Technische Universität Berlin. Abt. I Studierenden Service Studienkolleg / Preparatory Course

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1 Technische Universität Berlin bt. I Studierenden Service Studienkolleg / Preprtory Course Schriftliche Prüfung zur Feststellung der Eignung usländischer Studienbewerber zum Hochschulstudium im Lnde Berlin - Universitätszweig - Wintersemester 202/3 Physik Von den folgenden 6 ufgben sind 2 ufgben us der Mechnik und 2 ufgben us der Elektrizitätslehre zu berbeiten. Pro ufgbe sind 20 Punkte zu erreichen. Für schlechte äußere Form können pro ufgbe 0 % der erreichbren Punkte bgezogen werden! Berbeitungszeit: Erlubte Hilfsmittel: 3,5 Stunden Formelsmmlung; Tschenrechner; einsprchiges, deutsches Wörterbuch Nme: Kurs / Prüfungsgruppe:

2 ufgbe : Sttik strrer Körper ufgbe.: Stbwerk und Hftung Der Knoten I des in den Punkten und B gelgerten Fchwerks ist über ein Seil mit dem Innenrnd eines Stufenrdes vom Gewicht G verbunden. Ds Stufenrd hftet n einer Wnd (Hftzhl µ o ) und ist m ußenrnd durch einen Körper vom Gewicht G belstet. Der Neigungswinkel des Seils gegen die Horizontle I beträgt 30. Die Bewegungsmöglichkeit des losen Lgers im Punkt B ist prllel zum Fchwerkstb 3. () Schneiden Sie ds Stufenrd frei und berechnen Sie die Seil-, Hft- und Normlkrft n dem Stufenrd. Wie groß muss µ o mindestens sein, dmit sich ds Stufenrd nicht dreht? (7 Punkte) (b) Bestimmen Sie die Stbkräfte des Fchwerks und geben Sie n, ob Zug oder Druck vorliegt. (3 Punkte) Gegeben: r = R, G = 2 kn 2 R G C r G µ o II 4 B ufgbe.2: Kontktkräfte und Gleichgewicht m Blken II 45 Seil I M o R R G G Punkt B (reibungsfrei) Muer Die durch ein Seil gehltene rechte Kugel I vom Gewicht G drückt uf eine gleich schwere Kugel II vom Rdius R. Diese zweite Kugel liegt uf einem Blkensystem, ds im Punkt gelenkig gelgert ist und im Punkt B reibungsfrei uf einer Muer ufliegt. Ds Blkensystem wird durch ein Moment M o belstet. () Schneiden Sie ds Blkensystem und die beiden Kugeln einzeln frei. Bestimmen Sie dnn die Kontktkrft zwischen den beiden Kugeln sowie die Kräfte zwischen Kugel II und dem Blkensystem. (6 Punkte) (b) Ermitteln Sie die Lgerkräfte in den Punkten und B. Wie groß drf ds Moment M o mximl werden, dmit der Blken nicht von der Muer bhebt? (4 Punkte) Gegeben: R = 0, 5 m; = 3 m; G = 5 kn; M o = 6 knm

3 ufgbe 2: Kinemtik ufgbe 2.: Strrkörperkinemtik Ein Rd vom Rdius r bewegt sich rein rollend mit der konstnten (Schwerpunkts-)Geschwindigkeit v s uf einer horizontlen Ebene. Im Mittelpunkt S ist eine Stnge der Länge gelenkig ngebrcht, deren linker Endpunkt n einer Wnd vertikl nch unten gleitet. Die Bewegung beginnt zur Zeit t = 0 s us der gestrichelten Lge. ϕ () Ermitteln Sie die Schwerpunktskoordinte x s ls0000 ω 2 Funktion der Zeit t und geben Sie die Winkelge-000schwindigkeit ω y 2 des Rdes n. (2 Punkte) r (b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Stngen-000endpunktes mit Hilfe des Gesetzes der Strr- v x s S körperbewegung. Geben Sie nschließend die Win-00000kelgeschwindigkeit ϕ der Stnge ls Funktion des Winkels ϕ n, indem Sie die Ttsche usnutzen, x s (t) dss sich der Stngenendpunkt nur in die vertikle Richtung bewegen knn. (4 Punkte) (c) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Stnge bei einem Winkel von ϕ = 30? Nch welcher Zeit T erreicht die Stnge ihre horizontle Lge und wie groß ist in diesem Moment ihre Winkelgeschwindigkeit? Zeichnen Sie den Momentnpol (M) der Stnge in der gezeigten Lge in nebenstehende bbildung ein. (4 Punkte) Gegeben:, r, v s = const. ufgbe 2.2: Punktkinemtik r (ϕ) = r o ( + 0, 5 sinϕ) mit ϕ [ 0, 2π ). Die Greifvorrichtung (Znge) m Ende des Roboterrms hält einen kleinen Körper P fest. Zum nfngszeitpunkt t = 0 s wr der Winkel ϕ = 0. () Stellen Sie den Ortsvektor r P zum Zeitpunkt t in der krtesischen Bsis e x, e y, e z dr und berechnen Sie die Geschwindigkeit v P (t) (ohne Zhlenwerte). (4 Punkte) (b) Wie luten der Ortsvektor r P (t) und die Geschwindigkeit v P (t) usgedrückt über die mitdrehende Bsis e r, e ϕ, e z (ohne Zhlenwerte)?(3 Punkte) (c) Wie groß ist der Winkel ϕ [ 0, 2π ), wenn der Roboterrm zum zweiten Ml die (gegebene) Länge ˆr erreicht? Ermitteln Sie für diesen ugenblick die Geschwindigkeit des Punktes P in der Bsis e r, e ϕ, e z? Geben Sie uch die Bhngeschwindigkeit n. (3 Punkte) Gegeben: r o = m, ˆr = m, ω o = 0, 5 s 2 e ϕ y e r ϕ(t) Der rm eines Industrieroboters rotiert mit konstnter Winkel- geschwindigkeit ω o um die z-chse. Er ändert seine Länge nch dem Gesetz x P r(ϕ)

