mttel. x (. Astatt des getrmmte Mttels betrachtet ma oft das wsorserte Mttel: ( x ( + x (+ + x (. =+ Nachdem wr u ege robuste Lageparameter ostruert habe, wede wr us de robuste Streuugsparameter zu. Dazu beötge wr de emprsche Quatle. Defto..6. Se (x,..., x R ee Stchprobe ud α (0,. Das emprsche α-quatl st defert durch x ([α]+, falls α / N, q α = (x ([α] + x ([α]+, falls α N. Herbe steht [ ] für de Gaußlammer. Der Meda st somt das -Quatl. Defto..7. De emprsche Quartle sd de Zahle q 0,5, q 0,5, q 0,75. De Dfferez q 0,75 q 0,5 et ma de emprsche Iterquartlsabstad. Der emprsche Iterquartlsabstad st e robuster Streuugsparameter. De emprsche Quatle öe als Schätzer für de theoretsche Quatle betrachtet werde, de wr u eführe werde. Defto..8. Se X ee Zufallsvarable mt Vertelugsfuto F (t ud se α (0,. Das theoretsche α-quatl Q(α vo X st defert als de Lösug der Glechug F (Q(α = α. Leder a es passere, dass dese Glechug ee Lösuge hat (we de Futo F de Wert α übersprgt oder dass es mehrere Lösuge gbt (we de Futo F auf eem Itervall ostat ud glech α st. Deshalb beutzt ma de folgede Defto, de auch dese Ausahmefälle S ergbt: Q(α = f t R : F (t α}. Bespel..9. Wetere Lageparameter, de der Statst voromme: ( Das Berechsmttel x (+x ( (cht robust. ( Das Quartlsmttel q 0,5+q 0,75 (robust. Bespel..0. Wetere Streuugsparameter:
3 ( De Spawete x ( x (. ( De mttlere absolute Abwechug vom Mttelwert x x. = (3 De mttlere absolute Abwechug vom Meda x med. Alle dre Parameter sd cht robust. =.. Vertelug der Ordugsstatste Satz... See X, X,..., X uabhägge ud detsch vertelte Zufallsvarable, de absolut stetg sd mt Dchte f ud Vertelugsfuto F. Es see X ( X (... X ( de Ordugsstatste. Da st de Dchte der Zufallsvarable X ( gegebe durch f X( (t =! (!(! f(tf (t ( F (t. Erster Bewes. Damt X ( = t st, muss Folgedes passere:. Ee der Zufallsvarable, z.b. X, muss de Wert t aehme. Es gbt Möglchete, das auszuwähle. De Dchte des Eregsses X = t st f(t.. Uter de restlche Zufallsvarable müsse geau Zufallsvarable Werte uter t aehme. Wr habe ( Möglchete, de Zufallsvarable auszuwähle. De Wahrschelchet, dass de ausgewählte Zufallsvarable allesamt leer als t sd, st F (t. 3. De verblebee Zufallsvarable müsse allesamt größer als t se. De Wahrschelchet davo st ( F (t. Idem wr u alles ausmultplzere, erhalte wr das Ergebs: f X( (t = f(t F (t ( F (t. Das st geau de erwüschte Formel, de ( = (! =!. (!(! (!(! Zweter Bewes. Schrtt. De Azahl der Elemete der Stchprobe, de uterhalb vo t lege, bezeche wr mt N = #,..., } : X t} = X t. Dabe steht # für de Azahl der Elemete eer Mege. De Zufallsvarable X,..., X sd uabhägg ud detsch vertelt mt P[X t] = F (t. Somt st de Zufallsvarable N bomalvertelt: N B(, F (t. 3 =
4 Schrtt. Es glt X ( t } = N }. Daraus folgt für de Vertelugsfuto vo X (, dass F X( (t = P[X ( t] = P[N ] = F (t ( F (t. Schrtt 3. De Dchte st de Abletug der Vertelugsfuto. Somt erhalte wr f X( (t = F X ( (t F = (t f(t( F (t ( F (t ( F (t f(t } = = F (t f(t( F (t ( F (t ( F (t f(t. = Wr schrebe u de Term mt = der erste Summe getret, ud für alle adere Terme der erste Summe führe wr de eue Summatosdex l = e. De zwete Summe lasse wr uverädert, ersetze aber de Summatosdex durch l: f X( (t = ( l= = = F (t f(t( F (t + (l + F (t l f(t( F (t l l + l= ( lf (t l f(t( F (t l. l Der Term mt l = der zwete Summe st wege des Fators l glech 0, somt öe wr der zwete Summe bs summere. Nu sehe wr, dass de bede Summe glech sd, de (l + = l +! l!( l = ( l. l De Summe ürze sch ud somt folgt f X( (t = F (t f(t( F (t. Aufgabe... See X,..., X uabhägge ud detsch vertelte Zufallsvarable mt Dchte f ud Vertelugsfuto F. Ma zege, dass für alle < j de gemesame Dchte der Ordugsstatste X ( ud X (j durch de folgede Formel gegebe st: ( ( f X(,X (j (t, s = f(tf(s, j, j F (t (F (s F (t j ( F (s j. Im ächste Satz bestmme wr de gemesame Dchte aller Ordugsstatste. 4
