Praktikum Mechanische Verfahrenstechnik Frühlingssemester 2016 Filtration

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1 Praktikum Mechanische Verfahrenstechnik Frühlingssemester 2016 Filtration Betreuung: Georgios Sotiriou ML F18 Tel.:

2 Inhaltsverzeichnis 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Definitionen 1.2 Klassische Filterdifferentialgleichung für Kuchenfiltration 1.3 Lösung der Filterdifferentialgleichung a) Lösung mit Δp = const. b) Lösung mit V f * = dv f / dt = const. 1.4 Kompressibilität 2. Beschreibung der Versuchsanlage 2.1 Kammerfilterpresse 2.2 RI-Schema 2.3 Filtrationsverlauf einer Kammerfilterpresse 2.4 Angewandte Messprinzipien 3. Versuchsbeschreibung 4. Auswertung und Praktikumsbericht 4.1 Darstellung der Filtrationsversuche und Bestimmung der Kenngrössen a) Auftragung der p = konst. - Versuche in der Form log (V f / ) über log t b) Auftragung der p = konst. - Versuche in der Form t / V f über V f c) Auftragung der V * f = konst. - Versuche in der Form p über t d) Bestimmung der Kompressibilität aus den p = - Versuchen e) Bestimmung der Porosität aus dem Ansatz nach Carman-Kozeny 4.2 Abschliessende Diskussion 5. Symbolverzeichnis 6. Stoffwerte und Geometriedaten 7. Literatur 2

3 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Definitionen Filtrieren ist die Trennung einer heterogenen Mischung, bestehend aus einem fein verteilten festen Stoff und einem Fluid, mit Hilfe der Siebwirkung eines Filtermediums in Filtrat und mehr oder weniger feuchten Feststoff. Zu unterscheiden sind drei FiItrationsmechanismen (siehe Abbildung 1): - Kuchenfiltration (auch Oberflächen- oder Siebfiltration) Der in der Suspension enthaltene Feststoff wird durch ein Filtermedium (Siebgewebe, Tuch, Sintermetall usw.) zurückgehalten und an dessen Oberfläche abgelagert; es bildet sich ein Kuchen, der für jedes neu ankommende "Suspensionselement" als Sperrschicht wirkt. Das Filtermedium hat lediglich die Aufgabe, den Beginn der Kuchenbildung einzuleiten und den Kuchen zu tragen. Im Innern des Filtermediums findet keine Abscheidung statt, d.h. die Partikel werden entweder schon im darüberliegenden Kuchen zurückgehalten oder sie passieren das Tuch ungehindert. Der Filtrationsvorgang wird nach einer gewissen Zeit oder einer erreichten Kuchendicke unterbrochen und der Kuchen mechanisch vom Tuch entfernt. - Querstromfiltration Auch hier werden die Teilchen an der Oberfläche eines Filtermediums abgeschieden, d.h. mechanisch zurückgehalten. Es kann jedoch kein Kuchen entstehen, da Suspension und Filterfläche relativ zueinander mit z. T. sehr hohen Geschwindigkeiten bewegt werden, d. h. die an der Oberfläche des Filtermediums wirkende Scherspannung "spült" die anfiltrierten Teilchen sofort wieder in die strömende Suspension ein. Während das Filtrat durch das Filtertuch hindurchtritt und aus dem Filtrationsprozess abgeführt wird, kann auf der Feststoffseite nur eine Aufkonzentrierung der Suspension auftreten. 3

