Formelsammlung Grundzüge der Statistik für die Veranstaltungen Statistik I und Statistik II im Grundstudium

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1 Formelsammlug Grudzüge der Statistik für die Verastaltuge Statistik I ud Statistik II im Grudstudium Prof. Dr. Claudia Becker Lehrstuhl für Statistik

2 Ihaltsverzeichis 1 Summezeiche 5 2 Häufigkeitsverteiluge Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Histogramm Empirische Verteilugsfuktio Lagemaße Lagemaße I: Date als Urliste Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel Media (Zetralwert) Modus (Modalwert) p-quatile (0 < p < 1) Lagemaße II: Urliste, uklassierte ud klassierte Häufigkeitsverteilug 7 4 Streuugsmaße Spaweite (Rage) Iterquartilsabstad Mediae absolute Abweichug vom Media (MAD) Empirische Variaz I: Date als Urliste Empirische Variaz II: Urliste, uklassierte ud klassierte Häufigkeitsverteilug Stichprobevariaz Stadardabweichug Stadardisierug Variatioskoeffiziet Schiefemaße Lageregel Schiefekoeffiziet ach Pearso (Mometekoeffiziet) Kozetratiosmaße Relative Kozetratio Gii-Koeffiziet Lorezkurve Absolute Kozetratio Mehrdimesioale Merkmale Kotigeztafel Bedigte Verteiluge Bedigte Verteilug vo X Bedigte Verteilug vo Y Rekostruktio der gemeisame Häufigkeite Zusammehagsaalyse i Kotigeztafel Hypothetische absolute Häufigkeit (bei Uabhägigkeit der Merkmale) Chi-Quadrat Koeffizet Kotigezkoeffizet Korrigierter Kotigezkoeffizet Zusammehagsmaße bei metrische Merkmale Korrelatioskoeffiziet ach Bravais-Pearso (liearer Zusammehag) Empirische Kovariaz vo X ud Y Ragkorrelatioskoeffiziet ach Spearma (mootoer Zusammehag)

3 8 Wahrscheilichkeitsrechug Megeoperatioe Wahrscheilichkeite Laplace-Wahrscheilichkeite Recheregel für Wahrscheilichkeite Bedigte Wahrscheilichkeit vo A gegebe B Satz vo der totale Wahrscheilichkeit Satz vo Bayes Uabhägigkeit vo zwei Ereigisse Zufallsstichprobe Allgemeies Azahl möglicher Stichprobe Eidimesioale Zufallsvariable Dichte Verteilugsfuktio Reche mit Verteilugsfuktio ud Dichte Modus Erwartugswert Defiitio Trasformatioe Variaz ud Stadardabweichug Quatile Mehrdimesioale Zufallsvariable Gemeisame Dichte ud Raddichte Bedigte Dichte Uabhägigkeit vo Zufallsvariable Kovariaz Diskrete Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable Recheregel Erwartugswert, Variaz, Kovariaz Korrelatioskoeffiziet Diskrete Verteiluge Beroulli-Verteilug Biomialverteilug Die hypergeometrische Verteilug Die Poisso-Verteilug Stetige Verteiluge Die stetige Gleichverteilug (Rechteckverteilug) auf [a, b] Die Normalverteilug Eigeschafte Bestimmug vo Wahrscheilichkeite P(a X b) Bestimmug vo Quatile t-verteilug mit Freiheitsgrade (Studet t-verteilug) Schätzer Schätzer für Erwartugswert ud Variaz Kofidezitervalle für µ im Normalverteilugsmodell Approximative Kofidezitervalle für µ Statistische Hypothesetests Gauß-Test t-test Approximativer Gauß-Test Test auf eie Ateil χ 2 Uabhägigkeitstest

4 16 Eifache lieare Regressio Kleiste Quadrate Schätzer für die Regressioskoeffiziete Bestimmtheitsmaß Aalyse zeitlicher Verläufe Kompoetemodelle für Zeitreihe Lieares Tredmodell Eifacher gleiteder Durchschitt der Ordug p Idexzahle Umsatzidex Preisidex ach Laspeyres Preisidex ach Paasche Megeidex ach Laspeyres Megeidex ach Paasche Idex vo March

5 1 Summezeiche (xi + y i ) = x i + y i c x i = c c = c 2 Häufigkeitsverteiluge x i 2.1 Absolute Häufigkeit h j = h(a j ) = Azahl der Fälle i dee Ausprägug a j auftritt a j = j-te Merkmalsausprägug mit j = 1,...,k Es gilt: k h j = 2.2 Relative Häufigkeit f j = f(a j ) = h(a j) Es gilt: k f j = Histogramm Klasseeiteilug: bei Beobachtuge Klassebreite (d j ) = obere Klassegreze - utere Klassegreze = x 0 j xu j f r j = Höhe = f j d j 2.4 Empirische Verteilugsfuktio Für uklassierte Häufigkeitsverteilug (Urliste muss i Häufigkeitsverteilug überführt werde) F(x) = f(a j ) = (kumulierte relative Häufigkeit) j:a j x j:a j x Für klassierte Häufigkeitsverteilug 0,x < x u 1 F(x) = kumf j 1 + x xu j d j f j,x u 1 x < x o k 1,x o k x 3 Lagemaße 3.1 Lagemaße I: Date als Urliste Arithmetisches Mittel f j x = 1 x i (für Urliste) 5

