Beispiel 2 ([1], Ex ) Sei jxj = m, jy j = n. Wieviele Funktionen f : X! Y

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1 Kombinatorik Nach [1], Chap.4 (Counting Methods and the Pigeonhole Principle). Multiplikationsprinzip Beispiel 1 Wieviele Wörter der Länge 4 kann man aus den Buchstaben A,B,C,D,E bilden, wenn Wiederholungen nicht erlaubt sind? Antwort: = wenn Wiederholungen nicht erlaubt sind und die Wörter mit 'C' beginnen müssen? Antwort: = wenn Wiederholungen nicht erlaubt sind und die Wörter nicht mit 'D' beginnen dürfen? Antwort: = 96. Satz 1 (Multiplikationsprinzip) Wenn man Objekte eines bestimmten Typs in k Schritten erzeugen kann und es beim i-ten Schritt n i unterscheidbare Möglichkeiten gibt, dann kann man insgesamt n 1 n k verschiedene Objekte dieses Typs erzeugen. Beispiel 2 ([1], Ex ) Sei jxj = m, jy j = n. Wieviele Funktionen f : X! Y gibt es? Antwort: n m. Beispiel 3 Sei jxj = n. Für A X und B X soll A B gelten. Wieviele Möglichkeiten gibt es? Antwort: 3 n. Additionsprinzip Beispiel 4 Sie haben fünf verschiedene Bücher aus der Informatik, drei verschiedene aus der Mathematik und zwei verschiedene aus der Betriebswirtschaftslehre. Auf wieviele Arten können Sie zwei Bücher wählen, die nicht aus dem gleichen Lehrgebiet stammen? Antwort: = 31. Satz 2 (Additionsprinzip) jx i j = n i ; i = 1; : : : ; k X i \ X j = ;; i 6= j ) ) jx 1 [ : : : [ X k j = n 1 + : : : + n k : Bemerkung 1 In Beispiel 4 besteht X 1 aus den möglichen Paarungen eines Informatikbuches mit einem Mathematikbuch, X 2 aus den möglichen Paarungen eines Mathematikbuches mit einem Betriebswirtschaftsbuch und X 3 aus den möglichen Paarungen eines Betriebswirtschaftsbuches mit einem Informatikbuch. Beispiel 5 Sei jxj < 1 und jy j < 1. Wie lautet die Formel für jx [ Y j, die auch im Fall X \ Y 6= ; korrekt ist? Antwort: jx [ Y j = jxj + jy j jx \ Y j.

2 Beispiel 6 Sei jx i j < 1 für i = 1; : : : ; k. Wie lautet die Formel für jx 1 [ : : : [ X k j, die auch dann korrekt ist, wenn die X i nicht disjunkt sind? Antwort: jx 1 [ : : : [ X k X X j = ( 1) i+1 jx j1 \ : : : \ X ji j: 1ik Permutationen und Kombinationen 1j 1<:::<j i k Denition 1 (Permutation) Sei jxj = n. Eine Permutation der Elemente von X ist eine Bijektion f1; : : : ; ng! X. Bemerkung 2 Jede Permutation : f1; : : : ; ng! X erzeugt genau eine Anordnung der Elemente von X, nämlich ((1); (2); : : : ; (n)). Umgekehrt identiziert jede Anordnung (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) von Elementen von X genau eine Permutation : f1; : : : ; ng! X. Satz 3 Sei jxj = n. Es gibt Permutationen der Elemente von X. Beweis mit dem Multiplikationsprinzip. Beispiel 7 Wieviele Permutationen der Menge fa; B; C; D; E; F g gibt es, bei denen die Elemente D; E; F benachbart und in unveränderter Reihenfolge erscheinen? Antwort: 4!. Beispiel 8 ([1] Example 4.2.7) Wieviele Möglichkeiten gibt es, sechs Personen an einen runden Tisch zu setzen? Sitzordnungen, die sich nur durch eine Drehung um das Zentrum unterscheiden, werden nur einmal gezählt. Antwort: 5!. Denition 2 (r-permutation) Sei jxj = n und 0 r n. Eine r-permutation der Elemente von X ist eine Bijektion zwischen f1; : : : ; rg und einer r-elementigen Teilmenge von X. Die Anzahl der r-permutationen wird mit P (n; r) bezeichnet. Satz 4 Sei jxj = n und 0 r n. Es gibt n(n 1) (n k + 1) r-permutationen der Elemente von X. Beweis mit dem Multiplikationsprinzip. Bemerkung 3 P (n; r) = =(n r)!. Denition 3 (r-kombination) Sei jxj = n und 0 r n. Eine r-kombination ist eine Teilmenge von X mit r Elementen. Die Anzahl der r-kombinationen wird mit n C(n; r) oder r bezeichnet. n r heiÿt Binomialkoezient und wird als n über r oder r aus n gesprochen. Bemerkung 4 C(n; r) = n r! = r!(n r)! P (n; r) =. r! 2

