ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

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1 ETWR Teil B

2 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels Übertragung des gelernten auf stetige Verteilungen

3 3 Agenda Formalisierung des Zufalls Bewertung von Ereignissen Urneneperimente Bewertung von Urneneperimenten Zufallsvariablen Verteilungsparameter Mehrdimensionale Zufallsvariablen Verteilungsparameter II Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret) Gleichverteilung Normalverteilung Eponentialverteilung

4 4 Wiederholung Stetige Gleichverteilung Visualisierung Gleichverteilung mit N = 6 f bzw. F X 1,00 0 6

5 5 Visualisierung Gleichverteilung mit N = auf Intervall [1,6] f bzw. F X 1,00 0 6

6 6 Stetige Gleichverteilung Definition: (Stetige Gleichverteilung) Die Zufallsvariable X heißt auf Intervall [a, b] gleichverteilt, wenn Dichtefunktion f() und Verteilungsfunktion F() gegeben sind als $ # 0 a 1 % a b & a f () = $ b a F() = % a < < b % b a & 0 sonst & '& 1 b Satz Der Erwartungswert einer stetig gleichverteilten Zufallsvariable X ist E() = a + b 2 und die Varianz von X ist Var() = 1 (b a)2 12

7 7 Beweise Erwartungswert E(X) = E(X) = Varianz b E(X 2 ) = 2 a b a = 1 b a 1 b a d = 1 b a b 2 a b a d = 1 b a = 1 b a b a d = 1 " 2 % $ ' b a # 2 & (b + a)(b a) = a + b d = 1 # 3 & % ( b a $ 3 ' = b3 a 3 3(b a) = (b a)(a2 + ab + b 2 ) = a2 + ab + b 2 3(b a) 3 Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = a2 + ab + b 2 = a2 2ab + b 2 12 = b a 3 (a b)2 12 (a + b)2 4 b a b a = 4a2 + 4ab + 4b 2 3a 2 6ab 3b 2 12

8 8 Agenda Formalisierung des Zufalls Bewertung von Ereignissen Urneneperimente Bewertung von Urneneperimenten Zufallsvariablen Verteilungsparameter Mehrdimensionale Zufallsvariablen Verteilungsparameter II Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret) Gleichverteilung Normalverteilung Eponentialverteilung

9 9 Motivation Produktionsprozess Hilti Maschinelle Fertigung von Bohreinsätzen (kurz: Bohrer) Bohrer aus hochwertigem Stahl dadurch Formen schwierig Konsequenz: Es kommt zu zufälligen Abweichungen in der Länge Problem Qualitätssicherung Bohrer mit starker Abweichung unverkäuflich Planung Wie viele Bohrer Ausschuss bei Tagesproduktion von n = Idee Anteil Ausschuss mit passender Verteilung schätzen Im Folgenden Verteilung mit Zielwert und zufälligen Abweichungen

10 10 Normalverteilung Definition: (Normalverteilung) Die Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2, wenn ihre Dichtefunktion für R gegeben ist durch f ( µ ) 1 2 2σ X ( ) = e σ 2π 2 Satz Eine normalverteilte Zufallsvariable besitzt den Erwartungswert E(X) = µ und die Varianz Var(X) = σ 2

11 11 Visualisierung I Dichtefunktion der Standardnormalverteilung (µ = 0, σ 2 = 1): f X () µ Lage der Verteilung σ 2 Streuung der Verteilung 0,4 0,3 0,2 0,

12 12 Visualisierung II Dichtefunktion der Normalverteilung (µ=5 bzw. µ=6, σ 2 =1): 0,5 f X () 0,4 0,3 0,2 0,1 0,

13 13 Visualisierung III Dichtefunktion der Normalverteilung (µ=5, σ 2 =1 bzw. σ 2 =4): 0,5 f X () 0,4 0,3 0,2 0,1 0,

14 14 Beispiel Körpergröße männlicher Studienanfänger Normalverteilung geeignetes Modell für Körpergröße (siehe folgende Abb.) Histogramm der Körpergröße männlicher Studienanfänger mit Dichtefunktion der Normalverteilung mit µ=183,1 und σ 2 =48,7 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,

