Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit mittels Logit/Probit-Modellen. Seminararbeit

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1 Gunther Lerchbaumer Martin Seitinger Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit mittels Logit/Probit-Modellen Seminararbeit SBWL Alternative Investments Seminar aus Finanzwirtschaft LV-Nr an der Karl-Franzens-Universität Graz eingereicht bei: O.Univ.-Prof. Mag. Dr. Edwin Fischer Institut für Finanzwirtschaft Graz, 25. November 2014

2 Ehrenwörtliche Erklärung Ich erkläre ehrenwörtlich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen nicht benutzt und die den Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Die Arbeit wurde bisher in gleicher oder ähnlicher Form keiner anderen inländischen oder ausländischen Prüfungsbehörde vorgelegt und auch noch nicht veröffentlicht. Die vorliegende Fassung entspricht der eingereichten elektronischen Version. 25. November 2014 Gunther Lerchbaumer Martin Seitinger

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... I Tabellen- und Abbildungsverzeichnis... II Abkürzungsverzeichnis... III 1 Einleitung Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit Kreditrisikomanagement Bedeutung der Kreditrisikomessung Darstellung des Kreditrisikos Verfahren zur Messung des Kreditrisikos Verwendung von Logit- und Probit-Modellen zur Messung von Kreditrisiken Binäre Logit- und Probit-Modelle Geordnete Logit- und Probit-Modelle Verwendung von Dummy-Variablen Spezifikationstests Gütemaße Erweiterungen der Modelle Multivariate Modelle Simultane Modelle Paneldatenmodelle Vorteile und Nachteile von Logit- und Probit-Modellen Resümee Literaturverzeichnis I

4 Tabellen- und Abbildungsverzeichnis Abbildung1: Zerlegung des Kreditrisikos... 8 Tabelle 1: Ergebnisse des binären Probit-Modells Tabelle 2: Marginale Effekte des binären Probit-Modells Tabelle 3: Trefferquoten II

5 Abkürzungsverzeichnis d e E() EAD EL F() f() i k LGD P() PD RC s UL x Y Z β ε π σ 2 Dummy-Variable Eulersche Zahl = 2,71828 Erwartungswert Exposure at Default erwarteter Verlust Kumulative Verteilungsfunktion des jeweiligen Modells Dichtefunktion des jeweiligen Modells Beobachteter Kredit Index einer Variablen in den Vektoren x und β Loss Given Default Wahrscheinlichkeitsfunktion Ausfallwahrscheinlichkeit Wiedereinbringungsrate Schwellenwert unerwarteter Verlust Vektor der erklärenden Variablen Variable für Kreditausfall latente Variable Koeffizientenvektor Fehlerterm der Residuen Kreiszahl Pi = Varianz Partielles Differential III

6 1 Einleitung Diese Arbeit entstand im Rahmen des Seminars Alternative Investments und beschäftigt sich mit Kreditrisiken und Ausfallwahrscheinlichkeiten, die im Speziellen durch Logit- und Probit-Modelle berechnet werden können. Gerade in Zeiten der viel titulierten Finanzmarktund Bankenkrisen ist die Beschäftigung mit den Risiken, denen Banken ausgesetzt sind, wichtiger denn je. Das Kreditrisiko kann durchaus als Hauptrisiko von Banken angesehen werden und ist nicht zuletzt deswegen mitunter ein Grund für die derzeitige Krise. Allerdings muss betont werden, dass lange davor bereits Schritte in die Wege geleitet wurden, um das Kreditrisiko zu minimieren. Die Messung und das Management von Kreditrisiken kommt spätestens seit der Einführung der Basler Verordnungen eine immer höhere Wichtigkeit zu. Schließlich wird durch das Konsulationspapier die Hinterlegung von Eigenkapital für Kreditinstitute geregelt und verschärft. Das erste Basler Abkommen wurde bereits 1988 verabschiedet, Basel II trat 2004 in Kraft und die aktuellste Regelung, Basel III, das dieses Jahr beschlossen wurde, übt noch stärkeren Druck auf die Kreditinstitute aus, die Risiken möglichst niedrig zu halten. Um das Kreditrisiko zu steuern, ist es unabdingbar die Prognosen der Ausfallwahrscheinlichkeiten zu kennen. Ein geeignetes Mittel, um diese zu eruieren sind statistisch-ökonometrische Verfahren, denen die Logit- und Probit-Modelle zuzurechnen sind. Ziel der Arbeit ist nicht nur das Kreditrisiko und damit zusammenhängende Ausfallwahrscheinlichkeiten zu erläutern, sondern auch durch die Vorstellung der Logit- und Probit-Modelle konkrete Verfahren zur Ermittlung der Ausfallwahrscheinlichkeiten vorzustellen. Diese sollen anhand anschaulicher Ausführungen verdeutlicht werden, um etwaige Vorund Nachteile des Modells möglichst realitätsnah zu demonstrieren. Um diese Aufgabenstellung optimal zu lösen, ist die Arbeit folgendermaßen gegliedert: Zuerst werden das Kreditrisiko und die Ausfallwahrscheinlichkeit erläutert und wichtige Begriffe beschrieben. Hierbei liegt das Augenmerk vor allem auf dem Kreditmanagement, der Wichtigkeit der Messung des Kreditrisikos sowie auf der Darstellung und Messung des Kreditrisikos. In einem weiteren Schritt werden mathematische Modelle zur Beschreibung von Risiken vorgestellt, bei denen der Fokus auf verschiedenen Logit- und Probit-Modellen liegt. Außerdem wird auf Spezifikationstests und Gütermaße eingegangen. Den Abschluss der Arbeit bildet ein Resümee, in dem die wichtigsten Erkenntnisse zusammengefasst werden. 1

