Zusammenfassung und Wiederholung zu Geraden im IR ²

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1 Seite 1 von 5 Definition einer Geraden Wir zeichnen mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der linearen Funktion f mit f 0,5 1. Fülle hierzu die Wertetabelle fertig aus: f f4 0, ,5... Zeichne die Punkte nur die Punkte, keine Linie durchziehen! in das Koordinatensstem: Wenn Du es richtig machst, dann scheinen die Punkte alle auf einer geraden Linie zu liegen. Das lässt sich ausprobieren, indem wir verfeinern: 1,1 1, 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,5 3,5 4,5 f Zeichne die Punkte oben dazu, und auch weitere, bis die Punkte dicht an dicht liegen. Der Graph einer linearen Funktion ergibt eine gerade Linie im Koordinatensstem, eine Gerade. Diese Gerade besteht letztlich aus unendlich vielen einzelnen Punkten, die alle dem Muster f gehorchen. Letzteres gilt übrigens für alle Funktionsgraphen. Aufgabe 1. Zeichne auf einem Blatt Papier die Graphen folgender Funktionen mit Wertetabelle. a) f 1 b) f 3

2 Seite von 5 Praktische Abkürzungen zum Zeichnen einer Geraden 1. Lauter einzelne Punkte zu zeichnen ist mühselig, deshalb zeichnet man in der Regel eine Gerade mit dem Lineal und einem durchgezogenen Strich. Das ändert aber nichts daran, dass man lauter Punkte vor sich hat, die alle zusammen lediglich wie ein Strich aussehen!. Um das Lineal richtig hinzulegen genügen zwei (!) Punkte der Geraden es ist nicht nötig, eine komplette Wertetabelle zu berechnen. Aufgabe. Zeichne ein Koordinatensstem (beide Achsen von 4 bis 4). Berechne die beiden Punkte, zeichne sie ein und zeichne dann die Gerade durch die beiden Punkte. Überprüfe mit selbst gewählten weiteren Punkten, ob diese auf der gezeichneten Geraden liegen. a) f ; A... ; B1... ; P ; P b) f 0, 5; A 1... ; B... ; P ; P Schaue Dir noch einmal die erste Wertetabelle auf Seite 1 an. Wie kommt man von einer Spalte der Tabelle in die nächste? Es gilt: Wenn um 1 größer wird, dann ändert sich Steigung der Geraden: es ist die Zahl, die als Faktor bei steht. m b. f f um eine feste Zahl m. m heißt Überzeuge Dich in der Zeichnung von Seite 1 und bei Aufgabe davon: Wenn man von der Geraden aus 1 nach rechts geht, dann geht die Gerade dabei um m nach oben oder unten. +1 +m 4. Ein Wert der Wertetabelle lässt sich immer besonders einfach berechnen, weil man nichts berechnen muss: m b, weil der Rest wegfällt. f 0. Das ist das b in f Da außerdem die -Achse bei 0 verläuft, ist schneidet. b heißt deshalb auch -Achsenabschnitt. Aufgabe 3. Gib Steigung m und -Achsenabschnitt b an: a) f 1, m..., b... b) f 0,5 c) f d) f 1, m..., b... f 0 die Stelle, wo die Gerade die -Achse, m..., b... (Tipp: Wie viele stehen im Term? Ernst gemeint!) 3, m..., b... (Tipp: b? Berechne doch mal f 0!)

3 Seite 3 von 5 5. Damit lässt sich nun eine Gerade sehr schnell zeichnen: Beispiel 1. Wir zeichnen den Graphen zu f 0, Markiere den -Achsenabschnitt 1 auf der -Achse Zeichne das Steigungsdreieck dazu: 1 nach rechts, 0,5 nach oben ( minus würde heißen: nach unten ) Ziehe mit dem Lineal die Gerade durch. 1 - Aufgabe 4. Zeichne die Geraden zu Aufgabe 3 in das Koordinatensstem.

4 Seite 4 von 5 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Daten Gerade durch zwei Punkte Wenn zwei Punkte gegeben sind, dann stellt man zuerst das Steigungsdreieck auf, um m zu bekommen. Damit und mit einem der Punkte geht man in die Funktionsgleichung, um b zu bestimmen. Beispiel. P1 1 und P 3 8 sind gegeben, f m b ist gesucht. 1. m berechnen: senkrechter Unterschied: 8 6 waagrechter Unterschied: 31 Steigung 6 m 3. mit m und P1 f b berechnen: 1 f m b P und m einsetzen 3 1b nach b auflösen b 1 3. Probe durchführen (wichtig!) f stimmt f stimmt auch. insgesamt: f 3 1. P1 1 P Aufgabe 5. Finde die Funktionsgleichung für die Gerade durch die beiden Punkte. a) P1 13, P 35 b) P1 0, P 38 f 1; f ; f ; f 0,75 3; c) P1 1, P 1 d) P1 46, P 40 f 0, 5 0 eines ist zu viel! Gerade durch Punkt P mit Steigung m Wenn man m schon hat, dann kann man in Beispiel direkt in Schritt einsteigen und muss am Ende auch nur mit dem einzigen Punkt die Probe durchführen. Aufgabe 6. Finde die Funktionsgleichung für die Gerade mit Steigung m durch den Punkt P. a) m, P 13 b) m 1, P 31 f ; f 1; f 1; f zwei sind zu viel!

5 Seite 5 von 5 Tangente an den Graphen einer Funktion Auf dieser Seite gilt: f bzw. f bezeichnet eine Funktion, an deren Graph eine Tangente angelegt wird. t bzw. t bezeichnet die zu bestimmende Tangente. 1 3 Beispiel 3. Gesucht ist die Tangente an den Graph von f mit f bei Berechne den Punkt, an dem die Tangente angelegt wird. 3 ist P 30. gegeben, f 3 0, also. Berechne die Steigung m, die die Tangente haben muss. Da es die Tangente ist, erhält man die Steigung über die Ableitung f im Punkt P: 1 f 3 1, Steigung m f f() t() 3. Berechne aus m und P die Funktionsgleichung der Tangente (siehe Gerade durch Punkt P mit Steigung m ): t 6. f 1. 1 Aufgabe 7. Gegeben ist die Funktion f mit a) Berechne die Tangenten an den Graphen. Fülle dazu die folgende Tabelle fertig aus P ,5 m 3 t 3 0,5 t 3,5 ; t 0,5; t 3 1,5 ; t 7 ; t 1 ; t 1 eins ist zuviel! b) Zeichne ein Koordinatensstem. Markiere die Punkte, zeichne die Tangenten dazu. Wie verläuft der Graph von f? und die berüchtigte Wendetangente? ist einfach die Tangente im Wendepunkt. Also: Wendepunkt mit der zweiten Ableitung finden und weiter wie oben Aufgabe 8. Bestimme die Wendetangente im Beispiel 3. Es kommt etwas ganz einfaches heraus!

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