Noch einmal: Warum dreht sich das FOUCAULTsche Pendel? Carsten Müller, Lutz Schön Universität Gesamthochschule Kassel

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1 Noch einmal: Warum dreht sich das FOUCAULTsche Pendel? Carsten Müller, Lutz Schön Universität Gesamthochschule Kassel Bereits vor einem Jahr haben wir an gleicher Stelle den Versuch unternommen, die im Titel des Beitrages gestellte Frage zu beantworten [1]. Damals legten wir den Schwerpunkt mehr auf den technischen Aspekt dieser Frage: Da der Schulversuch zum Foucault-Pendel häufig misslingt, weil sich die Pendelebene entweder zu schnell, zu langsam, gar nicht oder sogar falsch herum dreht, stellt sich die Frage nach der Ursache dieser falschen Drehung. Die Antwort findet man bei genauer Betrachtung der Schwingung. Sehr bald nach dem Start des Pendels ist nämlich die Projektion der Schwingung auf die horizontale Ebene keine Gerade mehr, sondern eine schmale Ellipse, genauer eine Schleifenbahn. Solche Ellipsen präzidieren in Richtung ihres Umlaufsinnes. Der Drehung aufgrund der Erdrotation überlagert sich also eine Drehung der Pendelebene (d. h. der Hauptachse der Ellipse) aufgrund der Störung Schwingung. Abhilfe schafft der sog. CHARRON-Ring, ein koaxial unterhalb der Aufhängung angeordneter Ring, an den der Aufhängedraht während der Pendelbewegung anschlägt. Aufgabe und Wirkung des CHARRON-Ringes haben wir im vergangenen Jahr diskutiert [1]. Im Rahmen seiner Examensarbeit hat Carsten Müller den CHARRON-Ring inzwischen genauer untersucht [2]. Obwohl diese Arbeit neue Erkenntnisse insbesondere für kurze Foucault- Pendel gebracht hat, wird in dem vorliegenden Beitrag nicht noch einmal die technische Antwort auf die Titelfrage behandelt, sonder soll die didaktische Antwort zur Diskussion gestellt werden. Wie kann man die Drehung verständlich machen? Der physikalische Formalismus Das Foucault-Pendel wird in Lehrbüchern der Theoretischen Physik gern als Beispiel für Bewegungen im rotierenden Bezugssystem behandelt [3], indem die Bewegungsgleichung im Ruhsystem transformiert wird in ein rotierendes Bezugssystem mit Hilfe des Operators (d_/dt) Raum = (d_/dt) Körper + ωx_, wobei ω die Winkelgeschwindigkeit bezüglich des Inertialsystems ist. Angewendet auf den Ortsvektor r des bewegten Körpers und dann auf seine Geschwindigkeit bezüglich des Inertialsystems führt dieser Formalismus zur effektiven Kraft, die ein Beobachter im sich drehenden System beobachtet. F eff = F 2m(ω x ν r ) mω x (ω x r).

