Fragestellungen in der Kombinatorik

Transkript

1 Fragestellungen in der Kombinatorik zwei Aufgabenstellungen: Es ist festzustellen, welche Möglichkeiten es gibt, Elemente einer endlichen Menge nach bestimmten Bedingungen auszuwählen oder anzuordnen. Es ist festzustellen, wie viele Möglichkeiten es dafür insgesamt gibt. Beispiel Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, sich ein Gedeck aus Suppe, Hauptgericht und Dessert zusammenzustellen, wenn es im Angebot 2 Suppen, 3 Hauptgerichte und 2 Desserts gibt? Lösung erste Entscheidung für die Suppe: n1 = 2 Möglichkeiten. zweite Entscheidung für das Hauptgericht: n2 = 3 Möglichkeiten Da diese 3 Hauptgerichte mit jeder der 2 Suppen kombiniert werden können, ergeben sich 6 verschiedene Möglichkeiten für verschiedenartige Zusammenstellungen aus Suppe und Hauptgericht. dritte Entscheidung für das Dessert: n3 = 2 Möglichkeiten. Um ein Gedeck zusammenzustellen, ist es möglich, diese beiden Möglichkeiten mit einer der 6 verschiedenen Zusammenstellungen aus Suppe und Hauptgericht zu kombinieren, was schließlich 12 Möglichkeiten für die Zusammenstellung verschiedener Gedecke ergibt. 2 x 3 x 2 = 12 Es gibt 12 Möglichkeiten der Kombination Die Behandlung kombinatorischer Aufgaben in der Grundschule nur Rechnungen im Bereich der natürlichen Zahlen Beitrag zur Umwelterschließung vollständiges Verstehen von Problemen der Kombinatorik braucht Zeit Kombinatorische Aufgaben können zur Erreichung von Zielen bei anderen mathematischen Inhalten beitragen. Möglichkeiten der Differenzierung An kombinatorischen Aufgaben können Kinder erfahren, dass man mathematische Aufgaben unterschiedlich interpretieren kann. hohe intrinsische Motivation vor allem durch die Möglichkeit zum spielerischexperimentellen Vorgehen. gutes Übungsfeld für das Problemlösen

2 Aufgabenstellungen Bauen von Türmen Katrin hat blaue, rote und gelbe Bausteine. Sie will Türme aus drei Bausteinen bauen. Jeder Turm soll aus den drei Farben bestehen. Die Farben sollen in unterschiedlicher Reihenfolge vorkommen. Wie viele verschiedene Türme kann Katrin bauen? Stellt euch vor, Katrin hätte blaue, rote, gelbe und weiße Bausteine. Sie möchte Türme aus den vier Farben bauen. Die Farben sollen in unterschiedlicher Reihenfolge vorkommen. Wie viele Türme kann Katrin jetzt bauen? Christian hat rote, blaue und gelbe Bausteine. Er möchte Türme aus 3 Bausteinen bauen. Jeder Turm soll aus 3 verschiedenen Farben bestehen. Die Farben sollen in unterschiedlicher Reihenfolge vorkommen. Wie viele verschiedene Türme kann Christian bauen? Kathrin und Sandra haben sich zu einem Spielenachmittag verabredet. Sie haben sich auf 3 Spiele geeinigt: Domino Mensch ärgere Dich nicht Vier gewinnt. Sie wollen die drei Spiele nacheinander spielen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei Spiele in unterschiedlicher Reihenfolge zu spielen? Jennifer und Stefan: Ein Junge möchte ein Bild ausmalen. Er hat rote, blaue und gelbe Buntstifte und möchte damit z. B erst alles Rote, dann alles Blaue und schließlich alles Gelbe auf dem Bild ausmalen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei Stifte in unterschiedlicher Reihenfolge zum Ausmalen des Bildes zu benutzen? Shiva und Christine: In einer Diskothek sind an der Decke drei verschiedenfarbige Strahler befestigt. Die Strahler sind gelb, blau und rot. Sie sollen nacheinander kurz aufleuchten und nach jedem Durchgang die Reihenfolge wechseln. In welcher Reihenfolge können die drei Strahler aufleuchten? Bauen von Türmen aus drei Steinen unter Verwendung von vier Farben Du hast rote, schwarze, gelbe und blaue Bausteine. Baue Türme aus drei Bausteinen! Wichtig: Jeder Turm soll aus drei verschiedenen Farben bestehen. Die Farben sollen in unterschiedlicher Reihenfolge vorkommen. Wie viele verschiedene Türme kannst Du bauen?

