10 Lineare Zweipole und Zweitore

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1 Seite 06 0 Lineare Zweipole und Zweitore 0. Grundüberlegung Bisher: Beliebige Zusammenschaltung von R, L, C; individuelle Betrachtungsweise; keine für alle Schaltungen allgemeingültige Aussagen. Hier: Nur zwei Klassen von Schaltungen betrachten; allgemeine Betrachtungsweise durch allgemeine Kenngrößen; damit für beide Klassen allgemeingültige Aussagen. I U I I 3 I 4 Eintor (Zweipol) Zweitor (allgemein Vierpol) lineare Gleichung lineare Gleichungen (Matrix) Wie betrachten also die Zweipole (Eintore), die durch zwei Koeffizienten einer linearen Gleichung beschrieben sind und eine spezielle Klasse der Vierpole (die Zweitore), die durch die Koeffizientenmatrix eines Systems von zwei linearen Gleichungen beschrieben werden. Alle weiteren Betrachtungen erfolgen für - den quasistationären Zustand - den eingeschwungenen Zustand und für - lineare Zweipole bzw. Vierpole Beispiele für Zweipole: Impedanzen, Ersatzspannungsquellen, Ersatzstromquellen Beispiele für Vierpole: Spannungsteiler, Filter, Übertrager, Transformatoren usw.

2 Lineare Zweipole und Zweitore Seite Leistungsberechnung an linearen Zweipolen Lineare Zweipole wurden bereits bei den Gleichstromschaltungen behandelt. Bei Zweipolen im Wechselstromkreis gibt es lediglich zur Leistungsberechnung einige Nachträge: Passive Zweipole: Es ist U L U K 0, d.h. passive Zweipole werden beschrieben durch U Z I oder I Y U, also durch eine einzige Konstante Z oder Y. Bei physikalisch realisierbaren passiven Zweipolen, darf die Leistung P nicht negativ sein, also P -- ( I * U + U * I) > 0 und mit U Z I bzw. U * Z * I * wird P I I * Z Z* Für passive Zweipole ist also Re( Y) > 0 Aktive Zweipole: -- Re( Z) Re( Z) 0 Re( Z) > 0 Die aufgenommene Leistung ist P Re( U I * ) Re{ ( U L + Z I) I * } Re{ U L I * } + I I * Re{ Z} und damit auch P kann also je nach Größe von U, I positiv oder negativ werden.

3 Seite Leistungsanpassung bei Zweipolen Die Leistungsabgabe von einem aktiven Zweipol an einen passiven Zweipol muß ebenfalls noch für den Wechselstromkreis untersucht werden. I a Z i U l U a Z a Dazu muß untersucht werden, wie die Leistung P a an der Last Z a R a + jx a bei gegebenem Z i R i + jx i von R a und X a abhängt. Allgemein war P a I a R a I a Re( Z a ) wobei I a U L Z i + Z a U L und R a + R i + jx ( a + X i ) U I a L. ( R a + R i ) + ( X a + X i ) Somit ist also P a U L [( R i + R a ) + ( X i + X a ) ] R a Leistungsanpassung heißt: die von soll ein Maximum sein. Z a aufgenommene Leistung P also: a 0 und R a P a 0 X a Da die Variablen R a und X a nur im Nenner vorkommen, genügt es, dessen Ableitung nach R a und X a zu bilden und die Nullstellen zu suchen.

4 Lineare Zweipole und Zweitore Seite [( R R a R i + R a ) + ( X i + X a ) ] a R i ( X i + X a ) R a R a [( R X a R i + R a ) + ( X i + X a ) ( X i + X a ) ] a R a Beide Ableitungen werden gleichzeitig Null für X a X i und R i R a. Damit erfolgt Leistungsanpassung bei Z a Z * i und die Leistung wird dann P max -- U e R a 0.4 Beschreibung von Vierpolen durch Matrizen U 4 Schaltung I 3 U 3 I 4 An dem gezeigten Vierpol sind zugänglich: - 4 Klemmenspannungen - 4 Klemmenströme und es gilt nach den Kirchhoff schen Regeln + I 3 I U 4 U 3 0 Von diesem allgemeinen Fall des Vierpols unterscheidet man den Spezialfall Zweitor. Als Tore bezeichnet man Klemmenpaare, bei denen der einfließende und ausfließende Strom gleich ist. In den beiden Toren ist also I 3 und I 4.

