1. Koordinaten. 1.1 Koordinaten

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1 Teil I Klasse 9 9

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3 . Koordinaten Cogito ergo sum René Descartes. Koordinaten Koordinaten sind etwas, das man nach einigen Schuljahren als etwas ganz Banales wahrnimmt; dabei gehören sie, ebenso wie z.b. das Dezimalsystem, zu den ganz großen Entdeckungen der Mathematik. Den ersten Vorläufer unseres heutigen Koordinatensystems hat ein gewisser René Descartes Anfang des 7. Jahrhunderts eingeführt. Descartes ist Nichtmathematikern eher durch seinen philosophischen Grundsatz cogito ergo sum (Ich denke, also bin ich bekannt als durch die mathematische Revolution, die er angestoßen hat. Immerhin sind die Standardkoordinatensysteme, die wir aus der Schule kennen, nach ihm benannt und heißen kartesische Koordinatensysteme. Allgemein sind Koordinatensysteme Methoden, um die Lage von Punkten (und komplizierteren Objekten anzugeben. Auf der Erde beispielsweise kann man jeden Punkt an der Erdoberfläche durch die Angabe des Längen- und Breitengrads angeben; dies ist ein Beispiel für ein nicht kartesisches Koordinatensystem, und zwar eines, das in der Praxis bei Navigationsgeräten eingesetzt wird. A B Abbildung.. Die Punkte A( und B( samt zugehörigem Steigungsdreieck

4 Im Koordinatensystem in Abb.. sind die Punkte A und B mit den Koordinaten A( und B( eingezeichnet. Dabei ist x die x-koordinate und y die y-koordinate von A. Darüberhinaus ist das zu A und B gehörige Steigungsdreieck eingezeichnet. Dieses Steigungsdreieck erlaubt es uns, den Abstand d AB von A und B mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen. Die Grundseite des Steigungsdreiecks hat Länge und Höhe, folglich ist d ( + ( + 5. Beachte, dass + + ist! Allgemein gilt: Satz.. Die Punkte A und B mit den Koordinaten A(a a und B(b b haben den Abstand d (b a + (b a. Der Abstand zweier Punkte ändert sich natürlich nicht, wenn man A und B vertauscht: schließlich ist ja (b a b a b + a (a b. Andere Ausdrücke für den Abstand zweier Punkte A und B sind a die Entfernung von A und B bzw. b die Länge der Strecke AB. Berechnung des Mittelpunkts zweier Punkte Die Koordinaten des Mittelpunkts M von AB kann man aus der Zeichnung in Abb.. ablesen: es ist etwa M(,5. Die x-koordinate des Mittelpunkts muss genau zwischen den x-koordinaten (von A und (von B liegen, ist also gleich +. Die Koordinaten von M kann man daher ausrechnen, indem man die Koordinaten von A und B addiert und durch teilt: es ist M( + + M(,5. Satz.. Der Mittelpunkt M der Strecke AB mit A(a a und B(b b ist gegeben durch ( a + b M a + b. (. Umgekehrt kann man natürlich B bestimmen, wenn A( und der Mittelpunkt M(,5 von AB gegeben sind: liegt zwischen und x, während,5 zwischen und x liegt. Also muss N( sein. Rechte Winkel Den Nachweis, dass ein Dreieck einen rechten Winkel besitzt, kann man mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras führen: gilt in einem Dreieck mit den Seiten a, b, c die Gleichung a + b c, dann hat das Dreieck in der c gegenüberliegenden Ecke einen rechten Winkel. Satz.. Ein Dreieck ABC hat in C einen rechten Winkel genau dann, wenn BC + AC AB.