3 Beispiel 9 Wieviele Wege vom Punkt (0; 0) zum Punkt (10; 8) gibt es durch das Gitter f0; : : : ; 10g f0; : : : ; 8g, wenn man nur entweder nach rechts oder nach oben zum nächsten Gitterpunkt springen darf? Antwort: C(18; 10) = C(18; 8) = Beispiel 10 ([1], Example ) Wieviele Wege vom Punkt (0; 0) zum Punkt (n; n) gibt es durch das Gitter f0; : : : ; ng f0; : : : ; ng, wenn man nur entweder nach rechts oder nach oben zum nächsten Gitterpunkt springen darf und wenn die Gitterpunkte oberhalb der Diagonale verboten sind? Lösung: Von den insgesamt C(2n; n) möglichen (entweder nach rechts oder nach oben verlaufenden) Wegen sind (wegen der Diagonalen-Nebenbedingung ) E n erlaubt und V n verboten: C(2n; n) = E n + V n : Wir zählen die verbotenen Wege indem wir sie bijektiv auf die Menge der Wege von (0; 0) nach (n 1; n + 1) abbilden. 1. Jeder verbotene Weg erreicht einen ersten verbotenen Punkt (k; k + 1). Ersetzt man ab (k; k + 1) den Rest des Weges durch dessen Spiegelung an der Linie, die von (0; 1) nach (n; n + 1) geht, so endet der abgeänderte Weg in (n 1; n + 1) (beginnt aber nach wie vor in (0; 0)). Diese Zuordnung verbotener Wege zu Wegen von (0; 0) nach (n 1; n + 1) ist injektiv. 2. Zu jedem Weg von (0; 0) nach (n 1; n + 1) gibt es einen verbotenen Weg von (0; 0) nach (n; n), aus dem er durch eine Spiegelung wie in Punkt 1 hervorgeht. Damit ist die Zuordnung verbotener Wege zu Wegen von (0; 0) nach (n 1; n+1) auch surjektiv. Es ist also E n = C(2n; n) V n = C(2n; n) C(2n; n 1): Bemerkung 5 Es ist C(2n; n) C(2n; n 1) = (2n)! (2n)! (n 1)!(n + 1)! (2n)!(1 n=(n + 1)) = = C(2n; n)=(n + 1): Die Zahlen C n = C(2n; n)=(n + 1) heiÿen Catalan-Zahlen. Verallgemeinerte Permutationen und Kombinationen Beispiel 11 Wieviele verschiedene Wörter erhält man durch Vertauschung der Buchstaben des folgenden Wortes? M I S S I S S I P P I 3