5 Seite 0 Das gilt immer wenn Vierpol Zwischenglied zwischen Sender und Empfänger ist, also z. B. aktiv Zweitor passiv Ab jetzt sollen ausschließlich Zweitore betrachtet werden, die wie bereits vereinbart linear und passiv sein sollen. Dann gilt allgemein: a + a + b + b 0 a + a + b + b 0 a und es muß entweder a b 0 oder b 0 sein. a a b b Mit det a nn 0 kann man nach bzw. auflösen und erhält die Beschreibung durch diewiderstandsmatrix Die Widerstandsmatrix Z + Z Z + Z oder Z Z Z Z und mit den Spaltenmatrizen von Spannung und Strom [ U] und [ I] lautet die Beschreibung des Zweitors [ U] [ Z] [ I]

6 Lineare Zweipole und Zweitore Seite Z Z Dabei ist [ Z] die Widerstandsmatrix des Zweitores. Z Z Die Elemente Z nn der Widerstandsmatrix haben die Dimension einer Impedanz. Bei der Betrachtung eines Zweitors als black box müssen diese Elemente durch Messungen an den Klemmen bestimmbar sein. Messung der Widerstandsmatrix Zur Bestimmung der vier Elemente Z mn der Widerstandsmatrix sind vier Messungen erforderlich. Am einfachsten wählt man folgende Leerlauf-Fälle 0 : Z Z l Z l am Tor bei leerlaufendem Tor gemessene Impedanz Eingangs-Leerlaufimpedanz. 0 : Z Z l Z l am Tor bei leerlaufendem Tor gemessene Impedanz Ausgangs-Leerlaufimpedanz. 0 : Z Z Quotient aus Leerlaufspannung an Tor und Strom an Tor Leerlauf-Kernimpedanz vorwärts. 0 : Z [ Z] Z Quotient aus Leerlaufspannung an Tor uns Strom an Tor Leerlauf-Kernimpedanz rückwärts. Z, Z. bilden ein Maß für die Kopplung zwischen Tor und Tor Z Z bedeutet: das Zweitor ist kopplungssymmetrisch oder übertragungssymmetrisch. Z Z bedeutet: das Zweitor ist widerstandssymmetrisch.

7 Seite Beispiel : R RI ( + ) RI ( + ) also Z RR RR Beispiel : R R R R also Z R 0 0R 0.4. Die Leitwertmatrix Bei Auflösung der beiden linearen Gleichungen nach erhält man bzw. Y + Y oder Y + Y Y Y bzw. [ I] [ Y ][ U] Y Y Y Y Dabei ist [ Y ] die Leitwertmatrix des Zweitors mit Y Y Dimension einer Admittanz.

8 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 3 Messung der Leitwertmatrix Es sind vier Messungen erforderlich, am einfachsten für folgende Kurzschluß-Fälle. 0 : Y Y k Y k am Tor bei kurzgeschlossenem Tor gemessene Admittanz Eingangs-Kurzschlußadmittanz. 0 : Y Y k Y k am Tor bei kurzgeschlossenem Tor gemessene Admittanz Ausgangs-Kurschlußadmittanz. 0 : Y Y Quotient aus Kurzschlußstrom an Tor und Spannung an Tor Kurzschluß-Kernadmittanz vorwärts. 0 : Y Y Quotient aus Kurzschlußstrom an Tor und Spannung an Tor Kurzschluß-Kernadmittanz rückwärts. Y, Y bilden ein Maß für die Kopplung zwischen Tor und Tor. Y Y heißt: Zweitor ist kopplungssymmetrisch oder übertragungssymmetrisch. Y Y heißt: Zweitor ist widerstandssymmetrisch.

