Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

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1 Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für lle Wertepre denselben Wert; Zusmmenhng der beiden Größen: y = q ; Ds Digrmm zu den beiden Größen ist eine Ursprungsgerde; : Volumen in l y: Preis in 2,70 6,75 10,80 Quotient q = y : 1= 2,70: 2= 6,75: 5= 10,80: 8= Der Quotient q heißt Proportionlitätsfktor.Seine nschuliche Bedeutung ist hier: Preis pro Liter Indirekte Proportionlität Zwei Größen und y heißen indirekt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der 1/k-fche Wert von y; Ds Produkt p = y ht für lle Wertepre denselben Wert; Zusmmenhng der beiden Größen: y = p ; Ds Digrmm zu den beiden Größen ist eine Hyperbel; : v in km/h y: t in h ,5 Produkt p = y 30 6 = = = ,5 = 180 Anschuliche Bedeutung von p: gefhrene Strecke Funktion Funktionsterm Grph einer Funktion Eine Zuordnung f: y, die jedem Element us der Definitions-menge D f genu ein Element us der Wertemenge W f zuordnet, heißt Funktion. Jeder Zhl wird ihre Qudrtzhl zugeordnet f: 2 Funktionsterm f() Jeder Term f() legt eine Funktion f : y = f(); D f fest und heißt Funktionsterm oder Funktionsvorschrift. Zur Vernschulichung einer Funktion zeichnet mn häufig ein -y-digrmm, den sogennnten Grphen der Funktion G f. Auf ihm liegen lle Punkte mit den Koordinten ( / y=f() ). Nullstellen einer Funktion Die -Koordinte des Schnittpunktes eines Funktionsgrphen G f mit der -Achse heißt Nullstelle der Funktion f. Rechnerisch ermittelt mn diese, indem mn die Gleichung f() = 0 nch uflöst. Der Schnittpunkt des Grphen mit der y-achse liegt bei (0 / f(0) ).

2 Linere Funktionen Jede Funktion mit der Funktionsvorschrift f() = m + t heißt linere Funktion. Der zugehörige Grph G f ist eine Gerde, m ist die Steigung des Grphen und t ist die y-koordinte des Schnittpunktes mit der y-achse, der sogennnte y-abschnitt. y = 0,5 1 P(0/ 1) ist der Schnittpunkt mit der y-achse Steigungsdreieck Für ds schnelle Zeichnen der Grphen von lineren Funktionen oder für ds Ablesen der Steigung m us dem Grphen einer lineren Funktion ist ds Steigungsdreieck nützlich, denn es gilt: m = Δy Δ = 1 2 = 0,5 2 1 Lineres Gleichungssystem Einsetzungsverfhren Additionsverfhren Vernschulichung LGS Betrchtet mn zwei linere Gleichungen 2 y = 5 und 3y = 15 und sucht nch Wertepren (/y), die beide Gleichungen gleichzeitig lösen, so spricht mn von einem lineren Gleichungssystem (LGS). Für ds Lösen von solchen LGS gibt es zwei beknnte Lösungsmethoden : (I) 2 y = 5 y = 2 5 (II) 3y + = 6 Eine der beiden Gleichungen wird nch einer Vriblen ufgelöst; dnn ersetzt mn diese durch den erhltenen Term in der nderen Gleichung: 3( 2 5) + = 6 Die Gleichung ht dnn nur noch eine Vrible (hier: ), nch der nun ufgelöst wird: = 3 Der ermittelte -Wert wird in Gleichung (I) oder (II) eingesetzt, um den y-wert zu erhlten: y = 1 (I) 2 y = 5 (I) 2 y = 5 (II) 3y + = 6 2 (II) 2 + 6y = 12 Die Gleichungen werden so multipliziert, dss die Zhl vor einer der beiden Vriblen dem Betrg nch gleich ist Die beiden Gleichungen werden dnn ddiert bzw. subtrhiert: 7y = 7 Die Gleichung ht dnn nur noch eine Vrible (hier: y), nch der nun ufgelöst wird: y = 1 Der ermittelte y-wert wird in Gleichung (I) oder (II) eingesetzt, um den -Wert zu erhlten: = 3 Interpretiert mn die beiden Gleichungen ls linere Funktionen, so entspricht die rechnerisch erhltene Lösung, dem Schnittpunkt der beiden entsprechenden Gerden: S(3/1) (II) S (I)

