Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen"

Transkript

1 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung am Mittwoch 20. bzw. Donnerstag 21. Juni 2007 Kreuzen Sie bis spätestens Mittwoch, , 10:00 Uhr also vor dem Besuch Ihrer Übungsgruppe über TUWEL an, welche Beispiele Sie bearbeitet und gelöst haben. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: TUWEL (https://tuwel.tuwien.ac.at) Kurs Algorithmen und Datenstrukturen 1 (VL 4.0) Thema 4. Übungsblatt Link 4.UE - Details & Bewertung Button Meine Lösung bearbeiten Bearbeitete Beispiele anhaken und Änderungen speichern. Hinweis zu den Beispielnummern: Aufgabe 4.1 (Beispiel 31) bedeutet: erste Aufgabe des 4 Übungsblattes, 31. Beispiel insgesamt (zum Ankreuzen in TUWEL). Aufgabe 4.1 (Beispiel 31) Geben Sie den Pseudocode eines Algorithmus an, der feststellt, ob ein gegebener ungerichteter Graph G(V, E) mit 2 Farben knotenfärbbar ist. Ein Graph ist mit 2 Farben knotenfärbbar, wenn jedem Knoten eine Farbe so zugeordnet werden kann, dass Knoten, die durch eine Kante verbunden sind, jeweils verschiedene Farben haben.

2 2 Aufgabe 4.2 (Beispiel 32) Ein ungerichteter Graph G(V, E) heißt bipartit wenn man die Menge V in zwei disjunkten Untermengen U und W so aufspalten kann, dass für alle Kanten (u, w) E gilt: u U und w W. U W Untersuchen Sie, ob die untenstehenden Graphen bipartit sind und markieren Sie gegebenenfalls die Kanten, die diese Eigenschaft verletzen. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! (a) (b) (c) (d) (e) (f)

3 3 Aufgabe 4.3 (Beispiel 33) Stellen Sie sich vor, Sie möchten dieses Wochenende London besichtigen. Da Ihnen nicht viel Zeit zur Verfügung steht, möchten Sie sinngemäß so schnell wie möglich ans Ziel kommen. Seien alle Flüge einer Fluglinie in Form eines durch seine Adjazenzmatrix A spezifizierten gerichteten Graphen gegeben. Die Knoten des Graphen sind die Städte und die Bedeutung eines Matrixwertes A[X, Y ] = D lautet: Die Flugdauer von der Stadt X zur Stadt Y beträgt D Stunden. Entwerfen Sie einen Greedy-Algorithmus in Pseudocode, der (mit der Motivation einen schnellen Weg von Wien nach London zu finden) wie folgt vorgeht: Ausgehend vom Startknoten Wien wählt dieser Algorithmus bei jedem Knoten jeweils immer die kürzeste noch nicht verwendete Kante, um dem Zielknoten London auf einem zusammenhängenden Pfad näher zu kommen. Liefert dieser Algorithmus immer den kürzesten Pfad? Warum (nicht)? Veranschaulichen Sie die Funktionsweise des Algorithmus anhand eines Beispiels (Graph mit mindestens 7 Knoten), bzw. geben Sie ein möglichst einfaches Gegenbeispiel an. Aufgabe 4.4 (Beispiel 34) Führen Sie anhand des nachstehend abgebildeten Graphen den Algorithmus von Kruskal für das Finden eines minimalen Spannbaums durch. Geben Sie jeden Schritt des Algorithmus an. (a) Geben Sie den Zustand aller benöigten Datenstrukturen (Knotenmenge, Kantenmenge und Gewicht des aktuellen Spannbaums) nach jeder Iteration des Algorithmus an. Schreiben Sie insbesondere in jeder Iteration deutlich den neu hinzugekommenen Knoten und die entsprechende Kante dazu. (b) Markieren Sie am Ende Ihrer Berechnungen jene Kanten des Graphen in der Abbildung, die den minimalen Spannbaum bilden, und geben Sie das Gewicht des minimalen Spannbaums an.