5 C M B Beispielsweise hat das Dreieck A(, B(5 5, C( einen rechten Winkel in A: wegen AB + 5, AC + 5, BC A ist AB +AC BC. Da BC als längste Seite im Dreieck die Hypotenuse ist, muss der rechte Winkel wie behauptet in A liegen. Der Umfang dieses (gleichschenkligen Dreiecks ist U , sein Flächeninhalt F 5 AB AC. In der Regel ist es bei der Berechnung des Flächeninhalts eines rechtwinkligen Dreiecks am leichtesten, die eine Kathete als Grundseite und die andere als Höhe zu nehmen, also g a und h b zu setzen. Im allgemeinen muss man sehr viel mehr rechnen, wenn man die Höhe h c auf die Hypotenuse bestimmen möchte. In unserem Fall ist das aber nicht schwer, weil das Dreieck, um das es geht, gleichschenklig ist. Wegen AB AC ist nämlich die Höhe h auf BC auch gleichzeitig die Seitenhalbierende. Der Mittelpunkt M von B und C ist auch gleichzeitig der Höhenfußpunkt, und wegen M( 9 ist h c d(a, M 0,5 +,5,5. Wegen c 50 folgt also F 50,5 5.. Koordinaten in drei Dimensionen So wie P ( ein Punkt der Ebene ist, den man findet, indem dem man vom Ursprung aus in Richtung x- und in Richtung y-achse geht, ist der Punkt Q( 5 ein Punkt im dreidimensionalen Raum, dessen Koordinatenachsen die x-, y- und z-achse sind, und den man findet, indem man vom Ursprung aus in Richtung x-achse, 5 in Richtung y-achse, und in Richtung z-achse geht. Dabei ist traditionell die x-achse diejenige, die nach vorne zeigt, die y-achse diejenige, die nach rechts zeigt, und die z-achse diejenige, die nach oben zeigt. In Baden-Württemberg (ebenso wie anderswo auch, allerdings nicht überall werden die Achsen gerne als x -, x - und x -Achse bezeichnet. Damit man sich den Punkt Q in der Skizze vorstellen kann, sind in Abb.. einige Hilfslinien eingezeichnet. Die Hilfspunkte in Abb.. sind die Projektionen von Q auf die drei Koordinatenebenen. Die Ebene, welche die x - und x -Achse enthält, heißt die x x -Ebene. Entsprechend gibt es eine x x - und eine x x -Ebene (sh. Abb... Diese Hilfslinien können auch zum Berechnen des Abstands OQ verwendet werden: dazu wenden wir den Satz des Pythagoras zweimal an: einmal auf das rechtwinklige Dreieck OAB mit A( 0 0 und B( 5 0, was uns OB + 5 liefert, und dann auf das rechtwinklige Dreieck OBQ, was uns OQ OB + BQ ( liefert.

6 x (0 5 ( 0 Q x 5 ( 5 0 x Abbildung.. Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem Im allgemeinen findet man so für den Abstand P Q zweier Punkte P (x x x und Q(y y y die Formel P Q (y x + (y x + (y x. x 0 x 0 x 0 x x -Ebene x x -Ebene Abbildung.. Koordinatenebenen x x -Ebene Dabei besteht die x x -Ebene aus allen Punkten, deren x -Koordinate 0 ist. Deswegen ist x 0 auch die Gleichung der x x -Ebene. In Abb.. wurde nur die Teile der Koordinatenebenen schattiert, die positive Koordinaten haben; selbstverständlich hören Ebenen genauso wenig wie Geraden irgendwo auf.

7 5. Pyramiden Wir betrachten die quadratische Pyramide ABCDS mit A(0 0 0, B( 0 0, C( 0, D(0 0 und S( 5. Das Zeichnen der Pyramide sollte keine Probleme machen (sh. Abb... 5 Abbildung.. Quadratische Pyramide ABCDS Die Pyramide hat vier Grundkanten, nämlich AB, BC, CD und DA, sowie vier Seitenkanten, nämlich SA, SB, SC und SD. Die Grundkanten haben alle Länge, wie man direkt an den Koordinaten ablesen kann. Die Länge der Seitenkanten muss man mit Pythagoras berechnen; hier sind alle Seitenkanten gleich lang, z.b. ist AS Die Grundfläche der Pyramide ist das Quadrat ABCD mit Flächeninhalt G 6. Die Höhe ist (bei quadratischen Pyramiden, nicht aber bei schiefen Pyramiden die Strecke zwischen der Spitze S und dem Mittelpunkt M des Quadrats ABCD, kann aber hier an den Koordinaten abgelesen werden: es ist h 5. Für das Volumen der Pyramide gilt die Formel V G h; diese Pyramide hat Volumen V Die Oberfläche der Pyramide besteht aus vier Dreiecken und dem Quadrat. Die Dreiecke haben Höhe h M CD S 9 (die man streng von der Höhe h 5 der Pyramide unterscheiden muss, wie man aus M CD ( 0 und S( 5 sofort erhält. Natürlich kann man h auch mittels Pythagoras direkt berechnen, da man MM CD und MS 5 aus der Zeichnung ablesen kann und dann