7 2 Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit Im Folgenden wird auf das Kreditrisikomanagement eingegangen sowie die Bedeutung des Kreditrisikos hervorgehoben und ebendieses grafisch und formal dargestellt. Diese Aspekte sind die wichtigsten Grundlagen des Kreditrisikos. 2.1 Kreditrisikomanagement Das Kreditrisikomanagement bildet einen Teilbereich des allgemeinen Risikomanagements. Demzufolge ist die Beurteilung des Kreditrisikos eine wichtige Grundlage für ein erfolgreiches Risikomanagement. Im Bankenbereich setzt sich das Risikomanagement aus Identifikation, Aggregation, Planung und Steuerung sowie Überwachung und Messung der Risiken des Geschäftsprozesses zusammen. Das Risikomanagement stellt einen Prozess dar, dessen Ziel darin besteht, die Transparenz der Risiken zu erhöhen und diese in weiterer Folge zu steuern. Während des gesamten Prozesses findet üblicherweise gleichzeitig ein Kontrollprozess statt. Für die Identifizierung der Risiken ist es allgemein gebräuchlich, diese zu kategorisieren. Dabei wird zumeist zwischen Kreditrisiko, Marktrisiko, operationalem Risiko, strategischem Risiko sowie Liquiditätsrisiko unterschieden, wobei in weiterer Folge der Fokus ausschließlich auf dem Kreditrisiko liegen soll. 1 Das ursprüngliche Kreditrisiko besteht im Adressenausfallrisiko und meint die Möglichkeit, dass der Kreditnehmer seinen Verpflichtungen gemäß Vertrags nicht nachkommt. Die Faktoren dieser potentiellen Gefahrenquelle können entweder dem Bereich der Volksoder Betriebswirtschaftslehre entspringen. Im Idealfall ist der Ausfall nur vorübergehend, das heißt, die Zins- und Tilgungsleistungen werden ausgesetzt oder unter Umständen abgeändert. Fällt hingegen der Kunde endgültig aus, muss zwischen einem Totalverlust, bei dem der Ausfallzeitpunkt wichtig ist und dem offenen Forderungssaldo entspricht, und einem anteiligen Verlust differenziert werden. Werden Sicherheiten gestellt, so mindert dies die mögliche Verlusthöhe und damit einhergehend auch das Gesamtrisiko. Dem Kredit- beziehungsweise Adressenausfallrisiko wird oft unterstellt, ein Risiko darzustellen, dass uneingeschränkt aus Verlustmöglichkeiten bestehe. Allerdings entspricht dies nicht der Wahrheit, denn innerhalb eines Kreditgeschäfts müssen Erwartungswerte, die die Ausfallwahrscheinlichkeit angeben, für die Höhe der Forderungen zum potentiellen Ausfallzeitpunkt sowie für 1 Vgl. OeNB/FMA (2004), S. 56f. 2

8 den Verwertungserlös gebildet werden, um nicht nur mit den Risikokosten die Kundenkonditionen zu berechnen, sondern auch mit den Erträgen aus den Risikoprämien eine angemessene Risikovorsorge (zum Beispiel Rückstellungen) zu wählen. Es ist sofort ersichtlich, dass die realen Verluste höher oder niedriger als die erwarteten sein können, wodurch es in der Folge zu zahlungs- und bilanzwirksamen positiven wie negativen Unterschieden kommen kann. Außerdem ist es möglich, dass die Risikoprämien schwanken, weil sie Teil des Diskontierungszinssatzes sind. 2 Aus dem Adressausfallrisiko ist überdies hinaus noch ein weiterer Bestandteil des Kreditrisikos ablesbar, denn mit dem Steigen des Adressenausfallrisikos innerhalb der Zinsbindungsfrist, ohne Eintreten eines Ausfall, steigt die Risikoprämie, mit Hilfe derer die restlichen Zahlungen diskontiert werden müssen, um den Barwert zu eruieren, während der Zahlungsstrom aus Zins- und Tilgungsleistungen (aufgrund der Zinsbindungsfrist) gleich bleibt. Daraus resultiert ein Sinken des Barwertes des Kredites. Ein solches Risiko wird als Bonitätsmigrations- oder Wertänderungsrisiko bezeichnet, mit dem Informations- oder Verhaltensrisiken einhergehen, da auch dieses aus falschen Einschätzungen bezüglich der ursprünglichen Risikoquellen folgen kann. Letztendlich muss einerseits festgestellt werden, dass zwischen systematischen und unsystematischen Risikokomponenten differenziert werden muss und andererseits gilt es zu beachten, dass im Regelfall mit dem Betreiben eines Kreditgeschäfts in der Realität Markt- und Liquiditätsrisiken zusammenhängen. Allerdings ist ein theoretisch zwingendes Abhängigkeitsverhältnis nur teilweise existent, was das Berücksichtigen in unabhängigen Modellen im Sinne einer angemessenen Risikoquantifizierung und -steuerung bedarf (eine integrative Betrachtung ist nicht vonnöten) Bedeutung der Kreditrisikomessung Das Kreditrisiko stellt für Banken allgemein das größte Risiko dar. 4 Es existiert eine Vielzahl an statistischer Verfahren, mit deren Hilfe die Risikosteuerung dargestellt und präzisiert werden kann, denn [w]er seine Risiken kennt, kennt auch seine Chancen und hat nicht nur ein 2 Vgl. Zurek (2009), S. 24f. 3 Vgl. Zurek (2009), S. 24ff. 4 Vgl. Kroon (2009), S. 1. 3