4 - Tiefenfiltration Das Filtermedium besteht aus einer meist dickeren Schicht (Sandbett, Precoat usw.), in deren Hohlräumen der Feststoff zurückgehalten und eingelagert wird. Es baut sich kein Kuchen oberhalb des Filtermediums auf. Nachdem eine gewisse Menge Feststoff eingelagert wurde bzw. der Druckabfall durch die immer enger werdenden Kapillaren der Schüttung stark angestiegen ist, oder die Klarheit des Filtrats nicht mehr erreicht wird, muss der Filtrationsvorgang unterbrochen und das Filtermedium "regeneriert" werden. Dies kann durch starkes RückspüIen des Mediums, durch Umlagern des Schüttgutes, durch chemisches Auslösen oder durch thermisches Zersetzen des Rückstandes oder ähnliche Prozesse geschehen. Kuchen-filtration Suspensionsstro m Suspensionsstro m Querstrom-filtration Tiefenfiltration Suspensionsstro m Filter-hilfsschicht Filterkuchen Filtratstrom Filtratstrom Filtratstrom Abbildung 1: Grundsätzliche Arten der Filtration Der Laborapparat arbeitet nach dem Prinzip der Kuchenfiltration. 4

5 1.2 Klassische Filterdifferentialgleichung für Kuchenfiltration Henry Darcy, als "inspecteur général des ponts et chaussées" der Stadt Dijon auch zuständig für die Trinkwasseraufbereitung, führte in der Mitte des 19. Jahrhunderts Versuche an Sandbettfiltern durch. In einer Veröffentlichung von 1856 [1] schreibt er: "CES EXPERIENCES DEMONTRENT POSITIVEMENT QUE LE VOLUME D' EAU QUI PASSE A TRAVERS UNE COUCHE DE SABLE D' UNE NATURE DONNEE EST PROPORTIONNEL A LA PRESSION ET EN RAISON INVERSE DE L' EPAISSEUR DES COUCHES TRAVERSEES; AINSI, EN APPELANT LA SUPERFICIE D' UN FILTRE, K UN COEFFICIENT DEPENDANT DE LA NATURE DU SABLE, H K L' EPAISSEUR DE LA COUCHE DE SABLE,...[ P Druckdifferenz]; ON A POUR LE DEBIT...[du filtre]:" V f = k Δp h k = Δp h η k k η (1) Für verschiedene Flüssigkeiten ergab sich, dass die Proportionalitätskonstante k die Viskosität η nicht enthält. Danach stellt η * {h k / k * η} den Gesamtwiderstand gegen die Durchströmung dar. Dieses Gesetz kann man nun zur Beschreibung der kuchenbildenden Filtration heranziehen. Dabei teilt man zweckmässigerweise {h k / k * η} auf in einen Filtermediumwiderstand β M und den Kuchenwiderstand α C * h K. Man nennt hierbei α C den kuchenhöhenspezifischen Kuchenwiderstand, h K ist die (zeitabhängige!) Kuchenhöhe. Abbildung 2: Druckabfall in Kuchen und Tuch 5

6 Damit wird der Durchströmungswiderstand aus Gleichung (1) {h k / k * η} = (β M + α C * h K ) (2) und mit (1) ergibt sich V f = 1 dv f dt = Δp η (β M + α C h k ) (3) Der spezifische Kuchenwiderstand α C ist eine haufwerkscharakteristische Grundgrösse. Er ist abhängig von der Haufwerksstruktur, von Verteilung, Form und Oberflächenbeschaffenheit des jeweiligen Partikelkollektivs. In der Literatur existieren eine Reihe von Ansätzen, α C aus den das Porensystem kennzeichnenden Grössen zu berechnen. Eine der bekanntesten Beziehungen ist die von Carman und Kozeny [2], siehe Kapitel 4.1 e. Alle Modellansätze erfordern jedoch die Ermittlung empirischer Anpassungsgrössen und sind nicht allgemein anwendbar. Der Filtermediumwiderstand β M wird häufig als vernachlässigbar klein betrachtet. Bei genügend dickem Filterkuchen und ausreichend "offenem" Tuch ist diese Annahme sicher gerechtfertigt. In der Praxis werden Tücher meist in der Weise ausgewählt, dass auch im Dauerbetrieb mit den dort auftretenden Einlagerungen von Feinstteilchen der Widerstand β M während der meisten Zeit eines Filtrationszyklusses klein gegenüber dem Wert α C * h K bleibt. Ein sehr dicht gewähltes Tuch würde zwar ein sehr feststoffarmes oder ganz feststofffreies Filtrat ergeben, jedoch steigt die Gefahr einer Verstopfung der Tuchporen durch Feststoffteilchen. Ausserdem verringert sich durch einen hohen Druckverlust im Tuch die pro Zeit gebildete Filterkuchenmenge und die Durchsatzleistung eines Filters geht zurück. Je feinporiger das Filtermedium gewählt wird und je geringer die anfiltrieren Kuchenhöhen sind desto grösser wird auch der Anteil des Filtermediums am gesamten Druckverlust des durchströmten Systems. Vor allem beim kontinuierlichen Betrieb von Filtern mit hoher Durchsatzleistung ist diese Tendenz zu dünnen Filterkuchen erkennbar. 6