9 Seite 4 Beispiel : G GU ( ) GU ( ) also Y G G G G Beispiel : G G G G also Y G 0 0 G Die Kettenmatrix Bei Auflösung der linearen Gleichungen nach abhängig von, und nach abhängig von, erhält man A + A ( ) A + A ( ) A A A A oder [ A]

10 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 5 [ A] wird verwendet bei der Berechnung von Kettenschaltung von Zweitoren und heißt daher Kettenmatrix. Die Elemente von [ A] haben unterschiedliche Dimension. Bei der Verkettung von Zweitoren ist der Ausgangsstrom des ersten Zweitors gleich dem Eingangsstrom I' des folgenden (siehe Bild) und deshalb ist es vorteilhaft, und abhängig von, I zu beschreiben. I' I' I'' I'' I''' I''' U' [ A' ] U' U'' [ A'' ] U'' U''' [ A''' ] U''' [ A' ] Messung der Elemente der Kettenmatrix Es sind wieder vier Messungen erforderlich. Sind jedoch die Elemente von [ Y ] und [ Z] bereits bekannt, so ist A Y A Z ebenfalls bekannt. A und A ergeben sich dann aus folgenden Messungen: 0 : A A Leerlauf-Spannungsübersetzung vorwärts. 0 : A ( ) A Kurzschluß-Stromübersetzung vorwärts.

11 Seite 6 Beispiel : G ( I G ) 0 + ( ) also [ A] G 0 Beispiel : R + 0 ( ) R + ( ) also [ A] 0 R Die Reihen-Parallelmatrix Auflösung der Gleichungen nach und nach abhängig von, H + H H + H oder H H H H [ H] [ H] wird verwendet bei der Beschreibung von Reihen-Parallelschaltung von Zweitoren und heißt deshalb Reihen-Parallel-Matrix.

12 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 7 Beispiel: [ H' ] [ H] [ H'' ] [ H] läßt sich leicht durch [ H' ] und [ H'' ] ausdrücken Die Parallel-Reihenmatrix Auflösung der Gleichungen nach [ ] und [ ] in Abhängigkeit von [ ] und [ ] ergibt P + P oder P P P P P + P ( P) [ P] wird verwendet bei der Beschreibung von Parallel-Reihenschaltungen von Zweitoren und heißt deshalb Parallel-Reihen- Matrix. Beispiel: [ P] [ P' ] [ P'' ] [ P] läßt sich leicht durch [ P ] und [ P ] ausdrücken.

13 Seite Umrechnung der Matrizen [ Z], [ Y ],[ A],[ H] und [ P] Bei Kettenmatrix [ A] wurden nur zwei Elemente gemessen, zwei weitere durch Elemente von [ Y ] bzw. [ Z] dargestellt. Bei [ H] und [ P] wurde keine Meßvorschrift genannt. Aber eine Meßvorschrift genügt, weil alle Matrizen ineinander umgerechnet werden können. Denn: Alle Matrizen beschreiben die Zweitoreigenschaften gleichwertig. (Ein Gleichungssystem wurde nach verschiedenen Variablen aufgelöst!) Zur Umrechnung siehe Hilfsblatt oder [Bosse III, S. 73] Wegen der Gleichwertigkeit der Matrizen läßt sich auch die Kopplungssymmetrie auf verschiedene Weise gleichwertig beschreiben: Z Z ; Y Y H H ; P P det( A) und ähnliche gleichwertige Bedingungen erhält man für die Widerstandssymmetrie Z Z ; Y Y det( H) ; det( P) A A, Einige Umrechnungen (Hilfsblatt) ergeben sich durch Berechnung der Kehrmatrix.