9 wert-, sondern auch ein wirkungsvolles Instrumentarium zur Hand, sein Unternehmen nachhaltig und ertragsorientiert zu steuern. 5 Im Wesentlichen besteht die Aufgabe der Kreditrisikomessung darin, das zukünftige Ausfallverhalten von Kreditnehmern zu analysieren. Der Begriff Ausfall beschreibt prinzipiell ein Szenario, indem ein Kreditnehmer seinen Zahlungsverpflichtungen nur zu einem gewissen Teil oder gar nicht nachkommt. Dabei gibt es unterschiedliche Definitionen, ab wann ein Zahlungsverzug als Ausfall definiert wird. 6 Jedenfalls muss rechtlich gesehen, seit der Einführung von Basel II, ein Kredit, der mehr als 90 Tage überfällig ist, als notleidender Kredit eingestuft werden, was eine Wertberichtigung bewirkt. 7 Dies wiederum führt zu einem erhöhten Eigenmittelbedarf für Kreditinstitute. Natürlich können selbst mit den besten Verfahren Ausfälle nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden, wodurch sich das Risiko des Kreditgeschäfts eben genau auf diese Unsicherheit bezieht. Ansonsten bestünde die Möglichkeit, dass Kreditnehmer, bei denen es zu einem Ausfall kommt, einfach keinen Kredit mehr erhalten könnten und Kredite, die zu keinem Ausfall oder Zahlungsverzug führen, zu besonders günstigen Konditionen vergeben werden würden. Deshalb wird an dieser Stelle versucht, mithilfe von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik das zukünftige Ausfallverhalten zu beziffern, wobei die Ausfallwahrscheinlichkeiten den wichtigsten Baustein für die Risikokennzahlen eines Kreditinstituts darstellen. Da für ein Kreditinstitut oft nicht der einzelne Kreditnehmer alleine bewertet werden muss, wird oft das Kreditportfolio des gesamten Kreditinstituts betrachtet. 8 Ein sehr häufiger Vorwurf gegenüber der Art und Weise, in der früher Kredite vergeben wurden, ist die Willkürlichkeit und unzureichende Prüfung der Bilanzen oder Haushaltsrechnungen. Dies hat sich jedoch grundlegend geändert: Die Überprüfung des Risikos ist gesteigert und verstärkt worden, ebenso sind die Kreditrisikoabteilungen ausgeweitet worden und ihnen wurde eine zentrale Aufmerksamkeit zuteil. Mit dieser Entwicklung ging der Einzug mathematischer Modelle und statistischer Methoden in die Begutachtung des Kreditrisikos einher. Eine Messung des Kreditrisikos anhand mathematischer und statischer Verfahren hilft den regulatorischen Anforderungen gerecht zu werden, da mathematische 5 Henking/Bluhm/Fahrmeier (2006), S Vgl Henking/Bluhm/Fahrmeier (2006), S. 1f. 7 Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2005), S. 21 (online). 8 Vgl Henking/Bluhm/Fahrmeier (2006), S. 2. 4