4 ufgbe 3: Kinetik ufgbenteil 3.: Schwerpunkt- und Drllstz Die gezeigte Kreisscheibe (Msse M, Mssenträgheitsmoment θ ) ist im Mittelpunkt über eine Feder der Steifigkeit c mit der Umgebung verbunden. Ein m Rnd der Kreisscheibe geführtes Seil ist im Punkt B ebenflls n der Umgebung befestigt und trägt m nderen Ende einen Körper der Msse m. Durch geeignete nfngsbedingungen übt ds System freie Schwingungen us. Zum Zeitpunkt t = 0 s seien lle Koordinten gleich Null und die Feder ungespnnt. Ds zu jeder Zeit uf Zug benspruchte Seil hftet m ußenrnd der Kreisscheibe und ist ls msselos und undehnbr nzusehen. () Stellen Sie lle notwendigen kinemtischen Beziehungen ls Funktion von ẋ 2 (t) uf. (2 Punkte) (b) Schneiden Sie die beiden Körper einzeln frei und ermitteln Sie mit Hilfe des Schwerpunkt- und Drllstzes die Bewegungsgleichung des Systems in bhängigkeit von der Koordinte x 2. Berücksichtigen Sie dbei die Zusmmenhänge θ = 2 Mr2 und M = 2m (Bitte keine Zhlenwerte einsetzen!). (8 Punkte) x 2 g ϕ m c r M, θ B x ufgbenteil 3.2: Freie, ungedämpfte Schwingungen Durch eine Trnsformtion uf die sttische Ruhelge mit einer neuen Koordinte x (t) erhlten wir für ds unter ufgbenteil 3.. skizzierte System die folgende linere, homogene Bewegungsdifferenzilgleichung: ẍ (t) + c 7m x (t) = 0. () Geben Sie die Eigenkreisfrequenz ω, die Frequenz f und die Periodenduer T der Schwingbewegung n (mit Zhlenwerten). (3 Punkte) (b) Zeigen Sie, dss x (t) = cos (ωt) + B sin (ωt) eine Lösung der gegebenen Bewegungsdifferenzilgleichung ist und pssen Sie die Lösung den nfngsbedingungen x (0) = 0 und ẋ (0) = v o n. (5 Punkte) (c) Zeichnen Sie den grphischen Verluf der Koordinte x über die Zeit t für 0 t 4 s. chten Sie uf eine quntittiv korrekte chsenbemßung. (2 Punkte) Gegeben: r, g, M = 2m, θ = 2 Mr2, m = 2 kg, c = 224 N m, ẋ (0) = v o = 0 cm s, x (0) = 0 3

