2.1 Motivation, Zurückführung auf ein Doppelintegral. Wir betrachten einen zylindrischen Körper K, der von der Fläche

Transkript

1 Kpitel 2 Ds Flähenintegrl 2.1 Motivtion, Zurükführung uf ein Doppelintegrl Wir betrhten einen zylindrishen Körper K, der von der Flähe z f(x, y, seitlih von einer Zylinderflähe mit Erzeugenden prllel zur z Ahse und shließlih von einem ebenen Gebiet in der x y Ebene begrenzt wird, siehe Abbildung 2.1. Es soll ds Volumen V von K bestimmt werden. z y f(x, y x Abbildung 2.1: Volumen unter einer Flähe. Zur Lösung wird so verfhren, wie wir es vom Riemnn Integrl kennen. Wir zerlegen ds Grundgebiet in Elemente, berehnen ds Volumen über jedem Element näherungsweise (zum Beispiel durh Volumin von Qudern, summieren und führen shließlih einen Grenzübergng (Elemente immer kleiner durh. Ds soll hier niht im Detil erläutert werden. Flls der Grenzwert für lle zulässigen Zerlegungen existiert und gleih ist, erhält mn ds Volumen ls ds Flähenintegrl von f über V f(x, y d f(x, y d. Zur Berehnung des Flähenintegrls versuht mn, dieses uf ein Doppelintegrl von eindimensionlen Integrlen zurükzuführen. Sei (, b (, d ein Rehtek. 11

2 Dnn gilt f(x, y d b ( d f(x, y dy dx d ( b f(x, y dx dy, (2.1 sofern lle Integrle existieren. Ds heißt, die Berehnung des Flähenintegrls über ein Rehtek knn mn sih wie folgt vorstellen (mittlere Formel. Für festes x (, b berehnet mn zuerst ds Integrl bezüglih y in (, d. Dnh,,summiert mn für lle x (, b uf, ds heißt, mn integriert die Ergebnisse us dem ersten Shritt in (, b. Beispiel 2.1 Mn berehne für (2, 5 (1, 3 (5x 2 y 2y 3 d. Nh (2.1 gilt (5x 2 y 2y 3 d 3 5 Mn berehnet zunähst ds innere Integrl 5 2 ( 5x 2 y 2y 3 dx 5 3 x3 y 2xy ( 5x 2 y 2y 3 dx dy. Ds setzt mn zur Berehnung des äußeren Integrls ein 3 1 ( 195y 6y 3 dy y2 6 4 y y 6y Formel (2.1 lässt sih uf den Fll verllgemeinern, dss oben und unten von zwei stetigen Funktionen ϕ(x ψ(x, x [, b], und seitlih von den beiden Ordinten x und x b begrenzt wird, siehe Abbildung 2.2. Die Längen der seitlihen Grenzen knn Null sein. Dnn gilt ( b ψ(x f(x, y d f(x, y dy dx, (2.2 sofern lle Integrle existieren. Beispiel 2.2 Sei der Kreis um den Koordintenursprung mit Rdius r. Mn berehne y 2 r 2 x 2 d. Für festes x mit x r durhläuft y die Werte r 2 x 2 bis r 2 x 2. Deshlb folgt mit (2.2 y 2 r 2 x 2 d ϕ(x r r 2 x 2 r r r y 2 r 2 x 2 dy dx r 2 x 2 r 2 x 2 r2 x 2 r 2 x 2 y 2 dy dx. 12

3 y ψ(x ϕ(x x b Abbildung 2.2: Durh Kurven begrenzte Flähe. Für ds innere Integrl erhält mn r 2 x 2 r 2 x 2 y 2 dy 2 3 (r2 x 2 3/2. Einsetzen ergibt y 2 r 2 x 2 d 2 3 r r (r 2 x 2 2 dx r Der Gußshe Integrlstz Der Gußshe Integrlstz stellt eine Beziehung zwishen einem Flähenintegrl und einem Kurvenintegrl her. Aus der eindimensionlen Integrlrehnung ist bereits die Formel der prtiellen Integrtion beknnt b u v dx u(bv(b u(v( b uv dx. Im Spezilfll v 1 erhält mn den Huptstz der Differentil und Integrlrehnung b u dx u(b u(. Die rehte Seite knn mn ls,,integrle über die nulldimensionlen Gebiete (Punkte und b uffssen. Die Dimension des Integrtionsgebiets der ersten beiden Terme uf der rehten Seite ist lso um Eins niedriger ls uf der linken Seite. Solh eine Beziehung soll jetzt in zwei Dimensionen hergeleitet werden. Zunähst wird der Divergenz Opertor definiert. Sei v ein uf einem Gebiet R d definiertes Vektorfeld, dnn ist die Divergenz von v die Summe der ersten prtiellen Ableitungen der i ten Komponente von v nh der i ten Koordinte div v(x v(x v 1 x 1 (x v d x d (x i1 v i (x. 13