4 4 Aufgabe 4.5 (Beispiel 35) Lösen Sie das Beispiel 4.4 erneut, diesmal aber unter Verwendung des Algorithmus von Prim. Wählen sie den Knoten C als Startknoten. Kann sich, im Allgemeinen, das Ergebnis einer Durchführung des Algorithmus von Prim ändern, wenn man einen anderen Startknoten wählt? Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4.6 (Beispiel 36) Gegeben sind zwei Graphen G 1 und G 2 mit jeweils einer Million Knoten. Graph G 1 hat vier Millionen Kanten, während G Milliarden Kanten hat. Die Kanten in beiden Graphen haben ganzzahlige Kosten. Sie wollen nun in beiden Graphen jeweils einen aufspannenden Baum mit minimalen Kosten berechnen. Welchen Algorithmus benutzen Sie für G 1 und welchen für G 2, um möglichst niedrige Laufzeiten zu erreichen? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die Laufzeiten der von Ihnen verwendeten Algorithmen in Θ-Notation (in Abhängigkeit von E, bzw. V ) angeben. Geben Sie weiters an, warum die Algorithmen die von Ihnen angegebenen Laufzeiten aufweisen (kurze Beschreibung der Algorithmen und der Funktionsweise und Eigenschaften der verwendeten Datenstrukturen).

5 5 Aufgabe 4.7 (Beispiel 37) Gegeben seien N Gegenstände g i mit Gewicht (Größe) w i, und Wert (Kosten) c i, und ein Rucksack der Größe K. Das Rucksackproblem ist die Suche nach einer Menge von in den Rucksack gepackten Gegenständen mit maximalem Gesamtwert, wobei das Gesamtgewicht den Wert K nicht überschreiten darf. Entwerfen Sie einen Algorithmus in Pseudocode, der nach dem Greedy-Prinzip eine Lösung für das Rucksack-Problem findet. Liefert Ihr Algorithmus immer die optimale Lösung? Wenn ja, begründen Sie Ihre Antwort, wenn nein, geben Sie ein Gegenbeispiel an. Aufgabe 4.8 (Beispiel 38) Breitensuche ist ein Verfahren zum Durchsuchen bzw. Durchlaufen von Knoten eines Graphen ähnlich der in der Vorlesung behandelten Tiefensuche. Auch hier geht man von einem Startknoten u aus, allerdings unterscheiden sich nun Tiefen- und Breitensuche bei der Reihenfolge, in der weitere Knoten des Graphen abgearbeitet bzw. besucht werden. Wir gehen im Folgenden bei diesem Beispiel von einem ungerichteten Graphen aus. Ausgehend vom Startknoten u werden bei der Breitensuche zunächst alle adjazenten Knoten besucht, d.h. alle Knoten v, für die eine Kante (u, v) im Graphen existiert; zusätzlich werden alle Knoten v in einer Warteschlange gespeichert. Die Breitensuche bearbeitet also zuerst immer alle direkt benachbarten Knoten und folgt nicht wie die Tiefensuche gleich einem Pfad in die Tiefe. Nachdem nun alle adjazenten Knoten von u betrachtet wurden, wird der erste Knoten der Warteschlange entnommen und für diesen das Verfahren rekursiv wiederholt. Dies wird nun so lange fortgesetzt, bis entweder die Warteschlange leer ist, d.h. alle Knoten besucht wurden, bzw. bis wenn man nach einem bestimmten Knoten sucht dieser gefunden wurde. Wie auch bei der Tiefensuche werden durch markieren bereits bearbeiteter Knoten Mehrfachbesuche von Knoten verhindert. Gegeben sei nun die Datenstruktur Queue (Warteschlange), welche eine beliebige Menge an Objekten aufnehmen kann und diese wieder in der Reihenfolge ihres Einfügens zurück liefert. Folgende Operationen sind auf der Queue definiert: enqueue(x): Fügt ein Objekt X in die Queue ein. dequeue(): Entfernt das älteste Objekt aus der Queue und liefert es zurück. Benutzen Sie die Queue, um eine nicht rekursive Version von Breitensuche zu entwerfen. Beschreiben Sie erst in wenigen Worten den Ablauf Ihres Algorithmus und geben Sie ihn dann in Pseudocode an. Die Queue können Sie dabei als Black Box betrachten, d.h. Sie