7 Für die Integration der Differentialgleichung (3) sollen folgende Voraussetzungen gelten: a) Das Filtrat fliesst laminar b) Der gebildete Filterkuchen ist inkompressibel, also seine Porosität ε druckunabhängig. Das ist gleichbedeutend mit der Annahme eines konstanten, spezifischen Kuchenwiderstands α C. c) Der Widerstand des Filtermediums β M ist während des ganzen Filtervorgangs konstant. d) Das Filtermedium hält den gesamten Feststoff zurück. Mit diesen Annahmen lässt sich (3) integrieren. Dabei eliminiert man zweckmässigerweise zuvor die Kuchenhöhe h k über eine Feststoffmassenbilanz (Abbildung 3): Suspension mit Konzentration c Filterkuchen mit Höhe h k Filtertuch Filtrat mit Konzentration c = 0 Abbildung 3: Bilanzierung des Filters h k (1 ε) ρ solid = V f c (4) Filterkuchenmasse = Filtratvolumen * Suspensionskonzentration 7

8 Setzt man für die Kuchenhöhe den Zusammenhang von Gleichung (4) ein, so schreibt sich (3): 1 dv f dt = Δp α η β M + C ρ sol (1 ε) c V f = Δp η β M + α c V f (5) In Gleichung (5) wurde für α C / ρ sol (1-ε) der flächenmassenspezifische Kuchenwiderstand α eingeführt, den wir der Einfachheit halber weiterhin ebenfalls nur spezifischen Kuchenwiderstand, Symbol α, nennen wollen. 1.3 Lösung der Filterdifferentialgleichung Wir verwenden in diesem Praktikum zwei Lösungen der Gleichung (5): a) p = d. h. mit zunehmender Zeit fällt der Filtratvolumenstrom ab. b) V f * = dv f / dt = d. h. der notwendige Filtrationsdruck steigt an. ad a) Lösung für p = Die Integration der Gleichung (5) ergibt mit der Anfangsbedingung V f = 0 bei t = 0 : η Δp α c V f +β M dv f = dt (6) V η Δp α c f V 2 2 A f + β M V f = t (7) F 0 t = η ( α c V A f F β M V f ) 2 A 2 F Δp (8) 8

9 Für die grafische Auswertung von (8) eignet sich folgende Darstellung: t V f = η c α 2 2 Δp V f + η β M Δp (9) Bei einer grafischen Darstellung von t / V f als Funktion von V f ergibt sich somit eine Gerade (Abbildung 4). Aus ihrer Steigung lässt sich der spezifische Kuchenwiderstand α, aus dem Achsenabschnitt der Widerstand des Filtermediums β M berechnen. Änderungen im spezifischen Kuchenwiderstand α besonders in der Anfangsperiode der Kuchenbildung können zu einem gekrümmten Verlauf von t / V f gegen V f führen. t V f α β M V f Abbildung 4: t / V f über V f für p = ad b) Lösung für V f * = dv f / dt = Hier resultiert mit V f = t. V f * aus (5): 9