8 6 h MM CD + MS erhält. Bei Pyramiden spiele drei Winkel eine Rolle, die man sauber auseinanderhalten muss. Winkel zwischen Seitenkante und Grundkante, z.b. α SDA. Winkel zwischen Seitenkante und Grundfläche, z.b. β SDM. Winkel zwischen Seitenfläche und Grundfläche, z.b. γ SM CD M. Zur Berechnung der Winkel brauchen wir rechteinklige Dreiecke. Für α SDA benutzen wir das Dreieck SDM AD, das in M AD ( 0 0 einen rechten Winkel hat. Die Hypotenuse des Dreiecks sind SM AD und M AD D (darf man an den Koordinaten ablesen. Also ist ( tan α, d.h. α tan 70,8. Für die Berechnung von β SDM haben wir bereits ein rechtwinkliges Dreieck, nämlich SDM mit einem rechten Winkel in M. Also ist tan β SM MD 5 8, d.h. β 60,5. Für die Berechnung des Winkels γ SM CD M benutzen wir das rechtwinklige Dreieck SM CD M. Damit wird tan γ 5, d.h. γ 68,. Übungen.. Berechne Mittelpunkt und Abstand der beiden Punkte A( und B(7. Kontrolliere das Ergebnis zeichnerisch.. Gegeben ist ein Punkt A( 5 und der Mittelpunkt M( der Strecke AB. Bestimme die Koordinaten von B. Zur Probe zeige man, dass AB doppelt so groß ist wie AM.. Spiegle den Punkt P (5 a an der x-achse b an der y-achse c an der Geraden x 6 d am Ursprung e am Punkt L(.. Bestimme den Umfang des Dreiecks ABC mit A(, B( und C(6. Bestimme weiter die Längen der Seitenhalbierenden dieses Dreiecks..5 Zeige, dass das Dreieck ABC mit A( 0, B( und C( rechtwinklig ist, und berechne Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks. Man zeichne das Dreieck auch in ein Koordinatensystem und überzeuge sich davon, dass derartige Zeichnungen nicht helfen herauszufinden, wo sich der rechte Winkel befindet.

9 7.6 Gegeben sind die Punkte A( und B(. Bestimme den. den Mittelpunkt M der Strecke AB,. den Abstand AB;. den Abstand AM;. den Punkt C, für welchen B der Mittelpunkt von AC ist..7 Finde ein Dreieck mit Flächeninhalt 7..8 Bestimme das Volumen der Pyramide OABC mit O(0 0 0, A( 0 0, B(0 5 0 und D(0 0 6 (Skizze!..9 Gegeben sei die quadratische Pyramide ABCDS mit A( 0, B( 0, C( 0, D( 0 und S(0 0. Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte M a von AS und M b von BS, und bestimme, was für ein Viereck durch M am b CD gegeben ist. Zeige, dass die Strecke vom Mittelpunkt M von M am b zum Mittelpunkt N von CD senkrecht auf CD steht, und bestimme den Flächeninhalt des Vierecks. Fertige eine Zeichnung an..0 (Aus dem Abitur BW 006 Die Punkte A( 5, B( und D( 9 0 bilden ein Dreieck. Zeigen Sie, dass das Dreieck ABD gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass ABCD eine Raute ist. Bestimmen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts M dieser Raute. Bestimmen Sie den Flächeninhalt und den Umfang der Raute.. (Aus dem Abitur Sachsen 007 In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Punkte A(, B(, C( und S( 0,5 Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S. Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig in A ist. Bestimmen Sie alle Winkel des Dreiecks und seinen Flächeninhalt. Stellen Sie diese Pyramide in einem kartesischen Koordinatensystem dar.. (Aus dem Abitur BW 0 Eine prismenförmige Truhe ABCDPQRS ist durch ihre Eckpunkte A(6 0, B(6 8 0, C( 8 0, D( 0, P (6, Q(6 8 6, R( 8 6, S( gegeben. Das Viereck PQRS beschreibt den Deckel der Truhe. Stellen Sie die Truhe in einem Koordinatensystem dar. Zeigen Sie, dass PQRS ein Rechteck ist, und bestimmen Sie seinen Flächeninhalt. Berechnen Sie das Volumen der Truhe. Hinweise: Zeichnen müsste klappen; das Endergebnis sollte schon ein bisschen wie eine Truhe aussehen. Für die Volumenberechnung gibt es zwei Möglichkeiten: Unterteilen der Truhe in einen Quader und die Hälfte eines Quadres; Man berechnet V G h, wo die Grundfläche G das vordere Trapez ist; der Flächeninhalt eines Trapez mit den parallelen Seiten a und c ist a+c h, wo h die Höhe des Trapezes ist.

