Übungsaufgaben z. Th. Plattenkondensator

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1 Übungsaufgaben z. Th. Plattenkondensator Aufgabe 1 Die Platten eines Kondensators haben den Radius r 18 cm. Der Abstand zwischen den Platten beträgt d 1,5 cm. An den Kondensator wird die Spannung U 8, kv angelegt. Zwischen den Platten befindet sich ein Material mit der Dielektrizitätszahl ε r 3,5. a) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators, die Ladung die auf den Platten gespeichert ist und die Stärke des elektrischen Feldes zwischen den Platten. Die Platten des Kondensators werden um 8 mm auseinandergezogen. Dabei bleibt der Kondensator an der Spannungsquelle angeschlossen. Das Material zwischen den Platten wird durch einen anderen Isolator mit der Dielektrizitätszagl ε r 7,4 ersetzt. b) Berechnen Sie für diesen Kondensator ebenfalls die Kapazität, die Ladung und die elektrische Feldstärke. Aufgabe Ein Plattenkondensator hat die Kapazität 3,985 pf. Zwischen den Platten befindet sich zunächst Luft (ε r 1). Die Platten haben den Abstand d mm voneinander. Im elektrischen Feld des Kondensators ist die Energie W el, J gespeichert. a) Berechnen Sie die Größe der Kondensatorplatten. b) Berechnen Sie die Spannung, die am Kondensator anliegt. (Runden Sie auf volle Volt). c) Berechnen Sie die Ladung Q, die im Kondensator gespeichert ist. d) Berechnen Sie die Flächenladungsdichte σ des Kondensators. e) Berechnen Sie auf zwei Arten die elektrische Feldstärke. f) Berechnen Sie die Energiedichte des elektrischen Feldes. Der Kondensator wird von der Spannungsquelle getrennt. Der Plattenabstand wird vervierfacht.zwischen die Platten wird ein Dielektrikum mit der Dielektrizitätszahl ε r 8 geschoben. g) Nennen Sie die Größen, die beim Auseinanderziehen der Platten und dem Einfügen des Dielektrikums konstant geblieben sind. Bestimmen Sie den Faktor, um den sich die Kapazität des Kondensators verändert hat. Bestimmen Sie auch für den veränderten Kondensator die zuvor in den Teilaufgaben a) f) berechneten Größen, die nicht konstant geblieben sind.

2 Aufgabe 3 Ein Kondensator K 1 hat die Kapazität C 1 7 µf. Dieser Kondensator wird mit der Spannung U 1 aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Im Kondensator ist die Energie W 1 gespeichert. Zu diesem Kondensator K 1 wird nun ein zweiter Kondensator K mit der Kapazität parallel geschaltet. Die Energie, die insgesamt in den beiden Konden- C satoren K 1 und K gespeichert ist, hat einen um 0% geringeren Wert als die Energie W 1 die vor dem Abtrennen von der Spannungsquelle allein im Kondensator gespeichert war. K 1 a) Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators K. Zeigen Sie, dass diese Kapazität C unabhängig von der Spannung U 1 ist. b) Berechnen Sie die Spannung U 1, die an den beiden parallel geschalteten Kondensatoren K 1 und K anliegt, wenn der Kondensator K 1 mit der Spannung U V aufgeladen wurde. Aufgabe 4 Gegeben ist die folgende Schaltung mit den 4 Kondensatoren K 1, K, K 3 und K 4. mit den zugehörigen Kapazitäten C 1 8 µf, C 0 µf, C 3 1 µf und C 4 6 µ F.