10 Δp(t) = η α c V 2 f 2 t + β η V M f (10) d. h. der Druck steigt linear mit der Zeit. Durch Auftragen von p gegen t kann analog dem Fall a) der Wert α sowie β M bestimmt werden (Abbildung 5). Δp α β M t Abbildung 5: p über t für V f * = 1.4 Kompressibilität Nach der klassischen Filterdifferentialgleichung (5), wo die Feststoffteilchen als starr vorausgesetzt werden, müsste der spezifische Kuchenwiderstand α vom Druck unabhängig sein. Wird aber ein Filtrand bei verschiedenen Drücken filtriert, so ist der resultierende spezifische Kuchenwiderstand α häufig nicht konstant, sondern nimmt mit zunehmendem Filtrationsdruck zu. 10

11 Trägt man die spezifischen Kuchenwiderstände α aus Filtrationsversuchen, die bei verschiedenen Filtrationsdrücken p durchgeführt wurden, in doppellogarithmischer Darstellung als Funktion von p auf, so findet man ungefähr eine lineare Abhängigkeit, die folgender Gleichung genügt: α = α o (Δp / Δp o ) n (11) Dabei wird mit α o der spezifische Kuchenwiderstand beim Druck p o bzw. mit α derjenige beim Druck p bezeichnet. Daraus ergibt sich umgekehrt die Definitionsgleichung für die Kompressibilität n: n = log α / α o log Δp / Δp o (12) Für inkompressible Filterkuchen wird n = 0, für kompressible Kuchen steigt n von 0 bis etwa 1.2 an. Bei n = 1 ist das Filtratvolumen nach einer gewissen Zeit praktisch unabhängig vom Filtrationsdruck. Die klassische Filterdifferentialgleichung (5) mit dem Potenzansatz für die Druckabhängigkeit des spezifischen Kuchenwiderstands (Gleichung (11)) ist heute die wichtigste Grundlage für die Auslegung von Filterapparaten. Der spezifische Kuchenwiderstand α ist dabei als über den Kuchen gemittelter Widerstand aufzufassen, da die unteren Schichten des Filterkuchens stärker zusammengedrückt werden und damit einen grösseren spezifischen Widerstand aufweisen. 11

12 2. Beschreibung der Versuchsanlage 2.1 Kammerfilterpresse Die in diesem Versuch verwendete Filteranlage ist eine sogenannte Plattenfilterpresse. Mit Hilfe eines solchen diskontinuierlichen Druckfilters können schwer filtrierbare Produkte mit Drücken von bis zu 60 bar filtriert und entfeuchtet werden. Der Aufbau einer Plattenfilterpresse besteht aus bis zu 150 parallel geschalteten Filterelementen (im Laborversuch nur eine Filterplatte mit Filterrahmen). Die in diesem Versuch verwendete Plattenfilterpresse ist in Abbildung 6 mit ihren Komponenten dargestellt. Abbildung 6: Kammerfilterpresse Erläuterungen: 1 Armaturendeckel (am Gestelldeckel fixiert) 2 Beweglicher Deckel 3 Tragstangen 4 Filterplatten 5 Traggestell 12

13 6 Auffangschale 7 Schichtenhalter 8 Abnehmbarer Anpressknebel 9 Haltetraverse mit Gewindebüchse 10 Spindelverlängerung 11 Eingangsventil 12 Ausgangsventil 13 Entlüftungsventil 14 Eingangsmanometer und Entlüftungsventil 2.2 RI-Schema Abbildung 7: RI-Schema der Versuchsapparatur In Abbildung 7 ist das RI-Schema der Anlage abgebildet. Die Suspension wird in den Vorlagebehälter eingebracht und dort mit einem Rührer und zusätzlicher Umwälzpumpe homogenisiert. Über den Druckluftanschluss wird die Anlage auf den Filtrationsdruck gebracht. 13

