Übung Musiktheorie vor 1600: Mathematische Grundbegriffe

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1 Übung Musiktheorie vor 16: Mathematische Grundbegriffe Dozent: Albert Gräf Wintersemester 212 Zur Festlegung musikalischer Intervalle gibt es zwei komplementäre Vorgehensweisen, die eine (nach Pythagoras) orientiert sich an der multiplikativen Struktur einfacher Frequenzverhältnisse wie 2/1 (Oktave), 3/2 (Quinte) usw., die andere (nach Aristoxenos) betont die additive Struktur abstrakter Intervallgrößen, die uns durch die moderne Musiktheorie geläufig ist. Die beiden Systeme sind grundsätzlich unvereinbar, daher gibt es in der (abendländischen) Musikgeschichte eine Vielzahl von Versuchen, eine Kompromisslösung zu finden, die sowohl den Forderungen nach Reinheit des Klangs als auch den Anforderungen der Musiktheorie einigermaßen entspricht. Zum Verständnis dieser Zusammenhänge benötigt man einige mathematische Konzepte, insbesondere Exponentialfunktion, Logarithmen und die Fourier-Reihe. Im Folgenden führen wird diese Begriffe kurz ein und erläutern ihre musikalische Bedeutung. Für weiterführende Fragestellungen siehe die Übungen/Diskussionspunkte am Ende. 1 Exponentialfunktion ( exp(x)=e x = lim 1+ x n n ) n= x k exp(1)=e= ist die Eulersche Zahl. Die Potenzfunktion x a x ist für gegebene Basis a> definiert als: a x = exp(x lna) k= k! Dabei ist ln der natürliche Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, s.u.). Beachte: Für eine natürliche Zahl n ist x n =xx. Weitere wichtige Rechenregeln: n a = 1 a x+y = a x a y a x = 1/a x a 1 = a a xy = (a x ) y a 1/x = x a Insbesondere ist also a 1 =1/a und a 1/2 = a. 2 Logarithmen Der Logarithmus log a zur Basis a ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion x a x, 1

2 d.h. es ist definitionsgemäß log a y=x genau dann wenn y=a x. Dies ist definiert für alle positiven reellen Zahlen y. Zum Beispiel ist log 2 8=3, da 2 3 =3 3 3=8. Für Werte, die keine ganzzahligen Potenzen der gegebenen Basis a sind, bestimmt man log a mit dem Taschenrechner. Dieser hat normalerweise den dekadischen Logarithmus (log 1, auch kurz einfach als log bezeichnet) und/oder den natürlichen Logarithmus (log e, Bezeichnung ln ) eingebaut. Zur Berechnung anderer Logarithmen verwendet man die Formel: log b x= log ax log a b Speziell benötigen wir im Folgenden die Zweierlogarithmen: log 2 x=lnx/ln2=logx/log2. Weitere wichtige Rechenregeln für den Logarithmus ergeben sich unmittelbar aus den entsprechenden Rechenregeln der Potenzen: log a 1 = log a (xy) =log a x+log a y log a (x/y) =log a x log a y log a a =1 log a (x y y ) =y log a x log a ( x ) =loga x/y Beispiele: > using math; > log2(x)=lnx/ln2; centx=12 log2(x); > map log2[1/1, 1/9,9/8,6/5,5/4,4/3,3/2,2/1]; [, , , , , , , 1] > map cent[1/1, 1/9,9/8,6/5,5/4,4/3,3/2,7/4,2/1]; [, , , , , , , , 12.] 3 Sinusoide a.k.a. reine Töne In der Musik interessieren wir uns speziell für Töne, die eine wahrnehmbare Tonhöhe haben. Die alten Griechen wussten schon, dass dazu bestimmte Arten von Schwingungen oder Vibrationen gehören. Heute weiß man, dass es sich dabei um mechanische Schwingungen handelt, die sich durch periodische Funktionen f: R R beschreiben lassen. Der einfachste Typ einer solchen periodischen Funktion ist der Sinus, der jedem (üblicherweise im Bogenmaß angegebenen) Winkel die Länge der Gegenkathete im Einheitskreis angibt: 2