5 Satz..3. See X,..., X uabhägge ud detsch vertelte Zufallsvarable mt Dchte f. See X (... X ( de Ordugsstatste. Da st de gemesame Dchte des Zufallsvetors (X (,..., X ( gegebe durch! f(t... f(t, falls t... t, f X(,...,X ( (t,..., t = 0, sost. Bewes. Da de Ordugsstatste per Defto aufsteged sd, st de Dchte glech 0, we de Bedgug t... t cht erfüllt st. Se u de Bedgug t... t erfüllt. Damt X ( = t,..., X ( = t st, muss ee der Zufallsvarable (für dere Wahl es Möglchete gbt glech t se, ee adere (für dere Wahl es Möglchete gbt glech t, usw. Wr habe also! Möglchete für de Wahl der Rehefolge der Varable. Zum Bespel trtt für = das Eregs X ( = t, X ( = t } geau da e, we etweder X = t, X = t } oder X = t, X = t } etrtt, was Möglchete ergbt. Da alle Möglchete sch ur durch Permutatoe uterschede ud somt de gleche Dchte bestze, betrachte wr ur ee Möglchet ud multplzere da das Ergebs mt!. De efachste Möglchet st, dass X = t,..., X = t } etrtt. Desem Eregs etsprcht de Dchte f(t... f(t, da de Zufallsvarable X,..., X uabhägg sd. Multplzere wr u dese Dchte mt!, so erhalte wr das gewüschte Ergebs. Bespel..4. See X,..., X uabhägg ud glechvertelt auf dem Itervall [0, ]. De Dchte vo X st f(t = [0,] (t. Somt glt für de Dchte der -te Ordugsstatst ( f X( (t = t ( t, falls t [0, ], 0, sost. Dese Vertelug st e Spezalfall der Betavertelug, de wr u eführe. Defto..5. Ee Zufallsvarable Z heßt betavertelt mt Parameter α, β > 0, falls B(α,β f Z (t = tα ( t β, falls t [0, ], 0, sost. Bezechug: Z Beta(α, β. Herbe st B(α, β de Eulersche Betafuto, gegebe durch B(α, β = 0 t α ( t β dt. Idem wr u de Dchte vo X ( m glechvertelte Fall mt der Dchte der Betavertelug vergleche, erhalte wr, dass X ( Beta(, +. Dabe muss ma gar cht achreche, dass B(, + = ( st, de bede Fälle hadelt es sch um ee Dchte. Wäre de bede Kostate uterschedlch, so wäre das Itegral eer der Dchte uglech, was cht möglch st. Aufgabe..6. See X,..., X uabhägg ud glechvertelt auf dem Itervall [0, ]. Ma zege, dass E[X ( ] = +. 5
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Mehrannehmen, so heißt die Funktion, die jedem atomaren Ereignis { x i } mit i { 1; 2; ;
Wahrschelchet Ee Futo X : Ω R, de edem Ergebs ees zufällge Vorgages ee reelle Zahl zuordet, heßt Zufallsgröße (oder auch Zufallsvarable Ee Zufallsgröße X heßt edlch, we X ur edlch vele Werte x aehme a
MehrLösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
MehrStatistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
MehrSpannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
MehrQuellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
Mehr5 Reproduktions- und Grenzwertsätze
Reproduktos- ud Grezwertsätze Reproduktos- ud Grezwertsätze. Reproduktossätze Bespel 0: Der Aufzug eer Frma st zugelasse für Persoe bzw. 000 kg. Das Durchschttsgewcht der Agestellte der Frma st µ = 80
MehrStatistik. ist die Kunst, Daten zu gewinnen, darzustellen, zu analysieren und zu interpretieren um zu neuem Wissen zu gelangen.
