Ordnungsstatistiken und Quantile

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1 KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der Stchprobe aufsteged aorde: x ( x (... x (. Wr ee x ( de -te Ordugsstatst der Stchprobe. Zum Bespel st x ( = m x das Mmum ud x ( = max x das Maxmum der Stchprobe. =,..., =,..., Defto... Der Stchprobemeda st gegebe durch x +, falls ugerade, med = med (x,..., x = ( x ( + x ( +, falls gerade. Somt befdet sch de Hälfte der Stchprobe über dem Stchprobemeda ud de adere Hälfte der Stchprobe daruter. Bespel..3. Der Meda st e robuster Lageparameter. Als Bespel dafür betrachte wr zwe Stchprobe mt Stchprobeumfag = 8. De erste Stchprobe se (x,..., x 8 = (,,,,,,,. Somt sd de Ordugsstatste gegebe durch (x (,..., x (8 = (,,,,,,,. Daraus lässt sch der Meda bereche ud deser st med 8 = + =.5. Als zwete Stchprobe betrachte wr De Ordugsstatste sd gegebe durch (y,..., y 8 = (,,,,,,, 0. (y (,..., y ( = (,,,,,,, 0, ud der Meda st ach we vor med 8 =.5. Des zegt, dass der Meda robust st. Bemerug..4. Im Allgemee glt med x. E weterer robuster Lageparameter st das getrmmte Mttel.

2 Defto..5. Das getrmmte Mttel eer Stchprobe (x,..., x st defert durch =+ De Wahl vo etschedet, we vele Date cht berücschtgt werde. Ma a zum Bespel = [0.05 ] wähle, da werde 0% aller Date cht berücschtgt. I desem Fall sprcht ma auch vom 5%-getrmmte Mttel. x (. Astatt des getrmmte Mttels betrachtet ma oft das wsorserte Mttel: ( x ( + x (+ + x (. =+ Nachdem wr u ege robuste Lageparameter ostruert habe, wede wr us de robuste Streuugsparameter zu. Dazu beötge wr de emprsche Quatle. Defto..6. Se (x,..., x R ee Stchprobe ud α (0,. Das emprsche α-quatl st defert durch x ([α]+, falls α / N, q α = (x ([α] + x ([α]+, falls α N. Herbe steht [ ] für de Gaußlammer. Der Meda st somt das -Quatl. Defto..7. De emprsche Quartle sd de Zahle q 0,5, q 0,5, q 0,75. De Dfferez q 0,75 q 0,5 et ma de emprsche Iterquartlsabstad. Der emprsche Iterquartlsabstad st e robuster Streuugsparameter. De emprsche Quatle öe als Schätzer für de theoretsche Quatle betrachtet werde, de wr u eführe werde. Defto..8. Se X ee Zufallsvarable mt Vertelugsfuto F (t ud se α (0,. Das theoretsche α-quatl Q(α vo X st defert als de Lösug der Glechug F (Q(α = α. Leder a es passere, dass dese Glechug ee Lösuge hat (we de Futo F de Wert α übersprgt oder dass es mehrere Lösuge gbt (we de Futo F auf eem Itervall ostat ud glech α st. Deshalb beutzt ma de folgede Defto, de auch dese Ausahmefälle S ergbt: Q(α = f t R : F (t α}. Bespel..9. Wetere Lageparameter, de der Statst voromme: ( Das Berechsmttel x (+x ( (cht robust. ( Das Quartlsmttel q 0,5+q 0,75 (robust. Bespel..0. Wetere Streuugsparameter:

3 ( De Spawete x ( x (. ( De mttlere absolute Abwechug vom Mttelwert x x. = (3 De mttlere absolute Abwechug vom Meda x med. Alle dre Parameter sd cht robust. =.. Vertelug der Ordugsstatste Satz... See X, X,..., X uabhägge ud detsch vertelte Zufallsvarable, de absolut stetg sd mt Dchte f ud Vertelugsfuto F. Es see X ( X (... X ( de Ordugsstatste. Da st de Dchte der Zufallsvarable X ( gegebe durch f X( (t =! (!(! f(tf (t ( F (t. Erster Bewes. Damt X ( = t st, muss Folgedes passere:. Ee der Zufallsvarable, z.b. X, muss de Wert t aehme. Es gbt Möglchete, das auszuwähle. De Dchte des Eregsses X = t st f(t.. Uter de restlche Zufallsvarable müsse geau Zufallsvarable Werte uter t aehme. Wr habe ( Möglchete, de Zufallsvarable auszuwähle. De Wahrschelchet, dass de ausgewählte Zufallsvarable allesamt leer als t sd, st F (t. 3. De verblebee Zufallsvarable müsse allesamt größer als t se. De Wahrschelchet davo st ( F (t. Idem wr u alles ausmultplzere, erhalte wr das Ergebs: f X( (t = f(t F (t ( F (t. Das st geau de erwüschte Formel, de ( = (! =!. (!(! (!(! Zweter Bewes. Schrtt. De Azahl der Elemete der Stchprobe, de uterhalb vo t lege, bezeche wr mt N = #,..., } : X t} = X t. Dabe steht # für de Azahl der Elemete eer Mege. De Zufallsvarable X,..., X sd uabhägg ud detsch vertelt mt P[X t] = F (t. Somt st de Zufallsvarable N bomalvertelt: N B(, F (t. 3 =

