SSYLB2 SS06 Daniel Schrenk, Andreas Unterweger Übung 5. Laborprotokoll SSY. Reglerentwurf nach dem Frequenz- Kennlinien-Verfahren

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1 Laborprotokoll SSY Reglerentwurf nah dem Frequenz- Kennlinien-Verfahren Daniel Shrenk, Andreas Unterweger, ITS 24 SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 1 von 13

2 1. Einleitung Ziel der Übung Bei dieser Übung ging es um den Entwurf von Reglern, die bei gegebenen Systemen bestimmte Eigenshaften aufweisen. Dies wurde durh Ablesen aus dem Bodediagramm und mithilfe von Faustformeln realisiert. 2. Aufgabenstellungen 2.1 Aufgabe 1 Gegeben ist das System 1s + 5 G ( s) = 2 s + 1s + 2 Rükkopplung) folgende Sprungantwort aufweist:, welhes in seiner geshlossenen Form (mit.8 Step Response Amplitude Time (se) Es sollte nun ein Regler so entworfen werden, dass die Regelabweihung y d beim Anlegen eines Einheitssprungs beträgt. Zudem sollte die Anstiegszeit t r =,5s und die Übershwingweite ü = 1% sein. Um die bleibende Regelabweihung von erreihen zu können, muss in jedem Fall ein I- Glied verwendet werden (vgl. Tabelle: beim Einheitssprung muss λ mindestens 1 sein, damit eine Regelabweihung von möglih ist). Ein I-Glied besitzt die SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 2 von 13

3 Übertragungsfunktion 1 G r s =. Um die anderen Kriterien erfüllen zu können, wurde das Bode-Diagramm des offenen Systems zusammen mit dem I-Glied betrahtet: 5 Bode Diagram Frequeny (rad/se): 3.2 Magnitude (db): Frequeny (rad/se): 3.2 Phase (deg): Frequeny (rad/se) Phase (deg) Magnitude (db) SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 3 von 13

4 Laut den Faustformeln gilt t r * w = 1, 5, also berehnet sih w 1,5 1,5 tr,5. Weiters gilt + ü = 7 ϕ = 7 1 = 6 = 3 auf = = = 3 w bei gegebenem t =, 5 ϕ, womit sih für ein gegebenes ü von 1 (%) eine notwendige Phasenreserve von ergibt, für die der Regler bei w sorgen muss. Wie aus dem Bode-Diagramm ersihtlih, beträgt die Phasenreserve bei = 3 w 113 = 67 18, was mehr als 6 ist, weshalb keine Anpassung der Phase durh ein Lead-Glied notwendig ist. Da das System genau bei w = 3 eine Verstärkung von db aufweisen soll, muss der Regler eine Verstärkung von 9,65dB 1 aufweisen. Wie in der Grafik ersihtlih, würde diese Verstärkung bei der Frequenz w = 3 für eine Gesamtverstärkung von db 9, (erwünsht) sorgen. Als Verstärkungsfaktor wird (von db umgerehnet) = 3, 374 verwendet. Eine reine Verstärkung wird durh ein P-Glied verursaht. Der resultierende Regler besteht also aus einem P-Glied mit einer Verstärkung von 3,374 und einem I- Glied. Die Sprungantwort des Systems mitsamt dem Regler sieht wie erwünsht aus: r System: G Peak amplitude: 1.8 Overshoot (%): 7.61 At time (se): 1.14 Step Response 1 Amplitude.8.6 System: G Rise Time (se): Time (se) Die vorgegebenen Größen lassen sih sehr shön aus der Grafik ablesen: die Anstiegszeit von (hier) weniger als,5s als auh die Übershwingweite von ü < 1%. Die Sprungantwort nähert sih 1, daher ist die bleibende Regelabweihung. Allgemeine Anmerkung: der Matlab-Code zu allen Aufgaben ist im Anhang zu finden. 1 Wert weiht leiht von der Grafik ab zur weiteren Berehnung wurde der im Labor abgelesene Wert (in diesem Fall 9,65) verwendet SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 4 von 13

5 2.2 Aufgabe 2 s + 1 Gegeben ist das System G ( s) =, welhes in seiner geshlossenen Form (mit 2 3s + 4s + 2 Rükkopplung) folgende Sprungantwort aufweist:.35 Step Response.3.25 Amplitude Time (se) Hier soll ein Regler dermaßen entworfen werden, dass das System die gleihen Eigenshaften wie jenes in 2.1 aufweist (1% Übershwingweite und,5s Anstiegszeit). Die Vorgehensweise ist wieder die gleihe wie in 2.1: das Bode-Diagramms des offenen Systems zusammen mit dem I-Glied wird dargstellt (vgl. unten), um die Phasenreserve zu kontrollieren: Frequeny (rad/se): 3 Phase (deg): Frequeny (rad/se) SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 5 von 13