4 Wie uh in den nderen Abshnitten, wird der Gußshe Integrlstz für einen Spezilfll hergeleitet und dnn für den llgemeinen Fll nur ngegeben. Als Spezilfll betrhten wir, dss (, b (, d ein Rehtek ist. Wir wollen b d v(x, y d v(x, y dydx berehnen. Mn erhält, mit der eindimensionlen Formel der prtiellen Integrtion, b d v(x, y dydx ( b d d v 1 (x, y dx x dy + (v 1 (b, y v 1 (, y dy + b b ( d v 2 (x, y dy y dx (v 2 (x, d v 2 (x, dx. (2.3 Wir bezeihnen den Rnd von mit und desweiteren sei n die äußere Einheitsnormle n. Für den konkreten Fll des Rehteks ist n (, 1 T für die untere Seite y, n (1, T für die rehte Seite x b, n (, 1 T für die obere Seite y d und n ( 1, T für die linke Seite x. Mit diesen Bezeihnungen knn mn die Gleihung (2.3 kurz shreiben v(x, y d v n ds. (2.4 Die Gleihung (2.4 wird Gußshe Integrlstz gennnt. Er gilt für viel llgemeinere Gebiete ls Rehteke. Wihtig ist, dss ds Gebiet in einem gewissen Sinne einen vernünftigen Rnd besitzt. Seien u : R, R d, eine sklre Funktion und v : R d ein Vektorfeld. Dnn folgt mit Produktregel (uv i1 (uv i i1 Mit dieser Beziehung folgt (uv(x, y d und mit dem Gußshen Stz folgt (uv(x, y d Durh Einsetzen und Umstellen erhält mn u v d uv n ds u v i + u v i u v + u v. u v d + u v d uv n ds. u v d (2.5 womit die Ähnlihkeit zur Formel der prtiellen Integrtion in einer Dimension offensihtlih ist. Die Beziehung (2.5 wird uh Gußsher Integrlstz oder erste Greenshe Formel gennnt. Der Lple Opertor einer sklren Funktion u : R ist die Summe ller niht gemishten zweiten Ableitungen u 2 u x u 1 x 2 d 14 i1 2 u x 2 i u.

5 Die letzte Beziehung rehnet mn leiht nh. Nh der ersten Greenshen Formel (2.5 gilt ( uv d ( uv d u nvds u v d u n vds u v d. Auh diese Beziehung wird oft erste Greenshe Formel gennnt. Der Ausdruk u n u n ist die Rihtungsbleitung in Normlenrihtung, oder kurz die Normlenbleitung uf dem Rnd. Auf ds Flähenintegrl der rehten Seite knn mn noh einml die erste Greenshe Formel (2.5 nwenden. Mn erhält ( uv d u nvds u v d u nvds u v nds + u( v d. (2.6 Diese Formel wird zweite Greenshe Formel gennnt. 2.3 Vriblensubstitution in Flähenintegrlen Ein wihtiges Hilfsmittel zur Berehnung eindimensionler bestimmter Integrle ist die Vriblensubstitution b f(g(xg (x dx g(b g( f(u du, wobei u g(x ist. Mn knn uh in Flähenintegrlen die Vriblen substituieren. Dmit knn mn die Integrtion beispielsweise uf ein einfheres Gebiet überführen, oder die ntürlihen Koordinten eines Problems (z.b. Polrkoordinten nutzen. Die Herleitung der Formel für die Vriblensubstitution ist reht lngwierig und muss us Zeitgründen entfllen. Seien 1 und 2 zwei Gebiete, die gewisse Eigenshften bezüglih ihrer Ränder erfüllen und zwishen denen es eine eineindeutige Abbildung gibt D : 2 1, ( x y ( ϕ(ξ, η ψ(ξ, η Insbesondere dürfen die Gebiete gleih sein. Die Funktionldeterminnte der Abbildung ist ϕ ψ ξ ξ J(ξ, η. Dnn lutet die Formel für die Vriblensubstitution f(x, y dxdy f(ϕ(ξ, η, ψ(ξ, η J(ξ, η dξdη, ( wobei mn behten muss, dss im Integrl der Betrg der Funktionldeterminnte steht. Beispiel 2.3 Seien f(x, y xy und 1 sei der Viertelkreis x 2 +y 2 R 2, x, y. Bei der Integrtion über Gebiete, die etws mit Kreisen zu tun hben, bieten sih ϕ η ψ η. 15

6 Polrkoordinten n: x r os(φ, y r sin(φ. Für die Funktionldeterminnte erhält mn J(ξ, η os(φ sin(φ r sin(φ r os(φ r ( os 2 (φ + sin 2 (φ r. Der Viertelkreis ist gegeben durh r < R, φ π/2. Mn erhält lso 1 f(x, y d R π/2 R r 2 os(φ sin(φr dφdr r 3 os(2φ 4 π/2 dr 1 2 R r 3 dr R Erweiterungen der Integrle uf höhere Dimensionen Eine ntürlihe Erweiterung des Flähenintegrls uf ein d dimensionles Gebiet, d 3, ist ds Volumenintegrl. Dieses bruht mn zum Beispiel, um die Volumin von d dimensionlen Körpern zu berehnen. Mn versuht, ds d dimensionle Volumenintegrl uf ein d fh Integrl zurükzuführen. Ht mn zum Beispiel über einen Quder d i1 ( i, b i zu integrieren, so erhält mn in Anlogie zu (2.1 ( ( b1 bd f(x 1,..., x d d f(x 1,..., x d dx d dx 1. 1 Unter entsprehenden Vorussetzungen n die zu integrierende Funktion, knn mn die Integrtionsreihenfolge beliebig vertushen (Stz von Fubini. hek Eine zweite Erweiterung des Flähenintegrlbegriffs besteht in der Integrtion uf d 1 dimensionlen Hyperflähen. Für d 3 spriht mn vom Oberflähenintegrl und mn ht beispielsweise über den Rnd eines Quders oder die Oberflähe einer Kugel zu integrieren. Die llgemeine Behndlung des Oberflähenintegrls ist reht kompliziert und knn us Zeitgründen niht geshehen. Die formle Shreibweise ist wie in zwei Dimensionen f ds. Die in zwei Dimensionen behndelten Beziehungen gelten sinngemäß uh in höheren Dimensionen: - eine mehrfhe Integrlformel wie (2.2, - der Gußshe Integrlstz (2.4, - die erste Greenshe Formel (2.5, - die zweite Greenshe Formel (2.6, - die Formel der Vriblensubstitution (2.7. Dzu gibt es Übungsufgben. d 16