3 t f(t)= sin(t) Berechnen lässt sich der Sinus ähnlich der Exponentialfunktion wieder durch eine mathematische Reihe: sin(x)= k= ( 1) k x 2k+1 (2k+1)! = x 1! x3 3! + x5 5! > using gnuplot; using namespace gnuplot; > let set(,"defaultlinelinewidth",1.,"defaulttextfontname","helvetica", "defaultaxesfontname","helvetica","defaultaxesfontsize", 8.); > splot = axis "tight",psplot("tmp.eps","-s5,333"); > lett=linspace( 4π,4π); let fig1=plot(t, map sint); let splot; Der Sinus ist periodisch mit Periode 2π= 36ř: sin(t)=sin(t+2kπ) für alle k Z. Fassen wir t als einen Zeitwert in Sekunden auf, so bedeutet dies: Die Schwingung wiederholt sich alle2π Sekunden, hat also eine Frequenz von 1 2π s 1 = 1 Hz (die Frequenz ist der Kehrwert 2π der Periode). Um eine Schwingung mit einer vorgebenen Frequenz ν Hz zu erhalten, müssen wir also das Argument t mit 2πν multiplizieren, man nennt dies auch die Kreisfrequenz. Auf diese Weise erhält man ein so genanntes Sinusoid. Beipiel: ν= 1Hz (Periode:,1 s). > sinusoidν t=sin(2πνt); > lett=linspace(.2,.2); let fig2=plot(t, map(sinusoid 1)t); let splot; 3

4 Neben der Frequenz ist ein Sinusoid durch zwei weitere Parameter charakterisiert: seine Phase (Winkelwert ϕ zur Zeit t=) und seine Amplitude (maximale Auslenkung A, für den Sinus selbst haben wir A = 1). Die allgemeine Funktionsgleichung eines Sinusoids lautet also: f(t)=asin(2πνt+ϕ) Z.B. erhält man für eine Phase von π/2=9ř und die Amplitude A=2: > clear sinusoid > sinusoida ν ϕ t=asin(2πνt+ϕ); > let fig3=plot(t, map(sinusoid2 1 (π/2))t); let splot; Superposition von Sinusoiden Bei der Superposition von Sinusoiden handelt es sich einfach um deren punktweise Addition, die Sinustöne werden also abgemischt. Dabei multipliziert man meistens die einzelnen Sinusoide auch noch mit verschiedenen Amplituden. Wie man leicht nachrechnen kann, gibt die Summe zweier Sinusoide gleicher Frequenz (aber u.u. verschiedener Phase und Amplitude) wieder ein Sinusoid derselben Frequenz, wobei es je nach Phasenverschiebung zu einer mehr oder weniger starken gegenseitigen Verstärkung oder Auslöschung kommen kann, auch Interferenz genannt. Beispiel: 4

5 > u(t)= sin(2πt);v(t)=sin(2πt+ϕ); > letϕ=3π/4; > let fig4=plot(t, map(\t u(t)+v(t)) t); let splot; Bei der Superposition von Sinustönen verschiedener Frequenz erhält man dagegen ein Frequenzgemisch. Speziell ergibt sich eine so genannte harmonische Obertonreihe, wenn alle Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, z.b.: [ 2 > leta=: πk n > f n ν t= k=1 k=1 ] ; a k sin(2πkνt); > let fig5=plot(t, map(f 7 1) t); let splot; Durch Änderung der Amplituden (und Phasen) der Obertöne erhält man andere Wellenformen, z.b.: [ 4 > leta=: (k mod2) πk k=1 ] ; > let fig6=plot(t, map(f 7 1) t); let splot; 5

6 [ 8 > leta=: π 2 (k mod2)( 1)k div2 k2 k=1 > let fig7=plot(t, map(f 7 1) t); let splot; ] ; Die Fourier-Reihe Nach Fourier lässt sich jede 1 periodische Funktion f:r R durch eine Reihe von sinusförmigen Funktionen (Sinusoide) darstellen, deren Frequenzen alle ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz ν sind (nämlich ν=1/t, wobei T die kleinste Periode von f ist, d.h., f (t + T) = f(t) f.a. t R). Eine gebräuchliche Form der Fourier-Reihe ist die folgende Amplituden-Phasen-Darstellung: f(t)=a + k=1 a k sin(2πkνt+b k ) 1. Jede Funktion meint in Wirklichkeit jede hinreichend glatte (z.b. Lipschitz-stetige, stückweise stetig differenzbare oder L 2 -integrierbare) Funktion, was für die meisten Anwendungsfälle erfüllt ist. In der Praxis ist f häufig auch durch eine endliche Folge von Abtastwerten x n = f (t +n t) gegeben; in diesem Fall ist die Fourier-Reihe eine endliche Summe, die mit effizienten Verfahren (FFT = Fast Fourier Transform) berechnet werden kann. 6