Statstk st de Kust, Date zu gewe, darzustelle, zu aalysere ud zu terpretere um zu euem Wsse zu gelage. Sachs (984) Aufgabe De Statstk hat also folgede Aufgabe: Zusammefassug vo Date Darstellug vo Date
MehrZ Z, kurz. Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
Kombator Problemstellug Ausgagsput be ombatorsche Fragestelluge st mmer ee edlche Mege M, aus dere Elemete ma edlche Zusammestelluge vo Elemete aus M bldet Formal gesproche bedeutet das: Ist M a,, a ee
MehrErzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Mehrdie Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).
Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.
MehrWIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
Mehrfür j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
MehrKapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
MehrKlausur Statistik IV Sommersemester 2009
Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame 013456 Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: 013456 Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar
MehrDeskriptive Statistik2 Durchschnittswert (der arithmetische Mittelwert)
Lagemasse, Lokatosmasse Lageparameter. Charakterserug das Zetrum der Date Deskrptve Statstk Durchschttswert (der arthmetsche Mttelwert) average(...) Mttelwert(...) K (Modalwert, Dchtemttel): der Wert mt
MehrIntervallschätzungen geben unter Berücksichtigung des Verteilungstyps von X einen Bereich an, der den Parameter mit vorgegebener Sicherheit enthält.
Parameterschätzuge Fachhochschule Jea Uversty of Appled Sceces Jea Oft st der Vertelugstyp eer Zufallsgröße X bekat, ur de Parameter sd ubekat. Da erfolgt hre Schätzug aus eer Stchprobe. Ma uterschedet
MehrFormelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.
MehrÜbungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik
Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Aufgabe ud Lösuge vo Peter M Schulze, Verea Dexhemer. Auflage Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Schulze / Dexhemer schell ud portofre
MehrDer Approximationssatz von Weierstraß
Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert
MehrSitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
MehrIm Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
MehrFH D WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 2007
FH D WS 007/08 Prof. Dr. Horst Peters Dezember 007 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud dutve Statst m Bachelor-Studegag Busess Admstrato (Modul BWL B) Sete / 6 Formelsammlug Wahrschelchetsrechug ud Idutve
MehrLohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
Klausur Wrtschaftsstatstk. [ Pukte] E Uterehme hat folgede Date ermttelt: Moat Gelestete Arbetsstude Lohkoste pro Arbetsstude Jauar 86.400 0,06 Februar 75.000 3,0 März 756.000 4,47 Aprl 768.000,53 Ma 638.400
MehrEinführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
MehrLösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche
Mehr2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
MehrVl. Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3: Diskrete Verteilungen
Vl. Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Übug 3: Dsrete Verteluge Prof. Dr. B. Grabows Zur Lösug der folgede Aufgabe öe Se auch de begefügte Tabelle der dsrete Verteluge m Ahag verwede.
MehrEin paar einfache q-analoga des binomischen Lehrsatzes
E paar efache -Aaloga des bosche Lehrsatzes Joha Cgler Sowet r beat st, gbt es ee allgeee Utersuchuge darüber, we sch das Reurrezverhalte vo Boalsue ädert, we a de Boaloeffzete durch ersetzt U ee erste
MehrEigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
MehrSeminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare
MehrMaße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
MehrVerdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
MehrAufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
MehrDeskriptive Statistik behaftet.