3 Gerichte zusammenstellen Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, sich ein Gedeck aus Suppe, Hauptgericht und Dessert zusammenzustellen, wenn es im Angebot 2 Suppen, 3 Hauptgerichte und 2 Desserts gibt? Ein Menü besteht aus einer Vorspeise, einem Hauptgericht und einem Nachtisch. Verschiedene Gerichte stehen zur Auswahl: Vorspeise: Gemischter Salat Milchmix Hauptgericht: Spagetti Bolognese Nudelauflauf Käsespätzle Würstchen mit Kartoffelbrei Nachtisch: Mousse au chocolat Obstsalat Pudding Wie viele Möglichkeiten gibt es, unterschiedliche Menüs am Abschlussfest zu kochen? Fahrradschloss Peter und Daniela haben sich jeder ein Fahrrad ausgeliehen, mit dem sie zum Schwimmbad fahren. Jedes Fahrrad ist mit einem Zahlenschloss gesichert, an dem drei Zahlen eingestellt werden müssen. Nach dem Schwimmbad stellen sie erschrocken fest, dass sie nicht mehr wissen, mit welchen Zahlenfolgen sich die Schlösser öffnen lassen. Peter erinnert sich nur noch an die Zahlen 4, 7 und 9. Ihre Reihenfolge hat er vergessen. Wie oft muss er höchstens probieren, bis sein Schloss mit Sicherheit aufgeht? Daniela weiß bei ihrem Schloss nur noch, dass die Zahlen 2 und 5 vorkommen, eine davon doppelt. Wie oft muss sie höchstens probieren, bis ihr Schloss mit Sicherheit aufgeht? Telefonnummern Kai möchte seine Freundin Tina anrufen. Die Telefonnummer beginnt mit der Zahl 79. Die restlichen Zahlen lauten 5, 8 und 1 und keine dieser Zahlen kommt doppelt vor. Die Reihenfolge der Zahlen hat Kai jedoch vergessen! Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für Tinas Telefonnummer?

4 Das Spiel der Tiere Die Maus, die Katze, die Schnecke und der Rabe wollen auf einer Mauer entlang balancieren. Zusammen überlegen sie wer an erster, zweiter, dritter und vierter Stelle gehen darf. Überlege dir in welcher Reihenfolge die Tiere hintereinander auf der Mauer marschieren können. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es? (Tipp: Du kannst die Tierkarten benutzen, um die verschiedenen Möglichkeiten zu legen.) Waldfest der Tiere Ein Bär, eine Robbe, eine Maus und ein Dalmatiner wollen in einer Reihe zum Waldfest laufen. Dabei müssen sie folgendes beachten: Der Bär soll nicht ganz vorn laufen, weil er schon alt ist und nicht mehr so gut sieht. Der Dalmatiner soll auch nicht als erster laufen, da er den anderen davonlaufen würde. Die Robbe soll nicht unmittelbar hinter der Maus laufen, da sie dieser sonst immer auf den Schwanz tritt. Überlege, wie viele verschiedene Möglichkeiten die Tiere haben, eine Reihe zu bilden. Der Weg des Käfers

5 Eiskugelaufgabe Timo kauft sich jeden Tag nach der Schule eine Eistüte mit drei Bällchen! An dem Eisstand gibt es vier verschiedene Eissorten (Vanille, Schokolade, Erdbeere und Schlumpfeis). Timo möchte jeden Tag eine andere Eistüte essen. Wie viele verschiedene Eistüten kann sich Timo zusammenstellen? EISSTAND VA ILLE ERDBEERE SCHOKOLADE SCHLUMPFEIS Antwort: Timo kann sich verschiedene Eistüten zusammenstellen. Tischtennisturnier 1 Anne, Benni, Claudia, Daniel, Eva und Florian treffen sich oft zum Tischtennisspielen. Sie kommen auf die Idee, ein Tischtennisturnier zu veranstalten. Dabei soll jeder gegen jeden spielen. Die Kinder überlegen, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit auch jedes Kind gegen jedes andere Kind Tischtennis spielt. Sie kommen aber zu keiner Lösung. Könnt Ihr Ihnen sagen, wie viele Spiele es sind? Außerdem würden sie im Anschluss gerne noch eine Rückspielrunde machen. Wie viele Spiele sind es dann zusammen?

6 Tischtennisturnier 2 Gabi kommt nun auch zum Tischtennisspielen. Jetzt wollen alle Kinder zusammen ein Tischtennisturnier veranstalten. Dabei soll wieder jeder gegen jeden spielen. Die Kinder überlegen, wie viele Spiele sie nun durchführen müssen, damit auch jedes Kind gegen jedes andere Kind Tischtennis spielt. Sie kommen wieder zu keiner Lösung. Könnt Ihr Ihnen sagen, wie viele Spiele es sind? Wie viele Spiele sind es zusammen mit der Rückspielrunde, die sie auch noch machen wollen? Hasenfamilie Die kleine Nina hat seit kurzer Zeit ganz besondere Freunde gefunden: die Hasenfamilie Schwarz-Weiß. Genau wie bei uns Menschen sieht natürlich kein Hase aus wie der andere. In dieser Hasenfamilie haben alle Hasen entweder weiße oder schwarze Körperteile (Ohren, Kopf, Körper). Es dauerte eine Weile bis Nina herausgefunden hatte, wie viele Mitglieder die Hasenfamilie Schwarz-Weiß überhaupt hat. Kannst du es ihr sagen? Als Nina die Hasenfamilie Schwarz-Weiß Tom vorstellen will, stellt sie erstaunt fest, dass sie beim letzten Mal einige Hasen übersehen hat. Wenn man sich die Hasen nämlich von hinten ansieht, kann man sie auch noch an ihren Schwänzen unterscheiden. Wie viele Hasen können Tom und Nina jetzt zählen?