10 und statistische Berechnungen für diese Zwecke geeignet und dadurch für die Banken von maßgeblichem Vorteil sind Darstellung des Kreditrisikos Für die Charakterisierung des Terminus Kreditrisiko ist festzuhalten, dass der Gebrauch in unterschiedlichen Größenordnungen Verwendung findet. Dabei gilt es, zwischen Definitionen im engeren und im weiteren Sinne zu unterscheiden. Im engeren Sinne ist das reine Ausfallrisiko (default risk) gemeint, was die Gefahr spezifiziert, dass der Kreditnehmer entweder einen Teil oder den gesamten Zahlungsverpflichtungen nicht nachkommen kann. Unter Kreditrisiko im weiteren Sinne wird das sogenannte Migrationsrisiko verstanden. Dahinter steckt das Risiko einer Bewegung des Schuldners zu einer Bonitätsverschlechterung, was wiederum zu einer Erhöhung des Ausfallrisikos führt. Die Besonderheit der beiden Definitionen wird unter Betrachtung der Zeitkomponente besonders deutlich. Während sich das Ausfallrisiko auf einen festgelegten, fixen Zeitpunkt bezieht und die Kreditlaufzeit als gleichbleibend angesehen wird, berücksichtigt das Migrationsrisiko die Gefahr einer Verschlechterung der Bonität während der Laufzeit, also einer Erhöhung des Ausfallrisikos. In weiterer Folge wird nur auf das Ausfallrisiko eingegangen, welches sich rein auf die Quantifizierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten beschränkt. 10 Mögliche Risikoquellen für das Ausfallrisiko stellen beispielsweise eine Insolvenz des Kreditnehmers, Zahlungsverhinderung aufgrund einer politisch oder wirtschaftlich instabilen Situation, Nichterfüllung von Zahlungszielen sowie Wertberichtigungen von Kreditsicherheiten dar. Grundsätzlich gibt es eine Vielzahl unterschiedlicher Ansatzpunkte für die Messung und Bewertung von Ausfallwahrscheinlichkeiten. Dabei haben sich in den letzten Jahren zwar einige Verfahren verstärkt hervorgetan, allerdings konnte sich keine einheitliche Vorgehensweise durchsetzen. Häufig handelt es sich um Verfahren, die auf Basis von statistisch-ökonometrischen Modellen im Bereich der Kreditwürdigkeitsprüfung verwendet werden. Die benötigten Daten werden dafür im Unternehmensbereich zumeist über das externe Rechnungswesen gewonnen. Dies führt dazu, dass eine Aktualisierung der Ausfallwahrscheinlichkeit nur nach Veröffentlichung neuer Daten erfolgen kann. Somit kann die Überprüfung nur jährlich oder maximal je Quartal neu berechnet werden. Dadurch bleiben 9 Vgl Henking/Bluhm/Fahrmeier (2006), S. 2f. 10 Vgl. Albrecht (2005), S

11 die berechneten Daten immer hinter der Marktdynamik zurück, was vor allem für die Berechnung von gehandelten Anleihen als problematisch zu betrachten ist Verfahren zur Messung des Kreditrisikos Das Ziel von Verfahren zur Kreditrisikomessung ist es, die Wahrscheinlichkeit von Ausfällen unsicherer Zahlungen zu ermitteln. Dabei sollen präzise etwaige Risiken identifiziert und quantifiziert werden. Die Ergebnisse müssen leicht interpretier- und übermittelbar sein, um das Kreditrisiko bestmöglich steuern zu können. Im Großen und Ganzen wird versucht, Krisenprognosen über mögliche Ausfälle oder Teilausfälle zu erstellen. Für eine gute und brauchbare Prognose wird die Bewertung des erwarteten Verlusts (Expected Loss) in regelmäßigen Abständen durchgeführt. Die Berechnung von Ausfallbeträgen erfolgt anhand des Basismodells über die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ausfallmöglichkeiten. 12 In weiterer Folge soll für die Ausfallwahrscheinlichkeit die Konzentration auf dem Basismodell des Ausfallrisikos eines statischen Modells liegen, da nur dieses im Rahmen dieser Arbeit von Bedeutung ist. So wird zur Spezifizierung des Risikos ein Individualkredit betrachtet. Das Risiko wird durch eine Verlustvariable L 0 beschrieben, was der Ausfallhöhe beziehungsweise dem erwarteten Verlust am Ende einer festgesetzten Periode entspricht. Die Verlustvariable kann folgendermaßen ermittelt werden: 13 L = EAD LGD PD Hierbei beschreibt EAD (Exposure at Default) die Höhe der ausständigen Forderung zum Zeitpunkt des Ausfalls, also den ausfallbedrohten Betrag. Der Terminus LGD (Loss Given Default) beschreibt die erwartete Verlustquote für den Fall, dass es zu einem Ausfall kommt. Also beschreibt es die Höhe der Forderung, die als nichteinbringbar eingestuft wird. Teilweise wird anstelle des LGD auch die Wiedereinbringungsrate (Recovery Rate, RC) verwendet, was als RC = 1 LGD definiert wird. Diese Quoten sind abhängig von der hinterlegten Besicherung und von der Vorrangigkeit der Bedienung des Gläubigers im Insolvenz- 11 Vgl. Albrecht (2005), S. 28f. 12 Vgl. Oehler/Unserl (2002), S Vgl. Albrecht (2005), S