De Statstk beschäftgt sch mt Masseerscheuge, be dee de dahterstehede Ezeleregsse mest zufällg sd. Statstk beutzt de Methode der Wahrschelchketsrechug. Fudametalregel: Statstsche Aussage bezehe sch e auf
MehrDr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrschelchetstheore, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG 5 - LÖSUNGEN. Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto der Zufallsvarable a. Zufallsepermet: Werfe ees Würfels Zufallsvarable:
Mehr(0) = 0 mit Mittelwert μi
Semarvortrag vo Xaotog Guo am 26. Ma 29 5. Da dvduelle Romodell 5. Eletug Geamtchadeumme (olletve Romodell) - N : de Azahl Ezelchde,ZV N S = X - X : de Schadehhe,ZV X t detch vertelt - N, X, X,... tochatch
Mehr( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
Pro. Dr. Fredel Bolle LS ür Volkswrtschatslehre sb. Wrtschatstheore (Mkroökoome) Vorlesug Mathematk - WS 008/009 4. Deretalrechug reeller Fuktoe IR IR (Karma, S. 00 06, dort glech ür IR IR m ) 4. Partelle
MehrQuellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
MehrDeskriptive Statistik
Elemet Deskrptve Statstk KAD 0.09. Grudgesamthet (Populato): Gesamthet der Idvdue (Elemete), dere Egeschafte be der Stude utersucht werde solle. De gesamte Mege der teresserede Date. N = uedlch Stchprobe:
Mehr2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
MehrErgebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
MehrDeskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
MehrZur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
MehrElemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 7, Wintersemester vom 21. Januar 2006
Prof. E.-W. Zk Isttut für Matheatk Huboldt-Uverstät zu Berl Eleete der Algebra ud Zahletheore Musterlösug, Sere 7, Wterseester 2005-06 vo 21. Jauar 2006 1. Se = 2 p 1 Mersee-Zahl, d.h. p P 1. a) Zege:
MehrDr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 5.2. Eigenschaften von Zufallsvariablen
Vorlesugscharts Vorlesug 5. Egeschafte vo Zufallsvarable Reproduktvtät Approxmatoe Zetraler Grezwertsatz Sete vo Chart : Uabhäggket vo Zufallsvarable Zwe Zufallsvarable X ud Y mt hre Realsatoe { x, x,...,
MehrInduktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks
Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz 0.02.2005 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft
MehrFormelsammlung für die Lehrveranstaltung Statistik
Formelsammlug Statst Formelsammlug für de Lehrverastaltug Statst ugelasse für de Klausure ur Statst de Studegäge der Techsche Betrebswrtschaft Verso vom 5..9 Korreturhwese a: Rose@FH-Muester.de Formelsammlug
MehrSpezielle diskrete Verteilungen
Spezelle dskrete Vertelugsfamle Dskrete Glechvertelug Beroull- oder Zwe-Pukt-Vertelug Bomalvertelug Hypergeometrsche Vertelug Possovertelug Geometrsche Vertelug Appromatoe Bblografe Bleymüller / Gehlert
MehrTeil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen
Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert
MehrDie Methode des 2.Moments
De Methode des 2.Momets Chrstoph Schmdt July 13, 2004 1 Eletug De Varaz eer Zufallsvarable st hre mttlere quadratsche Abwechug vo hrem Erwartugswert. V ar[x] = E[(X EX) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 Der Term E[X
MehrAsymptotische Normalverteilung nach dem zentralen Grenzwertsatz
Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Erwartugswert eer Summe vo Zufallsvarable mt jewels de Erwartugswert x (Y Y Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Varaz eer Summe
Mehr1 Elementare Finanzmathematik
Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput
MehrEinführung in die Stochastik 3. Übungsblatt
Eführug de Stochastk 3. Übugsblatt Fachberech Mathematk SS 0 M. Kohler 06.05.0 A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 9 (4 Pukte) Der Mkrozesus st ee statstsche Erhebug. Herbe werde ach bestmmte
MehrProf. Dr. B.Grabowski. Die Behauptung I folgt aus der Multiplikationsformel: )
Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: grabows@htw-saarlad.de Satz vo ayes ud totale Wahrschelchet Zu ufgabe anachwes der Formel I ud II: eh.: I. Formel der totale Wahrschelchet: ewes: Es glt:...
MehrHistogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
MehrStochastik Formeln von Gerald Meier
Stochast Formel vo Gerald Meer Grudbegrffe ud Operatoe umöglches Eregs scheres Eregs Ω A mplzert B Glechhet A B AB cht A A A ud B A B A oder B A B A ohe B A \ B A B dsjut A B de Morga A B A B Elemetareregs
MehrWie man für einen Test Peroe testet
Pädagogche Ittut der Uvertät Freburg 996 ALLES ZUFALL - ODER WAS? Eführug de Stattk für Pädagoge ud Pädagoge III Formelammlug Ha-Peter Hotz, Iwa Schrackma Ihaltverzech. Stattche Kewerte. Verglech eer Stchprobe
MehrSeminar aus reiner Mathematik
KARL FRANZENS UNIVERSITÄT RAZ Semar aus reer Mathemat E Lob der Uglechuge Tscherutter Dael 4. November 03 INHALTSVERZEICHNIS Eletug 3 Bewese der Uglechuge 4. Cauchy-Schwarz-Uglechug.............................
Mehrv. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr
5. De Stze vo Sylow Im gaze Abschtt st G ee edlche Grue, 4 #( G). 5.. Problem: Gbt es zu jedem Teler t vo ( tj ) ee Utergrue H mt #( H) = t? We ja, wevele? Gegebesel: 9 Utergrue H vo G = A 5 mt #( H) =
MehrPhysikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
MehrFormelzusammenstellung
Hochschule Müche Faultät Wrtschaftsgeeurwese Formelzusammestellug zugelasse für de Prüfug Dateaalyse der Faultät 09 für Wrtschaftsgeeurwese Prof. Dr. Voler Abel Formelsammlug Dateaalyse / Ihaltsverzechs
MehrFehlerrechnung im Praktikum
Fehlerrechug m Pratum Pratum Phsalsche Cheme (A. Dael Boese) I chts zegt sch der Magel a mathematscher Bldug mehr, als eer überbertrebe geaue Rechug. Carl Fredrch Gauß, 777-855 Themegebete Utertelug vo
MehrSkalentypen Skala Eigenschaften Zulässige Transformation Nominal. =, keine Ordnungen, keine Alle bijektiven Abbildungen
I. Derptve tatt Formelammlug 005 Formelammlug I. Derptve tatt Grudgeamthet (Gg tchprobe (P Mege vo Objete, de hchtlch ee Uteruchugzele al glechartg ageehe werde. Mege vo beobachtete Mermalwerte a eer (zufällge
MehrKonzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
MehrEinen Spieler interessiert nicht, wie er gewinnt, sondern ob und wie viel er gewinnt.
III Zufallsgröße Bespel ud Defto Bespel: Dremal Müzwurf Spel: Esatz, we cht zwe gleche htereader 3 Auszahlug. Ω = {(x x x3) x,x,x3 {Z,K}} Retert sch deses Spel? Dabe geht es ur um de Gew! Also: Defto Gew:
MehrSchiefe-, Wölbungs- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe-, Wölbugs- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse
MehrPrinzip "Proportional Reduction of Error" (PRE)
Dr. Reate Prust: Eführug quattatve Forschugsmethode Bvarate Maße: Przp "Proportoal Reducto of Error" (PRE) E 1 - E Fehler be Regel 1 - Fehler be Regel = E 1 Fehler be Regel 1 Regel 1: Vorhersageregel ur
MehrKapitel III. Lagemaße. die beobachteten Werte eines Merkmals X mit Ausprägungen a 1
aptel III Lagemaße D (Artmetsces Mttel) See,,, de beobactete Werte ees Merkmals X mt Auspräguge a, a,, a k Als artmetsces Mttel (für ctgrupperte Date) bezecet ma: = = (efaces) k = a H ( a ) (gewogees)
MehrFormeln für Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie (Dutter)
Formel für tatstk ud Wahrschelchketstheore (Dutter) Fehler a: fpalmater@gmal.com Cotets Beschrebede tatstk... Kegröße vo Verteluge... Verteluge... 3 Wahrschelchketstheore... 3 Grudlage... 4 Erwartug &
MehrKOMBINATORIK. Doina Logofătu Hochschule München, FK und 15 April 2008
KOMINORIK Doa Logofătu Hochschule Müche, FK 7 4 ud prl 8 Was st Kombator? espele für Frage ud ufgabe aus der Kombator. Was mache wr heute? (Dsusso). Przp der Iluso ud Eluso. Schubfachprzp. Permutatoe 4.
MehrLösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
MehrFormelsammlung für die Lehrveranstaltung Wirtschaftsmathematik / Statistik
Formelsammlug rtschaftsmathemat / Statst Formelsammlug für de Lehrverastaltug rtschaftsmathemat / Statst zugelasse für de Klausure zur rtschaftsmathemat ud Statst de Studegäge der Techsche Betrebswrtschaft
MehrGrundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
MehrUnter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung
8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher
Mehr( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen
Prof. Dr. Fredel Bolle 3. rgäzuge zur Haushaltstheore, sbesodere Dualtät ud Aweduge (Btte wederhole Se zuächst emal de Haushaltstheore aus Mkro I!!!) komme gegebe errechbare Idfferezkurve festgelegt Güterprese
MehrStatistik mit Excel und SPSS
Stattk mt Excel ud SPSS G. Kargl Grudbegrffe Grudgeamthet Erhebugehet Merkmale Werteberech Stchprobe Telbereche der Stattk: Dekrtpve Stattk Iduktve Stattk Exploratve Stattk U- / B- / Multvarate Stattk
MehrStatistische Tests für unbekannte Parameter. Statistische Tests für unbekannte Parameter. Statistische Tests für unbekannte Parameter
Kofeztervall Itervall, as e ubekate Parameter er Vertelug mt vorgegebeer Scherhet übereckt ('Geaugketsaussage' bzw. Zuverlässgket er Puktschätzug ees Parameters) Statstscher Test Ja-Ne-Etscheug arüber,
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statstk ud Wahrschelchketsrechug Mathas Graf 8.04.009 Ihalt der heutge Vorlesug Auswahl eer Vertelugsfukto: Wahrschelchketspaper Schätzug ud Modelletwcklug: Methode der Momete Methode der Maxmum Lkelhood
MehrVarianzanalyse. Varianzanalyse. Varianzanalyse. Varianzanalyse
Varazaalse Zel Überrüfug der Glechhet der Erwartugswerte ees metrsche Mermals zwsche dre oder mehr Utergrue (be Normalvertelug), somt Verallgemeerug des T-Tests, der ur Erwartugswerte zwsche zwe Grue verglecht
MehrFormelsammlung. Unter diesen Annahmen kann der Korrelationskoeffizient nach folgenden Schritten getestet werden:
Formelammlug. Korrelatoaalye Korrelatooeffzet (Brava-Pearo) ( )( y y) y y r, r + ( ) ( y y) y y Stattcher et Soll tattch getetet werde, ob e learer Zuammehag zwche de Varable ud y für de Grudgeamthet beteht,
Mehr14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Eplzte Defto Reursve Defto 4. Gleder eer vorher deferte Folge bereche E Gled Mehrere Gleder 6 4 5 4.3 Ee Folge defere ud ege hrer
MehrReihen n. Man benutzt letztere Schreibweise aber häufig auch zur Bezeichnung der Partialsummenfolge. konvergiert, die geometrische Reihe.
