Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.

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1 Rudolf Brkma Sete Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche, Juge) dargestellt, dere Mttelwert glech st. Schüler Nr Note Mädche 3, 3,5,9 3,3 3,4,5,7,8 3,,6 x 3,0 Note Juge,0,0,0,5 3,,8 3,5,0 6,0 6,0 x 3,0 4 Notevertelug Mädche 3 x 3,0 Note Schüler Nr. Notevertelug Juge Note Schüler Nr. x 3,0 Be de Mädche lege de Note alle sehr ahe am Mttelwert Se streue weg um de Mttelwert. Be de Juge sd de Abwechuge vom Mttelwert sehr groß. Se streue stark um de Mttelwert. De Statstk betet Möglchkete, de Streuug äher zu utersuche. Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: vo 0

2 Rudolf Brkma Sete De Spawete. Berechet ma de Utersched zwsche dem größte ud kleste Beobachtugswert, so erhält ma de Spawete. Se st e Maß für de Brete des Streuberechs eer Häufgketsvertelug. De Spawete Spawete größter Beobachtugswert - klester Beobachtugswert R x x max m Bespel: Schüler Nr Note Mädche 3, 3,5,9 3,3 3,4,5,7,8 3,,6 x 3,0 Note Juge, 0,0,0,5 3,,8 3,5,0 6, 0 6,0 x 3,0 Spawete Mädche: R 3,5,5 Spawete Juge: Der Quartlsabstad. R M J 6,0,0 5 Zur Ererug: Der Meda telt ee ach Größe sorterte Datesatz der Mtte. Das bedeutet, lks ud rechts vom Meda lege glech vele Beobachtugswerte. höchstes 50% aller B - Werte Meda höchstes 50% aller B - Werte lks vom Meda Meda rechts vom Meda Utertelt ma de lke ud de rechte Hälfte ach glecher Vorschrft, we ma de Meda bestmmt, so erhält ma ver glech große Bereche, de durch dre Quartle aufgetelt werde. Bespel: De Lste ethält vo 3 Schüler de Körpergröße. De Merkmalsauspräguge (Beobachtugswerte) wurde ach der Größe geordet. x x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 x x x3 KG, 60, 67, 67, 68, 68, 70, 70, 7, 73, 75, 76, 78, 84 x Beobachtugswert x ; KG Körpergröße m Meda /. Quartl: Q x,70 7. Quartl: Q ( x3 + x4) (, 67 +, 68 ), Quartl: Q3 ( x0 + x) (,75 +,76 ),755 Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: vo 0

3 Rudolf Brkma Sete x x x x3 x 4 x5 x6 x7 x8 x9 x 0 x x x3 KG, 60, 67,67,68, 68, 70,70, 7, 73,75, 76, 78, 84 5% 5% 5% 5%. Quartl. Quartl 3. Quartl Q,675 Q,70 Q 3,755 50% Quartlsabstad Defto: 5% aller geordete Beobachtugswerte sd kleer als das. Quartl 50% aller geordete Beobachtugswerte sd kleer als das. Quartl. 75% aller geordete Beobachtugswerte sd kleer als das 3. Quartl. We lecht zu erkee st, lege zwsche dem. ud 3. Quartel 50% aller Beobachtugswerte. Deser Berech wrd auch Quartlsabstad geat. Quartlsabstad Der mttlere 50% - Berech aller Beobachtugswerte heßt Quartlsabstad. Berechug: Q Q Q A 3 Wetere Auswertug des Bespels: Quartlsabstad: QA Q3 Q,755,675 0,08 50% der Date lege eem Berech der Badbrete vo 0,08 m bzw. 8 cm. Etwa 50% der Körpergröße lege zwsche,675 m ud,755 m. Verglech zwsche Quartlsabstad ud Spawete Quartlsabstad Spawete Vo Ausreßer uabhägg Vom kleste ud größte Wert Gbt de Brete des mttlere Berechs a, abhägg dem ca. 50% aller Werte lege Gbt de Gesamtbrete a dem alle Werte lege Bespel: E Ladwrt msst m Moat Aprl ewels mttags um Uhr de Außetemperatur ud trägt se ee Tabelle e. Bereche Se de Mttelwert, Spawete ud Meda. Bereche Se das. ud 3. Quartl ud de Quartlsabstad. Tag Temperatur Tag Temperatur Tag Temperatur Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: 3 vo 0