12 verfahren. Allerdings ist der Rang, der die Reihenfolge, in welcher der Gläubiger am Unternehmensvermögen partizipiert, regelt, kritisch zu betrachten, da beispielsweise bei Anleihen im Insolvenzfall diese Reihung außer Kraft gesetzt werden kann. 14 Des Weiteren beschreibt PD die Ausfallwahrscheinlichkeit des Kredits. Was über eine zweiwertige Zufallsvariable beschrieben wird. 1 Ausfall tritt ein PD = { 0 kein Ausfall Unter der Annahme der stochastischen Unabhängigkeit der einzelnen Bestandteile bestimmt sich die erwartete Ausfallhöhe durch: 15 E(L) = E(EAD) E(LGD) PD Hierbei beschreibt das Ausfallrisikomodell den ausfallbedrohten Betrag, die Wiedereinbringungsquote beziehungsweise die Verlustquote und die Ausfallwahrscheinlichkeit. Oftmals ist es für Kreditinstitute wichtig, nicht den einzelnen Kredit zu bewerten, sondern ein Kreditportfolio. So ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Portfolioverlustes der Ursprung der Kreditportfoliosteuerung. Um die Kreditrisiken aus Portfolios zu prüfen, müssen zusätzlich noch die Korrelationen der Grundgrößen berücksichtigt werden. 16 Eine weitere Komponente des Kreditrisikos betrifft den unerwarteten Verlust (Unexpected Loss, UL). Dieser wird durch die durchschnittliche Schwankung des erwarteten Verlusts quantifiziert, wodurch er symmetrisch mittels der Standardabweichung beziehungsweise der Varianz berechnet werden kann. 17 Dadurch gilt der unerwartete Verlust als Maßzahl, die angibt, wie weit der realisierte Verlust vom erwarteten Verlust abweicht. Daraus folgt, dass der erwartete Verlust als Schätzer für den Verlust umso besser ist, je kleiner der unerwartete Verlust ist. 18 Da es sich bei der Ausfallwahrscheinlichkeit um eine zweiverteilte Zufallsvariable handelt, kann die Varianz durch PD(1 PD) bestimmt werden. 19 Formal kann der unerwartete Verlust also durch die Formel UL = EAD LGD PD(1 PD) 14 Vgl. Albrecht (2005), S. 28f. 15 Vgl. Albrecht (2005), S. 27f. 16 Vgl. Albrecht (2005), S Vgl. Oehler/Unser ( S. 207f. 18 Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeier (2006), S Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeier (2006), S. 77f. 7

13 berechnet werden. Durch den unerwarteten Verlust hat man neben dem erwarteten Verlust einen zusätzlichen Zahlenwert für die Bewertung der zukünftigen unsicheren Zahlungen. Um den unerwarteten Verlust eines Portfolios berechnen zu können, müssten auch hier wieder die Korrelationen der einzelnen Bestandteile mit berücksichtigt werden oder die Annahme getroffen werden, dass die einzelnen Ausfälle stochastisch unabhängig voneinander sind, damit die Additivität der Varianzen gegeben ist. 20 Die folgende Grafik zeigt die Darstellung der Verlustverteilung sowie die Zerlegung des Kreditrisikos: Abbildung1: Zerlegung des Kreditrisikos Quelle: Schmidt (2002), S. 10 (online). Aus der Verteilung heraus ist es möglich, auf die Eintrittswahrscheinlichkeit von Verlusten zu schließen. Es ist möglich, Informationen zur Struktur und Kennzahlen für das Risiko zu gewinnen sowie die Verlustwahrscheinlichkeiten zu eruieren. Die Abbildung veranschaulicht die Verlustverteilung anhand einer rechtsschiefen Verteilung, was impliziert, dass jeder Verlust, der unterhalb der Verteilung liegt, im Prinzip möglich ist. Je größer die Verlustwerte sind, desto flacher wird die Verlustverteilung im Diagramm. Das bedeutet, dass hohe Verluste in der Höhe des Betrags unwahrscheinlicher werden. Das Hauptaugenmerk soll aber auf den Verlustereignissen und Eintrittswahrscheinlichkeiten liegen. Die Information hierzu 20 Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeier (2006), S.24f. 8

14 liefert die Verlustverteilung, die auch als exakte Darstellung in der Form eines Histogramms, wie auch in der näherungsweisen glatten Form gezeigt werden kann. Für das Berechnen sollen allerdings graphische Darstellungen nicht herangezogen werden, sondern es gilt, auf dazugehörende aufbereitete Wahrscheinlichkeiten zurückzugreifen. 21 Der Punkt, der in der Grafik als Standardausfälle bezeichnet wird, entspricht genau dem erwarteten Verlust und die Standard-Ausfallüberschreitung ist gleichbedeutend mit dem unerwarteten Verlust. Die Restwahrscheinlichkeit gibt an, wie viel Prozent des Verlustes durch den erwarteten und unerwarteten Verlust abgedeckt werden. Sie ist vor allem für das Konzept des Value at Risk 22 relevant. Kreditinstitute müssen Kredite mit so viel Kapital hinterlegen, dass der Betrag hoch genug ist, damit das Gesamtrisiko abgedeckt ist. Dieser Betrag wird als ökonomisches Kapital bezeichnet. Das Gesamtrisiko setzt sich aus erwartetem und unerwartetem Verlust zusammen. Dabei wird die Restwahrscheinlichkeit nicht berücksichtigt. In der Grafik deckt das ökonomische Kapital somit den Bereich der Standardüberschreitungen, also bis zur Restwahrscheinlichkeit (Value at Risk) ab. 23 Der Betrag des erwarteten Verlustes (Standardausfall) wird durch passend gewählte Zinsmargen gedeckt. Der unerwartete Verlust (Standardausfallüberschreitungen) hingegen wird durch die Eigenkapitalauflage von Kreditinstituten abgedeckt. Die Restwahrscheinlichkeit bleibt hingegen unbesichert und stellt somit das größte Risiko dar. 24 Die Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeiten wird traditionell durch statistischökonometrische Verfahren bestimmt, zu denen das Logit- und Probit-Modell zählt. Ebenfalls häufig finden die Diskriminanzanalyse, Regressionsanalyse oder auch neuronale Netze Anwendung. Da sich diese Arbeit mit Logit- und Probit-Modellen beschäftigt, wird in weiterer Folge ausschließlich auf diese eingegangen Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeier (2006), S siehe dazu beispielsweise Hull (2012). 23 Vgl. Höse/Huschens (2008), S.14f. 24 Schmidt (2002), S. 20 (online). 25 Vgl. Albrecht (2005), S