6 Bei liearer Trasformatio: x i y i = a x i + b y = a x + b x = 1 r r j x j (wobei = j ), Mittelwert aus Teilgesamtheite (r Schichte) Geometrisches Mittel Beobachtete Reihe des Merkmals X (Zeitreihe): x 0,x 1,...,x r t = x t x t 1 x t 1 w t = 1 + r t = x t x t 1 (Wachstumsrate) (Wachstumsfaktor) durchschittlicher Wachstumsfaktor w geom x = x 0 w geom w geom = w t = w 1 w 2... w t=1 w geom = x x 0 = (1 + r 1 ) (1 + r 2 )... (1 + r ) durchschittliche Wachstumsrate r geom r geom = w geom Media (Zetralwert) Ordugsstatistike x (1)... x () x med = Modus (Modalwert) x ( +1 2 ), falls ugerade 1 2 (x ( 2 ) + x ( 2 +1) ), falls gerade Ausprägug mit größter relativer Häufigkeit. Nicht bestimmbar, we mehrere Auspräguge größte relative Häufigkeit besitze. Modalitätsgrad: relative Häufigkeit des Modus i Prozet = f mod 100% p-quatile (0 < p < 1) x p = x ([ p]+1) ( ) 1 2 x( p) + x ( p +1), we p icht gazzahlig, wobei [ p] die zu p ächst kleiere gaze Zahl, we p gazzahlig Füf-Pukte-Zusammefassug: Teilt de Wertebereich i 4 Itervalle die jeweils ca. ei Viertel der Werte ethalte. x (1) x 0.25 x med x 0.75 x ()... kleister Wert... uteres Quatil... Media... oberes Quatil... größter Wert 6

7 3.2 Lagemaße II: Urliste, uklassierte ud klassierte Häufigkeitsverteilug Arithmetisches Mittel Urliste uklassierte Häufigkeitsverteilug klassierte Häufigkeitsverteilug x = 1 x i x = 1 k a j h(a j ) = k a j f(a j ) Nutze Klassemitte m j = xo j +xu j 2 x = 1 k m j j = k m j f j (Näherug) p-quatil Urliste uklassierte Häufigkeitsverteilug klassierte Häufigkeitsverteilug { x([p]+1),p icht gazzahl. x p = 1 (x (1) Suche ach der Ausprägug a 2 (p) + x (p+1) ),p gazzahlig j, bei der (1) Bestimme Klasse, i der kumf j = p erstmals überschritte wird kumf j = p erstmals überschritte oder geau erreicht wird (2) x p = x u j + (p kumf j 1 ) dj f j (2a) Wird p bei a j überschritte: x p = a j (2b) Wird p geau bei a j erreicht: x p = a j+a j+1 2 Media Urliste uklassierte Häufigkeitsverteilug klassierte Häufigkeitsverteilug Nutze Rechevorschrifte für p-quatile mit p=0.5 Modus Urliste uklassierte Häufigkeitsverteilug klassierte Häufigkeitsverteilug Die Merkmalsausprägug a j mit der größte Häufigkeit h(a j ) bildet de Modus (1) Modalklasse: Klasse j mit größter Besetzugsdichte fj r = f j /d j (2) Näherug für Modus: x mod = xo j +xu j 2 7

8 4 Streuugsmaße 4.1 Spaweite (Rage) R = x () x (1) 4.2 Iterquartilsabstad d Q = x 0.75 x Mediae absolute Abweichug vom Media (MAD) MAD = med { x i x med, i = 1,..., } 4.4 Empirische Variaz I: Date als Urliste s 2 = 1 (x i x) 2 = ( 1 x 2 i ) x 2 (Verschiebugssatz) ( r ) s 2 = 1 r j s 2 j + j (x j x) 2,Variaz aus Teilgesamtheite (r Schichte) Bei liearer Trasformatio: x i y i = a x i + b s 2 y = a 2 s 2 x Ist X ormalverteilt (großes ) gilt: x ± s x ± 2 s x ± 3 s ca. 68% aller Beobachtuge ca. 95% aller Beobachtuge ca. 99% aller Beobachtuge 8