14 Mit dem Dreiwegehahn kann der Filter wahlweise über das Durchflussregelventil mit konstantem Volumenstrom oder direkt über den Bypass mit konstantem Druck betrieben werden. 2.3 Filtrationsverlauf in einer Kammerfilterpresse Abbildung 8: Schematische Darstellung der Kuchenbildung in einer Plattenfilterpresse In Abbildung 8 ist eine Plattenfilterpresse schematisch dargestellt. Durch abwechselndes Einsetzen von Rahmen und ebenen Platten entstehen Kuchenräume. Rahmen und Platten sind im allgemeinen quadratisch. Über die Platten sind Filtergewebe gehängt. Sie dienen im Bereich des umlaufenden Randes als Dichtung, im Bereich der freien Filterfläche als Filtermedium. Die Suspensionszufuhr erfolgt über fluchtende Bohrungen im Plattenpaket. In den Kuchenräumen filtrieren beidseitig Kuchen an, die schliesslich in der Mitte zusammenwachsen. Die Filtratabfuhr erfolgt durch ein Kanalsystem unter dem Fil- 14

15 tertuch, auf der Plattenoberfläche und weiter durch fluchtende Bohrungen im Plattenpaket oder durch Einzelabläufe an den Platten. An den Stirnseiten wird das Plattenpaket durch eine feste Kopfplatte und eine bewegliche Druckplatte begrenzt. Durch zwei Holme wird das Paket zusammengespannt, wobei die Schliesskraft - im Laborversuch von Hand mittels einer Schraubspindel aufgebracht, bei grossen Anlagen üblicherweise hydraulisch - mindestens 10 % grösser sein muss als die bei der Füllung der Presse durch den Suspensionsdruck entstehenden Axialkräfte. Der Filtrationszyklus einer Plattenfilterpresse: Der Filtrationszyklus gliedert sich in vier Abschnitte. Sie werden in der Auftragung Schlammstrom bzw. Druckverlauf an der Pumpe über Filtrationszeit (Abbildung 9) deutlich. Sobald die Kammern mit Suspensionen gefüllt sind, entspricht der Schlammvolumenstrom dem Filtratstrom. Abbildung 9: Schlammstrom bzw. Filtrationsdruck in einer Filterpresse während der verschiedenen Phasen des Filtrationszyklusses 15

16 Die erste Phase im Filtrationszyklus der Filterpresse ist die Kammerfüllzeit t K. Es erfolgt noch kein Druckaufbau. Der Durchsatz ist durch den maximalen Förderstrom der Suspensionspumpe bestimmt. Es fällt kaum Filtrat an. Sind die Kammern mit Schlamm bzw. Suspension gefüllt, so beginnt die Druckfiltration mit konstantem Volumenstrom, der weiterhin durch die Förderkapazität der Pumpe bestimmt wird. Während dieser, als Pumpenfiltrationszeit t p bezeichneten Phase, baut sich der Speisedruck bis zu dem vorher an der Pumpe eingestellten Maximalwert auf. Es schließt sich die Kuchenfiltrationszeit t f mit konstanter treibender Druckdifferenz an. Den Abschluß des Filtrationszyklusses bildet die für Kuchenaustrag und Tuchreinigung benötigte Entleerungszeit t e. Sie beträgt je nach Größe, Produkt und Automatisierungsgrad etwa 15 bis 45 Minuten. Für größere Filterpressen werden häufig zwei verschiedene Pumpentypen eingesetzt. Die Füllung der Presse und der erste Abschnitt der Filtration erfordern grosse Volumenströme bei geringen Gegendrücken. Für diese Aufgabe sind Strömungspumpen geeignet. Mit steigender Kuchenhöhe fällt der Durchsatz. Der Suspensionsdruck steigt dabei bis zum Maximalwert an und bleibt bis zum Abschluß der Kuchenbildung konstant. In dieser Phase wird mit einer volumetrischen Pumpe gearbeitet Angewandte Messprinzipien Filtrationsdruck Die Messung des Überdrucks im Vorlagegefäss (PIC im RI-Schema), der dem Filtrationsdruck entspricht, erfolgt mittels eines piezoresistiven Aufnehmers. Füllstand Um die Feststoffkonzentration der Suspension berechnen zu können, muss das Flüssigkeitsvolumen im Vorlagebehälter gemessen werden. Dies erfolgt mittels eines Flüssigkeitsstandanzeigers (LI im RI-Schema). 16