3 Fortsetzung von Aufgabe 4 Der Schalter S ist zunächst geöffnet. Die Anordnung der 4 Kondensatoren wird mit an eine Spannungsquelle mit der Spannung U angeschlossen. a) Berechnen Sie die Gesamtkapazität der Schaltung, wenn der Schalter S geöffnet ist. Nun wird der Schalter S geschlossen. b) Berechnen Sie die Gesamtkapazität der Schaltung bei geschlossenem Schalter S. Die 4 Kondensatoren werden entladen. Der Kondensator K 4 wird durch einen Kondensator K x mit der Kapazität C x ersetzt. Die Kapazität C x dieses Kondensators soll gewählt werden, dass bei zunächst geöffnetem Schalter S und dann bei geschlossenem Schalter S die Gesamtkapazität der Schaltung gleich bleibt. c) Bestimmen Sie die Größe der Kapazität C x. Aufgabe 5 Ein Kondensator K 1 hat die feste Kapazität C 1 40 nf. Zu diesem Kondensator wird ein zweiter Kondensator K mit regelbarer Kapazität C geschaltet. Der Kondensator ist ein Drehkondensator, der bei vollständig herausge- K drehten Platten (Drehwinkel α 0 ) seine kleinste Kapazität C,min 3 nf. Beim Hereindrehen der Platten steigt die Kapazität linear zum Drehwinkel an. Bei vollständig hereingedrehten Platten (Drehwinkel α 180 ) hat der Drehkondensator seine größte Kapazität C,max 167 nf. K a) Bestimmen Sie die größte Kapazität C ges,max, die man durch das Zusammenschalten der beiden Kondensatoren erreichen kann. b) Bestimmen Sie die kleinste Kapazität C ges,min, die man durch das Zusammenschalten der beiden Kondensatoren erreichen kann. c) Welchen Drehwinkel muß man am Kondensator K einstellen, damit man die Gesamtkapazität C ges 4 nf erhält? Wie sind die Kondensatoren K 1 und K in diesem Fall geschaltet? Elektrische Feldkonstante: ε 0 8, A s V m

4 L ö s u n g e n Aufgabe 1 a) C ε 0 ε r A d ε 0 ε r π r d 8, A s V m 3,5 π (0,18 m) 0,015 m Die Kapazität des Kondensators beträgt C 10 pf. Q C U F 800 V 1, C Auf den Kondensatorplatten ist die Ladung Q 1, C, F gespeichert. E U d 800 V 0,015 m V m Die Stärke des elektrischen Feldes beträgt E V. m b) C ε 0 ε r A d ε 0 ε r π r d 8, A s V m 7,4 π (0,18 m) 0,03 m Die Kapazität des Kondensators beträgt C 90 pf., F Q C U F 800 V, C Auf den Kondensatorplatten ist die Ladung Q, C gespeichert. E U d 800 V 0,03 m 3565 V m Die Stärke des elektrischen Feldes beträgt E 3565 V m a) C ε 0 A d A C d ε 0 A 3, F 0,00 m 8, A s V m Aufgabe m 9 cm Die Kondensatorplatten haben die Größe A 9 cm.

5 Fortsetzung von Aufgabe b) W 1 C U U W C Am Kondensator liegt die Spannung, J 3, F U 10 V an. 10 V c) Q C U 3, F 10 V 4, C Im Kondensator ist die Ladung Q 4, C d) σ Q A 4, C m 5, C m Die Flächenladungsdichte beträgt σ 5, gespeichert. C m. e) 1.Möglichkeit E U d 10 V 0,00 m V m. Möglichkeit σ ε 0 E E σ ε 0 5, C m 8, A s V m V m Die elektrische Feldstärke beträgt E V m. f) ρ el 1 ε 0 E 1 8, A s V m ( V m ) 1, J m 3 Die Energiedichte des elektrischen Feldes beträgt ρ el 1, J m 3. g) Die Größe A der Kondensatorplatten, die gespeicherte Ladung Q und die Flächenladungsdichte σ sind beim Auseinanderziehen der latten und dem Einfügen eines Dielektrikums unverändert geblieben. Die Kapazität C ist zunächst 4 mal so klein geworden, weil der Plattenabstand d vervierfacht wurde. Durch Einfügen eines Dielektrikums mit ε r 8 wird diese um den Faktor 4 verkleinerte Kapazität 8 mal so groß. Insgesamt hat sich die Kapazität also verdoppelt.

6 Fortsetzung von Aufgabe g Wegen Q const C U folgt: Die Spannung U ist nur noch halb so groß wie zuvor. Die Spannung beträgt nun U 60 V. Für die elektrische Feldstärke E gilt: 1) E U und d 60 V 0,008 m 7500 V m ) E σ ε 0 ε r 5, C m 8, A s V m V m Die elektrische Feldstärke beträgt E 7500 V m. Für die Energiedichte des elektrischen Feldes gilt: ρ el 1 ε 0 ε r E 1 8, A s V m 8 (7500 V m ) 1, J m 3 Die Energiedichte des elektrischen Feldes beträgt ρ el 1, J m 3. Aufgabe 3 a) Nach dem Aufladen und Trennen von der Spannungsquelle enthält der Kondensator K 1 die Energie W 1 1 C 1 U 1 Durch die Parallelschaltung des Kondensators K fließt ein Teil der Ladung von K 1 auf diesen.dabei sinkt die gemeinsame Spannung auf den Wert U. Beide Kondensatoren haben zusammen die Kapazität C 1, C 1 + C und die Energie W 1, 1 ( C 1 + C ) U Nach Aufgabenstellung gilt: W 1, 4 also 5 W 1 1 ( C 1 + C ) U C 1 U1 ( C 1 + C ) U 4 5 C 1 U 1 (α) Da nach dem Abtrennen des Kondensators Ladung Q im System erhalten bleibt, gilt: Q C 1 U 1 und Q ( C 1 + C ) U K 1 von der Stromquelle die