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11 . Vektoren Mit Pfeil und Bogen Ob eine Auto meinem Fußgänger gefährlich wird hängt nicht in erster Linie von seiner Geschwindigkeit, sondern von seiner Richtung ab: fährt das Auto vom Beobachter weg, ist Entwarnung angesagt. Mathematisch drückt man Richtungen mit Vektoren aus.. Vektoren in der Ebene In der Physik unterscheidet man zwei Arten von Größen: skalare und vektorielle. Die Masse ist z.b. ein Skalar, also eine Größe, bei der es nicht sinnvoll ist, von ihrer Richtung zu reden. Die Kraft dagegen ist eine vektorielle Größe, da es bei ihr nicht nur auf den Betrag, sondern auch auf die Richtung ankommt. Würde die Schwerkraft uns nicht nach unten ziehen, sondern nach oben, wäre die Welt eine andere. A AB B A AB B Abbildung.. Der Vektor AB und sein Negatives AB. Sind A und B zwei Punkte, dann ist der Vektor AB derjenige Pfeil, der von A auf B zeigt (sh. Abb... Um von A( nach B( zu kommen, muss man nach rechts und nach oben gehen; wir schreiben daher AB (. Um AB aus den Koordinaten von A und B auszurechnen, muss man die Koordinaten von A von denjenigen von B abziehen: in unserem Beispiel ist AB ( ( (.

12 0 Der Vektor BA hat die gleiche Länge wie AB, aber die entgegengesetzte Richtung: es ist BA ( AB. A C AB CD B 5 D Vektoren sind gleich, wenn sie dieselbe Richtung und dieselbe Länge haben. Insbesondere ist mit A(, B(, C( und D(5 sicherlich AB CD (. Da AB und CD gleich lang und parallel sind, ist ABDC ein Parallelogramm, folglich gilt auch AC BD. Die Länge eines Vektors a AB ist der Abstand von A and B; man bezeichnet ihn mit a AB. In unserem Beispiel oben ist AB + 5. Satz.. Die Länge des Vektors v ( a b ist v a + b. Hat man ein Dreieck ABC bei gegebenen Punkten A, B, C zu untersuchen, empfiehlt es sich, zuerst die Vektoren c AB, a BC und b CA zu berechnen (beachte: bei dieser Wahl der Vektoren ist a + b + c 0, da man praktisch einmal um das Dreieck herumläuft; diese Identität lässt sich sehr gut zur Kontrolle bei Rechnungen einsetzen, und dann zu testen, ob zwei (oder drei dieser Vektoren die gleiche Länge haben (in diesem Fall ist das Dreieck gleichschenklig, bzw. gleichseitig und ob der Satz des Pythagoras gilt (in diesem Fall ist das Dreieck rechtwinklig. Zu jedem Punkt A gehört der Ortsvektor OA, der vom Ursprung O auf A zeigt. Hat der Punkt A die Koordinaten A(a b, dann ist der dazugehörige Ortsvektor OA ( a b. Am Ortsvektor OA kann man also die Koordinaten von A ablesen. Die Summe zweier Vektoren ist durch das Hintereinander-Anlegen definiert: um zwei Vektoren u und v zu addieren, setzt man den Anfang von v an das Ende von u: Eine entsprechende Zeichnung (und das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man u zu v addiert. Das liegt am Kräfteparallelogramm aus der Physik: um zwei Vektoren u und v zu addieren, lässt man sie am selben Punkt O angreifen und bildet das dazugehörige Parallelogramm; der Vektor von O zum gegenüberliegenden Punkt des Parallelogramms ist die Summe u + v der beiden Vektoren: Beispielsweise ist ( + ( (. Dieses Beispiel zeigt auch, wie man Vektoren rechnerisch zu addieren hat: man setzt einfach ( ( a b + cd ( a+c b+d. Auch die Subtraktion ist ganz einfach: rechnerisch ist ohnehin ( ( (, und um die Subtraktion zeichnerisch zu veranschaulichen, schreiben wir das Problem in der Form ( ( + : um zwei Vektoren zu subtrahieren, müssen wir nur den einen und das Negative des andern addieren!

13 u + v v v - u - Abbildung.. Addition von Vektoren - - v u v - v u Abbildung.. Addition und Subtraktion von Vektoren Der Begriff des Vielfachen eines Vektoren kann ebenfalls sinnvoll erklärt werden: natürlich setzen wir u u + u und u u + u + u etc. Für u ( a b ist daher u ( ( a b und u a ( b. Allgemein setzen wir r ab ( ra rb für jede reelle Zahl r. Für Vektoren gelten daher folgende Rechenregeln für die Addition, Subtraktion und die Multiplikation mit Skalaren: ( ab + ( cd ( a+c b+d, ( ab ( cd ( a c b d, r ( ab ( ra rb. Mit diesen Festlegungen gelten für das Rechnen mit Vektoren folgende Regeln: u + v v + u, r( u + v r u + r v, (r + s u r u + s u. Auf die Multiplikation von Vektoren werden wir noch zurückkommen. Es wäre möglich, das Produkt zweier Vektoren durch ( ( a b cd ( av bd festzulegen; allerdings hat diese Multiplikation keine geometrische Interpretation und ist daher zum Lösen geometrischer Probleme nutzlos.

