Arbeitsblatt Mengenlehre

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Arbeitsblatt Mengenlehre Dozent: Roger Burkhardt Klasse: BWZ 2013/2014 Büro: 5.1C05 Semester: - Modul: Mathematik Datum: 2013 / Aufgabe Liegen Aussagen vor? (a) Ist 9 eine Primzahl? (b) Das, was ich jetzt sage, ist falsch. (c) Hat der Niesen einen Hut, so wird das Wetter gut. 2. Aufgabe Stellen Sie die Wahrheitstabellen auf: (a) A B (b) A B (c) B A (d) A Ā 3. Aufgabe (a) Negieren Sie die Aussage A = Sophia ist Griechin, 30 jährig und hat blondes Haar. (b) Welchen Wahrheitswert hat die Aussage A A. (c) Führen Sie einen Widerspruchsbeweis für: n natürliche Zahl n3 +2 n 5 +n > 1 n 2 4. Aufgabe A = {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20} B = {1, 2, 4, 5, 10, 20} C = {x Z : x 50 2 x} D = {x N : x MOD 6 = 5 x 30} (a) Bestimmen Sie für die Mengen A und B eine Darstellung mit definierenden Eigenschaften und für die Mengen C und D eine Darstellung durch das Aufzählen der Elemente. i A ((B D) \ (C B)) =? P (D\A) =?

2 5. Aufgabe A = {1, 5, 25} B = {3, 5, 7, 9, 11} C = { x Z : x 2 < 20 } D = {x N : x x} (a) Bestimmen Sie für die Mengen A und B eine Darstellung mit definierenden Eigenschaften und für die Mengen C und D eine Darstellung durch das Aufzählen der Elemente. i ii A (B (C D)) =? P (A D) =? card (P(B C)) =? 6. Aufgabe (a) Geben Sie die folgenden Mengen durch Aufzählung ihrer Elemente an: i A = { x N : x N x < 100 } B = {x N : x%4 = 2 x > 10 x < 30} (b) Geben Sie die folgenden Mengen durch Beschreibung der Eigenschaften an: i C = {12, 21, 30, 39, 48,..., 102, 111} D = {5, 25, 125, 625,...} 7. Aufgabe Gegeben seien die Mengen A = {1, {2}, {1, 2}, 3} B = {{}, {1}, 2, 3} C = {1, 2, 3} D = {{1, 2}, 3, 4, 5} Seite 2 / 7

3 Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung! (a) (b) (c) (d) C B A = 4 A B = C D P (C D) = Aufgabe Gegeben seien die Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, 4, 5, 6} C = {} D = {{}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung! (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) A D D = 7 A D = A A = B A B {} D {} D A D Seite 3 / 7

4 9. Aufgabe A = {3, 7, 11, 15, 19,..., 59} B = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} C = {x N 10 < 2 x 200} D = {x N x 40 x MOD 3 = 1} (a) Beschreiben Sie die Mengen A und B durch definierende Eigenschaften. (b) Geben Sie die Mengen C und D durch Aufzählung ihrer Elemente an. 10. Aufgabe Gegeben seien die folgenden Mengen: E = {{}, 0, {0}} F = {0, 1, {0, 1}} G = {{0}, {0, 1}} H = {{}} (a) Bestimmen Sie die Mächtigkeiten der Mengen E, F, G und H. (b) Bestimmen Sie die folgenden Mengen: 11. Aufgabe Gegeben seien die Mengen: E F =? E (F G) =? (H E) \ (G\F ) =? P (G) =? A = {1, {3, 5}} B = {2, 3} C = {{}, 2, 4} (a) Bestimmen Sie zu diesen Mengen jeweils die Potenzmengen. (b) Bestimmen Sie die Mächtigkeiten der folgenden Mengen. 12. Aufgabe P (B C) P (A B C) P (C\ (A\B)) A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} B = {x N : x MOD 4 = 3 x 40} C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20} D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} Seite 4 / 7