Deftoe ud Aussge über Rehe Bchräume ud Hlberträume E vollstädger ormerter Vektorrum (sehe Bemerkuge zur Alyss) heßt Bchrum Stmmt de Norm vo eem Sklrprodukt v = , so sprcht m vo eem Hlbertrum ZB sd
Mehrwahlberechtigte Personen der BRD zur Bundestagswahl zugelassene Parteien (SPD, CDU, Grüne, FDP)
Zu Aufgabe 1) Sd folgede Merkmale dskret oder stetg? a) De durch ee wahlberechtgte Perso der BRD gewählte Parte be der Budestagswahl. b) Kraftstoffverbrauch ees Persoekraftwages auf 100 km. c) Zahl der
MehrKlausur SS 2005 Version 1
BEMERKUG: für de Rchtgket der Lösuge wrd atürlch kee Garate überomme!! Klausur SS 005 Verso Aufgabe : e Gamma-Quat hat kee Ladug > el. Felder übe kee Kräfte aus > kee Kräfte, kee Äderug der Bewegug (ewto)
Mehr( ) ( ) ( ) ( ) è ø. P A Wahrscheinlichkeitsmaß. lim n. Dr. Christian Schwarz 4. KOMBINATORIK Permutationen
BBA Projektsemar Thess Dr. Chrsta Schwarz Formelsammlug Aalytsche Statstk 4. KOMBINATORIK 4.. Permutatoe Azahl der Permutatoe vo N Elemete ohe Wederholug: Multomalkoeffzet: N! = N N- N -... 3 N! N! N!...
MehrEigenschaften der arithmetischen Mittel. Schätzer für die Varianz. Allgeimeines Method: Likelihood Funktion. Schätzer für die Wahrscheinlichkeit
Statstk. Vorlesug, September 6, 009 Egeschafte er arthmetsche Mttel für alle Fälle wo e Stchprobeelemete habe e selbe Vertelug u s uabhägg: E ( = mvar, ( = / Staarabwechug (Staarfehler: D ( = / Korrektur
MehrDefinitionen und Aussagen zu Potenzreihen
Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto,
MehrII.Wahrscheinlichkeitsrechnung
6 II.Wahrschelchetsrechug Der Wahrschelchetstheore ommt ee wchtge Rolle als Bdegled zwsche der desrptve ud der dutve Statst zu. Aufgabe der dutve Statst st es a, Verfahre beretzustelle, de Schlüsse vo
MehrKorrelations- und Regressionsanalyse
Kaptel VI Korrelatos- ud Regressosaalse B 6 (Gegestad der Korrelatos- ud Regressosaalse) Währed de Korrelatosaalse de Estez, de Stärke ud de Rchtug des Zusammehags zwsche zwe oder mehrere statstsche Varable
MehrSchiefe- und Konzentrationsmaße
Statst für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Mermal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgetstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
MehrGrundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Mehr2. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik
Budeswettbewerb Mathemat Wsseschaftszetrum Postfach 0 4 48 5344 Bo Fo: 08-5 5-0 Fax: 08-5 5- e-mal: fo@budeswettbewerb-mathemat.de www.budeswettbewerb-mathemat.de Korreturommsso Karl Fegert Aufgabe ud
Mehr(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Mehr1 Mathe Formeln Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
1 Mathe Formel Statstk ud Wahrschelchketsrechug Jör Horstma, 6.10.003. Alle Agabe ohe Gewähr. http://www.ba-stuttgart.de/ w017/ 1.1 Grudlage Ezelklasse [a ; b [ Klassewete Klassemtte Mttelwert b a = w
MehrGrundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
MehrAllgemeine Prinzipien
Allgemee Przpe Es estere sebe Grudehete der Physk; alle adere physkalsche Größe ka ma darauf zurückführe. Dese Grudehete sd: Läge [m] Masse [kg] Zet [s] Elektrsche Stromstärke [A] Temperatur [K], Stoffmege
MehrLösungen. Lösung zu d):
Löuge Löug zu a De Date chee ch äherugwee etlag eer Gerade potoert zu e. Da lät cho recht gut vermute, da e learer Zuammehag vorhade e köte. Löug zu b We e Ateg/ee Abahme der Deutche Bak Akte auch zu eem
MehrDie Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung
De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt
Mehr