9 4.5 Empirische Variaz II: Urliste, uklassierte ud klassierte Häufigkeitsverteilug Variaz Urliste uklassierte Häufigkeitsverteilug klassierte Häufigkeitsverteilug s 2 = 1 (x i x) 2 s 2 = 1 k (a j x) 2 h(a j ) Verschiebugssatz der Variaz = k (a j x) 2 f(a j ) s 2 = s 2 ext + s 2 it Eizelwerte x ij i de Klasse ubekat; Klassemittelwerte x j köe icht berechet werde; Verwede daher die Klassemitte m j = xo j +xu j 2 (a) Es liege Iformatioe über Klassevariaze s 2 j vor: s 2 = 1 k (m j x) 2 j + 1 k s 2 j j = k (m j x) 2 f j + k s 2 j f j (b) Keie Iformatioe über s 2 j; Setze s 2 j = 0: s 2 = 1 k (m j x) 2 j = k (m j x) 2 f j Urliste uklassierte Häufigkeitsverteilug klassierte Häufigkeitsverteilug s 2 = 1 x 2 i x 2 s 2 = 1 k a 2 j h(a j ) x 2 (a) Es liege Iformatioe über Klassevariaze s 2 j vor: = k a 2 j f(a j ) x 2 s 2 = 1 k m 2 j j x k s 2 j j = k m 2 j f j x 2 + k s 2 j f j (b) Keie Iformatioe über s 2 j; Setze s 2 j = 0: s 2 = 1 k m 2 j j x 2 = k m 2 j f j x 2 9

10 4.6 Stichprobevariaz s 2 = 1 1 ( (x i x) 2 = 1 ) x 2 i x 2 1 (Verschiebugssatz) 4.7 Stadardabweichug s = s Stadardisierug x i z i = x i x s x = 1 s x Es gilt: z = 0 ud s 2 z = 1 }{{} a 4.9 Variatioskoeffiziet x i 1 s x x }{{} b v = s x 5 Schiefemaße 5.1 Lageregel x mod < x med < x rechtsschief x mod = x med = x symmetrisch x < x med < x mod liksschief 5.2 Schiefekoeffiziet ach Pearso (Mometekoeffiziet) g m = 1 (x i x) 3 ( 1 (x i x) 2 ) 3 g m > 0 rechtsschief g m = 0 symmetrisch g m < 0 liksschief 6 Kozetratiosmaße 6.1 Relative Kozetratio Gii-Koeffiziet Wertebereich: 0 G 1 Normierter Gii-Koeffiziet Wertebereich: 0 G 1 G = 1 G 10

11 Gii-Koeffiziet G = Relative Kozetratio Urliste uklassierte klassierte Häufigkeitsverteilug Häufigkeitsverteilug u i ṽ i + u i 1 ṽ i 1 G = k u j ṽ j + k u j 1 ṽ j 1 q 1, 2,..., 1, 2,...,k relative Häufigkeit f q = q = 1 f(a q ) = h(aq) = k h(aq) h(a j ) f q = q = q k j 11 kumulierte rel. Häufigkeit u q = q f i = q u q = q f(a j ) u q = q f j relativer Merkmalsateil ṽ q = x (q) x i ṽ q = k aq h(aq) a j h(a j ) = k aq f(aq) a j f(a j ) ṽ q = k mq q = k mq fq m j j m j f j kumulierter rel. Merkmalsateil v q = q ṽ i v q = q ṽ j v q = q ṽ j

12 6.1.2 Lorezkurve Streckezug durch (0,0) = (u 0,v 0 ),(u 1,v 1 ),...,(u,v ) = (1,1) (Urliste) bzw. (0,0) = (u 0,v 0 ),(u 1,v 1 ),...,(u k,v k ) = (1,1) (uklassierte oder klassierte Häufigkeitsverteilug) 6.2 Absolute Kozetratio Idex ach Hirschma/Herfidahl. Beschreibt die absolute Kozetratio. Es muss gelte: x i > 0. Wertebereich: 1 H 1 H = ṽi 2 (Urliste) H = V 2 +1 mit V = s x (uklassierte Häufigkeitsverteilug) H = V 2 +1 mit V = s x (klassierte Häufigkeitsverteilug) 7 Mehrdimesioale Merkmale 7.1 Kotigeztafel (k x m)-kotigeztafel a i - Zeile b j - Spalte i = 1,...,k j = 1,...,m h ij = h(a i,b j )... absolute Häufigkeit der Kombiatio (a i,b j ) f ij = f(a i,b j ) = h ij m f i = f ij = h i, i = 1,...,k f j = k f ij = h j, j = 1,...,m... relative Häufigkeit der Kombiatio (a i,b j )... relative Radhäufigkeite vo X... relative Radhäufigkeite vo Y 7.2 Bedigte Verteiluge Bedigte Verteilug vo X f X (a i b j ) = f ij f j = h ij h j f X (a 1 b j ),...,f X (a k b j ) heißt bedigte Verteilug vo X geg. Y = b j Es gilt: k f X(a i b j ) = 1 für jedes feste j, j = 1,...,m Bedigte Verteilug vo Y f Y (b j a i ) = f ij f i = h ij h i f Y (b 1 a i ),...,f Y (b m a i ) heißt bedigte Verteilug vo Y geg. X = a i Es gilt: m f Y (b j a i ) = 1 für jedes feste i, i = 1,...,k 12