2 Der letzte Term dieser Kraft ist die Zentrifugalkraft, die auch auf im Drehsystem ruhende Körper wirkt und in Richtung des Ortsvektors nach außen zeigt. Der mittlere Term tritt bei mit ν r bewegten Körpern auf, also auch bei unserem Foucault-Pendel. Sie steht senkrecht auf der Bewegungsrichtung und hängt von der Winkelgeschwindigkeit, hier also von der Rotation der Erde ab. Wird beim Foucault-Pendel also eine Bewegung der Schwingungsebene beobachtet, ist dieses ein Nachweis dafür, dass sich das Beobachtungssystem, also die Erde dreht. Es ist unmittelbar einsichtig, dass diese Art der Erklärung nur für jene befriedigend ist, die den benutzten Formalismus bereits verstanden und auch für einfachere Fälle angewendet haben. Schüler würden durch Formalismen dieser Art nicht zu einem Verständnis geführt werden können. Die qualitative Berücksichtigung des Bezugsystems In der Schule wird eine ganz andere Art des Verständnisses angestrebt: Wenn es uns gelingt, die unbekannten Phänomene mit bereits bekannten oder zumindest als selbstverständlich anerkannten Tatsachen zu verknüpfen und jene aus diesen abzuleiten, dann ist der wichtigste Schritt zum Verstehen getan. Die mathematische Formulierung ist dann eine Ergänzung, die (leider) nur wenige Schüler als Krönung empfinden und von den meisten bekanntlich nach kurzer Zeit wieder vergessen wird. Wenn man den Aufhängepunkt eines Fadenpendels vorsichtig um die Ruhelage als Achse dreht, dann dreht sich zwar die Pendelkugel mit, die Pendelrichtung bleibt jedoch unverändert. Die Lage der Schwingungsebene bleibt in Ruhe, sie kann als träge bezeichnet werden. Dieses Phänomen ist überraschend, aber unmittelbar erlebbar. Es wird deshalb hier nicht weiter hinterfragt. Ist mit dieser Beobachtung bereits die Drehung des Foucault-Pendels erklärt? Wir beobachten eine Drehung im Uhrzeigersinn, also muss sich der Aufhängepunkt und mit ihm das Gebäude, also auch die ganze Erde gegen den Uhrzeigersinn drehen. Weil sich die Erde in 24 Stunden einmal gedreht hat, müsste also auch das Pendel nach 24 Stunden wieder in der anfänglichen Richtung schwingen. Messungen zeigen jedoch, dass sich die Pendelebene in unseren Breiten deutlich langsamer dreht, statt 15 /h nur etwa 12 /h. Zum Äquator hin dreht sie sich noch langsamer und direkt am Äquator gar nicht mehr. Für den Nordpol aber gilt unsere einfache Überlegung. Wenn man einen rotierenden Globus betrachtet, ist es zunächst gar nicht einsichtig, dass sich die Erde überhaupt um beispielsweise Kassel drehen soll, wie es das dort aufgehängte Foucault-Pendel zeigt. Der Blick auf den Globus zeigt aber auch, dass ein Beobachter nördlich von Kassel auf einem kleineren Kreis in 24 h umläuft als ein Beobachter südlich von Kassel, die im Norden liegenden Punkte also langsamer als die im Süden von Kassel sind (Abb. 1). Die Bahngeschwindigkeit von Kassel liegt zwischen diesen Werten. Der Beobachter in Kassel spürt seine

3 Bahngeschwindigkeit nicht; relativ zu ihm bleiben die Punkte im Norden zurück, im Süden laufen sie voran: Die Erde scheint sich um den Beobachter in Kassel zu drehen. Wenn man diese Drehung mit realistischen Werten bestimmt, ergibt sich recht genau die am Foucault- Pendel beobachtete Drehung. Für die Punkte auf dem Meridian durch Kassel ist die Argumentation und Berechnung leicht einzusehen, für Orte westlich bzw. östlich ist die Rechnung komplizierter, mit Kenntnissen der Kugelgeometrie aber nachvollziehbar; wir verzichten hier aber auf die Ableitung. Für Orte näher am Äquator ist die Differenz der Bahngeschwindigkeiten geringer und deshalb die Drehung langsamer. Und auch die fehlende Drehung am Äquator ergibt sich aus dieser Betrachtung: Gleichweit entfernte Punkte nördlich und südlich vom Äquator haben genau die gleiche Bahngeschwindigkeit, die Differenzbildung führt nicht zu einer Drehung.

4 Abb. 1: Blick auf Kassel : Projektion der Breitenkreise nördlich und südlich von Kassel auf die Äquatorebene Die vorgestellte Argumentation läuft auf die Feststellung hinaus, dass sich die Erde auch um Kassel, ja um jeden Beobachter, jeden Punkt auf der Erde dreht; je weiter dieser vom Pol entfernt ist, desto langsamer. Wäre die Erde eine rotierende Scheibe, führte unsere Argumentation für jeden Ort auf dieser Scheibe zur selben Rotation wie am Ort der Achse. Die Beobachtung unterschiedlicher Drehungen des Foucault-Pendels an unterschiedlichen Orten auf der Erde erlaubt also den Schluss: Die Erde ist eine rotierende Kugel.

