6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen

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1 Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen ratonale Funkton n s. Der Grad hres Zählerpolynoms m st klener oder höchstens glech dem Grad des Nennerpolynoms n: Z ( G (, grad Z( m, grad N( n N( m < n. (6.68) We jede gebrochen ratonale Funkton kann auch G( durch sene Pole und Nullstellen charaktersert werden: Pole: N( 0 s, 1, 2,..., n Nullstellen: Z( 0 n j, j 1, 2,..., m. De Pole s und Nullstellen n j können reell, enfach oder mehrfach oder auch konjugert komplex paarwese sen (sehe auch 5..2!). Wrd auf en lneares, zetnvarantes System mt sämtlch leeren Spechern (verschwndenden Anfangsbedngungen be 0) n t 0 en Engangssgnal u( mt der zugehörgen Laplacetransformerten U( aufgeschaltet, so glt für de Laplacetransformerte des Antwortsgnals Y( de Glechung (6.11) Y( G( * U(. Wenn auch U( ene gebrochen ratonale Bldfunkton st, dann folgt daraus Y( st gebrochen ratonal, de Pole und Nullstellen vom Y( snd jewels de Verengungsmengen der Pole und Nullstellen von G( und Y(, vorausgesetzt m Produkt G( * U( treten kene sog. Pol Nullstellenkürzungen auf. Bespel: Für das durch & y ( + 5y& ( + 6 y( u& ( + u( beschrebene System mt verschwndenden Anfangsbedngungen st de Antwort y( auf den Engang u( e -5t * σ( zu ermtteln. De Übertragungsfunkton lautet G ( s² + 5s + 6 und de Laplacetransformerte des Engangssgnals st U ( { e 5 t * σ ( }. s + 5

2 197 De Übertragungsfunkton G( hat - ene Nullstelle n zwe verschedene reele Pole s 1-2, s 2 -. U( hat kene Nullstelle (m Endlchen) und den - enen Pol s -5. Für Y( folgt Y ( G( * U ( *. ( s + 2)( s + ) s + 5 Da U( kene Nullstelle hat, bestzt Y( nur de ene durch G( engebrachte Nullstelle n 1-1. De Pole von Y( snd de Verengungsmenge der Pole von G( {-2, -} und von U( {-5}, d. h. de dre Pole bzw. s 1-2, s 2 -, s -5, {-2, -} u {-5} {-2, -, -5}. Sehr anschaulch lässt sch des anhand der n der s Ebene gezechneten Pol- Nullstellen Vertelungen (PN Pläne) darstellen De gesuchte Antwort y( st y( -1 ( ) 1 2 ( s + 2)( s + )( s + 5) -1 + s + 2 s + s + 5 2t t 5t e + e 2e, t > 0. Her wurde de n 5..2 beschrebene Rücktransformaton gebrochen ratonaler Bldfunktonen mt der Partalbruchentwcklung verwendet. We dort berets erklärt wurde seht man auch an desem Bespel: De Pole von Y( bestmmen den Charakter des zugehörgen Zetvorganges y(: De Pole s erschenen m Exponenten der e-funktonen e s t. Da her alle Pole negatv reell snd, klngen alle Telvorgänge (e-funktonen) monoton ab, so dass y( für t gegen Null geht. Der genaue Verlauf y( ergbt sch aus der gewchteten Überlagerung der Telvorgänge, wobe de Wchtungskoeffzenten de Partalbruchkoeffzenten von Y( snd. In vorlegendem Fall ergbt dese

3 198 Lnearkombnaton der e-funktonen enen Gesamtverlauf y(, der be oberflächlcher Betrachtung mt ener stark gedämpften Schwngung Ähnlchket hat (sehe Bld 6.7), obwohl kene konjugert komplexen Polpaare vorkommen! Bld 6.7: Zetverlauf y( Wr halten fest: Zu jedem Pol von Y( gehört en elementarer Telvorgang n y(, dessen Charakter durch de Art und Lage des jewelgen Pols bestmmt st (sehe dazu auch de Erläuterungen n 5..2 sowe auch n 5.1. und 5.2.). En Tel deser Pole n Y( stammen aus G( und snd damt systemabhängg, d.h. Ausdruck von ganz spezfschen Systemegenschaften. In vorlegendem Bespel snd das de Pole s 1-2, s 2 -. Se snd negatv, reell, enfach. Das System, das durch G( mt desen beden Polen beschreben wrd, st also ncht schwngungsfähg (dazu würden konjugert - komplexe Polpaare gehören!) sondern west aperodsches, auf Null abklngendes Egenverhalten auf, eben das durch e -2t, e -t beschrebene stable Abklngverhalten. (Dese beden Pole s 1-2, s 2 - stmmen mt den Wurzeln der charakterstschen Glechung zur Dgl des Systems überen!). En weterer Tel der Pole von Y( stammen aus U( snd also engangssgnalabhängg. Her würde das n t > 0 monoton abklngende 5t Engangssgnal u( e * σ ( verwendet; sene Laplacetransformerte U ( s + 5 brngt den drtten Pol s -5 n Y( en. Da er sch m vorlegenden Bespel ncht durch ene Nullstelle von G( m Produkt G( * U( kürzen leß, repräsentert s -5 n Y( den durch das spezelle Engangssgnal u( e -5t erzwungenen Antel n der Lösung y(; deser st her auch monoton abklngend (we u( selbs, hat aber den Wchtungsfaktor (Partalbruchkoeffzen -2. De Wchtungsfaktoren mt denen de elementaren Telvorgänge e s t n de Gesamtlösung engehen, stmmen mt den Partalbruchkoeffzenten von Y(