13 7.2.3 Rekostruktio der gemeisame Häufigkeite f ij = f Y (b j a i ) f i bzw. f ij = f X (a i b j ) f j 7.3 Zusammehagsaalyse i Kotigeztafel Hypothetische absolute Häufigkeit (bei Uabhägigkeit der Merkmale) e ij = h i h j Chi-Quadrat Koeffizet χ 2 = k Kotigezkoeffizet m (h ij e ij ) 2, χ 2 [0, ) e ij χ K = 2 + χ 2, K [ 0, ] M 1 M, wobei M = mi{k,m} Korrigierter Kotigezkoeffizet K = K M 1 M, K [0,1] K 0.2 kei wesetlicher Zusammehag 0.2 < K 0.5 schwacher Zusammehag 0.5 < K < 0.8 deutlicher Zusammehag 0.8 K starker Zusammehag 7.4 Zusammehagsmaße bei metrische Merkmale Korrelatioskoeffiziet ach Bravais-Pearso (liearer Zusammehag) Wertebereich: 1 r XY 1 r XY = (x i x) (y i y) (x i x) 2 (y i y) = 2 1 (x i x) (y i y) s X s Y alterativ: r XY = x i y i x y x2 i = x2 y2 i y2 1 1 x2 i x2 1 x i y i x y y2 i y2 Stärke des lieare Zusammehags: Betrachte r XY, Eiteilug wie i Empirische Kovariaz vo X ud Y Wertebereich: s XY s XY = 1 (x i x) (y i y) = 1 x i y i x y 13

14 7.4.3 Ragkorrelatioskoeffiziet ach Spearma (mootoer Zusammehag) Wertebereich: 1 r Sp 1 Basiert auf de Räge der beobachtete Werte. 1. Allgemei r Sp = = ( (rg(x i) +1 2 ) (rg(y i) +1 ) rg(x i) rg(y i ) (+1)2 ( (rg(x i)) 2 (+1) Ohe Biduge (rg(x i)) 2 (+1)2 4 2 ) ( (rg(y i)) 2 (+1)2 4 4 ) ( (rg(y i)) 2 (+1)2 4 r Sp = 1 6 d2 i ( 2 1), wobei d i = rg(x i ) rg(y i ) ) ) Stärke des mootoe Zusammehags: Betrachte r Sp, Eiteilug wie i Wahrscheilichkeitsrechug 8.1 Megeoperatioe Seie A ud B Teilmege eier Mege Ω Schittmege: A B Vereiigugsmege: A B Differezmege: A\B Komplemetärmege oder Komplemet: A C Azahl der Elemete vo A: A 8.2 Wahrscheilichkeite Laplace-Wahrscheilichkeite P(A)... Wahrscheilichkeit des Ereigisses A Gilt für Ω = {ω 1,...,ω }, dass P({ω i }) = 1, i = 1,..., da gilt für A Ω, zusammegesetzt aus m Elemetarereigisse: P(A) = m = Azahl der Elemetarereigisse i A Gesamtzahl der Elemetarereigisse Recheregel für Wahrscheilichkeite Für eie Wahrscheilichkeitsabbildug P ud Ereigisse A,B,A 1,...,A k sowie eie Grudmege Ω vo Ergebisse gilt: 0 P(A) 1 P( ) = 0 Falls A B P(A) P(B) P(A C ) = 1 P(A) Sid A 1,...,A k paarweise disjukt, da gilt: P(A 1... A k ) = P(A 1 ) P(A k ) 14

15 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Ist Ω edlich mit Elemetarereigisse {ω 1 },...,{ω }, da ist P(A) = w A P({ω}) Bedigte Wahrscheilichkeit vo A gegebe B Seie A,B Ω ud P(B) > 0. P(A B) = P(A B) P(B) P(A B) = P(A B) P(B) (Produktsatz) Satz vo der totale Wahrscheilichkeit Sei B 1,...,B k eie disjukte Zerlegug vo Ω. Da gilt für A Ω : P(A) = k P(A B i ) P(B i ) Satz vo Bayes Sei B 1,...,B k eie disjukte Zerlegug vo Ω, wobei P(B i ) > 0 ud P(A B i ) > 0 für midestes ei i. Da gilt: P(B i A) = P(A B i ) P(B i ) k P(A B j) P(B j ) = P(A B i) P(B i ), i = 1,...,k P(A) Uabhägigkeit vo zwei Ereigisse Seie A,B Ω zwei Ereigisse. A ud B heiße (stochastisch) uabhägig, we gilt: P(A B) = P(A) P(B) Alterativ: P(A B) = P(A) mit P(B) > 0 oder P(B A) = P(B) mit P(A) > 0 Falls P(B) = 0, so et ma A ud B stets uabhägig. 9 Zufallsstichprobe 9.1 Allgemeies Umfag Grudgesamtheit... N Umfag Stichprobe... Eifache Zufallsstichprobe Jede mögliche Stichprobe vom Umfag aus der Grudgesamtheit hat die selbe Wahrscheilichkeit realisiert zu werde. 9.2 Azahl möglicher Stichprobe mit Beachtug der Reihefolge ohe Beachtug der Reihefolge ohe Zurücklege mit Zurücklege N! (N )! N ( ) N ( ) N