6 6 können sie benutzen, ohne die genaue Funktionsweise explizit als Pseudocode ausarbeiten zu müssen. Aufgabe 4.9 (Beispiel 39) Wenden Sie den Algorithmus für beschränkte Enumeration auf das folgende Beispiel für das 0/1-Rucksackproblem an (Grenzgewicht K = 35). Veranschaulichen Sie alle Schritte, die zur Konstruktion einer Lösung führen. Gegenstände A B C D E F G H Gewichte Werte Aufgabe 4.10 (Beispiel 40) Der Lowest Common Ancestor LCA (tiefster gemeinsamer Vorfahr) zweier Knoten u und v eines Baumes mit gegebenem Wurzelknoten r ist der letzte gemeinsame Knoten der Pfade von r zu v und von r zu u. Beim LCA-Problem ist ein Baum T mit Wurzel r und ein Knotenpaar (u, v) aus T gegeben; man will den LCA der zwei gegebenen Knoten bestimmen. Geben Sie einen Algorithmus LCA(r, u, v) in kommentiertem Pseudocode an, der dieses Problem durch eine von der Wurzel r ausgehende Suche möglichst effizient löst. Gehen Sie davon aus, dass die unmittelbaren Nachfolger eines Knotens k im Baum im Feld k.succs gespeichert sind (k.succs ist LEER, wenn es sich bei k um ein Blatt handelt). Veranschaulichen Sie die Funktionsweise Ihres Algorithmus anhand des Beispielgraphen. a Lowest Common Ancestor (LCA) der Knoten v und u b c d e u f g h v

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 1 für die Übung

Mehr

15. Elementare Graphalgorithmen

15. Elementare Graphalgorithmen Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen VO UE 2.0 Nebentermin Vorlesungsprüfung / 4. Übungstest SS

Algorithmen und Datenstrukturen VO UE 2.0 Nebentermin Vorlesungsprüfung / 4. Übungstest SS Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen 8.089 VO.0 + 8. UE.0 Nebentermin Vorlesungsprüfung

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Breiten- und Tiefensuche in Graphen

Breiten- und Tiefensuche in Graphen Breiten- und Tiefensuche in Graphen Inhalt Theorie. Graphen. Die Breitensuche in der Theorie am Beispiel eines ungerichteten Graphen. Die Tiefensuche in der Theorie am Beispiel eines gerichteten Graphen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen VO 3.0 Vorlesungsprüfung 19. Oktober 2007

Algorithmen und Datenstrukturen VO 3.0 Vorlesungsprüfung 19. Oktober 2007 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen 1 186.089 VO 3.0 Vorlesungsprüfung 19. Oktober

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen

Mehr

Graphen und Bäume. A.1 Graphen

Graphen und Bäume. A.1 Graphen Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt

Mehr

Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen

Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Fachschaft Informatik Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Michael Steinhuber König-Karlmann-Gymnasium Altötting 15. Januar 2016 Folie 1/77 Inhaltsverzeichnis I 1 Datenstruktur Schlange

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI

Mehr

Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 27. Mai Programmieren II. 12. Übungsblatt

Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 27. Mai Programmieren II. 12. Übungsblatt Technische Universität Braunschweig Dr. Werner Struckmann Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 27. Mai 206 Programmieren II 2. Übungsblatt Hinweis: Auf diesem und den folgenden Übungsblättern

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob

Mehr

Verteilen von Bällen auf Urnen

Verteilen von Bällen auf Urnen Verteilen von Bällen auf Urnen Szenario: Wir verteilen n Bälle auf m Urnen, d.h. f : B U mit B = {b 1,..., b n } und U = {u 1,..., u m }. Dabei unterscheiden wir alle Kombinationen der folgenden Fälle

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 11 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,

Mehr

Bipartite Graphen. Beispiele

Bipartite Graphen. Beispiele Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten

Mehr

Datenstrukturen. einfach verkettete Liste

Datenstrukturen. einfach verkettete Liste einfach verkettete Liste speichert Daten in einer linearen Liste, in der jedes Element auf das nächste Element zeigt Jeder Knoten der Liste enthält beliebige Daten und einen Zeiger auf den nächsten Knoten

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Datenstrukturen: Anordnung von Daten, z.b. als Liste (d.h. in bestimmter Reihenfolge) Beispiel: alphabetisch sortiertes Wörterbuch... Ei - Eibe - Eidotter... als Baum (d.h.