4 Antwort: Jedenfalls nicht 11!. Vielmehr 11!=(4!4!2!1!) = Man kann es so sehen: Wir haben 4 I's, 1 M, 2 P's, 4 S's und 11 Plätze. Wir haben C(11; 4) Möglichkeiten, die I's zu platzieren. Dann haben wir C(7; 1) Möglichkeiten, das M zu platzieren. Es bleiben C(6; 2) Möglichkeiten, die P's zu platzieren. Schlieÿlich bleiben C(4; 4) Möglichkeiten, die S's zu platzieren. Nach dem Multiplikationssatz ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten Satz 5 Es gibt n 1!:::nk! C(11; 4)C(7; 1)C(6; 2)C(4; 4) = 11! 4!7! 7! 1!6! 6! 2!4! 4! 4!0! = 11! 1. x : f1; : : : ; ng! Y = fy 1 ; : : : ; y k g. 2. x 1 (y i ) \ x 1 (y j ) = ; für i 6= j, 3. jx 1 (y i )j = n i > 0 für i = 1; : : : ; k, 4. n = n 1 + : : : + n k. Abbildungen x mit folgenden Eigenschaften: 4!1!2!4! Salopp ausgedrückt: Ist S = (x 1 ; : : : ; x n ) eine Anordnung (endliche Folge) von Werten, wobei n 1 Werte vom Typ 1, n 2 Werte vom Typ 2 usw. sind, so gibt es n 1!:::nk! unterschiedliche Anordnungen der Werte von S. Beispiel 12 In einer Urne sind mindestens sechs weiÿe, sechs rote und sechs schwarze Kugeln. Es werden sechs Kugeln gezogen. Wieviele verschiedene Resultatmengen sind möglich? Auf die Reihenfolge von Elementen kommt es hier nicht a Denkmodell und Lösung: Es gibt acht Positionen; platziere zwei Einsen auf Position 1 bis 8 und setze Nullen an den übrigen Positionen (Einsen stellen Trennwände dar; die Nullen zwischen zwei Trennwänden sind jeweils von einer Farbe). Hierfür gibt es C(8; 2) = 28 Möglichkeiten. Satz 6 Sei jxj = n und k 1. Sei M = ff j f : f1; : : : ; kg! Xg und W = ff (f1; : : : ; kg) j f 2 Mg. Dann gilt: jw j = C(k + n 1; n 1) = C(k + n 1; k). Salopp: Hat man ein Alphabet der Länge n und bildet man damit Wörter der Länge k, wobei die verwendeten Buchstaben in sortierter Reihenfolge erscheinen, bekommt man C(k + n 1; n 1) = C(k + n 1; k) verschiedene Wörter. Taubenschlagprinzip Satz 7 (Taubenschlagprinzip) Wenn sich n Tauben in k < n Taubenschlägen niederlassen, gibt es mindestens einen Taubenschlag, in dem sich mindestens zwei Tauben niedergelassen haben. Vornehmer formuliert: Ist jy j < jxj < 1 und f : X! Y, dann gibt es x 1 ; x 2 2 X; x 1 6= x 2 mit f (x 1 ) = f (x 2 ). 4

5 Beispiel 13 Von einem Schachbrett entfernt man das linke obere Feld (a8) und das rechte untere Feld (h1) und versucht, die verbleibenden Felder mit Dominosteinen zu pastern (ein Dominostein für zwei Felder). Geht das? Antwort: Nein. Y seien die weiÿen Felder, X die schwarzen. jy j = 30, jxj = 32. Jeder Dominostein ordnet ein weiÿes Feld eindeutig einem schwarzen Feld zu und umgekehrt. Eine gelungene Pasterung würde eine bijektive Abbildung f : X! Y denieren. Eine solche kann es wegen des Taubenschlagprinzips nicht geben. Beispiel 14 Seien 1 x 1 < x 2 < : : : < x Gibt es x i ; x j mit jx i x j j = 9? Antwort: Ja. Sei X = fx 1 ; : : : ; x 55 g [ fx 1 + 9; : : : ; x g. Wegen X f1; : : : ; 109g muss jxj 109 sein. Also ist fx 1 ; : : : ; x 55 g \ fx 1 + 9; : : : ; x g 6= ;. Tauben: f(1; x 1 ); : : : ; (1; x 55 ); (2; x 1 + 9); : : : ; (2; x )g, Taubenschlag: f1; : : : ; 109g, f ((i; x k )) = x k. Beispiel 15 Seien 1 x 1 < x 2 < : : : < x Gibt es x i ; x j mit jx i x j j = 10? Antwort: Ja. Sei X = f(1; x 1 ); : : : ; (1; x 55 ); (2; x ); : : : ; (2; x )g und f : X! f1; : : : ; 110g wie in Beispiel 14. Es ist f (X) f1; : : : ; 110g. Wenn f injektiv ist, ist X = f1; : : : ; 110g und irgendwo x i x j = 10. Wenn f nicht injektiv ist, ist auch irgendwo x i x j = 10. Kombinatorikformeln Satz 8 (Binomialsatz) (a + b) n = X 0kn! n a n k b k : k Satz 9 (Pascalsches Dreieck) C(n + 1; k) = C(n; k 1) + C(n; k): Literatur [1] R. Johnsonbaugh. Discrete Mathematics. Prentice-Hall, fth edition,

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