16 10 Eidimesioale Zufallsvariable 10.1 Dichte 1. Diskrete Dichte (f(x) Wahrscheilichkeitsfuktio!) f(x i ) = P(X = x i ) Es gilt: i : 0 f(x i ) 1 ud f(x i ) = Stetige Dichte (f(x) Dichtefuktio!) f(x) = F (x), falls die Ableitug existiert Es gilt: x : f(x) 0 ud 10.2 Verteilugsfuktio f(t)dt = 1. (f(x) 1 ist möglich!) F(x) = P(X x) 1. Diskreter Wertebereich F(x) = x i xf(x i ) 2. Stetiger Wertebereich F(x) = x f(t)dt 10.3 Reche mit Verteilugsfuktio ud Dichte 1. Diskrete Zufallsvariable X P(a < X b) = P(X = x i ) x i:a<x i b Alterativ mit Hilfe der Verteilugsfuktio: P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F(b) F(a) P(a X b) = F(b) P(X < a) P(a X < b) = P(X < b) P(X < a) P(a < X < b) = P(X < b) P(X a) = P(X < b) F(a) P(X > a) = 1 F(a) 2. Stetige Zufallsvariable X P(a < X b) = b a f(t)dt Alterativ mit Hilfe der Verteilugsfuktio: P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F(b) F(a) P(X = x) = 0 für jedes x, d.h. Wahrscheilichkeit eie bestimmte Wert azuehme ist gleich Null. P(a < X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = P(a X < b) P(X > a) = P(X a) = 1 F(a) 16

17 10.4 Modus Modus der Verteilug vo X ist derjeige x-wert x mod, für de die Dichte f(x) vo X maximal wird. Gibt es keie eideutige x-wert der dies erfüllt, so ist der Modus icht defiiert Erwartugswert Defiitio Betrachtet wird eie Zufallsvariable X mit Dichtefuktio f(x). 1. Ist X diskrete Zufallsvariable: E(X) = x i f(x i ) = x 1 f(x 1 ) + x 2 f(x 2 ) Ist X stetige Zufallsvariable: E(X) = Trasformatioe 1. Lieare Trasformatio x f(x)dx Y = a X + b E(Y ) = E(a X + b) = a E(X) + b 2. Trasformatio mit beliebiger Fuktio Y = g(x) X ist diskrete Zufallsvariable E(Y ) = E(g(X)) = g(x i) f(x i ) X ist stetige Zufallsvariable E(Y ) = E(g(X)) = g(x) f(x)dx 10.6 Variaz ud Stadardabweichug Sei X eie Zufallsvariable mit Dichtefuktio f ud Erwartugswert E(X): Variaz 1. Ist X diskret: 2. Ist X stetig: V ar(x) = E((X E(X)) 2 ) = = x 2 i f(x i ) (E(X)) 2 V ar(x) = E((X E(X)) 2 ) = = Stadardabweichug (x i E(X)) 2 f(x i ) x 2 f(x)dx (E(X)) 2 σ X = V ar(x) (Verschiebugssatz) (x E(X)) 2 f(x)dx (Verschiebugssatz) Verschiebugssatz allgemei V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Lieare Trasformatio Y = a X + b V ar(y ) = V ar(a X + b) = a 2 V ar(x) σ Y = a σ X 17

18 10.7 Quatile 1. Ist X diskrete Zufallsvariable: p-quatil x p ist die Zahl, für die P(X < x p ) p ud P(X > x p ) 1 p 2. Ist X stetige Zufallsvariable: x p ist die Zahl, für die F(x p ) = p Falls x p icht eideutig bestimmbar, wähle jeweils die kleiste Zahl, die dies erfüllt. 11 Mehrdimesioale Zufallsvariable 11.1 Gemeisame Dichte ud Raddichte diskrete Zufallsvariable stetige Zufallsvariable Gemeisame Dichte f X,Y (x i,y i ) = P(X = x i,y = y i ) f X,Y (x,y) f X (x i ) = P(X = x i ) f X (x) Raddichte f Y (y i ) = P(Y = y i ) f Y (y) f X (x i ) = f X,Y (x i,y j ) f X (x) = f X,Y (x,y)dy für f Y aalog 11.2 Bedigte Dichte bedigte Dichte vo X gegebe Y : f X Y (x y) = f X,Y (x,y) f Y (y) bedigte Dichte vo Y gegebe X: f Y X (y x) = f X,Y (x,y) f X (x) 11.3 Uabhägigkeit vo Zufallsvariable X ud Y sid stochastisch uabhägig, we gilt: f X,Y (x,y) = f X (x) f Y (y), für alle x X(Ω) ud y Y (Ω) 11.4 Kovariaz Cov(X,Y ) = E((X E(X)) (Y E(Y ))) 18