6 Da in diesem Fall die Phasenreserve niht groß genug ist (nur 7 anstatt der benötigten 6), muss ein sogenanntes Lead-Glied eingefügt werden, um für eine entsprehende Phasen-Reserve zu sorgen (Phasen-Verlauf in einem bestimmten Bereih anheben ). Ein solhes Glied hat die Übertragungsfunktion G s 1+ w s 1+ wn 7 = 53 Z ( s) =. Hier wird die notwendige Phasenanhebung von 6 am besten durh die Kurve mit mh=1 beshrieben. Da hier w bereits 3 ist, können w Z und w N direkt übernommen werden. Der sih nun aus Lead- und I-Glied zusammensetzende, temporäre Regler wird nun erneut im Bode-Diagramm betrahtet. SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 6 von 13

7 5 Bode Diagram Frequeny (rad/se): 3 Magnitude (db): Frequeny (rad/se): 3 Phase (deg): Frequeny (rad/se) Magnitude (db) Bode-Diagramm des offenen Systems mit I- und Lead-Glied Phase (deg) Hier lässt sih bei w = 3 eine Dämpfung von 18,8dB ablesen, was eine Verstärkung um 18,8 1 2 den Faktor = 8, 796 notwendig maht. Der fertige Regler besteht dann aus einem I-, einem Lead- und einem P-Glied. Die Sprungantwort des geshlossenen Systems mit Regler sieht dann wie gewünsht aus: SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 7 von 13

8 Step Response System: G Peak amplitude: 1.1 Overshoot (%): 1.5 At time (se): 1 1 Amplitude.8.6 System: G Rise Time (se): Aufgabe 3 Gegeben ist das System Time (se) 2s + 4 G ( s) = 2 s + 5s + 2 Rükkopplung) folgende Sprungantwort aufweist:, welhes in seiner geshlossenen Form (mit.7 Step Response.6.5 Amplitude Time (se) SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 8 von 13

9 Es soll wieder ein Regler wie in 2.1 bzw. 2.2 entworfen werden allerdings soll diesmal die Anstiegszeit nur,2s betragen. Das maht ein Neuberehnen von w notwendig, was 1,5 1,5,2 sih wie in 2.1 mit w = = = 7, 5 berehnet. t r Wieder wird ein I-Glied benötigt und das Bode-Diagramm des offenen Systems (mit I- Glied) in Bezug auf die Phasenreserve betrahtet: -1-9 Phase (deg) Frequeny (rad/se) Frequeny (rad/se): 7.52 Phase (deg): -16 Die Phasenreserve ist mit 2 niht groß genug, daher muss wieder ein Lead-Glied wie in 2.2 verwendet werden, um die Phase an dieser Stelle anzuheben (und zwar um 4 ). Zwar lässt sih durh die bereits in 2.2 verwendete Grafik ein mh von 5 finden, das die gewünshte Anhebung verursaht, allerdings geshieht das niht bei der rihtigen Frequenz. Das Lead-Glied muss daher frequenzmäßig vershoben werden: da die Skala logarithmish ist, wird die Addition (Vershiebung) zu einer Multiplikation; da die Kurve für mh=5 bei w=2 die gewünshte Phasenvershiebung aufweist, das Lead-Glied letztere allerd ings bei w = 7,5 aufweisen soll, müssen w N und w Z mit dem Faktor 7,5 = 3,75 2 multipliziert werden. Da sih durh das Lead-Glied das Bode- Diagramm des temporären Reglers geändert hat (auh im Amplitudenbere ih), muss es unter Berüksihtigun g des Lead- Amplitude System: G Rise Time (se):.23 Step Response System: G Peak amplitude: 1.9 Overshoot (%): 9 At time (se): Time (se) Gliedes neu gezeihnet werden (siehe unten). Die durh das Lead-Glied hervorgerufene SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 9 von 13

10 Phasenanhebung im Bereih zwishen w N und w Z lässt sih bei beim Phasenverlauf im Bode-Diagramm sehr shön erkennen. Zu guter letzt muss wieder die Verstärkung korrigiert werden. Diese muss wie im Bode- Diagramm ersihtlih 23,1dB, d.h. 1 2 = 14, 2889 betragen. 23,1 5 Bode Diagram Frequeny (rad/se): 7.51 Magnitude (db): Frequeny (rad/se): 7.5 Phase (deg): Frequeny (rad/se) Phase (deg) Magnitude (db) Die Sprungantwort des geshlossenen Systems mit dem Regler findet sih weiter oben. SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 1 von 13

11 3. Matlab-Code SSYLB2 SS6 Daniel Shrenk, Andreas Unterweger Seite 11 von 13

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