14 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 9 Beispiel: [ U] [ Z] [ I] von links [ Z] [ Z] U [ ] [ Z] [ Z] [ I] [ I] weil aber auch [ Y ] [ U] [ I] [ Y ] [ Z] und [ Z] [ Y ] [ Z] kann wie folgt berechnet werden (vgl. Hilfsblatt und Mathe): [ Z] det( Z) Z Z Z Z Ähnlich erhält man [ H] [ P] und [ P] [ H] Bedeutung von [ A] : A A U I d.h. [ A] beschreibt Verhalten des Zweitores in umgekehrter Betriebsrichtung. Davon zu unterscheiden ist das umgedrehte Zweitor. Normale Betriebsrichtung, aber Tor mit Tor vertauscht: U Also abhängig von und Vertauschung der Tor-Nummern bzw. A

15 Seite 0 (. Spalte und. Zeile A A U jeweils ( ) ) det( A) A A A A U (jetzt ; ) I det( A) A A I wobei transponierte Matrix I det[ A] A t A t I D. h. bis auf Vorzeichen bei A und A sind sowohl die umgekehrte Betriebsrichtung als auch das umgedrehte Zweitor durch die gleiche Matrix [ A] t beschrieben. Im Spezialfall einer kopplungssymmetrischen Kettenmatrix ist det[ A] A A A A [ A] Dann bedeutet Umdrehen des Zweitores Transponieren also Vertauschen von A und A der Matrix [ A].

16 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 0.5 Zusammenschaltung von Zweitoren 0.5. Reihenschaltung Reihenschaltung von Zweitoren heißt: sowohl Eingangstore als Ausgangstore der Zweipole in Reihe. Dann ist I' U' [ Z' ] I' U' I'' I'' U'' [ Z'' ] U'' [ Z] U' + U'' und U' + U'' I' I'' und I' I'' Alle Ströme sind bekannt. Deshalb Bestimmung von [ U] [ Z] [ I] Gegeben: U aus U' Z' I' Z' I und U'' Z'' I'' Z'' I Aber weil U U' + U'', ist U Z' I + Z'' I Z' + Z'' I Durch Vergleich mit dem Gesamtzweitor sich U Z I ergibt Z Z' + Z'' oder Z Z' + Z'' Z' + Z'' Z' + Z'' Z' + Z'' Bei Reihenschaltung von Zweitoren addieren sich die Z -Matrizen der beteiligten Zweitore zur Z -Matrix des Gesamt-Zweitors

17 Seite 0.5. Parallelschaltung Parallelschaltung von Zweitoren heißt: sowohl die Eigangstore als die Ausgangstore der beteiligten Zweitore sind parallel geschaltet. Dann ist: I' U' [ Y' ] I' U' I'' I'' U'' [ Y'' ] U'' [ Y ] I' + I'' und I' + I'' U' U'' und U' U'' Alle Spannungen sind bekannt, deshalb auflösen nach I Y U. Gegeben ist: I' Y' U' Y' U und I'' Y'' U'' Y'' U aber weil I I' + I'' ist I Y' U + Y'' U Y' + Y'' U Durch Vergleich mit der Gleichung für das Gesamtzweitor I Y U ergibt sich Y Y' + Y'' oder Y Y + Y'' Y' + Y'' Y' + Y'' Y' + Y'' Bei Parallelschaltung von Zweitoren addieren sich die Y -Matrizen der beteiligten Zweitore zur Y -Matrix des Gesamtzweitors.