19 Diskrete Zufallsvariable Cov(X,Y ) = (x i E(X)) (y j E(Y )) f X,Y (x i,y j ) Zur vereifachte Berechug: Cov(X,Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) mit E(X Y ) = x i y j f X,Y (x i,y j ) Stetige Zufallsvariable Cov(X,Y ) = Zur vereifachte Berechug: Cov(X,Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) mit E(X Y ) = (x E(X)) (y E(Y )) f X,Y (x,y)dx dy x y f X,Y (x,y)dx dy 11.5 Recheregel Erwartugswert, Variaz, Kovariaz E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) E(X Y ) = E(X) E(Y ) E( X i ) = E(X i ) V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2 Cov(X,Y ) V ar(x Y ) = V ar(x) + V ar(y ) 2 Cov(X,Y ) V ar( X i ) = V ar(x i ), falls X 1,...,X uabhägig Cov(aX + b,cy + d) = a c Cov(X,Y ) 11.6 Korrelatioskoeffiziet Wertebereich: 1 ρ(x,y) 1 ρ(x,y ) = Cov(X,Y ) V ar(x) V ar(y ) 12 Diskrete Verteiluge 12.1 Beroulli-Verteilug Dichtefuktio: f(x i ) = p xi (1 p) 1 xi für x i = 0,1 Schreibweise: X Bi(1, p) Erwartugswert: E(X) = p Variaz: V ar(x) = p (1 p) 19

20 12.2 Biomialverteilug ( ) Dichtefuktio: f(x i ) = p xi (1 p) xi für x i = 0,..., x i Schreibweise: X Bi(, p) Erwartugswert: E(X) = p Variaz: V ar(x) = p (1 p) Eigeschafte Beschreibt Situatio des Ziehes mit Zurücklege. Die Beroulli-Verteilug ist ei Spezialfall der Biomialverteilug mit = 1. Sid X 1,...,X stochastisch uabhägig mit X Bi(1,p), i = 1,...,, da ist X = X i Bi(,p). Symmetrie: Sei X Bi(,p) ud Y = X, da gilt: Y Bi(,1 p) Die hypergeometrische Verteilug ( ) ( ) M N M x i x i Dichtefuktio: f(x i ) = ( ) für x i = 0,..., N Schreibweise: Erwartugswert: Variaz: X Hyp(,M,N) E(X) = M N V ar(x) = M N N M N N N 1 Beschreibt Situatio des Ziehes ohe Zurücklege Die Poisso-Verteilug Dichtefuktio: Schreibweise: EW ud Variaz: f(x i ) = λxi x i! e λ für x i = 0,1,2,... X P oi(λ) E(X) = V ar(x) = λ 13 Stetige Verteiluge 13.1 Die stetige Gleichverteilug (Rechteckverteilug) auf [a,b] 1 a x b Dichtefuktio: f(x) = b a 0 sost Schreibweise: X G[a, b] Erwartugswert: E(X) = a + b 2 Variaz: V ar(x) = (b a)

21 13.2 Die Normalverteilug Dichtefuktio: f(x) = Schreibweise: X N(µ,σ 2 ) Erwartugswert: E(X) = µ Variaz: V ar(x) = σ 2 1 2π σ exp ( ) (x µ)2 2σ Eigeschafte Stadardormalverteilug: spezielle Normalverteilug N(0,1) mit Parameter µ = 0 ud σ 2 = 1 Verteilugsfuktio: Φ Speziell für die Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug gilt: Φ( z) = P(Z z) = P(Z z) = 1 Φ(z) für p-quatil z p gilt: z 1 p = z p Stadardisierug eier N(µ,σ 2 )-verteilte Zufallsvariable X, so dass Trasformatio Z N(0, 1)-verteilt ist: Z = X µ σ N(0,1), d.h. P(Z z) = Φ(z). X N(µ,σ 2 ), Y = ax + b Y N(aµ + b,a 2 σ 2 ) X 1,...,X stochastisch uabhägig, X i N(µ,σ 2 ) X N Bestimmug vo Wahrscheilichkeite P(a X b) ) (µ, σ2 Für eie N(0,1)-verteilte Zufallsvariable Z ist P(Z z) = Φ(z) ud P(a Z b) = Φ(b) Φ(a). Für eie N(µ,σ 2 )-verteilte Zufallsvariable X ist ( X µ P(X x) = P x µ ) ( ) x µ = Φ σ σ σ ( ) ( ) b µ a µ P(a X b) = Φ Φ. σ σ ud Bestimmug vo Quatile p-quatil z p der N(0,1)-Verteilug: z p aus Tabelle p-quatil x p der N(µ,σ 2 )-Verteilug: x p = σ z p + µ, z p aus Tabelle 13.3 t-verteilug mit Freiheitsgrade (Studet t-verteilug) Schreibweise: X t symmetrisch um 0 für das p-quatil gilt: t ;p = t ;1 p X t ud 2 E(X) = 0 X t ud 3 V ar(x) = 2 Für gilt t N(0,1) (ca. ab 30) X 1,...,X uabhägig ud idetisch N(µ,σ 2 )-verteilt X µ S t 1 21