15 3 Verwendung von Logit- und Probit-Modellen zur Messung von Kreditrisiken In den nachfolgenden Kapiteln werden Logit- und Probit-Modelle beschrieben, welche zur Messung von Kreditausfallwahrscheinlichkeiten verwendet werden können. Ein Kredit kann dabei drei Rückzahlungszustände annehmen beziehungsweise drei qualitative Ausprägungen besitzen: Er kann entweder ausfallen, teilweise zurückgezahlt, oder komplett zurückgezahlt werden. Wenn in dieser Hinsicht nur die Wahrscheinlichkeiten dafür gemessen werden sollen, ob der Kredit ganz ausfällt oder komplett zurückgezahlt wird, so wird für die Messung dieser Wahrscheinlichkeiten das binäre Logit- und Probit-Modell verwendet. Sollten hingegen die Wahrscheinlichkeiten aller drei möglichen Ausprägungen von Relevanz sein, dann wird dafür das geordnete Logit- und Probit-Modell verwendet. Die geordneten Modelle setzen allerdings voraus, dass die möglichen Ausprägungen einer natürlichen Ordnung folgen, wie es zum Beispiel bei der Rückzahlung eines Kredits der Fall ist. Danach wird auf die Verwendung von Dummy-Variablen, Spezifikationstests und Gütemaße im Rahmen der Modelle eingegangen. Zum Abschluss werden noch einige Abwandlungen der Logit und Probit Modelle vorgestellt und Vor-, sowie Nachteile, der Verwendung von Logit- und Probit-Modellen beschrieben Binäre Logit- und Probit-Modelle Grundlegend für die Verwendung der binären Logit- und Probit-Modelle für die Messung von Kreditausfallwahrscheinlichkeiten ist die Annahme, dass ein Kredit nur zwei mögliche Rückzahlungszustände besitzen kann. Er kann entweder gänzlich getilgt werden, oder die Rückzahlung kann komplett ausfallen. Aus diesen beiden Möglichkeiten kann anschließend die abhängige dichotome Variable Yi entnommen werden. Der Wert von Yi beträgt 0, wenn der Kredit i getilgt wird und 1, wenn der Kredit i ausfällt, wobei die Werte des Zustandes für Yi arbiträr bestimmt werden können. Bei beiden Modellen nimmt die abhängige Variable Y den Wert 1 an, wenn eine latente Variable Z den Schwellenwert s überschreitet und den Wert 0, wenn die latente Variable kleiner oder gleich dem Schwellenwert s ist. 27 Der Wert des Schwellenwertes s ist für alle i Kredite identisch und wird bei den binären Logit- und 26 Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S. 7ff. 27 Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S

16 Probit-Modellen arbiträr als s=0 festgelegt. 28 Des Weiteren wird noch angenommen, dass das Ausfallrisiko des Kredits von verschiedenen erklärenden Variablen abhängt (wie zum Beispiel Umsatz oder Eigenkapitalquote), die in einem Vektor xi zusammengefasst werden. Außerdem wird für die Berechnung noch ein unabhängiger Fehlerterm ε benötigt. Dieser Fehlerterm ε unterliegt bei dem Logit-Modell einer logistischen Verteilung und bei dem Probit-Modell einer Standard-Normalverteilung. 29 Für diesen Fehlerterm ε müssen auch Annahmen über die Varianz und den Erwartungswert der Schätzfehler der Regression getroffen werden, da ε im Unterschied zu manchen anderen Modellen nicht empirisch beobachtet werden kann. Im Zuge des Logit-Modells wird für die Schätzfehler eine Varianz σ 2 ε x von π²/3 und ein Erwartungswert E(ε x) von 0 angenommen. Für das Probit-Modell wird für die Varianz der Residuen σ 2 ε x=1 und für den Erwartungswert E(ε x)=0 festgelegt. 30 Die Restriktionen der Varianz des Schätzfehlers, des Erwartungswertes für den Schätzfehler und des Schwellenwertes s haben keinen Einfluss auf die Interpretierbarkeit der Logit- und Probit- Modelle. 31 Die latente Variable Zi setzt sich insgesamt aus dem Vektor xi, dem zu schätzenden Koeffizientenvektor βi und dem Fehlerterm εi zusammen. 32 Nachfolgend sind die Formeln für die latente Variable Zi und die Bedingungen für einen Ausfall des Kredits beziehungsweise die Tilgung desselben abgebildet. Z i = x i β i + ε i Y i = 1 wenn Z i > s Y i = 0 wenn Z i s In Folge sind die zugrundeliegenden Funktionen für die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Kreditausfalles des Kredites i, für das Logit- und das Probit-Modell angegeben. F(Zi) bezeichnet für das Logit-Modell die kumulative Verteilungsfunktion der logistischen Verteilung und für das Probit-Modell die kumulative Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung. Die Berechnung des Koeffizientenvektors β, der in den beiden nachfolgenden Formeln für Zi verwendet wird, erfolgt hierbei mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode. 28 Vgl. Best/Wolf (2012), S Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S Vgl. Best/Wolf (2012), S Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S