18 Lineare Zweipole und Zweitore Seite Reihen-Parallelschaltung Reihen-Parallelschaltung bei Zweitoren heißt: die Eigangstore sind in Reihe, die Ausgangstore sind parallel geschaltet. dann ist: I' I' U' [ H' ] U' U I'' I'' U'' [ H'' ] U'' [ H] U' + U'' und I' + I'' I' I'' und U' U'' oder vektoriell geschrieben U' U'' + I' I'' und I' I'' + U' U'' Alle Eingangsströme und Ausgangsspannungen bekannt, deshalb Auflösung des Gleichungssystems nach Eingangsspannungen und Ausgangsströmen: U' I' I' H' U' H' und U'' I'' I'' H'' U'' H'' U' Weil aber U'' +, ergibt sich I' I'' H' + H'' H' + H''

19 Seite 4 Durch Vergleich mit der Gleichung für das Gesamtzweitor H erhält man H H' + H'' oder H H' + H'' H' + H'' H' + H'' H' + H'' Bei Reihen-Parallelschaltung addieren sich die beteiligten Zweitore. H -Matrizen der Parallel-Reihenschaltung Parallel-Reihenschaltung von Zweitoren heißt: die Eingangstore sind parallel, die Ausgangstore in Reihe geschaltet. Die Betrachtungen erfolgen analog zu 0.5.3, mit dem Ergebnis P P' + P'' P' + P'' P' + P'' P' + P'' Es addieren sich die [ P] -Matrizen der beteiligten Zweitore Kettenschaltung Kettenschaltung von Zweitoren heißt: das Ausgangstor des ersten Zweitors ist mit dem Eingangstor des zweiten verbunden. Dann gilt: I' I' I'' I'' U' [ A' ] U' U'' [ A'' ] U'' [ A] U' U'' und I' I' oder in vektorieller Schreibweise U' U'' I' I''

20 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 5 Gegeben ist für beide Zweitore U' I' A' U' I' U'' und U'' A'', also I'' I'' U' U'' A' A'' A' A'' I' I'' Durch Vergleich mit der Gleichung für das Gesamtzweitor ergibt sich A A' A'' (Achtung! Reihenfolge) Bei Kettenschaltung berechnet sich die [ A] -Matrix des Gesamtzweitors durch Multiplikation der [ A] -Matrizen der Teilschaltungen in der Reihenfolge der Tore Beispiele und Anwendungsgrenzen Beispiel: Bekannt ist: R R mit Z' R 0 0 R und R mit Z'' RR RR

21 Seite 6 Bei Reihenschaltung der beiden Zweitore ergibt sich R R [ Z] oder R R R R beschrieben durch die Matrix [ Z] [ Z' ] + [ Z'' ] R + R R R R + R [ Z] beschreibt das häufig verwendete T-Glied. Beispiel: Bekannt ist: G mit [ Y' ] G G G G und G G mit [ Y'' ] G 0 0 G

22 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 7 Durch Parallelschaltung ergibt sich G oder G G G G G beschrieben durch die Matrix [ Y ] [ Y' ] + [ Y'' ] + G G G G + G G [ Y ] beschreibt das häufig verwendete π-glied. Beachte: Diese Regeln für Zusammenschaltung gelten unter Annahme, daß die Teilzweitore auch nach Zusammenschaltung Zweitore bleiben, daß also I' I' 3 ; I' I' 4 ; I'' I'' 3 ; I'' I'' 4 ist. Das ist nur bei der Kettenschaltung selbstverständlich. Bei allen anderen Zusammenschaltungen muß geprüft werden, ob die Zweitorbedingungen für kein Teilzweitor verletzt werden. Allgemeines Prüfkriterium: Keine Kreisströme bei mindestens zwei beliebigen Betriebsbedinungen. Wegen Linearität gibt es dann unter keiner Bedingung Kreisströme. Beispiel: Reihenschaltung 0 I I 0

23 Seite 8 Prüfung rechts: Ist im Leerlauf der Kreisstrom I 0? 0 I I 0 Prüfung links: Ist im Leerlauf Kreisstrom I 0? Beispiel: Parallelschaltung I I Prüfung rechts: Ist im Kurzschluß auf I 0 im Kurzschluß. I 0? Ähnlich Prüfung links 0.6 Der Übertrager (Transformator) 0.6. Beschreibung durch [ Z] und [ A] Beschreibung des Transformators als Zweitor i i u u di u M di dt dt und u M di di L dt dt