4 199 überen. Im Falle verschedener, sämtlch enfacher reeller Pole, we er her vorlegt, snd de Partalbruchkoeffzenten nach durch ( s s )* Y ( C s s gegeben. D.h. n de Zahlenwerte der C gehen auch de Nullstellen (bzw. das Zählerpolynom) von Y( en. Also: De Pole s von Y( bestmmen über de Telvorgänge e s t den Charakter (deser elementaren Zetvorgänge und dam der st Zetantwort y( als Lnearkombnaton y ( t ) C e. Das Gewcht C, mt dem en elementarer, zu enem Pol s gehörender Telvorgang e s t n y( engeht, wrd auch durch de Nullstellen von Y( mtbestmmt. Man kann sch vorstellen, dass n dem Produkt Y( G( * U( ggf. en Pol der Sgnalbldfunkton U( gegen ene an glecher Stelle legende Nullstelle von G( gekürzt (kompenser werden kann. Des st z. B. der Fall, wenn obges System mt dem Engangssgnal u( e t o U( beaufschlagt wrd. Dann glt Y ( G( * U ( *. ( s + 2)( s + ) ( s + 2)( s + ) und y ( -1 ( s + 2)( s + ) -1 s + 2 s + 2t t e e, t > 0. In desem spezellen Fall st s -1 (also der Sgnalpol aus u(?-? U() ken Pol mehr von Y(, eben wel er sch gegen de Nullstelle n 1-1 von G( gekürzt hat. Damt st auch m Antwortsgnal y( des Systems der Telvorgang e -t ncht enthalten! Man kann das we folgt deuten: Das System mt der Übertragungsfunkton G( mt der Nullstelle n 1-1 überträgt alle t K Engangssgnale u( K * e o U ( mt dem Sgnalpol s -1 an der glechen Stelle we n 1 überhaupt ncht! Denn n y( st ken Telvorgang C e -t enthalten, der auf de von enem Engangssgnal u( K * e -t n y( erzwungene Reakton hndeuten würde. In y( snd nur de systemegenen Telvorgänge e -2t, e -t, de zu den beden Polen von G( (Wurzeln der charakterstschen Glechung s² + 5s + 6 0) s 1-2 und s 2 - gehören enthalten. De Nullstelle n1-1 der Übertragungsfunkton G( des Systems bewrkt, dass Engangssgnale vom Typ u( Ke -t m oben erklärten Snn ncht übertragen werden. Deser Sachverhalt wrd weder sehr anschaulch, wenn man mt den PN Plänen arbetet:

5 200 In solchen Fällen we desem, wo PN Kürzungen n G( * U( auftreten, ergeben sch de Pole von Y( natürlch ncht als Verengungsmenge der Pole von G( und der Pole von U(: s -1 st ken Pol von Y(! Möglche PN Kürzungen erkennt man nur, wenn man mt der Pol Nullstellen Schrebwese sowohl n G( als auch n U( arbetet. Dazu muss man zunächst de Polynomnullstellenbestmmung sämtlcher Zähler- und Nennerpolynome der gebrochen ratonalen Funktonen G( und U( durchführen (z.b. mt dem MATLAB Befehl root. Abschleßend soll vorausschauend auf de wchtge Egenschaft der Stabltät enes lnearen zetnvaranten Systems mt gebrochen ratonaler Übertragungsfunkton G( hngewesen werden. Se hängt, we n 7.2 gezegt werden wrd, mt der Lage der Pole von G(zusammen: En solches System st stabl, wenn alle Pole von G( n der lnken s Halbebene legen, d. h. wenn alle Pole von G( negatven Realtel haben Re {s } < 0, s Pole von G(. (6.69) Im vorlegenden Bespel st das der Fall: s 1-2, s 2 -. Aus den obgen Erläuterungen und Rechnungen zum Bespel folgt: Be enem stablen System klngen alle zu den Systempolen gehörenden sog. Egenvorgänge her e -2t, e -t für t auf Null ab.

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