17 Diese Methode versucht, über die Wahl der Werte von β, die Wahrscheinlichkeit, mit der der untersuchte Datensatz reproduziert wird, zu maximieren. 33 Logit P(Y i = 1 x i ) = F(Z i ) = Probit P(Y i = 1 x i ) = F(Z i ) = 1 2π ez i 1 + e Z = 1 i 1 + e Z i u 2 i e 2 Zusammenfassend sollte festgehalten werden, dass für die Verwendung von latenten Variablen zur Untersuchung der Problemstellung im Vorhinein für Logit- und Probit-Modelle einige Annahmen getroffen werden müssen. Als erstes muss der Schwellenwert s festgelegt werden, bei dessen Überschreitung ein Kreditausfall eintritt beziehungsweise bei dessen Unterschreitung eine Tilgung stattfindet. Danach muss eine Verteilungsannahme für den Fehlerterm ε getroffen werden, aufgrund derer sich entweder das Logit- oder das Probit-Modell ergibt. Als letztes müssen noch der Erwartungswert und die Varianz für ε festgelegt werden. 34 Zur besseren Veranschaulichung der Ergebnisinterpretation der Modelle wird diese anhand der nachfolgenden Tabelle durchgeführt, deren Werte aus Kaiser/Szczesny entnommen wurden. In der Tabelle sind von links nach rechts die Bezeichnung der Variable, der Wert des durch die Maximum-Likelihood-Methode geschätzten Koeffizienten, der Standardfehler und das empirische Signifikanzniveau abgebildet. Die Werte, die in der Tabelle abgebildet sind, beruhen dabei auf dem binären Probit-Modell. 35 Variable Koeffizient Std.-Fehler p-wert Eigenkapitalquote -2,8844 0,4011 0,000 Cash-Flow -0,4113 0,1735 0,018 Anlagendeckungsgrad -0,1253 0,0684 0,067 Tabelle 1: Ergebnisse des binären Probit-Modells Quelle: Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S. 10. Der Koeffizient der Eigenkapitalquote in der obigen Tabelle ist negativ und signifikant auf dem 1-Prozent-Niveau. Dies bedeutet, dass bei den untersuchten Kreditnehmern mit einer hohen Eigenkapitalquote eine geringere Ausfallwahrscheinlichkeit in Verbindung gebracht werden kann. Der Koeffizient der Cash-Flows ist negativ und auf dem 5-Prozent-Niveau Z i du 33 Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S Vgl. Best/Wolf (2012), S Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S. 9f. 12

18 signifikant. Somit haben Kreditnehmer, die einen höheren Cash-Flow aufweisen, auch eine geringere Ausfallwahrscheinlichkeit bei Krediten. Da der Koeffizient der Cash-Flows höher ist als jener der Eigenkapitalquote, ist dessen Auswirkung auf die Kreditwürdigkeit allerdings nicht so stark wie jener der Eigenkapitalquote. Die Auswirkung des Anlagendeckungsgrades auf die Kreditwürdigkeit ist sogar noch geringer. Die Ergebnisse des Probit-Modells dieser Tabelle geben allerdings keine Auskunft über die quantitativen Werte der Effekte der einzelnen Variablen, da diese bei den beiden Modellen erst separat berechnet werden müssen. 36 Möchte man die Auswirkung einer Erhöhung von einem Prozent einer Variablen k im Vektor xi auf die Wahrscheinlichkeit für Yi=1 herausfinden, so muss man dafür den zu k gehörigen Koeffizienten βk mit der Dichtefunktion f(zi) multiplizieren. Wobei f(zi), analog zu F(Zi), bei dem Logit-Modell die Dichtefunktion der logistischen Verteilung und bei dem Probit-Modell die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. 37 Logit P(y i = 1 x i ) x ik e Z i = f(z i )β k mit f(z i ) = (1 + e Z i )² Probit P(y i = 1 x i ) x ik mit f(z i ) = 1 2 Z i 2π e 2 = f(z i )β k Dieser marginale Effekt ist für den Kredit i von allen xik abhängig und somit hat jeder Kredit einen anderen marginalen Effekt. Genau aus diesem Grund gibt es verschiedene Herangehensweisen, um eine Aussage über das gesamte Modell treffen zu können. Eine Möglichkeit ist es, die marginalen Effekte für den Mittelwert oder den Median der erklärenden Variablen zu verwenden, um dadurch eine Aussage treffen zu können. Eine weitere Möglichkeit ist es, die marginalen Effekte sämtlicher Kredite im Modell zu berechnen und den arithmetischen Mittelwert aus diesen zur Erklärung heranzuziehen. 38 In der nachfolgenden Tabelle, die die marginalen Effekte abbildet, kann zum Beispiel abgelesen werden, dass eine Erhöhung der 36 Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S. 10f. 37 Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S Vgl. Schmidheiny (2014), S. 5f. 13