3 Stochstik Ergebnismenge Ereignis Gegenereignis Reltive Häufigkeit Die Stochstik beschäftigt sich dmit, Eperimente, deren Ausgng nur vom Zufll bhängt, sogennnte Zufllseperimente, näher zu untersuchen. Jeder mögliche Ausgng eines Zufllseperiments heißt Ergebnis ω. Fsst mn lle möglichen Ergebnisse eines Zufllseperiments in einer Menge zusmmen, so heißt diese Ergebnismenge Ω. gewöhnlicher Spielwürfel ) einmliges Würfeln: Ω = { 1,2,3,4,5,6} b) zweimliges Würfeln: Ω = {11,12,13,14,15,16,21,22,23,., 61,62,63,64,65,66} Ω = 36 (Mächtigkeit bzw.anzhl ller Möglichkeiten) Jede Teilmenge A eines Ergebnisrumes Ω eines Zufllseperiments nennt mn Ereignis. Mn sgt: ds Ereignis tritt ein, wenn ds Ergebnis des Zufllseperiments in A enthlten ist. Beispiel zu b): Ereignis A: Augensumme gleich 8 A = { 26,62,35,53,44} Jedes Ereignis A ht uch ein Gegenereignis A. In dieser Menge sind lle die Ergebnisse us Ω enthlten, die nicht in A enthlten sind. Die bsolute Häufigkeit k eines Ereignisses gibt n, wie oft dieses Ereignis bei n-fcher Durchführung eines ZE eintritt. Die reltive Häufigkeit h(a) eines Ereignisses A gibt den Anteil k n n. h(a) = bsolute Häufigkeit k Anzhl der Versuchsdurchführungen = k n Beispiel zu b): h(a) = 5 36 = 13,9% Whrscheinlichkeit Lplce Eperimente Wird ein Zufllsgesetz sehr oft usgeführt, dnn stbilisiert sich die reltive Häufigkeit eines Ereignisses um eine bestimmte Bruchzhl. Diese Zhl bezeichnet mn ls Whrscheinlichkeit P(A) des Ereignisses A. Für sie gilt: P(A) ist immer ein Wert us dem Intervll [0;1] Zufllseperimente, bei denen lle Ergebnisse gleich whrscheinlich sind, heißen Lplce-Eperimente. Für die Whrscheinlichkeit eines Ereignisses A bei einem Lplce- Eperiment gilt: P(A) = Anzhl der günstigen Ergebnisse Anzhl der möglichen Ergebnisse = A Ω Beispiel zu ): A: gerde Augenzhl P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2

4 Bruchterme Terme, bei denen Vriblen im Nenner vorkommen, heißen Bruchterme. Ihre Definitionsmenge D f enthält diejenigen Werte nicht, für die der Nenner Null werden würde D = Q\{ 2; 2} Gebrochen-rtionle Funktionen Funktionen, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, heißen gebrochenrtionle Funktionen. Ihr Grph ist eine Hyperbel. f() = 2 D f = Q\{0} Asymptoten Rechnen mit Bruchtermen Kürzen Erweitern Addieren und Subtrhieren Multiplizieren und Dividieren Eine Gerde, n die sich der Grph einer Funktion beliebig genu nnähert, heißt Asymptote. Mn unterscheidet wgrechte und senkrechte Asymptoten. wgrechte Asymptote: senkrechte Asymptote: -Achse y-achse Gleiche Fktoren in Zähler und Nenner können gekürzt werden: 3 2 = 3 2 (2 ) = 3 2 Zähler und Nenner können mit demselben Term multipliziert werden 1 = ( 2) ( 1) ( 2) = Bruchterme müssen gemeinsmen Nenner hben; Zähler werden ddiert/subtrhiert, Nenner bleibt gleich; = = ( 2) = 3 5 = 3 5 ( ) = ( 2) = (2 4) = = ( 2) 2 3( 2) = Bruchterme werden multipliziert, indem mn die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinnder multipliziert: ( 2) 2 3 ( + 2) = (2 3) ( 2) ( + 2) = Bruchterme werden dividiert, indem mn den Dividend mit dem Kehrbruch des Divisors multipliziert: 3 6 : 2 (3 6) 3 ( 2) = = 2 2 ( 2) ( 2) = 3

5 Bruchgleichungen Definitionsmenge D f bestimmen; Bruchterme so weit wie möglich vereinfchen; mit dem Huptnenner multiplizieren bruchtermfreie Gleichung; Lösungen der Gleichung bestimmen; Lösungsmenge bestimmen und dbei uf Definitionsmenge chten; = = ( + 3) 2 ( )( 4) ( 2) D =Q \ {2;4} ( 2) ( 4) (ˆ= Huptnenner) ( )( 2) ( 4) ( 4) = + 5 ( + 3)( 4) = ( + 5)( 2) (Nenner wegkürzen) = = 3 10 = 0,5 IL = {0,5} Potenzen Für ein Produkt mit gleichen Fktoren gibt es die Potenzschreibweise... = n, n IN, Q \{0} n ml Insbesondere gilt: 0 = 1 und n = 1 n Für Potenzen mit gleicher Bsis und gnzzhligen Eponenten gilt: 3 5 = 8 ; n m = n+m und n : m = n m 4 : 2 = 2 ; 4 : 2 = 6 = 1 6 Kreis Umfng, Flächeninhlt Strhlensätze Punkte, die von einem Punkt M lle den gleichen Abstnd hben, liegen uf einer Kreislinie k. Der Punkt M heißt Mittelpunkt M des Kreises, der Abstnd der Punkte von M heißt Rdius r des Kreises. Für Umfng U K und Flächeninhlt A K des Kreises gilt: U K = 2 r π A K = r 2 π Werden zwei sich schneidende Gerden g und h von zwei zueinnder prllelen Gerden p und q geschnitten, dnn gelten der 1. und der 2. Strhlenstz: V-Figur: g X-Figur: p q h 1 Z 2 y b y 2 h q p 1 Z y b g 1 = 2 y 2 = y b = y = 1 1 = y b = y = 1

6 Ähnlichkeit Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Wird eine Figur mßstäblich vergrößert oder verkleinert, so nennt mn die Bildfigur und die Originlfigur zueinnder ähnlich. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei (und dmit utomtisch in drei) Winkeln übereinstimmen (WW-Stz) Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis sich entsprechender Seiten übereinstimmen (S:S:S-Stz)

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