17 Filtratvolumenstrom Zur Messung des Filtratvolumenstromes wird ein magnetisch-induktives Durchflussmessgerät (FIC im RI-Schema) angewandt. Basis dieses Messprinzips ist das Faraday sche Induktionsgesetz. Den bewegten Leiter stellt dabei die elektrisch leitende, strömende Flüssigkeit dar. Dadurch wird senkrecht zum Magnetfeld und der Strömungsrichtung eine Spannung induziert, deren Amplitude proportional zur mittleren Strömungsgeschwindigkeit ist. Daraus kann bei bekanntem Rohrquerschnitt der volumetrische Durchfluss ermittelt werden. Der so ermittelte Durchfluss wird sowohl digital angezeigt als auch an einen PI-Regler weitergegeben. Dieser Regler wird bei den Versuchen mit konstantem Volumenstrom eingesetzt und verwendet als Stellgerät ein pneumatisches Ventil. Abbildung 10: Magnetisch-induktives Messverfahren 17

18 3. Versuchsbeschreibung - Suspension herstellen Zu Versuchsbeginn werden alle Ventile auf korrekte Stellung zum Befüllen des Tanks überprüft. Dann wird der Kessel mit 70 l Wasser aufgefüllt. Anschliessend wird 1 Becher CaCO 3 (ca. 250 g) abgewogen, mit etwas Wasser verrührt und in den Kessel eingebracht. Damit ist die Schlammkonzentration c für die Auswertung festgelegt. Nach Einschalten von Rührer und Umwälzpumpe (vorher alle Hähne und Ventile schliessen) wird über das Druckluftnetz ein Druck von 1 bar eingestellt. Dazu befindet sich am Kessel ein Reduzierventil (roten Feststellring anheben und Ventil drehen). - Filter vorbereiten Filterpapier (richtig) einlegen, fest zuschrauben, eventuell nach Öffnen des Ventils nochmal nachziehen - Versuche p = konst. a) 1 bar b) 2 bar (nach diesem Versuch neue Suspension ansetzen) c) 3 bar Vordruck mit dem Reduzierventil einstellen und warten, bis der Druck im Kessel konstant ist. Leitung: Bypass (Regelventil überbrückt) Hahn kurz vor Filter kurz öffnen und wieder schliessen, um Gesamtfunktionsfähigkeit zu überprüfen (Schreiberanzeige, Austritt von Schlammsuspension...) Filterhahn öffnen, Versuch läuft (ca. 12 min) Beachte: Zuordnung "Druck - Einheiten" ablesen Nach jedem Versuch Filter wechseln 18

19 - Versuch V f * = konst. Druckreduzierventil auf 3 bar Regler einschalten (Strom und Schieber auf "autom.") kleinen Sollwert einstellen Bypass schliessen, Weg über Regelventil öffnen Hahn kurz vor dem Filter wie oben öffnen, damit Flüssigkeit durchläuft Regler einstellen und abwarten, bis V f * = konst., ca. 16 % Hahn zum Filter öffnen, gleichzeitig den anderen schliessen, Versuch läuft (ca. 12 min) Beachte: Zuordnung V f * [%] - Einheiten ablesen - Druck ablassen, Kessel entleeren und spülen, Filter reinigen 19