4 Rudolf Brkma Sete max Mttelwert: x x , Spawete: R x x 9 7 m Meda: xmed ( x5 + x6 ) ( 0 + 0) 0 (. Quartl). Quartl: Q x Quartl: Q x Quartlsabstad: Q Q Q A 3 De Ergebsse lasse sch eem Boxplot Dagramm darstelle: 30 Temperatur 0 C x max Q 3 x Med Q 50% 5 0 x m Temperature m Aprl Varaz ud Stadardabwechug. Wr betrachte och mal de Notevertelug vo Mädche ud Juge aus dem vorge Bespel. Schüler Nr Note Mädche 3, 3,5,9 3,3 3,4,5,7,8 3,,6 x 3,0 Note Juge,0,0,0,5 3,,8 3,5,0 6,0 6,0 x 3,0 Der Mttelwert st bede Fälle glech, de Streuug um dese st uterschedlch. Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: 4 vo 0

5 Rudolf Brkma Sete Mädche 6 Juge Note x 3,0 Mttelwert Note x 3,0 Mttelwert Spawete R 5 Spawete R Schüler Nr Schüler Nr. Abwechug De bede Dagramme veraschaulche de Abwechuge vom Mttelwert. Abwchug: x x I der beschrebede Statstk berechet ma das arthmetsche Mttel der Abwechugsquadrate ud et deses de Varaz. Varaz eer Daterehe ( x x) + ( x x ) ( x x) s ( x x) : Azahl der Beobachtugswerte, x : - ter Beobachtugswert, x : Mttelwert Für user Bespel glt: Mädche Juge x x x x x x x x x x 3, 0, 0,04,0,0 4,0 3,5 0,5 0,5,0,0 4,0 3,9 0, 0,0 3,0,0,0 4 3,3 0,3 0,09 4,5 0,5 0,5 5 3, 4 0, 4 0,6 5 3, 0, 0,04 6,5 0,5 0,5 6,8 0, 0,04 7,7 0,3 0,09 7 3,5 0,5 0,5 8,8 0, 0,04 8,0,0,0 9 3, 0, 0,0 9 6,0 3,0 9,0 0,6 0,4 0,6 0 6,0 3,0 9,0 30 0, ,58 Varaz Mädche: sm, 0, Varaz Juge: sj 8,58, Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: 5 vo 0

6 Rudolf Brkma Sete Vele Date sd mt Ehete behaftet, z.b. Meter (m) oder kg. De Ehet für de Varaz wäre dese Fälle m bzw. (kg). Um weder auf de ursprüglche Ehet zu komme, zeht ma de Wurzel aus der Varaz. Deser Wert wrd Stadardabwechug geat. Stadardabwechug: s s Varaz Zur praktsche Berechug fertgt ma we obe gezegt ee etsprechede Tabelle a. Se det auch zur Kotrolle der Date. De Summe der Abwechuge muss Null ergebe. Bemerkug zur Varaz: Hadelt es sch be de zu utersuchede Date um de Populato (Grudgesamthet), da wrd mt / gewchtet: s ( x x) Wrd hgege ee Stchprobe (Tel eer Populato) utersucht, so wrd mt / ( ) gewchtet: s ( x x) Berechug der Stadardabwechug aus eer Häufgketstabelle. Her geht ma ählch vor we be der Mttelwertbldug. Zur Ererug: Fall I: Absolute Häufgket x x ( x + x x ) Fall II: Relatve Häufgket h x x h x h + x h x h : absolute Häufgket der Merkmalsausprägug x h : relatve Häufgket der Merkmalsausprägug x : Summe der absolute Häufgkete : Azahl der Merkmalsauspräguge x Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: 6 vo 0