7 Umgekehrt ist jede Schwingung dieser Form (sofern die Reihe konvergiert) eine periodische Funktion. Man beachte, dass das nullte Glied der Reihe immer eine Konstante a ist ( Schwingung mit der Frequenz bzw. unendlicher Periode, wird gelegentlich auch als DC-Offset bezeichnet 2 ). Die Gesamtheit der Amplitudena k und Phasenverschiebungenb k (k = 1, 2, ) bezeichnet man auch als Amplituden- bzw. Phasen-Spektrum von f. Wichtige Spezialfälle (vgl. Übung 1): 3 Sägezahnwelle: a k = 2 πk Rechteckwelle: a k = 4 πk (k=1,2,3, ) (k=1,3,5,, sonst a k =) Dreieckwelle: a k = 8 π 2 k 2( 1)(k 1)/2 (k=1,3,5,, sonst a k =) Diese Zerlegung gilt insbesondere auch für periodische Schallwellen (Klänge). Die Grundfrequenz ν entspricht dabei normalerweise der empfundenen Tonhöhe des Klangs, die Amplituden a k der Sinusoide bestimmen Lautstärke und Klangfarbe. Die Sinusoide mit den Frequenzen k ν, aus denen sich der Klang zusammensetzt, werden (je nach Zusammenhang) dann auch als Harmonische, Ober-, Teil- oder Partialtöne bezeichnet. Genauer spricht man auch von einer harmonischen Obertonreihe zu einer gegebenen Grundfrequenz ν. Teiltöne, die nicht ganzzahlige Vielfache einer gegebenen Grundfrequenz ν sind, bezeichnet man auch als nicht-harmonische Teiltöne (vgl. Übung 2 und 3). Aus dem Theorem von Fourier folgt, dass sich jeder periodische Klang durch die Addition geeigneter Sinusoide approximieren lässt (additive Synthese). Darüber hinaus ergibt sich aus der Betrachtung der Obertonreihe und den Erkenntnissen der Psychoakustik (Helmholtz, Plomp/Levelt u.a.) aber auch die These, dass in einfachen Frequenzverhältnissen gestimmte Intervalle deswegen als besonders rein gelten, da es zwischen den Obertönen der beteiligten Klänge (unter der Annahme eines harmonischen Oberton-Spektrums) keine Schwebungen gibt. 6 Frequenzverhältnisse und musikalische Intervalle Bekanntlich entspricht die Oktave immer einer Frequenzverdoppelung. Allgemein sind musikalische Intervalle immer durch das Verhältnis zweier Frequenzen definiert, nicht durch deren Differenz! Ein Intervall ist also gegeben durch einen dimensionslosen Bruch x/y, z.b.: 3/2, 4/3, 5/4, usw. 4 Ist das Frequenzverhältnis irrational, so gibt man es 12 direkt als reelle Zahl an, z.b. 2. Frequenzverhältnisse x/y>1 bedeuten dabei Schritte nach oben, deren Kehrwerte (x/y) 1 = y/x < 1 Schritte nach unten. Ist ein Ton mit der Grundfrequenz x und ein Intervall (Frequenzverhältnis) q gegeben, so berechnet man die Frequenz y des anderen Tons des Intervalls durch Multiplizieren, d.h. y = q x. Beispiel: reine Quinte über einem Grundton von 44 Hz = 3/2 44 = 66 Hz; kleine Terz unter einem Grundton von 66 Hz = (6/5) 1 66=5/6 66 = 55 Hz. 2. Engl. DC = Direct Current = Gleichstrom. 3. DC a und das Phasenspektrum b k, k 1, sind bei diesen Wellenformen, bei der Dreieckwelle steckt die Phasenverschiebung im Vorzeichen von a k. Ferner beachte man, dass bei den Rechteck- und Dreieckwellen nur die ungeraden Reihenglieder eine von verschiedene Amplitude haben. 4. In der Musiktheorie findet man stattdessen häufig die Schreibweise y: x, z.b. 2:3, 3:4 usw. 7