14 . Linearkombinationen und Lineare Gleichungssysteme Das einfachste Beispiel einer Linearkombination zweier Vektoren a und b ist deren Summe a + b. Allgemeiner nennt man jeden Ausdruck wie a b, oder allgemeiner r a + s b, eine Linearkombination von a und b. Einige wenige Probleme in der Vektorgeometrie laufen darauf hinaus, einen gegebenen Vektor c als Linearkombination zweier Vektoren a und b zu schreiben. Wie fast alles endet dies in einem linearen Gleichungssystem. Beispiel. Wir beginnen mit einem trivialen Beispiel: wir wollen c ( 5 als Linearkombination der beiden Basisvektoren a ( 0 und b ( 0 schreiben. Nichts leichter als das: ( 5 5 ( 0 ( 0. Beispiel. Schreibe c ( 5 als Linearkombination der beiden Vektoren a ( und b (. Wir machen den Ansatz c r a + s b, also ( 5 r ( + s (. Vergleichen der x - und x -Koordinaten ergibt 5 r + s r + s Zieht man die zweite Gleichung vom doppelten der ersten ab, erhält man 0 r r + s s, also 6 s und damit s. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt 5 r +, also r. In der Tat ist ( 5 ( + (.. Parallelogramm und Rechteck In einem Parallelogramm ABCD (in der Regel sind die Punkte im Gegenuhrzeigersinn numeriert gilt AB DC und AD BC. Sind diese Bedingungen erfüllt, ist ABCD ein Parallelogramm. Tatsächlich genügt es, dass z.b. AB DC ist; ist das der Fall, so ist die zweite Gleichung AD BC automatisch richtig. In einem beliebigen Viereck ABCD ist nämlich AB+ BC+ CD+ DA 0 (geschlossene Vektorkette; ist nun AB DC, also AB CD, so folgt 0 AB + BC + CD + DA BC + DA, und das bedeutet BC DA AD wie behauptet. In der Praxis müssen wir also nur AB DC verifizieren, um sicher zu sein, dass ABCD ein Parallelogramm ist. Satz.. Ein Viereck ABCD ist genau dann ein Parallelogramm, wenn AD BC ist.

15 Es genügt allerdings nicht zu zeigen, dass AB und CD die gleiche Länge haben! Wenn man mit Längen rechnet, muss man auch zeigen, dass AD und BC dieselbe Länge haben. Zu den Standardaufgaben in der Vektorgeometrie gehört es, ein Dreieck ABC zu einem Parallelogramm zu ergänzen. Sind z.b. A(, B(5 und C(0 gegeben, so müssen wir die Koordinaten von D so bestimmen, dass ABCD ein Parallelogramm ist, d.h., dass AB DC gilt. Nun ist AB (, und setzt man D(d d, so ist DC ( 0 d d. Aus der Gleichung ( ( 0 d d folgt dann d und d 0, d.h. die Koordinaten von D sind gegeben durch D( 0. B B D C A D C A Abbildung.. Ergänzung zum Parallelogramm Eine zweite (und nicht weniger wichtige Methode, dieses Problem zu lösen, besteht darin, den Vektor AD BC zu A zu addieren; mathematisch exakt schreibt man dies so auf: OD OA + BC. Dies liefert OD ( ( + 5 ( 0, sodass sich auch hier D( 0 ergibt. Mit derselben Methode kann man auch den Mittelpunkt von A und B bestimmen: um vom Ursprung O nach M zu kommen, läuft man von O nach A und dann den halben Weg von A nach B. In Formeln: OM OA + AB. Setzt man die Koordinaten ein, so erhält man OM ( a a + woraus wieder die obige Formel (. folgt. ( b a b a ( (a+b / (a +b /,. Punktspiegelung Das Spiegeln eines Punkts A an einem zweiten Punkt L ist einfach: die Koordinaten des gespiegelten Punkts A kann man am Ortsvektor OA ablesen, und diesen erhält man durch