Mehr

Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen

Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen . Graphen viele praktische (Optimierungs-)Probleme sind als graphentheoretische Probleme formulierbar z.b. in Produktionsplanung, Personaleinsatzplanung,.... Grundlagen gerichteter, ungerichteter und gewichteter

Mehr

Übungsblatt 2 - Lösung

Übungsblatt 2 - Lösung Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 2 - Lösung Vorlesung Algorithmentechnik im WS 08/09 Ausgabe 04. November 2008 Abgabe 8. November, 5:0 Uhr (im Kasten vor Zimmer

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/2010

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/2010 . Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/200 Lösung! Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Namen und Matrikelnummer auf diesem Deckblatt an und beschriften Sie jedes Aufgabenblatt

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

Vorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY

Vorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY Vorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY 101 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten bei einem sozialen Online-Netzwerk. Aus der Netzwerk-Struktur Ihrer Benutzer sollen Sie wichtige Eigenschaften extrahieren. [http://www.fahrschule-vatterodt.de/

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der

Mehr

Ausarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme

Ausarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme Universität Hamburg Fachbereich Mathematik Seminar: Proseminar Graphentheorie Dozentin: Haibo Ruan Sommersemester 2011 Ausarbeitung zum Modulabschluss Graphentheorie spannende Bäume, bewertete Graphen,

Mehr

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E.

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Das Komplement Ḡ = (V, ( V ) \ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Ein Graph H = (V, E )

Mehr

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 29. Juli 2013

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 29. Juli 2013 Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 Institut für Betriebssysteme und Rechnerverbund Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Stephan Friedrichs Klausur Algorithmen und Datenstrukturen

Mehr

Effiziente Algorithmen I

Effiziente Algorithmen I H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug

Mehr

Beispiellösung zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 5

Beispiellösung zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 5 Robert Elsässer Paderborn, den 15. Mai 2008 u.v.a. Beispiellösung zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 5 AUFGABE 1 (6 Punkte): Nehmen wir an, Anfang bezeichne in einer normalen

Mehr

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012 Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Tiefensuche: Die globale Struktur Der gerichtete oder ungerichtete Graph G werde durch seine Adjazenzliste A repräsentiert. Im Array besucht wird vermerkt,

Mehr

Das Heiratsproblem. Definition Matching

Das Heiratsproblem. Definition Matching Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung

Mehr

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des

Mehr

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Ausgabe 22. Dezember 2016 Abgabe 17. Januar 2017, 11:00 Uhr

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon

Mehr

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie

Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 8. Mai 2012 B. Rieck (CoVis)

Mehr

Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen

Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über

Mehr

Klausur. Diskrete Mathematik I. Donnerstag, den um 14 Uhr

Klausur. Diskrete Mathematik I. Donnerstag, den um 14 Uhr , Klausur Diskrete Mathematik I Donnerstag, den 29.02.2008 um 14 Uhr Aufgabenblätter Füllen Sie das Deckblattvollständigaus. Prüfen Sie, ob die Klausur 8 Aufgaben enthält.. Kennzeichnen Sie alle verwendeten

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (18 Bäume: Grundlagen und natürliche Suchbäume) Prof. Dr. Susanne Albers Bäume (1) Bäume sind verallgemeinerte Listen (jedes Knoten-Element kann mehr

Mehr

11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010

11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders G.V. Batz, C. Schulz, J. Speck 11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010 http://algo2.iti.kit.edu/algorithmeni.php

Mehr

C++, LEDA und STL Visualisierung minimal/maximal aufspannender Bäume

C++, LEDA und STL Visualisierung minimal/maximal aufspannender Bäume Fachbereich IV, Informatik Softwarepraktikum C++, LEDA und STL Visualisierung minimal/maximal aufspannender Bäume Wintersemester 2004/2005 Dokumentation Algorithmen zur Lösung von MST - Problemen Nicolas

Mehr

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 IBR - Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor Fekete Dr. Christiane Schmidt Stephan Friedrichs Klausur Algorithmen und Datenstrukturen 22.08.2013

Mehr

Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist.

Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Graphen Definition: Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Begriffe: Gerichteter Graph: Alle Kanten haben eine Richtung vom Anfangsknoten

Mehr

Kapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung

Kapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen

Mehr

Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes Universität des Saarlandes FR 6.2 Informatik Prof. Dr. Kurt Mehlhorn WiSe 2015/2016 Übungen zu Ideen der Informatik http://www.mpi-inf.mpg.de/departments/algorithms-complexity/teaching/winter15/ideen/

Mehr

Klausur Theoretische Informatik I WS 2004/2005

Klausur Theoretische Informatik I WS 2004/2005 Technische Universität Chemnitz Chemnitz, den 22.02.2005 Fakultät für Informatik Prof. Dr. Andreas Goerdt Klausur Theoretische Informatik I WS 2004/2005 Studiengang Mechatronik Aufgabe 1 (2+2+2 Punkte)

Mehr

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren. . Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Graphen. Leonhard Euler ( )

Graphen. Leonhard Euler ( ) Graphen Leonhard Euler (1707-1783) 2 Graph Ein Graph besteht aus Knoten (nodes, vertices) die durch Kanten (edges) miteinander verbunden sind. 3 Nachbarschaftsbeziehungen Zwei Knoten heissen adjazent (adjacent),

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00

Mehr

Bäume. 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1

Bäume. 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1 Bäume 2006 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Bäume 1 Inhalt Grundbegriffe: Baum, Binärbaum Binäre Suchbäume (Definition) Typische Aufgaben Suchaufwand Löschen allgemein, Methode Schlüsseltransfer

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition

Mehr

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,

Mehr

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind.

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind. 3.5 Gerichteter Pfad Definition 291 Eine Folge (u 0, u 1,..., u n ) mit u i V für i = 0,..., n heißt gerichteter Pfad, wenn ( i {0,..., n 1} ) [ (u i, u i+1 ) A]. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls

Mehr

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:

Mehr

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt. Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e

Mehr

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Bäume und Wälder Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Ida Feldmann 2-Fach Bachelor Mathematik und Biologie 6. Fachsemester Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1. Bäume

Mehr

Graphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers

Graphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers Graphalgorithmen 2 Oleksiy Rybakov 3. Juni 2015 Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers 1 / 40 Inhaltsverzeichnis 1 Minimale Spannbäume und Datenstrukturen 2 Kürzeste Wege 3 Spezielle Graphen 2 / 40 Minimale

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63 Kapitel 6 Graphen Beziehungen zwischen Objekten werden sehr oft durch binäre Relationen modelliert. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit speziellen binären Relationen, die nicht nur nur besonders

Mehr

2. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017

2. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog Michael Axtmann. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 016/017 Aufgabe

Mehr

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

1. Übung Algorithmentechnik

1. Übung Algorithmentechnik 1. Übung Algorithmentechnik Institut für Theoretische Informatik 04.11.2008 1/ 42 Aufgabe 1 Aufgabe (Amortisierte Analyse) Modellieren Sie eine Queue mit zwei Stacks so, dass die amortisierten Kosten von

Mehr

Dynamische Mengen. Realisierungen durch Bäume

Dynamische Mengen. Realisierungen durch Bäume Dynamische Mengen Eine dynamische Menge ist eine Datenstruktur, die eine Menge von Objekten verwaltet. Jedes Objekt x trägt einen eindeutigen Schlüssel key[x]. Die Datenstruktur soll mindestens die folgenden

Mehr

4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss

4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss 4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss Wir kennen bereits den Algorithmus von Ford Fulkerson zur Suche nach einem maximalen Fluss in einem Graphen. Wir lernen nun einen Algorithmus für maximalen

Mehr

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 10. August 2015

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen II 10. August 2015 Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2015 Institut für Betriebssysteme und Rechnerverbund Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Dr. Christian Scheffer Klausur Algorithmen und Datenstrukturen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 11. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Das Rucksack-Problem Ein Dieb, der einen Safe