5 (a) Bestimmen Sie für die Menge A eine Darstellung mit definierenden Eigenschaften und für die Menge B eine Darstellung durch das Aufzählen der Elemente. i A ((A D) \ (C A)) =? P (C D) =? 13. Aufgabe Es sei V n die Menge aller natürlicher Vielfachen der natürlichen Zahl n. (a) Geben Sie die Mengen V 4, V 5, V 8 und V 20 durch Aufzählung ihrer Elemente an. (b) Bestimmen Sie die Teilmengenbeziehungen der obigen Mengen. Skizzieren Sie zudem ein ausagekräftiges Venn-Diagramm dieser Mengen. (c) Bestimmen Sie die folgenden Mengen und beschreibe sie sowohl durch Angabe der Elemente als auch durch eine definierende Eigenschaft. i V 4 V 5 =? V 4 V 8 =? 14. Aufgabe Es sei T n die Menge aller natürlichen Teiler der natürlichen Zahl n. (a) Geben Sie die Mengen T 20, T 50, T 100 und T 200 durch Aufzählung ihrer Elemente an. (b) Bestimmen Sie die Teilmengenbeziehungen der obigen Mengen. Skizzieren Sie zudem ein ausagekräftiges Venn-Diagramm dieser Mengen. (c) Bestimmen Sie die folgenden Mengen und beschreiben Sie sie sowohl durch Angabe der Elemente als auch durch eine definierende Eigenschaft. i T 20 T 50 =? T 200 \ (T 20 T 50 ) =? 15. Aufgabe Gegeben seien die Mengen: A = {{}} B = {1, 2} C = {{}, 1, {1, 2}} (a) Bestimmen Sie zu diesen Mengen jeweils die Potenzmenge. Seite 5 / 7

6 (b) Bestimmen Sie die Mächtigkeiten der folgenden Mengen. P (A B) P (A B) P (C\ (A\B)) 16. Aufgabe In einer Schule mit 100 Schülern ( S = 100) werden die drei Wahlfächer A, B und C angeboten. Das Wahlfach A belegen 50, das Wahlfach B 30 und das Wahlfach C 60 Schüler. Für die beiden Wahlfächer A und B haben sich 10 Schüler angemeldet. Für die beiden Wahlfächer A und C haben sich 20 Schüler angemeldet. Nur das Wahlfach C besuchen 20 Schüler. Wie viele Schüler besuchen kein Wahlfach? Wie viele Schüler besuchen maximal alle drei Wahlfächer? Wie viele Schüler besuchen minimal nur das Wahlfach A? 17. Aufgabe In einem Tanzverein mit 50 Mitgliedern werden die drei Disziplinen Klassisch, Latin und Rock n Roll angeboten. Die Disziplinen Klassisch und Rock n Roll betreiben jeweils 22 Mitglieder. Nur die Latin Disziplin betreiben Mitglieder betreiben Rock n Roll und/oder Latin. Alle drei Disziplinen betreibt ein Mitglied. Genau in zwei Disziplinen aktiv sind 26 Mitglieder. Bestimmen Sie die Anzahl Mitglieder welche genau eine Disziplin betreiben, wenn jedes Mitglied mindestens eine Disziplin betreibt. 18. Aufgabe In einer Klasse mit 16 Schülern werden die drei Wahlpflichtfächer Geschichte Literatur und Theater angeboten. In jedem Fach hat es 10 Plätze, die alle belegt werden. Nur Geschichte hat ein Schüler gewählt, nur Literatur zwei Schüler und nur Theater haben drei Schüler belegt. Wie viele Schüler belegen alle drei Fächer? 19. Aufgabe Bei einer Konsumentenbefragung werden 100 Personen nach der Benutzung der beiden Produkte a und b befragt. Es sei A die Menge der befragten Personen, die das Produkt a und B die Menge der Personen, die das Produkt b benützen (weiter sei X die Menge der befragten Personen). Es gelte: A B = 80 A B = 20 A\B = 10 (a) Skizzieren Sie ein Venn-Diagramm mit den Mächtigkeiten. Bestimmen Sie insbesondere die Anzahl der befragten Personen, die das Produkt b benützen. Seite 6 / 7

7 P (A) =? P (B\A) =? ( ) P A B =? 20. Aufgabe In einer Schule mit 100 Schülern ( S = 100) werden die drei Wahlfächer A, B und C angeboten. Das Wahlfach A belegen 50, das Wahlfach B 30 und das Wahlfach C 60 Schüler. Für die beiden Wahlfächer A und B haben sich 10 Schüler angemeldet. Für die beiden Wahlfächer A und C haben sich 20 Schüler angemeldet. Nur das Wahlfach C besuchen 20 Schüler. Alle drei Wahlfächer besucht ein Schüler. Wie viele Schüler besuchen kein Wahlfach? Wie viele Schüler besuchen nur das Wahlfach A? Wie viele Schüler besuchen genau zwei Wahlfächer? Seite 7 / 7