19 Eigenkapitalquote um einen Prozentpunkt die Wahrscheinlichkeit eines Kreditausfalls um 0,8708 Prozentpunkte reduziert. Variable Koeffizient Std.-Fehler p-wert Eigenkapitalquote -0,8708 0,0086 0,000 Cash-Flow -0,1242 0,0518 0,018 Anlagendeckungsgrad -0,0378 0,0206 0,067 Tabelle 2: Marginale Effekte des binären Probit-Modells Quelle: Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S. 12. Die beiden vorgestellten Modelle können neben der Untersuchung von Auswirkungen einzelner Variablen auf die Ausfallwahrscheinlichkeit bei Krediten auch dazu eingesetzt werden, um die Wahrscheinlichkeit, mit der ein einzelner Kreditnehmer mit gewissen Merkmalen ausfällt, festzustellen Geordnete Logit- und Probit-Modelle Bei den geordneten Logit- und Probit-Modellen, wird die Annahme, dass ein Kredit entweder ausfällt oder komplett zurückgezahlt wird, dahingehend erweitert, dass nun auch eine teilweise Rückzahlung erfolgen kann. Der Wert von Yi beträgt 0, wenn der Kredit i vollständig getilgt wird, 1, falls nur ein Teil davon getilgt wird, und 2, wenn der Kredit i vollständig ausfällt. Die Zuordnung der Werte von Yi kann, wie bei den binären Logit- und Probit-Modellen arbiträr erfolgen, solange diese eine natürliche Reihenfolge der Eintrittszustände aufweist. In Folge dieser Erweiterung müssen nun auch neue Schwellenwerte definiert werden. Yi beträgt 0, wenn der Wert der latenten Variable Zi unter s1 liegt, 1, wenn er die Gleichung s1 Zi < s2 erfüllt, und 2, wenn er über dem Schwellenwert s2 liegt. Die Schwellenwerte, die für die geordneten Modelle verwendet werden, werden im Rahmen der Schätzung von verschiedenen Programmen unterschiedlich geschätzt. 40 Ebenso wie bei dem binären Modell setzt sich die latente Variable Zi des geordneten Logit- und Probit-Modells durch einen linearen Zusammenhang zwischen dem Vektor der erklärenden Variablen xi, einem Koeffizientenvektor β und einem unabhängig verteilten 39 Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S

20 Störterm εi zusammen. 41 In Folge sind die Bedingungen für einen Ausfall des Kredits sowie einer teilweisen und vollständigen Tilgung aufgelistet. Y i = 2 wenn Z i > s 2 Y i = 1 wenn s 1 Z i < s 2 Y i = 0 wenn Z i s 1 Die anschließende Interpretation der geschätzten Werte für den Koeffizientenvektor β erfolgt bei den geordneten Logit- und Probit-Modellen analog zu den binären Modellen. Ein negativer Koeffizient bedeutet somit, dass diese Variable einen negativen Einfluss auf die latente Variable Zi hat und somit die Wahrscheinlichkeit eines teilweisen beziehungsweise kompletten Ausfalls eines Kredits i verringert. Ein positiver Koeffizient wirkt somit in die entgegengesetzte Richtung und erhöht daher die Wahrscheinlichkeit eines Kreditausfalles. Wie auch bei den binären Modellen kann allein mit den Koeffizienten des Modells der Verteilungsfunktionen allerdings keine Aussage über die marginalen Effekte getroffen werden. Um die Wirkung der marginalen Effekte auf den Ausfall eines Kredits bestimmen zu können, muss man für das Logit-Modell wiederum die Dichtefunktionen der logistischen Verteilung und für das Probit-Modell die der Standard-Normalverteilung verwenden. 42 Die Formeln zur Berechnung der marginalen Effekte des geordneten Logit- und Probit-Modells sind nachfolgend abgebildet. Die Funktion f(x) beschreibt hierbei analog zum binären Logit- und Probit-Modell im Logit-Fall die Dichtefunktion der logistischen Verteilung und im Probit-Fall die Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung. P(Y i = 2 x i ) = f(s 2 Z i ) β k x ik P(Y i = 1 x i ) = (f(s 1 Z i ) (s 2 Z i ))β k x ik P(Y i = 0 x i ) = f(s 1 Z i ) β k x ik Der Vorteil der geordneten Probit- und Logit-Modelle gegenüber den binären ist der, dass ein Kreditgeber mehr Informationen über die Eintrittswahrscheinlichkeit von unterschiedlich gewichteten Problemen erhält und somit das Risiko, das er eingeht, besser abschätzen 41 Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S Vgl. Kaiser/Szczesny (2000), S. 14ff. 15

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