20 4. Auswertung und Praktikumsbericht 4.1 Darstellung der Filtrationsversuche und Bestimmung der Kenngrössen a) Auftragung der p = konst. - Versuche in der Form log (V f / ) über log t Vernachlässigt man in Gleichung (8) den Widerstand für das Filtermedium β M, so ergibt sich für die Filtration bei konstantem Druck: t = η c α V 2 f 2 A 2 F Δp (13) und V f = 2 t Δp c η α (14) Tragen Sie nun den zeitlichen Verlauf von log (V f / ) mit V f in m 3 und in m 2 über log t mit t in s aus allen p = konst. - Versuchen auf. Gemäss Gleichung (13) sollten Geraden der Steigung 1/2 entstehen. Diskutieren Sie die Resultate und ziehen Sie qualitative Schlüsse aus der Darstellung. b) Auftragung der p = konst. - Versuche in der Form t / V f über V f Gleichung (9) stellt eine Geradengleichung dar. Tragen Sie nun t / V f in s/m 3 als Funktion von V f in m 3 auf und bestimmen Sie den spezifischen Kuchenwiderstand α für alle p = - Versuche. Berechnen Sie zusätzlich aus dem Achsenabschnitt den Widerstand β M des Filtermediums. Diskutieren Sie die Resultate. c) Auftragung der V f * = konst. - Versuche in der Form p über t Auch für die V f * = - Versuche ergibt sich eine Geradengleichung (Gleichung (10)). Bestimmen Sie daraus ebenfalls den spezifischen Kuchenwiderstand α sowie den Filtermediumwiderstand β M, indem Sie p in Pa gegen t in s auftragen. 20

21 d) Bestimmung der Kompressibilität aus den p = - Versuchen Berechnen Sie die Kompressibilität n mit Gleichung (11) oder (12) aus den oben ermittelten Werten. e) Bestimmung der Porosität aus dem Ansatz nach Carman-Kozeny Carman versuchte 1939 [2], den Druckverlust einer Schüttung analytisch zu berechnen. Dazu verwendete er für den porösen Filterkuchen das Modell zahlreicher, durchgehender Kanäle. Der Druckverlust eines solchen Kanals ergibt sich bekanntlich aus Δp Kanal = h liq 2 k ξ vkanal (15) 2 dh (Re) ρ ξ Druckverlustbeiwert v mittlere Kanalgeschwindigkeit d h Kanal h k hydraulischer (Kanal-) Durchmesser Kuchenhöhe resp. Kanallänge Für einen laminar durchströmten Kanal kann man für den Druckverlustbeiwert ξ das Gesetz von Hagen-Poiseuille verwenden. Dabei ist die Reynoldszahl v Kanal d h ρ liq Re = (16) η Die mittlere Kanalgeschwindigkeit erhält man aus der Kontinuitätsgleichung V * f = vkanal AF #" = v! 0 AF freie Lehrrohr Querschnittsfläche Geschwindigkeit $ ε (17) Die grösste Ungenauigkeit liegt in der Verwendung eines hydraulischen Durchmessers d h, da in Wirklichkeit keine einzelnen, durchgehenden Kanäle gleichmässigen Durchmessers vorliegen, sondern gekrümmte, vernetzte, abwechselnd verjüngte und aufgeweitete Poren, die stark von Haufwerksstruktur, Form, Verteilung und Oberflächeneigenschaften der Partikeln abhängen. 21