15 15 Standardisierung Ist X normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2, so ist standardnormalverteilt. Z = X σ µ Dichtefunktion ϕ(z) = 1 2π e 0,5z2 Verteilungsfunktion Φ(z) = 0 1 e 0,5u2 du 2π

16 Gesucht: Wahrscheinlichkeit P(X ) = F X () für eine mit µ und σ 2 normal-verteilte Zufallsvariable. Dabei gilt: Illustration F X () = Φ µ σ # $ % & ' ( = Φ = = = = σ µ σ µ Z P σ µ σ µ X P µ µ X P X P F X ) ( ) ( ) ( Φ z ( ) =1 Φ z ( ) 16

17 17 Beispiel Fahrzeit zur Universität Fahrzeit X ist normalverteilt mit E(X) = 40 und Var(X) = 4 Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass Fahrzeit ma. 36 Minuten? Es gilt: $ P(X 36) = F X (36) = Φ& % Φ(2) = 0, ' ) = Φ( 2) ( P(X 36) = Φ( 2) =1 Φ(2) =1 0, 977 = 0, 023

18 18 Quantil Quantil normalverteilte Zufallsvariablen (µ, σ 2 ) p = µ + z p σ Quantil Standardnormalverteilte Zufallsvariable z p Nur für p mit p < 0,5 oder p > 0,5, denn es gilt: z p = z 1 p

19 19 Quantil Beispiel Fahrzeit zur Universität Fahrzeit X ist normalverteilt mit E(X) = 40 und Var(X) = 4 Welche Fahrzeit wird an 20 Prozent der Tage nicht überschritten? Es gilt: z 0,2 = z 0,8 z 0,8 = 0,842 z 0,2 = 0,842 0,20 = 40 + z 0,20 2 = 40 0,842 2 = 38,316

20 20 Agenda Formalisierung des Zufalls Bewertung von Ereignissen Urneneperimente Bewertung von Urneneperimenten Zufallsvariablen Verteilungsparameter Mehrdimensionale Zufallsvariablen Verteilungsparameter II Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret) Gleichverteilung Normalverteilung Eponentialverteilung

21 21 Eponentialverteilung Bei einem Poisson-Prozess im Intervall ]0, t] ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses A poissonverteilt mit Parameter λt. Es gilt: Poisson-Prozess wird so lange beobachtet, bis A zum 1. Mal eintritt. Gesucht: Dichtefunktion f T (t) Verteilungsfunktion F T (t) der Wartezeit T bis zum ersten Eintreten von A Für t < 0: F T (t) = 0 Für t 0: F T (t) = P(T t) = 1 P(T > t) = 1 P(X = 0) = 1 e λt FT ( ( λt) λt P( X = ) = e für = 01,,...! 1 e t) = 0 λt für t sonst 0

22 22 Eponentialverteilung Definition: (Eponentialverteilung) Die Zufallsvariable X heißt eponentialverteilt mit Parameter λ, wenn ihre Dichtefunktion gegeben ist durch: f X ( ) λe λ für 0 = 0 sonst Satz Die Eponentialverteilung hat den Erwartungswert E(X) = 1 λ und die Varianz Var(X) = 1 λ 2

23 23 Quantil Für das p-quantil der Eponentialverteilung gilt 1 e λ p = p e λ p = 1 p λ p = ln(1 p) p = 1 λ ln(1 p)

24 24 Beispiel I Tankstelle 30 Minuten Beobachtung Ankunft der Kunden Häufigkeiten Zeit Absolute Häufigkeit 0s bis unter 45s 19 45s bis unter 90s 8 90s bis unter 135s 2 135s bis unter 180s 2 180s bis unter 225s 1

25 25 Beispiel II Histogramm der Wartezeit mit der Dichtefunktion der Eponential-verteilung mit Parameter λ = 0,019: 0,015 0,010 0,005 0, Zeit

26 Stetige Verteilungen - Übersicht Gleichverteilung # % 1 a b f () = $ b a % & 0 sonst E() = a + b 2 Var() = 1 (b a)2 12 Normalverteilung f ( µ ) 1 σ X ( ) = e E() = µ Var() = σ 2 σ 2π Eponentialverteilung λe λ für 0 f ( ) = E(X) = 1 X Var(X) = 1 0 sonst λ λ 2

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