8 Weitere Rechenregeln für Intervalle: Intervallschichtung: q = q 1 q 2 Beispiel: 3/2 4/3 = 2/1 Restintervall: q = q 1 q 2 1 Beispiel: 3/2 (4/3) 1 = 9/8 Umkehrung: q = 2q 1 (q>1) Beispiel: 2 (3/2) 1 = 4/3 q = (2q) 1 (q 1) Beispiel: (2 5/6) 1 = 3/5 Ein Tonsystem wird normalerweise durch eine endliche Menge S R von Intervallen innerhalb einer Oktave charakterisiert, die man je nach Zusammenhang auch als Skala, Stimmung oder Temperatur bezeichnet. Zur Festlegung der absoluten Tonhöhen wird außerdem ein fester Bezugston benötigt, der durch seine Frequenz x R gegeben ist, z.b. der Kammerton x = 44 Hz. Die Skala wird üblicherweise im Oktavabstand wiederholt, so dass die theoretische Gesamtmenge der Töne dann gegeben ist durch S = {x q k q S, k Z}. 5 Durch Einschränkung dieser Menge auf einen Frequenzbereich [x min, x max ] = {x x min x x max } erhält man für x min > eine endliche Grundmenge von Frequenzen S [x min,x max ]={x S x min x x max }. In der Musikgeschichte und in den einzelnen Musikethnien finden wir eine Vielzahl verschiedener Stimmungen. Z.B. werden in der Pythagoreischen Stimmung alle Intervalle durch Schichtungen und Restintervalle der Oktave 2/1 und der Quinte 3/2 festgelegt. In der reinen Stimmung kommt noch die große Terz 5/4 hinzu. Diese Intervalle sind schwebungsfrei. Damit kann man im Prinzip Stimmungen für alle Tonarten im Quintenzirkel festlegen, jedoch lässt sich daraus kein geschlossenes Tonsystem gewinnen, und viele abgeleitete Intervalle klingen sehr verstimmt (vgl. Übung 4 und 5). Daher wird in der westlichen Musikkultur heutzutage hauptsächlich die gleichstufige Temperatur 6 verwendet, in der alle zwölf Halbtöne innerhalb einer Oktav exakt gleich groß 12 sind, d.h. die kleine Sekunde entspricht hier dem Frequenzverhältnis 2 = 1, Daraus ergeben sich alle anderen Intervalle als Potenzen der Form 2 k/12, k Z, z.b. die temperierte Quinte =2 7/12 =1,49837 Daher kann man in der gleichstufigen Temperatur durch Logarithmieren zur Basis 2 jedes Frequenzverhältnis in die entsprechende Anzahl von Oktaven oder Halbtönen umrechnen, und umgekehrt einer Anzahl von Oktaven bzw. Halbtönen durch Potenzieren zur Basis 2 wieder das entsprechende Frequenzverhältnis zuordnen. Für historische und mikrotonale Stimmungen verwendet man häufig auch die von Alexander J. Ellis eingeführte Cent-Skala, die den temperierten Halbton in 1 Cents unterteilt. m = log 2 q q = 2 m (m = Anzahl Oktaven) n = 12 log 2 q q = 2 n/12 (n = Anzahl Halbtöne) c = 12 log 2 q q = 2 c/12 (c = Anzahl Cent) Für einen gegebenen Bezugston x kann man damit wie folgt zwischen Frequenzen x und Halbton-Nummern n umrechnen,wobei für n = die zugehörige Frequenz x = x gesetzt wird: n = 12 log 2 (x/x ) x = x 2 n/12 5. Man beachte, dass S auch alle Elemente x q k mit k < enthält, die Tonmenge wird also vom Bezugston x ausgehend sowohl nach oben als auch nach unten fortgesetzt. 6. Genauer: gleichstufige 12-Ton-Temperatur (engl. 12-TET = 12 tone equal temperament), in der älteren Literatur findet man auch den (etwas mißverständlichen) Begriff der gleichschwebenden Temperatur. Näherungen der gleichstufigen Temperatur waren für Lauteninstrumente bereits seit dem 16. Jahrhundert in Gebrauch. 8