24 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 9 Die entsprechenden komplexen Amplituden bei sinusförmigen Strömen und Spannungen sind dann jω + jωm jωm + jω oder als Zweitor beschrieben: jω jωm I jωm jω Z [ Z] ist Widerstandsmatrix des verlustfreien Übertragers. Bei dem verlustfreien Übertrager geht man von der Annahme aus, daß der magnetische Fluß zum Strom proportional ist und daß die Wicklung keinen ohm schen Widerstand aufweist, also φ i und R( Wicklung) 0. Da der Übertrager häufig mit anderen Zweipolen oder Zweitoren verkettet ist, interessiert auch die Kettenmatrix [ A]. Mit dem Hilfsblatt ergibt sich [ A] aus [ Z] zu A M jω L M M) jωm M In Kapitel 7.4. "Energie mehrerer (gekoppelter) Spulen" war definiert: M k mit 0 k, wobei gegolten hatte - kleiner gemeinsamer Fluß (lose Kopplung): k 0 - großer gemeinsamer Fluß (feste Kopplung): k. Der Koppelfaktor k beschreibt also, ob das Streufeld, das die jeweils andere Spule nicht durchsetzt, groß oder klein ist. Dieses Streufeld beschreibt man oft auch mit dem Streufaktor σ σ k M ( ) und es gilt - kleine Streufelder: - große Streufelder: σ 0 σ In der Kettenmatrix wird häufig M durch den Streufaktor σ bzw.

25 Seite 30 die Koppelkonstante k ersetzt und man schreibt [ A] M jωσ M jωm M -- k jωσ jω Mit σ 0, d. h. für einen idealen Übertrager ohne Streuung wird k. Weiterhin nimmt man an, daß beim idealenübertrager die Induktivitäten und zwar gegen Unendlich gehen, daß dabei aber das Verhältnis ü, konstant bleibt. Dann erhält man [ A] ideal 0 0 ü 0 0 ü das Übersetzungsverhältnis des Über- Man nennt tragers. ü 0.6. Ersatzschaltbild des verlustfreien Übertragers Das einfachste Ersatzschaltbild, das einen Übertragers beschreibt, ist ein T -Glied. -M -M M Man sieht anschaulich die Verkopplung der Primär - und Sekundärspule über die mittlere Spule mit Induktivität M. Der Nachteil bei diesem sehr einfachen Ersatzschaltbild besteht darin, daß nicht alle Betriebszustände beschrieben werden, bzw. daß es Betriebszustände gibt, bei denen Induktivitäten der Ersatzschaltung negativ würden. Dieses Ersatzschaltbild ist also nur brauchbar unter der Einschränkung, daß M > 0, M > 0 und M > 0.

26 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 3 Nun ist M k ( k), also M > 0 nur für > k und ähnlich M > 0 nur für > k Außerdem würde dieses Ersatzschaltbild das Umpolen einer Wicklung nicht beschreiben, weil dazu M negativ werden müßte. Ausweg: Das Ersatzschaltbild wird derart ergänzt, daß die obigen Bedingungen erfüllt sind. Neues Ersatzschaltbild Reale Eigenschaften des Übertragers Überstz./Umpolen durch ideal. Übertr. oder I ü/ -üm ü -üm U üm [ A' ] [ A'' ] [ A] Für die Verkettung des Ersatzschaltbildes mit dem idealen Übertrager gilt [ A] [ A' ] [ A'' ] von rechts [ A'' ] [ A' ] [ A] [ A'' ] Mit [ A'' ] ü 0 und [ A'' ] ü 0 wird 0 ü 0 ü [ A' ] M jωσ M ( jωm) M ü 0 0 ü ( üm) jωσ ( ü ) ( üm) jω( üm) ( ü ) ( üm)