7 Fortsetzung von Aufgabe 3 a Durch Gleichsetzen erhält man: C 1 U 1 ( C 1 + C ) U U Einsetzen in Gleichung (α) ergibt: C 1 ( C 1 + C ) U C 1 + C C 1 U1 Durch Division durch erhält man: C 1 ( C 1 + C ) C 1 + C U C 1 C 1 C 1 + C U 1 In dieser Gleichung kommt die Spannung U 1 nicht mehr vor. Die Kapazität C ist folglich u n a b h ä n g i g v o n U 1. Auflösen der Gleichung nach C ergibt: C 1 4 C µf 1,75 µf 4 Die Kapazität des Kondensators K beträgt C 1,75 µf. b) U C 1 C 1 + C U 1 7 µf 7 µf + 1,75 µf 380 V 304 V An den beiden parall geschalteten kondensatoren liegt die Spannung U 304 V. Aufgabe 4 a) Bei geöffnetem Schalter sind die Kapazitäten C 1 und C, sowie die Kapazitäten C 3 und C 4 in Serie geschaltet. Die Ersatzkapazitäten C 1, und C 3,4 betragen: C 1, C 1 C C 1 + C 8 µf 0 µf 8 µf + 0 µf µf und C 3,4 C 3 C 4 C 3 + C 4 1 µf 6 µf 1 µf + 6 µf 4 µf Die Ersatzkapazitäten C 1, und C 3,4 sind zueinander parallel geschaltet. C ges C 1, + C 3, µf + 4 µf µf 9,714 µf Die Gesamtkapazität der Schaltung beträgt bei geöffnetem Schalter C ges 9,714 µf.

8 Fortsetzung von Aufgabe 4 b) Bei geschlossenem Schalter sind die Kapazitäten C 1 und C 3, sowie die Kapazitäten C und C 4 parallel geschaltet.die Ersatzkapazitäten C 1,3 und C,4 betragen: C 1,3 C 1 + C 3 8 µf + 1 µf 0 µf und C,4 C + C 4 0 µf + 6 µf 6 µf Die Ersatzkapazitäten und sind in Serie geschaltet. C 1,3 C,4 C ges C 1,3 C,4 C 1,3 + C,4 0 µf 6 µf 0 µf + 6 µf µf 11,304 µf Die Gesamtkapazität der Schaltung beträgt bei geschlossenem Schalter C ges 11,304 µf. c) Lösung 1 Da die Spannungsquelle angeschlossen bleibt und beim Schließen des Schalters S die Gesamtkapazität des Systems C ges Q unverändert bleinen U soll, muß die Kapazität C x so gewählt werden, dass durch den geschlossenen Schalter S keine Ladung fließt. Das bedeutet aber, dass das Verbindungskabel zwischen den Kondensatoren K 1 und K und das Kabel zwischen K 3 und K 4 auf dem selben elektrischen Potential liegen, denn nur dann hat die Spannung am geöffnetem Schalter den Wert Null und es kann beim Schließen des Schalters kein Strom fließen. Weil bei geöffnetem Schalter die Kondensatoren K 1 und K sowie die Kondensatoren K 3 und K 4 jeweils in Serie geschaltet sind, gilt für die Spannung U der Stromquelle: U U 1 + U und U U 3 + U x Die Bedingung, dass am Schalter keine Spannung anliegt, ist nur erfüllt, wenn gilt: U 1 U und U 3 U x Durch Division dieser beiden Gleichungen erhält man: U 1 U 3 U U x Durch Umformen dieser Gleichung mit der "Kondensatorgleichung" Q C U bzw. U Q ergibt sich: C Q 1 C 1 : Q 3 C 3 Q C : Q x C x Q 1 C 3 C 1 Q 3 Q C x C Q x C x Q 1 C 3 C Q x C 1 Q 3 Q (α) Da ja bei geöffnetem Schalter die Kapazitäten C 1 und C sowie die kapazitäten C 3 und C x in Serie geschaltet sind, gilt für die Ladungen auf den einzelnen Kondensatoren: Q 1 Q : Q 1, und Q 3 Q x : Q 3,x