9 Ist n eine ganze Zahl, so ergibt sich ferner die Oktavnummer m und die Tonigkeit k (Halbtonnummer innerhalb der Oktave) als m = n div 12 und k = n mod 12. Beispiel: 64 div 12=5, 64 mod 12=4. (n=64 repräsentiert z.b. in MIDI das eingestrichene e, die Nummerierung ist hier relativ zum Grundton c in der Subsubkontra-Oktave, x 8,2 Hz.) Aus den Rechenregeln der Logarithmen folgt außerdem, dass dem Multiplizieren und Dividieren von Frequenzverhältnissen bei den logarithmischen Intervallgrößen die einfache Addition und Subtraktion entspricht. Z.B. ist 2 Cent + 2 Cent = 4 Cent, in der gleichstufigen Temperatur ist eine große Terz also immer die Summe zweier Ganztöne (was in anderen Stimmungen nicht notwendig der Fall ist). Eine kurze Tabelle wichtiger Intervalle (Cent-Werte sind auf Hundertstel gerundet): reine Intervalle Ratio Cents temperierte Intervalle Ratio Cents Prim 1/1, Prim 1/1, kleiner Halbton 16/15 111,73 kleine Sekunde 2 1/12 1, kleiner Ganzton 1/9 182,4 große Sekunde 2 2/12 2, großer Ganzton 9/8 23,91 kleine Terz 6/5 315,64 kleine Terz 2 3/12 3, große Terz 5/4 386,31 große Terz 2 4/12 4, reine Quarte 4/3 498,4 Quarte 2 5/12 5, kleiner Tritonus 45/32 59,22 Tritonus 2 6/12 6, großer Tritonus 64/45 69,78 reine Quinte 3/2 71,96 Quinte 2 7/12 7, kleine Sexte 8/5 813,69 kleine Sexte 2 8/12 8, große Sexte 5/3 884,36 große Sexte 2 9/12 9, kleine Septime 16/9 996,9 kleine Septime 2 1/12 1, große Septime 15/8 188,27 große Septime 2 11/12 11, Oktave 2/1 12, Oktave 2/1 12, Einige musikalisch bedeutsame Restintervalle: Restintervall Ratio Cents Bedeutung Schisma 3285/ ,95 P S Syntonisches Komma 81/8 21,51 S=(4Q 2O) T Pythagoreisches Komma / ,46 P = 12 Q 7 O kleine Diësis 128/125 41,6 O 3 T Limma 256/243 9,22 3O 5Q Apotome 2187/ ,69 7 Q 4 O O = Oktave, Q = Quinte, T = große Terz in reiner Stimmung (Siehe dazu auch Übung 6 8.) 9

10 Übungen/Diskussion 1. Bestimme die Funktionsgleichungen von Sägezahn-, Rechteck- und Dreieck-Welle. 2. Strenggenommen ist jede Summe endlich vieler Sinusoide wieder periodisch. Warum und wann spricht man dann aber auch von nicht-harmonischen Obertönen bzw. Obertonreihen? 3. Gibt es in der Musik auch nichtperiodische Klänge? Wie lassen sich deren Wellenformen beschreiben? Haben diese Klänge ein Spektrum und wie sieht dieses aus? 4. Was ist ein schwebungsfreies Intervall? Warum ergeben diese Intervalle kein geschlossenes Tonsystem? Warum klingen manche Intervalle in der reinen Stimmung trotzdem schlecht? 5. Welche weiteren Stimmungen gibt es neben der reinen Stimmung und der gleichstufigen Temperatur? Wie sind diese definiert? 6. Berechne die Größe der Wolfsquinte in der (1/4-Komma-) mitteltönigen Stimmung. 7. Was ist die Bedeutung der kleinen Diësis (auch enharmonisches Komma genannt) in der mitteltönigen Stimmung? 8. Welche musikalische Bedeutung hat das Schisma? 1