27 Seite 3 Vergleicht man [ A' ] mit [ A], so sieht man, daß M durch ( ü M) und durch ( ü L) ersetzt ist. Gegenüber dem ursprünglichen Schaltbild haben sich also die Induktivitäten in Abhängigkeit vom Übersetzungsverhältnis ü des idealen Übertragers geändert. -üm ü -üm üm [ A' ] Man kann also die realen Eigenschaften wie vorher mit einem T - Glied und den Induktivitäten, und M des gegebenen Übertragers beschreiben, nun aber im idealen Übertrager ü so anpassen, daß keine der Induktivitäten im T -Glied negativ wird. Man wählt ü also so, daß üm 0, ü üm 0 und üm 0 bleiben und ü das Vorzeichen von M hat. Diese drei Ungleichungen lassen sich zusammenfassen zur Bedingung M ü M Zwischen den obigen Grenzen kann nun ü beliebige Werte annehmen. Besonders gebräuchlich sind aber folgende drei Festlegungen von ü.. Spezialfall: üm 0: d. h. die linke Längsspule verschwindet. Es wird L ü M L M und mit σ M ( ) wird M das Übersetzungsverhältnis ü σ Somit wird die Querspule üm und die rechte Längsspule wird ü üm L ( ) M σ ( ) σ M

28 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 33 Man nennt dieses spezielle Ersatzschaltbild : Γ -Ersatzschaltbild σ σ ü -- L L M. Spezialfall: üm ü üm Dann wird ü und das Übersetzungsverhältnis ü Die Induktivitäten der Längsspulen sind dann gleich und betragen L üm M oder mit σ ( + M ( )) L M L üm ( σ) Die Induktivität der Querspule ist üm M L M oder üm σ Man nennt dieses spezielle Ersatzschaltbild T -Ersatzschaltbild ( σ) ( σ) σ ü

29 Seite Spezialfall: ü üm 0 d.h. die rechte Längsspule verschwindet. Dann wird M M ü und die linke Längsspule sowie die Querspule M σ üm L σ üm M M L M L L ( σ) Man nennt diese Schaltung σ L -Ersatzschaltbild des Übertragers. ( σ) ü σ Unter Benutzung dieser Ersatzschaltung kann man bereits einige Aussagen zur Eingangsimpedanz eines verlustfreien Übertragers machen: Zunächst kann der nachgeschaltete ideale Übertrager nur die Übersetzung ü bzw. Klemmenvertauschung bescheiben. Die Eingangsimpedanz des idealen Übertragers für sich allein ist gegeben durch Z bzw. Y und man erhält bei - leerlaufendem Ausgang: (es fließt kein Eingangsstrom) A Z ideal Z A ü kurzgeschlossenem Ausgang: (es fließt ein unendlich großer Eingangsstrom) 0 Z ideal ü Y A A

30 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 35 Für die Eigangsimpedanz des gesamten verlustfreien Übertragers erhält man dann: - Leerlaufender Ausgang: der ideale Übertrager entfällt im Ersatzschaltbild, weil Z ideal und es wird Z jω, d.h. es fließt Magnetisierungsstrom. - Kurzgeschlossener Ausgang: der ideale Übertrager wird im Ersatzschaltbild durch einen Kurzschluß ersetzt ( Z ideal 0 ) Z jωσ wird also nicht Null wie beim idealen Übertrager. Bei Streuung σ 0 sind alle drei Spezialfälle gleich, nämlich ü Der Übertrager mit Eisenkern Vorteile des Eisenkerns - Es läuft praktisch der gesamte Fluß zwangsläufig durch beide Spulen (großer Koppelfaktor k, kleiner Streuung σ ). - Mit wachsender Permeabilität wird und damit Z größer, d. h. der Magnetisierungsstrom nimmt ab. Symmetrisches T -Ersatzschaltbild: σ σ ( σ ) ü -----