9 Fortsetzung von Aufgabe 4 c Durch Einsetzen in Gleichung (α) erhält man für die Kapazität C x : C x Q 1, C 3 C Q 3,x C 1 Q 3,x Q 3, C 3 C C 1 1 µf 0 µf 8 µf 30 µf Für die Kapazität C x 30 µf sind die Kapazitäten bei geöffnetem und geschlossenem Schalter gleich groß. c) Lösung Bei geöffnetem Schalter gilt: C 1, C 1 C und C C 1 + C 3,x C 3 C x C 3 + C x Damit erhält man für die Gesamtkapazität, wenn der Schalter auf ist: C ges, auf C 1 C C 1 + C + C 3 C x C 3 + C x Bei geschlossenem Schalter gilt: C 1,3 C 1 + C 3 und C,x C + C x Damit erhält man für die Gesamtkapazität, wenn der Schalter zu ist: C ges,zu (C 1 + C 3 ) (C + C x ) C 1 + C + C 3 + C x C x soll so gewählt werden, dass gilt: C ges, auf C ges, zu, also folgt: C 1 C C 1 + C + C 3 C x (C 1 + C 3 ) (C + C x ) C 3 + C x C 1 + C + C 3 + C x (α) Das Auflösen dieser Gleichung nach C x unter Verwendungder allgemeinen Größen C 1, C und C 3 erfordert ohne Computerunterstützung einen hohen Aufwand an Schreib- bzw. Rechenarbeit. Um diesen Aufwand möglichst gering zu halten, setze ich in die Gleichung (α) für C 1, C und C 3 die gegebenen Werte ein und lasse die Einheit µf weg. Die Gleichung (α) lautet dann: C x 1 + C x C x 1 + C x C x + 84 C x C x 0 (0 + C x ) 40 + C x C x 40 + C x C x 40 + C x ( C x ) (40 + C x ) ( C x ) ( C x )

10 Fortsetzung von Aufgabe 4 c (. Lösung) C x C x + 14 Cx C x C x Cx 16 Cx C x Cx 60 C x (C x 30) 0 C x 30 Die Gesamtkapazitäten der Schaltung sind bei geöffnetem Schalter und bei geschlossenen Schalter Glei ch groß, wenn der Kondensator die kapazität C 4 30 µf hat. K 4 Aufgabe 5 a) Die größte Gesamtkapazität C ges,max erhält man, wenn man die Kondensatoren K 1 und K parallel schaltet und die Platten von K vollständig hereindreht. C ges,max C 1 + C,max 40 nf nf 07 nf Die größte Kapazität beträgt C ges,max 07 nf. b) Die kleinste Gesamtkapazität C ges,min erhält man, wenn man die Kondensatoren K 1 und K in Serie schaltet und die Platten von K vollständig herausdreht. C ges,min C 1 C,min C 1 + C,min 40 nf 3 nf 40 nf + 3 nf nf Die kleinste Kapazität beträgt C ges,min nf. c) Da C ges 4 nf < C,min 3 nf < C 1 40 nf ist,müssen die beiden Kondensatoren i n R e i h e geschaltet werden. Bei einer Parallelschaltung wäre nämlich die kleinste Kapazität C p,min C 1 + C,min 40 nf + 3 nf 7 nf > 4 nf C ges Für die Reihenschaltung gilt: 1 C ges 1 C C C C 1 C ges C 1 C ges 40 nf 4 nf 40 nf 4 nf 60 nf Der Drehwinkel α am Kondensator K muß also so eingestellt werden, dass seine Kapazität C 60 nf beträgt.

11 Fortsetzung von Aufgabe 5 c Die Formel für die Kapazität C in Abhängigkeit des Drehwinkels α lautet: C C,min + C,max C,min 180 α (C C,min ) 180 C,max C,min α (60 nf 3 nf) nf 3 nf 37,3 Um die Gesamtkapazität von 4 nf zu erhalten, muß der Drehwinkel α 37,3 betragen.

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