22 14 Schätzer 14.1 Schätzer für Erwartugswert ud Variaz X 1,...,X Zufallsvariable mit E(X i ) = µ, V ar(x i ) = σ 2 Schätzer für µ: X = 1 X i mit E(X) = µ zusätzlich ist V ar(x) = σ2, falls die X i uabhägig Schätzer für σ 2, falls die X i uabhägig mit idetischer Verteilug: S 2 = 1 (X i X) 2 mit E( S 2 ) = 1 σ 2 S 2 = 1 1 (X i X) 2 mit E(S 2 ) = σ 2 Hiweis: Verschiebugssatz siehe 4.4 ud Kofidezitervalle für µ im Normalverteilugsmodell Betrachte eie Zufallsvariable X mit X N(µ,σ 2 ); seie X 1,...,X uabhägig ud idetisch verteilt wie X. Gegebe sei weiter eie Irrtumswahrscheilichkeit α,0 < α < 1. Falls σ 2 bekat, so ist [X σ z 1 α/2,x + σ z 1 α/2 ] ei (1 α)-kofidezitervall für µ. Dabei bezeichet z 1 α/2 das (1 α/2)-quatil der N(0,1). Falls σ 2 ubekat ist, ist [X S t 1;1 α/2,x + S t 1;1 α/2 ] ei (1 α)-kofidezitervall für µ. 1 Dabei ist S = 1 (X i X) 2, ud t 1;1 α/2 bezeichet das (1 α/2)-quatil der t-verteilug mit 1 Freiheitsgrade Approximative Kofidezitervalle für µ Betrachte eie Zufallsvariable X mit E(X) = µ, V ar(x) = σ 2 ; seie X 1,...,X uabhägig ud idetisch verteilt wie X, sei 30. Falls σ 2 bekat, so ist [X σ z 1 α/2, X + σ z 1 α/2 ] ei approximatives (1 α)-kofidezitervall für µ. Falls σ 2 ubekat, so ist [X S t 1;1 α/2, X + S t 1;1 α/2 ] ei approximatives (1 α)-kofidezitervall für µ. Dabei bezeichet t 1;1 α/2 das (1 α/2)-quatil der t-verteilug mit 1 Freiheitsgrade. 22

23 15 Statistische Hypothesetests 15.1 Gauß-Test Seie X 1,...,X uabhägige ud idetisch ormalverteilte Zufallsvariable, X i N(µ,σ 2 ), ud sei σ 2 bekat. Testproblem Etscheidug H 0 vs. H 1 Lehe H 0 ab, falls µ = µ 0 vs. µ µ 0 X µ 0 σ > z 1 α/2 µ µ 0 vs. µ < µ 0 X µ 0 σ µ µ 0 vs. µ > µ 0 X µ 0 σ < z 1 α > z 1 α Dabei bezeichet z α das α-quatil der Stadardormalverteilug t-test Seie X 1,...,X uabhägige ud idetisch ormalverteilte Zufallsvariable, X i N(µ,σ 2 ), ud sei σ 2 ubekat. Testproblem Etscheidug H 0 vs. H 1 Lehe H 0 ab, falls µ = µ 0 vs. µ µ 0 X µ 0 S > t 1;1 α/2 µ µ 0 vs. µ < µ 0 X µ 0 S µ µ 0 vs. µ > µ 0 X µ 0 S < t 1;1 α > t 1;1 α Dabei bezeichet t 1,α das α-quatil der t-verteilug mit 1 Freiheitsgrade Approximativer Gauß-Test Seie X 1,...,X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable, die aber icht otwedig ormalverteilt sid, mit E(X i ) = µ, V ar(x i ) = σ 2. Sei σ 2 ubekat ud 30. Testproblem Etscheidug H 0 vs. H 1 Lehe H 0 ab, falls µ = µ 0 vs. µ µ 0 X µ 0 S > z 1 α/2 µ µ 0 vs. µ < µ 0 X µ 0 S µ µ 0 vs. µ > µ 0 X µ 0 S < z 1 α > z 1 α 15.4 Test auf eie Ateil Ei Ateil p der Grudgesamtheit besitze eie iteressierede Eigeschaft. Seie X 1,...,X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable mit X i = 1, falls das i-te Elemet die Eigeschaft besitzt, X i = 0 sost. 23