7 Rudolf Brkma Sete Berechug der Varaz aus eer Häufgketstabelle Fall I: Absolute Häufgket x x + x x x x s ( x x) Fall II: Relatve Häufgket h s x x h x x h + x x h x x h Stadardabwechug: s : absolute Häufgket der Merkmalsausprägug x h : relatve Häufgket der Merkmalsausprägug x Bespel: Note x Az. d. Schüler s : Summe der absolute Häufgkete : Azahl der Merkmalsauspräguge x Note x Az. d. Schüler Schüler sgesamt: 50 6 x x x x x x x 5 5 3,8,8 5, ,8,8 3, ,8 0,8, ,8 0,7 8, ,8,7 4, ,8,7 4,7968 Varaz: x 3,8 78,08 50 s ( ) 6 78,08 x x, Stadardabwechug: s s,566,496 Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: 7 vo 0

8 Rudolf Brkma Sete Bespel: Note x Az. d. Schüler rel. Häufgket h 0, 0,6 0,8 0,3 0, 0,04 Schüler sgesamt: 50 6 x h x h x x x x x h 0, 0, 3,8,8 0,5984 0,6 0,3 3,8,8 0, ,8 0,84 3,8 0,8 0, ,3,8 3,8 0,7 0, , 0,50 3,8,7 0, ,04 0,4 3,8,7 0,95936 x 3,8 s,566 ( ) 6 Varaz: s x x h,566 Stadardabwechug: s s,566,496 Das Bespel zegt, dass es sch mt de relatve Häufgkete lechter reche lässt. Berechug der Stadardabwechug aus eer klasserte Häufgketstabelle. Zur Ererug: Fall I: Absolute Häufgket k k ( k k) k x m m + m m Fall II: Relatve Häufgket h k x m h m h + m h m h k k : absolute Häufgket der - te Klasse h : relatve Häufgket der - te Klasse m : Klassemtte der -te Klasse : Summe der absolute Häufgkete k : Azahl der Klasse Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: 8 vo 0

9 Rudolf Brkma Sete Berechug der Varaz aus eer klasserte Häufgketstabelle Fall I: Absolute Häufgket k k k ( m x) + ( m x) ( mk x) k ( ) s m x Fall II: Relatve Häufgket h k k k s m x h m x h + m x h m x h Stadardabwechug: s s : absolute Häufgket der - te Klasse h : relatve Häufgket der - te Klasse m : Klassemtte der -te Klasse : Summe der absolute Häufgkete k : Azahl der Klasse Bespel : Bestmme Se aus der klasserte Häufgketstabelle für de Körpergröße de Stadardabwechug. Klasse x 50 x < x < x < x < 90 abs. Häufgket 9 7 Klassemtte m rel. Häufgket h 0,3 0, 4 0,3 0,06 Klasseafag + Klasseede Klassemtte z.b. 65 Berechug über de absolute Häufgket m m x m x m x ,6 0,6 03, ,6 0,6 5, ,6 9,3 609, ,6 9,3 747, , ,6 Varaz: s 386, ,5 Stadardabwechug: s 79,5 8,994 Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: 9 vo 0

10 Rudolf Brkma Sete Berechug über de relatve Häufgket m h m h x m x m x h 55 0,3 46,5 65,6 0,6 34,3 65 0, 4 66,0 65,6 0,6 0, ,3 40,83 65,6 9,3 0, ,06,3 65,6 9,3 4,9 65,6 79,5 Varaz: s 79,5 Stadardabwechug: s 79,5 8,994 Auch her lässt sch das Problem efacher über de relatve Häufgket löse. De Stadardabwechug st e Maß dafür, we hoch de Aussagekraft des Mttelwertes st. Ee klee Stadardabwechug bedeutet, alle Beobachtugswerte lege ahe am Mttelwert. Ee große Stadardabwechug bedeutet, de Beobachtugswerte sd wet um de Mttelwert gestreut. x Mttelwert x klee Streuug große Streuug Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_07.doc :38 Sete: 0 vo 0

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Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen. Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud

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