Regelungs- und Systemtechnik 1 - Übung 6 Sommer 2016

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1 4 6 Fachgebiet Regelungstechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 Vorbereitung Wiederholen Sie Vorlesungs- und Übungsinhalte zu folgenden Themen: Zeitkonstantenform Standardregelkreis Hurwitz-Kriterium Zusammenhang von Ortskurve und Bodediagramm einer Übertragungsfunktion Kriterium von Cremer, Leonhard und Michailov Nyquist-Kriterium Aufgabe Gegeben ist das Polynom mit s C, a i R und n = 3. P(s) = s n + a n s n +...+a s+a In Abbildung ist die Ortskurve von P für s = jω, ω R dargestellt; der Pfeil zeigt in Richtung wachsender Frequenz ω. a) Bestimmen Sie lim ω arg s (P(jω). b) Entscheiden Sie nach dem Satz von Cremer, Leonhard und Michailov, ob P(s) ein Hurwitzpolynom ist. c) Ermitteln Sie aus der Ortskurve den Wert des Koeffizienten a. Für welche Werte von a R ist P(s) ein Hurwitzpolynom? d) Das Polynom werde nun mit einem Faktor α = multipliziert. Wie verändert der Faktor die Lage der Nullstellen bezüglich der imaginären Achse? Überprüfen Sie Ihre Aussage mit dem Satz von Cremer, Leonhard und Michailov. (Dr. Kai Wulff) Seite 29. Juni 25

2 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 2 Ortskurve P(jω) Abbildung : Ortskurve von P(jω) Aufgabe 2 Gegeben ist der Standardregelkreis mit der Regelstrecke mit Übertragungsfunktion G(s) = 2 (5s+)(3s+ )(s+) und dem P-Regler C(s) = K p. Konstruktion der Orstkurve L(jω) der offenen Kette a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Ortskurve L(jω) mit der reellen Achse in Abhängigkeit des Parameters K p. Hinweis: Ermitteln Sie zunächst die Frequenz ω π, zu welcher die Kurve die reelle Achse schneidet (Imaginärteil = ). b) Bestimmen Sie L(jω π ), lim ω L(jω) und lim ω L(jω) für K p = 5. Skizzieren Sie nun die Ortskurve L(jω). Hinweis: Bedenken sie hierbei den Phasengang der offenen Kette, welcher durch die Übertragungsfunktion bekannt ist. Stabilität des Führungsverhaltens c) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Führungsverhaltens T(s). Bestimmen Sie mit dem Hurwitz-Kriterium denjenigen Wertebereich der Verstärkung K p R, für den das Führungsverhalten BIBO-stabil ist. (Dr. Kai Wulff) Seite Juni 25

3 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 d) Prüfen Sie die Stabilität des Führungsverhaltens für K p = 5 mittels des Nyquistkriteriums. Kann das System durch eine Anhebung der Reglerverstärkung destabilisiert werden? Begründen Sie ihre Aussage anhand der Ortskurve L(jω). e) Bestimmen Sie anhand der Ortskurve die kritische Kreisverstärkung K p,krit. Hinweis: Für die kritische Verstärkung K p,krit hat das Führungsverhalten T(s) mindestens einen Pol auf, aber keinen Pol rechts der imaginären Achse. Für die kritische Verstärkung des Kreises verläuft die Ortskurve L(jω) durch den Prüfpunkt. Beachte: Das Ein-Ausgangsverhalten ist instabil. (Dr. Kai Wulff) Seite Juni 25

4 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 Aufgabe 3 Gegeben sei die offene Kette L(s) bestehend aus P-Regler und T 2 -Strecke: L(s) = Abbildung 2 zeigt die Ortskurve L(jω) für K p = 4. K p (s )(s+3) Abbildung 2: Ortkurve L(jω) für K p = 4 a) Entscheiden Sie anhand des Nyquist-Kriteriums, ob das Führungsverhalten BIBO-stabil ist. Bestimmen Sie die kritische Kreisverstärkung. b) Überprüfen Sie Ihre Aussage von a) durch Anwendung des Hurwitz-Kriteriums. Als Lernkontrolle zu Hause nachbereiten (Dr. Kai Wulff) Seite Juni 25

5 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 Aufgabe 4 Gegeben ist der Standardregelkreis mit der jeweils angegebenen Übertragungsfunktion der offenen Ketten sowie deren Orstkurve. Ist das Führungsverhalten des geschlossenen Regelkreises für die angegebene Verstärkung K p BIBO-stabil? a) Übertragungsfunktion der offenen Kette: L (s) = 2K p (s+.2) (s 2 + 2s+)(s+4)(s 2 +.2s+.) Für K p = 2 ist die Ortskurve L (jω) in Abb. 3 dargestellt Abbildung 3: Ortskurve L (jω) (Dr. Kai Wulff) Seite Juni 25

6 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 b) Übertragungsfunktion der offenen Kette: L 2 (s) = K p (s+4) (s+3)(s+)(s.5) Für K p = 6 ist die Ortskurve L 2 (jω) in Abb. 4 und 5 dargestellt Abbildung 4: Ortskurve L 2 (jω) Abbildung 5: Detailansicht Ortskurve L 2 (jω) c) Übertragungsfunktion der offenen Kette: L 3 (s) = K p s(s+)(s+ 2) Für K p = ist die Ortskurve L 3 (jω) in Abb. 6 dargestellt Abbildung 6: Ortskurve L 3 (jω) (Dr. Kai Wulff) Seite Juni 25

7 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 d) Übertragungsfunktion der offenen Kette: L 4 (s) = K p s+ es Für K p =.2 und ω ist die Ortskurve L 4 (jω) in Abb. 7 dargestellt Abbildung 7: Ortskurve L 4 (jω) (Dr. Kai Wulff) Seite Juni 25