31 Seite 36 Bei sehr kleinem σ gilt näherungsweise: σ σ und die Induktivitäten werden ( σ) σ für die Längsspulen Querspulen: σ ( σ ) Anschaulich: σ in den Längsspulen entspricht den Streuflüssen, die nur mit jeweils einer Wicklung verkettet sind und außerhalb des Eisens verlaufen. ( σ ) entspricht dem gemeinsamen Fluß durch beide Spulen, im wesentlichen innerhalb des Eisenkerns. Mit wachsender Permeabilität nimmt die Induktivität der Querspule zu, die der Längsspulen nicht (Streufluß!), d.h. σ wird bei großer Permeabilität kleiner Übertrager mit Verlusten Bisherige Betrachtungen galten für verlustfreien Transformator. Jetzt: Versuch, die Verluste zu berücksichtigen. - Ohm scher Widerstand Widerstand R der Primärwicklung in Reihe mit der linken Längsspule. Widerstand R der Sekundärspule in Reihe mit der Ausgangswicklung des idealen Übertragers oder ü R in Reihe mit der rechten Längsspule des T -Gliedes. - Wirbelströme Sie entziehen eine Leistung P w ω Bˆ. Diese Leistung P w wird richtig dargestellt durch einen Widerstand R w parallel zur Querspule; denn die Spannung an der Querspule ist u Z i ω Bˆ und die Leistung in R w ist P Rw u R ω Bˆ Die Leistung P Rw am Widerstand R w verhält sich also wie die von Wirbelströmen entzogene Leistung P w - Hystereseverluste Diese kommen mit jeder Ummagnetisierungs zustande und sind proportional zu ω. Die Abhängigkeit von Bˆ ist nicht linear. Hystereseverluste können also nicht allgemein durch einen Widerstand beschrieben werden. Aber: Für festes ω und festes Bˆ (wie in der Energietechnik) sind Hystereseverluste konstant und können dann auch durch einen Widerstand parallel zu beschrieben werden. R w

32 Lineare Zweipole und Zweitore Seite 37 So ergibt sich das Ersatzschaltbild für einen verlustbehafteten Trafo: R σ σ R ( σ ) R W L U ü ü/ Die Transformationseigenschaften des Übertragers Wir betrachten ab jetzt wieder den verlustfreien Übertrager. Es interessieren die Zusammenhänge zwischen Eingangs- und Ausgangsimpedanz Z und Z. Wir verwenden das einfache L -Ersatzsschaltbild. σ I' ü/ Z ( σ) U' Z Durch Vergleich der Ströme und Spannungen am Ein- und Ausgang des idealen Übertragers im Ersatzschaltbild sieht man, daß man die Last Z am Ausgang des idealen Übertragers durch die Last Z' ü Z am Eingang ersetzen und den idealen Übertrager ganz weglassen kann. Es ist nämlich U ü oder U ü Weil die Ausgangs- und Eingangsleistung am idealen Übertrager gleich sein müssen, ist U I bzw. I U ü, also I ü. Dann ist aber üu Z U I ü ü Z

33 Seite 38 Mit Z' ü Z auf Ausgangsseite des -Glieds und nach Weglassen des idealen Übertragers erhält man dann folgendes gleichwertiges Ersatzschaltbild, aus dem der Zusammenhang zwischen Ausgangs- und Eingangsimpedanz sofort ersichtlich ist. σ L Z ( σ) ü Z Zu einer Ausgangsimpedanz (Abschlußwiderstand) also die Eingangsimpedanz, wobei allgemein gilt: Z Z jωσl ü Z jω ( σ) Z gehört Natürlich sind die bereits betrachteten Fälle Leerlauf bzw. Kurzschluß am Ausgang Spezialfälle dieses allgemeinen Zusammenhangs: Kurzschluß ( Z 0) Z jωσ Leerlauf ( Z ) Z jω Z f( Z ) kann man mit einer Ortskurve darstellen. Im jω Z belieb.z jωσ Z 0 Re