5 Die Reise des Pendels um die Erde Es soll hier noch eine zweite Erklärung zur Diskussion gestellt werden, die auf die Hypothese einer Rotation der Erde um die Achse durch den Pol verzichtet und eine Abb. 2: Bei Richtungsänderungen behält das Pendel seine Schwingungsrichtung bei. Bei einer geschlossenen Kreisbahn auf der Ebene schwingt es wieder in der anfänglichen Richtung. mathematische Beziehung für die Drehung liefert. Ausgangspunkt der Argumentation ist wieder eine sehr einfache und unmittelbar erlebbare Beobachtung: Ein etwa 1m langes, schwingendes Fadenpendel wird an seinem Aufhängepunkt in der Hand gehalten. Wenn man mit diesem Pendel langsam und vorsichtig im Raum herumgeht, kann man beobachten, dass sich seine Schwingungsebene bezüglich des Raumes nicht ändert. Für den Träger des Pendels behält es jedoch nur solange seine Richtung bei, wie er einen geraden Weg geht (Bild 2). Jede Richtungsänderung kann er am Pendel feststellen, dessen Schwingungsebene sich bezüglich seines Bezugssystems verändert. Bei einem kreisförmigen Weg ändert sich dauernd die Richtung (Bild 3). Wenn der Kreis jedoch auf kurzen Sehnen durchschritten wird, dann ändert sich die Pendelrichtung nur an den Endpunkten der Sehne, weil nur dort eine Richtungsänderung erfolgt. Der Winkel dγ der Änderung ist gleich dem Winkel dϑ der Sehne, also die gesamte Winkeländerung nach Durchlaufen des ganzen Kreises gerade 2π.

6 Abb. 3: Fahrt mit dem Pendel auf dem zugehörigen Breitenkreis rund um die Erde. Die Fahrt erfolgt stückweise auf Großkreisabschnitten. Nun stelle man sich das Pendel an einem Fahrzeug befestigt vor, das über die ruhende Erdkugel reist (Abb. 3). So lange es geradeaus führt, bleibt die Pendelrichtung im Fahrzeug-System erhalten. Was aber bedeutet auf der Kugel geradeaus? Wenn Geradeaus die kürzeste Verbindung meint, dann kann auf dem Globus mit einem gespannten Faden die kürzeste Verbindung von z. B. Seattle nach Kassel hergestellt werden. Diese Verbindung verläuft nicht auf dem Breitenkreis, sondern oberhalb und ist ein Ausschnitt eines Großkreises. Der Breitenkreis ist dem Kreis in der Ebene vergleichbar, der dort stückweise auf Sehen, hier auf Großkreisabschnitten ( Kugelsehnen ) umfahren werden kann (Bild 4). Die Winkeländerung dγ am Ende jeder Sehne (jeweils Punkt Biophysik) ist jetzt nicht gleich dem Kugelsehnenwinkel dϑ, sondern ist wie die trigonometrische Betrachtung zeigt vermindert um den Sinus des Breitengrades φ dγ = dϑ sinφ. Die Integration über den Weg auf einem Breitenkreis rund um den Globus zurück zum Ausgangspunkt liefert dann die bekannte Beziehung für die Drehung des Foucault-Pendels γ = 2π sinφ bzw. ω φ = ω 0 sinφ. Wenn die Gedanken-Reise über die ruhende Erde das gleiche Ergebnis liefert wie die Messungen an realen Pendeln, die an verschiedenen Orten

7 der Erde untersucht werden, dann ist der Umkehrschluss zulässig: Die ortsfesten Pendel befinden sich auf einer rotierenden Kugel. Schlussbemerkung Die Frage Warum dreht sich das Foucault-Pendel? wird hier anders, als in vielen Lehrbüchern üblich, beantwortet: Häufig wird dort fälschlicherweise behauptet, das Pendel bleibe in Ruhe gegenüber dem Fixsternhimmel oder einem anderen Bezugssystem. Wir stützen uns bei der Argumentation lediglich auf die im Laborsystem sichtbare Beobachtung, dass die Pendelebene träge ist, nämlich bei Bewegung in der momentanen Horizontebene Richtungsänderungen nicht mitmacht. Damit sind zwei Erklärungen des Foucaultpendels mit unterschiedlichem Abstraktionsanspruch möglich, wobei die eine bereits auf dem Niveau der Mittelstufe eine befriedigende Lösung bietet und die andere in der Oberstufe bis zur mathematischen Beschreibung geführt werden kann, sofern die Grundlagen der Kugelgeometrie behandelt wurden. Literatur 1. SCHÖN, Lutz: Warum dreht sich das FOUCAULTsche Pendel?, In: Vorträge der Frühjahrstagung der DPG 1993, FA Didaktik, Bad Honnef 1993, S. 275, MÜLLER, Carsten: Untersuchung von Störungen an kurzen Foucault-Pendeln, Wiss. Hausarbeit f. d. Lehramt an Gymnasien, Kassel April 1994 (unveröff.) 3. GOLDSTEIN, Herbert: Klassische Mechanik, (Akad. Verlagsgesellschaft) Wiesbaden 1981 (6. Aufl.)

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