24 Testproblem Etscheidug H 0 vs. H 1 Lehe H 0 ab, falls p = p 0 vs. p p 0 X p 0 > z 1 α/2 p0 (1 p 0) p p 0 vs. p < p 0 X p 0 < z 1 α p0 (1 p 0) p p 0 vs. p > p 0 X p 0 > z 1 α p0 (1 p 0) 15.5 χ 2 Uabhägigkeitstest Betrachtet werde zwei Zufallsvariable X,Y. Die Beobachtugspaare (x i,y i ) seie i eier (k m)-kotigeztafel zusammegefasst. Gemeisame absolute Häufigkeite i der Tafel: Radhäufigkeite: h i. bzw. h.j Uter Uabhägigkeit vo X ud Y erwartete Häufigkeite: h ij e ij = h i. h.j, i = 1,...,k, j = 1,...,m Testproblem: H 0 : X,Y uabhägig vs. H 1 : X,Y abhägig Etscheidugsregel: H 0 wird zum Niveau α verworfe, falls k m χ 2 (h ij e ij ) 2 = > χ 2 (k 1) (m 1);1 α e ij Dabei bezeichet χ 2 q;α das α-quatil der χ 2 -Verteilug mit q Freiheitsgrade. 16 Eifache lieare Regressio Sei Y eie stetige Zufallsvariable ud x eie determiistische Größe. Modell: Y = a x + b + ε 16.1 Kleiste Quadrate Schätzer für die Regressioskoeffiziete â = (x i x) (Y i Y ) (x = x i Y i x Y i x) 2 x2 i x2 b = Y â x Die Werte Ŷi = â x i + b sid Schätzer für die Y i ud werde auch Vorhersage oder Progose geat. Die Abweichuge ε i = Y i Ŷi heiße Residue Bestimmtheitsmaß Güte der Apassug der Date a die geschätzte Gerade. R 2 = (Ŷi Y ) 2 (Y i Y ), 2 R2 [0,1] Es gilt: R 2 = r 2 XY (quadrierter Korrelatioskoeffiziet) 24

25 17 Aalyse zeitlicher Verläufe 17.1 Kompoetemodelle für Zeitreihe Tredkompoete (g) : lagfristiges Verhalte Saisokompoete (s) : wiederkehrede zyklische Schwakuge Irreguläre Kompoete (ε) : Rest 1. Additives Modell: Y t = g t + s t + ε t, t = 1,...,T 2. Multiplikatives Modell: Y t = g t s t ε t, t = 1,...,T Rückführug auf Additives Modell mit log(y t ) = log(g t ) + log(s t ) + log(ε t ) möglich Lieares Tredmodell Reies Tredmodell: Y t = g t + ε t Tredmodell mit im zeitlichem Verlauf liearer Tredkompoete: Y t = α t + β + ε t, t = 1,...,T (Bestimmug mit KQ-Schätzer) 17.3 Eifacher gleiteder Durchschitt der Ordug p Betrachtet wird eie Zeitreihe Y 1,...,Y T, mit Realisierug y 1,...,y T. Ordug p des gleitede Durchschitts gibt die Azahl der i die Mittelwertberechug eigehede Zeitreihewerte a. Tred g t durch ei lokales arithmetisches Mittel der Zeitreihewerte y t q,...,y t+q approximiere: für ugerade Ordug p: q = p 1 2 ĝ p 1 q t = y t+j = 1 2 q + 1 p (y t q y t y t+q ) mit j= q t = q + 1,...,T q für gerade Ordugp: q = p 2 ĝ t p = 1 p (1 2 y t q + mit q 1 j= q+1 t = q + 1,...,T q 17.4 Idexzahle y t+j y t+q) Bezeichug: Basiszeit 0 mit Preise p 0 (1),...,p 0 () ud Gütermege q 0 (1),...,q 0 () Umsatzidex Berichtszeit t mit Preise ud Gütermege p t (1),...,p t () q t (1),...,q t () W 0,t = p t(i) q t (i) p 0(i) q 0 (i)

26 Preisidex ach Laspeyres P L 0,t = p t(i) q 0 (i) p 0(i) q 0 (i) Preisidex ach Paasche P P 0,t = p t(i) q t (i) p 0(i) q t (i) Megeidex ach Laspeyres Q L 0,t = q t(i) p 0 (i) q 0(i) p 0 (i) Megeidex ach Paasche Q P 0,t = q t(i) p t (i) q 0(i) p t (i) Idex vo March I M = p t(i) p o(i) q t(i) q t(i) 26