5 ufgbe 4: Elektrisches Feld Im Vkuum befindet sich ein Plttenkondenstor mit rechteckigen Pltten (siehe bb. ). Folgende Werte sind beknnt Plttenbstnd: s = 5 mm Spnnung zwischen s den Pltten: U = 5 V 2 s Elektr. Feldkonstnte: ε 0 = 8, Vm Plttenfläche: = 0 3 m 2 l bb. b () Berechnen Sie die Kpzität des Kondenstors, die Ldung uf den Pltten und die im Feld des geldenen Kondenstors gespeicherte Energie. (4,5 Punkte) (b) Ein Elektron fliegt mit der Geschwindigkeit v in der Mitte prllel zu den Pltten in den Kondenstor hinein, wird um die Strecke h seitlich bgelenkt und verlässt den Kondenstor mit der Geschwindigkeit v E und dem blenkwinkel α (bb. 2). v α v E h α nfngsgeschwindigkeit: v =, m s Seitliche bkenkung: h = 2 mm Endgeschwindigkeit: v E =, m s l bb. 2 Berechnen Sie den blenkwinkel α, die Länge l und die Breite b der Kondenstorpltten sowie die Zeit, die ds Elektron zum Durchfliegen des Kondenstors benötigt.(5 Punkte) (c) Berechnen Sie die beim Durchfliegen des Kondenstors m Elektron verrichtete rbeit W Elektron. Ermitteln Sie die kinetische Energie des Elektrons beim Hineinfliegen in den Kondenstor (E Kin, ) und beim Verlssen des Kondenstors (E Kin, E ). Vergleichen Sie E Kin, E E Kin, mit W Elektron. Msse des Elektrons: m El = 9, kg Elementrldung: e =, C (4,5 Punkte) (d) Der Kondenstor wird entsprechend bb. 3 bzw. bb. 3b zur Hälfte mit einem Dielektrikum mit ε r = 3 gefüllt. Berechnen Sie für beide Fälle die Gesmtkpzität. (6 Punkte) 2 s b l 2 l bb. 3 s bb. 3b 4

6 ufgbe 5: Netzwerkberechnung () Gegeben ist ds in bb. drgestellte Netzwerk. Stellen Sie für die Mschenströme I, I b und I c mit den ngegebenen Zählrichtungen ein lineres Gleichungssystem (LGS) uf. Rechnen Sie ds Gleichungssystem nicht us. (4,5 Punkte) U 0 U 02 R I R 2 I b R 3 R 4 I c R 5 R x R 7 R 6 bb. (b) Nun wird die Quelle 2 us der Schltung entfernt (siehe bb. 2). ußerdem sind folgende Zhlenwerte gegeben: R = 0, 8 Ω R 2 =, 2 Ω U 0 R R 3 R 5 R x R 7 R 3 = 6, 0 Ω R 4 = 0, 7 Ω R 2 R 5 = 0, 2 Ω R 6 = 0, Ω R 7 = 5, 0 Ω U 0 = 24, 0 V bb. 2 R 4 Berechnen Sie für R x, = 2, 0 Ω den Strom I x, und die Spnnung U x,. Wiederholen Sie die Rechnung für R x,2 = 5, 0 Ω. R 6 b Ermitteln Sie us den Zhlenpren (U x,, I x, ) und (U x,2, I x,2 ) den Innenwiderstnd R i und die Leerlufspnnung U o einer bezüglich der Klemmen und b äquivlenten Erstzspnnungsquelle und berechnen Sie den Kurzschlussstrom dieser Quelle. Für welchen Wert von R x gibt die Quelle mximle Leistung b? Berechnen Sie diese Mximlleistung. (,5 Punkte) (c) Der Widerstnd R 7 besteht us einem Eisendrht mit der Querschnittsfläche und ht bei 20 C den Wert R 7 = 5, 0 Ω. Wie lng ist der Drht? Bei welcher Tempertur ht R 7 einen um 25 % größeren Wert? Gegeben: = mm 2 ; ρ Eisen = 0, Ωmm2 m ; α Eisen = 6, 0 3 K (4 Punkte) 5

7 ufgbe 6: Mgnetisches Feld Die bbildungen und b zeigen jeweils einen Eisenkern mit drei Schenkeln. Der Eisenquerschnitt beträgt n llen Stellen = 400 mm 2. Die Permebilitätszhl des Mterils knn im lineren Teil der Mgnetisierungskennlinie (B T ) ls µ r = 3000 ngenommen werden. 7 Vs Es gilt µ o = 4 π 0 m. () uf dem Mittelschenkel ist eine Spule mit N = 300 Windungen ufgebrcht. Bei welchem Spulenstrom wird im Mittelschenkel die Flussdichte B = T erzeugt? (6 Punkte) bbildung (b) Welcher Strom wäre erforderlich, wenn die Spule us bbildung nsttt uf dem Mittelschenkel uf einem ußenschenkel (siehe bbildung b) ufgebrcht wäre und die Flussdichte innerhlb der Spule weiterhin B = T betrgen soll? (7 Punkte) bbildung b (c) Welchen Wert in mh(enry) ht die Induktivität der Spule us bbildung?(3 Punkte) (d) Eine Spule ht die Induktivität L = 500 mh. Der Strom durch die Spule nimmt innerhlb von 5 ms gleichmäßig von I = 00 m uf I E = 0 b. Berechnen Sie die in der Spule induzierte Selbstinduktionsspnnung und den zugehörigen Spnnungsstoß. Wie ändert sich die induzierte Spnnung, wenn die Windungszhl der Spule verdoppelt wird und lle übrigen Prmeter unverändert bleiben? (4 Punkte) 6