Mehr

Verkettete Datenstrukturen: Bäume

Verkettete Datenstrukturen: Bäume Verkettete Datenstrukturen: Bäume 1 Graphen Gerichteter Graph: Menge von Knoten (= Elementen) + Menge von Kanten. Kante: Verbindung zwischen zwei Knoten k 1 k 2 = Paar von Knoten (k 1, k 2 ). Menge aller

Mehr

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 2 Datenstrukturen 2.1 Einführung Syntax: Definition einer formalen Grammatik, um Regeln einer formalen Sprache (Programmiersprache) festzulegen.

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08

Mehr

EndTermTest PROGALGO WS1516 A

EndTermTest PROGALGO WS1516 A EndTermTest PROGALGO WS1516 A 14.1.2016 Name:................. UID:.................. PC-Nr:................ Beachten Sie: Lesen Sie erst die Angaben aufmerksam, genau und vollständig. Die Verwendung von

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 1

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Algorithmen und Datenstrukturen 1 7. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@informatik.uni-leipzig.de aufbauend auf den Kursen der letzten Jahre von E. Rahm, G. Heyer,

Mehr

Kodieren Von Graphen

Kodieren Von Graphen Kodieren Von Graphen Allgemeine Anwendungen: Routenplaner Netzpläne Elektrische Schaltungen Gebäudeerkennung aus Luftaufnahmen Definitionen:? Graph Ein Graph G besteht aus einem geordneten Paar G = (V,E)

Mehr

Klausur zu Diskrete Strukturen, WS 09/10

Klausur zu Diskrete Strukturen, WS 09/10 Aufgabenblatt (Gesamtpunktzahl: 50) Klausur zu Diskrete Strukturen, WS 09/10 B.Sc-Modulprüfung / Scheinklausur Dr. Timo Hanke, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen 06.02.2010 (1. Termin) Name: Matrikelnummer:

Mehr

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1 Lösungen zu den Übungsaufgaben im Kapitel 4 des Lehrbuches Operations Research Deterministische Modelle und Methoden von Stephan Dempe und Heiner Schreier Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung

Mehr

Binäre Bäume Darstellung und Traversierung

Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Binäre Bäume Darstellung und Traversierung Name Frank Bollwig Matrikel-Nr. 2770085 E-Mail fb641378@inf.tu-dresden.de Datum 15. November 2001 0. Vorbemerkungen... 3 1. Terminologie binärer Bäume... 4 2.

Mehr

8. Uninformierte Suche

8. Uninformierte Suche 8. Uninformierte Suche Prof. Dr. Ruolf Kruse University of Mageurg Faculty of Computer Science Mageurg, Germany ruolf.kruse@cs.uni-mageurg.e S otationen () otationen: Graph Vorgänger (ancestor) von Knoten

Mehr

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des

Mehr

Kapitel 4: Netzplantechnik Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Netzplantechnik Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Netzplantechnik 5. Minimal spannende Bäume 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken

Mehr

κ(k) k K S Algorithmus zur Bestimmung eines spannenden Baumes mit minimalen Kosten (Kruskal, 1965).

κ(k) k K S Algorithmus zur Bestimmung eines spannenden Baumes mit minimalen Kosten (Kruskal, 1965). 5. Graphenprobleme Im folgenden bezeichnen G = (E, K) einen endlichen Graphen mit der Eckenmenge E und der Kantenmenge K. G kann ungerichtet, gerichtet, schlicht oder nicht schlicht sein. 5.1 Spannende

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 22. Vorlesung Tiefensuche und Topologische Sortierung Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Vorlesungsumfrage Nutzen Sie die Vorlesungsbefragung

Mehr

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2-2. Seminar -

Algorithmen und Datenstrukturen 2-2. Seminar - Algorithmen und Datenstrukturen 2-2. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Sommersemster 2010 Outline 2. Übungsserie: 3 Aufgaben, insgesamt 30 Punkte A4 Flußnetzwerk, Restgraphen

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/3, Folie 1 2010 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman

Mehr