16 A L O A Abbildung.5. Spiegeln von A an L OA OA + AL. (. OA Genausogut wie (. würde die Formel OL + AL funktionieren, die aber deshalb gefährlich ist, weil man im Eifer des Gefechts oft LA statt AL nimmt und dann alles falsch wird. Sind A und A gegeben, so findet man die Koordinaten des Punktes L, an dem A gespiegelt wurde, indem man den Mittelpunkt von A und A ausrechnet. Satz.. Um einen Punkt A an einem Punkt L zu spiegeln, muss man OA OA + AL rechnen und die Koordinaten des gespiegelten Punkts A am Ortsvektor OA ablesen. Das Spiegeln von Punkten an einem Punkt ist oft hilfreich. Betrachten wir beispielsweise das Problem, dass von einem Rechteck ABCD die Punkte A(, B( und der Diagonalenschnittpunkt M( gegeben sind. Um die fehlenden Koordinaten von C zu finden, müssen wir nur A an M spiegeln. Dazu rechnen wir OC OA + AM ( ( + ( 57, OD OB + BM ( ( + ( 75. sowie Also ist C(5 7 und D(7 5. Um zu testen, ob das Viereck wirklich ein Rechteck ist, berechnen wir AB ( BC ( 6 6,, DC (, ( AD 66 Damit wissen wir, dass ABCD ein Parallelogramm ist. Um nachzurechnen, dass der Winkel in B ein rechter Winkel ist, nehmen wir Pythagoras:

17 5 C 6 5 D M B A Abbildung.6. Spiegelung an einem Punkt AB + BC , sowie AC Also gilt Pythagoras, folglich ist der Winkel in B ein rechter Winkel. Ist aber in einem Parallelogramm ein Winkel ein rechter, dann sind es alle..5 Vektoren im Raum Der Grund, warum man Vektoren so spät erfunden hat, liegt wohl im wesentlichen darin, dass man sie in der Geometrie der Ebene nicht wirklich braucht. Erst im Dreidimensionalen (und erst recht in allen Räumen noch größerer Dimension zeigt die Vektorrechnung ihre Kraft. ( Vektoren im R 5 haben Koordinaten; der Vektor zeigt beispielsweise vom Ursprung auf P ( 5. Ebenfalls wie im R ist die Länge eines Vektors u gegeben ( ab c durch ( ab a + b + c, und der Abstand zweier Punkte A(a a a und B(b b b durch c AB (b a + (b a + (b a. Dies liegt an der zweifachen Anwendung ( von Pythagoras: 5 Um die Länge des Vektors u zu bestimmen, rechnet man erst die Länge des ( 5 Vektors aus, der vom Ursprung O(0 0 0 auf Q ( 5 0 zeigt: dieser Vektor hat Länge 0 d + 5. Das Dreieck OQ Q ist aber auch rechtwinklig, folglich ist

18 6 x (0 5 ( 0 Q x O 5 Q ( 5 0 x Abbildung.7. Länge von Vektoren im R OQ OQ + Q Q nach dem Satz des Pythagoras, und damit OQ Damit kann man alles, was im R geht, auch im R machen. Insbesondere geht es darum, Abstände und Längen auszurechnen, zu prüfen, ob ein Dreieck gleichschenklig oder rechtwinklig ist, ein Dreieck zu einem Parallelogramm zu ergänzen, Punkte einzuzeichnen, oder die Koordinaten von Punkten aus einer Zeichnung abzulesen. Übungen.. Zeichne die Ortsvektoren a ( und b ( in ein Koordinatensystem. Zeichne auch a + b, sowie a b, und kontrolliere das Ergebnis durch Rechnung.. In einem Dreieck ABC sei a BC und b AC. Seien M a, M b und M c die Mittelpunkte der Seiten a BC, b AC und c AB. Drücke die folgenden Vektoren mit Hilfe von a und b aus (Beispiel: AB b a. AM a, AM b, M am b.. Zeige, dass das Viereck EFGH mit E( 0, F ( 6, G(0 6 5, und H(0 0 8 ein Parallelogramm ist.. Bestimme den Punkt D so, dass das Viereck ABCD mit A(0 0, B( 5 0 und C(6 5 ein Parallelogramm wird.