4 Schrtt. Es glt X ( t } = N }. Daraus folgt für de Vertelugsfuto vo X (, dass F X( (t = P[X ( t] = P[N ] = F (t ( F (t. Schrtt 3. De Dchte st de Abletug der Vertelugsfuto. Somt erhalte wr f X( (t = F X ( (t F = (t f(t( F (t ( F (t ( F (t f(t } = = F (t f(t( F (t ( F (t ( F (t f(t. = Wr schrebe u de Term mt = der erste Summe getret, ud für alle adere Terme der erste Summe führe wr de eue Summatosdex l = e. De zwete Summe lasse wr uverädert, ersetze aber de Summatosdex durch l: f X( (t = ( l= = = F (t f(t( F (t + (l + F (t l f(t( F (t l l + l= ( lf (t l f(t( F (t l. l Der Term mt l = der zwete Summe st wege des Fators l glech 0, somt öe wr der zwete Summe bs summere. Nu sehe wr, dass de bede Summe glech sd, de (l + = l +! l!( l = ( l. l De Summe ürze sch ud somt folgt f X( (t = F (t f(t( F (t. Aufgabe... See X,..., X uabhägge ud detsch vertelte Zufallsvarable mt Dchte f ud Vertelugsfuto F. Ma zege, dass für alle < j de gemesame Dchte der Ordugsstatste X ( ud X (j durch de folgede Formel gegebe st: ( ( f X(,X (j (t, s = f(tf(s, j, j F (t (F (s F (t j ( F (s j. Im ächste Satz bestmme wr de gemesame Dchte aller Ordugsstatste. 4

5 Satz..3. See X,..., X uabhägge ud detsch vertelte Zufallsvarable mt Dchte f. See X (... X ( de Ordugsstatste. Da st de gemesame Dchte des Zufallsvetors (X (,..., X ( gegebe durch! f(t... f(t, falls t... t, f X(,...,X ( (t,..., t = 0, sost. Bewes. Da de Ordugsstatste per Defto aufsteged sd, st de Dchte glech 0, we de Bedgug t... t cht erfüllt st. Se u de Bedgug t... t erfüllt. Damt X ( = t,..., X ( = t st, muss ee der Zufallsvarable (für dere Wahl es Möglchete gbt glech t se, ee adere (für dere Wahl es Möglchete gbt glech t, usw. Wr habe also! Möglchete für de Wahl der Rehefolge der Varable. Zum Bespel trtt für = das Eregs X ( = t, X ( = t } geau da e, we etweder X = t, X = t } oder X = t, X = t } etrtt, was Möglchete ergbt. Da alle Möglchete sch ur durch Permutatoe uterschede ud somt de gleche Dchte bestze, betrachte wr ur ee Möglchet ud multplzere da das Ergebs mt!. De efachste Möglchet st, dass X = t,..., X = t } etrtt. Desem Eregs etsprcht de Dchte f(t... f(t, da de Zufallsvarable X,..., X uabhägg sd. Multplzere wr u dese Dchte mt!, so erhalte wr das gewüschte Ergebs. Bespel..4. See X,..., X uabhägg ud glechvertelt auf dem Itervall [0, ]. De Dchte vo X st f(t = [0,] (t. Somt glt für de Dchte der -te Ordugsstatst ( f X( (t = t ( t, falls t [0, ], 0, sost. Dese Vertelug st e Spezalfall der Betavertelug, de wr u eführe. Defto..5. Ee Zufallsvarable Z heßt betavertelt mt Parameter α, β > 0, falls B(α,β f Z (t = tα ( t β, falls t [0, ], 0, sost. Bezechug: Z Beta(α, β. Herbe st B(α, β de Eulersche Betafuto, gegebe durch B(α, β = 0 t α ( t β dt. Idem wr u de Dchte vo X ( m glechvertelte Fall mt der Dchte der Betavertelug vergleche, erhalte wr, dass X ( Beta(, +. Dabe muss ma gar cht achreche, dass B(, + = ( st, de bede Fälle hadelt es sch um ee Dchte. Wäre de bede Kostate uterschedlch, so wäre das Itegral eer der Dchte uglech, was cht möglch st. Aufgabe..6. See X,..., X uabhägg ud glechvertelt auf dem Itervall [0, ]. Ma zege, dass E[X ( ] = +. 5

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