22 Man schreibt für d h d h = 4A U h k h k (18) A U Kanalquerschnitt benetzter Umfang d h = 4 (ε h k ) F (19) wobei der Term ε * die freie Querschnittsfläche darstellt. Die benetzte Gesamtfläche F ermittelt man aus der teilchenvolumenspezifischen Oberfläche S zu (20) F = S ( 1 ε ) #"! Feststoff volumenanteil AF hk #"! gesamtes Kuchenvolumen Setzen Sie jetzt alle Angaben in Gleichung (15) ein und ersetzen Sie dabei auch die Kuchenhöhe h k nach Gleichung (4). (15) lässt sich dann in die Form (vgl. (5) mit vernachlässigtem β M ) bringen Δp = η α C K c V f v 0 (21) Geben Sie die Berechnungsvorschrift für den spezifischen Kuchenwiderstand nach Carman-Kozeny, α C-K, an. Setzt man nun für α C-K die experimentell bestimmten spezifischen Kuchenwiderstände α aus den vier Versuchen ein, so erhält man die entsprechenden Porositäten. Welche Porositäten erhalten Sie und welche Schlüsse lassen sich ziehen? 22

23 4.2 Abschliessende Diskussion - Für die Herleitung der klassischen Filterdifferentialgleichung (5) wurden diverse Voraussetzungen getroffen. Welchen Einfluss hätte eine breite Partikelgrössenverteilung auf die Porosität - bei gleichem mittleren Durchmesser - und wie würde sich dies auf den spezifischen Kuchenwiderstand α auswirken? Wie würde ein zeitlich steigender Filtermediumwiderstand β M in der t / V f über V f - Darstellung eingehen? - Stellen Sie nun zum Schluss die vier ermittelten spezifischen Kuchenwiderstände α nebeneinander und diskutieren Sie deren Grösse. Wie verhalten sich dazu die Filtermittelwiderstände β M? Welche Schlüsse ziehen Sie aus dem errechneten Wert für die Kompressibilität n sowie aus den berechneten Porositäten? 23

24 5. Symbolverzeichnis A Kanalquerschnitt [m 2 ] Fläche des Filtermediums (hier Plattenquerschnitt) [m 2 ] c Feststoffkonzentration, Masse Feststoff pro Filtratvolumen [kg/m 3 ] d h hydraulischer (Kanal-) Durchmesser [m] F benetzte Oberfläche der Teilchen [m 2 ] h k Kuchenhöhe (resp. Kanallänge) [m] k Durchlässigkeitskoeffizient nach Darcy [m 3 *s/kg] n Kompressibilität [-] p Druckabfall über Kuchen und Filtermedium [N/m 2 ] S spezifische Oberfläche (Oberfläche der Teilchen pro Teilchenvolumen) [m -1 ] t Filtrationsdauer [s] U benetzter Umfang [m] v Kanal mittlere Geschwindigkeit im Kanal (bzw. Pore) [m/s] v 0 Leerrohrgeschwindigkeit, auf ganze Filterfläche bezogener Filtratvolumenstrom [m/s] V f Filtratvolumen [m 3 ] V f * Filtratvolumenstrom [m 3 /s] α C kuchenhöhenspezifischer Kuchenwiderstand [m -2 ] 24

25 α flächenmassenspezifischer Kuchenwiderstand [m/kg] α C-K flächenmassenspezifischer Kuchenwiderstand nach Carman-Kozeny [m/kg] β M Widerstand des Filtermediums [m -1 ] ε Porosität [-] η dynam. Zähigkeit [kg/(ms)] ρ liq Dichte der Flüssigkeit [kg/m 3 ] ρ sol Dichte des Feststoffs [kg/m 3 ] ξ Druckverlustbeiwert [-] 25

26 6. Stoffwerte und Geometriedaten ρ sol = ρ CaCO3 = 2710 kg/m 3 ρ liq (Wasser bei 14 C) = 1000 kg/m 3 S = 9.18 * 10 5 m 2 /m 3 η = kg/(ms) = m 2 7. Literatur [1] Darcy, H.: "Les Fontaines Publique de la Ville de Dijon", Herausgeber Victor Dalmont, Paris, 1856 [2] Carman, P. C.: "Fundamental Principles of Industrial Filtration", Transactions-Institution of Chemical Engineers, 1939, [3] Müller, E.: "Mechanische Trennverfahren", Band 2, Sauerländer, 1983, (IVUK-Bibliothek CIT 219/II) 26