19 7.5 Zeige, dass das Viereck ABCD mit A(, B(7, C(6 6 und D( 5 ein Trapez ist. Hinweis: ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Eine Raute hat vier gleich lange Seiten (und ist automatisch ein Parallelogramm, ein Drachen hat zwei Paare gleich langer aneinanderliegender Seiten, und seine Diagonalen schneiden sich senkrecht..6 (Aus dem Abitur BW 008 Die Punkte A(5 0 0, B(5 0, C(5 0, F (0 0 0, G(0 0 und H(0 0 sind die Ecken eines dreiseitigen Prismas mit der Grundfläche ABC. Stellen Sie das Prisma in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie das Volumen des Prismas. Unter welchem Winkel schneidet die Fläche BCHG die x x -Ebene? Prüfen Sie, ob das Viereck BCHG ein Quadrat ist..7 Bestimme den Punkt D so, dass das Viereck ABCD mit A(, B( 5 7, C( 5 8 ein Parallelogramm ist..8 Zeige, dass die Punkte A(0 0 0, B( 0 0, C(, 0 und D( 6 6 die Ecken eines Tetraeders sind. Wie groß ist dessen Volumen?.9 Gegeben sind die Punkte A( 6, B(7 0, C(5, und D( 6. Zeige, dass ABCD ein Quadrat ist. (.0 Für welche Werte von k hat der Vektor die Länge? k. Ein Gebäude hat als Grundfläche das Rechteck ABCD mit A( 0 0, B( 6 0, C(0 6 0 und D(0 0 0, und als Dachfläche das Viereck EFGH mit E( 0, F ( 6, G(0 6 5 und H(0 0 8 (Koordinatenangaben in Meter. Stelle das Gebäude in einem Koordinatensystem dar. Zeige, dass die Dachfläche ein Parallelogramm ist. Wie lang sind die Seiten dieses Parallelogramms? Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts M des Rechtecks ABCD. Wie hoch ist das Gebäude im Punkt M?. (Aus dem Abitur BW 0 Zeigen Sie, dass das Dreieck ABP mit A(6 0, B( 0 und P ( 0.5 gleichschenklig ist. Das Viereck ABCD ist ein Rechteck mit Diagonalenschnittpunkt P Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D. Welche Punkte der x -Achse bilden jeweils mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse AB? Hinweis: die Punkte auf der x -Achse haben Koordinaten (x Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b, c 5. Hinweis: lege A in den Ursprung und C in C(5 0. Berechne die Koordinaten von C mit der Abstandsformel (runden verboten!. Die Höhe des Dreiecks kann man an den Koordinaten von C ablesen. Dreiecke mit ganzzahligen Seiten und ganzzahliger Fläche heißen Heronische Dreiecke. Die kleinsten solchen, deren Seitenlängen drei aufeinanderfolgende Zahlen sind, sind (,, 5, (,, 5, (5, 5, 5 und (9, 9, 95.

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21 . * Zusätzliche Materialien. Räumliche Vorstellung In der Vektorgeometrie gibt es sehr viele Standardaufgaben, bei denen man das Gelernte einfach abspulen muss. Es gibt aber auch Aufgaben, bei denen ein gesundes räumliches Vorstellungsvermögen wenn nicht entscheidend, dann doch sehr hilfreich ist. In diesem Abschnitt wollen wir uns Ebenen, denen wir eigentlich erst viel später begegnen werden, als Schnittebenen an Würfeln veranschaulichen. Grundobjekt ist ein Würfel ABCDEFGH. Schneidet man den Würfel durch die Ebene BCHE in zwei Teile (es entstehen zwei dreieckige Prismen BEFCHG und ABEDCH, so sieht das ganze aus wie in Abb.. Interessant wird die Sache, wenn wir eine zweite Ebene ADGF ins Spiel bringen (Abb.. Auf den ersten Blick scheint es ganz viele Geraden zu geben, die sich schneiden; wenn man allerdings genauer hinsieht, so erkennt man, dass der Schnittpunkt der Kante FG und der Diagonale BE nur ein scheinbarer ist, da BE in der linken Wand des Würfels, FG dagegen auf dem Dach liegt. Dagegen ist der Schnittpunkt S von AF und BE ein wirklicher Schnittpunkt, da diese beiden Diagonalen in derselben Seite, nämlich der linken Wand des Würfels liegen. Ebenso schneiden sich die beiden Diagonalen DG und CH in T. Mit den Punkten S und T haben die beiden Ebenen ADGF und BCHE die ganze Gerade durch ST gemein; diese nennt man die Schnittgerade der beiden Ebenen.

22 0 Blickt man von vorne auf den Würfel, so sind Teile der Schnittebenen verdeckt ; die folgende Abbildung kommt dem, was man wirklich sieht, recht nahe: Wir sollten vielleicht explizit bemerken, dass die Gerade ST nicht in S oder T aufhört (in dem Fall würden wir von einer Strecke sprechen, sondern nach rechts und links weitergeht. Das gleiche gilt natürlich für die eingezeichneten Ebenen, die man erhält, wenn man sich den Würfel, an dem sie entstanden sind, wieder wegdenkt: auch Ebenen erstrecken sich ins Unendliche. Damit man sich die Lage aber besser vorstellen kann, zeichnet man nur Teile davon, da man sonst das ganze Blatt färben müsste. Auch hier ist also weniger mehr.. Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck Der Flächeninhalt eines ebenen Dreiecks lässt sich sehr leicht bestimmen, wenn wir uns noch einmal die Addition zweier Vektoren ( ( a b + cd ( a+c b+d anschauen: Die Fläche des Parallelogramms OADB ist das Doppelte des Flächeninhalts des Dreiecks OAB. Die Fläche des großen Rechtecks OA DB ist offenbar F (a + c(b + d. Um die Fläche F 0 des Parallelogramms zu erhalten, müssen wir davon die Fläche der rechtwinkligen Dreiecke und der kleinen Rechtecke (in unserem Beispiel sind es zufällig Quadrate wegen b c abziehen: F 0 (a + c(b + d ab cd ab + ad + bc + cd ab cd bc ad bc.

23 B D B A O A Abbildung.. Fläche eines ebenen Dreiecks Diese Differenz ad bc kommt in der vektoriellen Geometrie so oft vor, dass sie eine eigene Bezeichnung bekommt: wir schreiben ad bc a c b d (. und nennen den quadratischen Ausdruck rechts eine Determinante. Solche Determinanten werden uns im Laufe der Zeit noch einige Male begegnen. Damit haben wir Satz.. Der Flächeninhalt F eines von den Vektoren ( ( a b und cd aufgespannten Parallelogramms ist (bis auf das Vorzeichen gleich dem Betrag der aus diesen Vektoren gebildeten Determinante (.: F a c b d ad bc. (. Das von ( ( a b und cd aufgespannte Dreieck hat folglich Flächeninhalt F ad bc.. Winkel zwischen Vektoren Auch das Berechnen von Winkeln zwischen Vektoren werden wir erst später vollständig behandeln. In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, wie man Winkel zwischen Vektoren und Koordinatenachsen bzw. Koordinatenebenen berechnet. Winkel zwischen Vektoren in zwei Dimensionen Welchen Winkel bildet der Vektor a ( mit der x- bzw. y-achse? Der Winkel zwischen a und der x-achse ist offenbar der Winkel zwischen a und a x ( 0 (die Bezeichnung ax für die Projektion von a auf die x-achse ist nicht Standard; wer sie benutzen will, muss sie erklären, und aus der Zeichnung lesen wir ohne Probleme ab, dass tan α ist. Allgemein gilt:

24 ( a - - a x Abbildung.. Addition von Vektoren Satz.. Der Winkel α zwischen ( a b und der x-achse genügt der Gleichung tan α b a. Für den Winkel β zwischen ( a b und der y-achse gilt entsprechend tan β a b, bzw. β 90 α. Hier wie in ähnlichen Situationen gilt: nicht die Formel auswendig lernen, sondern das dazugehörige Bild! Im Prinzip können wir damit auch Winkel zwischen zwei Vektoren a und b berechnen: dazu bestimmen wir den Winkel zwischen a und der x-achse, sowie zwischen b und der x-achse, und ziehen diese voneinander ab. Winkel zwischen Vektoren und den Koordinatenebenen Um zu verstehen, wie man den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene bestimmen kann, betrachte man noch einmal Abb..7: der Winkel zwischen ( 5 OQ und der Grundebene, der x x -Ebene, ist der Winkel, der von OQ und dem in die Grundebene projizierten Vektor OQ ( 5 aufgespannt wird. Da das Dreieck OQ Q in Q einen rechten Winkel hat, können wir trigonometrische Funktionen benutzen, um den Winkel α Q OQ zu bestimmen: es ist nämlich 0 sin α Q Q OQ 57, cos α OQ OQ, 57 tan α Q Q OQ.

25 Aus jeder der drei Formeln folgt α. Bei Winkeln zwischen Vektoren und einer andern Koordinatenebene muss man entsprechend die Projektionen des Vektors in die x x - oder die x x -Ebene betrachten. In der Praxis kommt aber fast immer nur die x x -Ebene vor. Winkel zwischen Vektoren und den Koordinatenachsen Hat man den Winkel zwischen dem Vektor OQ und der x -Achse zu bestimmen, projiziert man Q( 5 senkrecht auf die x -Achse und erhält Q ( Dass QQ wirklich senkrecht auf die x -Achse steht, kann man mit Pythagoras nachprüfen: ist richtig wegen QQ + OQ OQ QQ ( 0, OQ 5, und OQ Für den Winkel β zwischen Vektor OQ und der x -Achse gilt also cos β OQ OQ 57, was auf β 58 führt. Ganz allgemein finden wir so: ( ab Satz.. Für die Winkel α, β, γ zwischen dem Vektor a und den Koordinatenachsen gelten die c Formeln cos α a a + b + c, cos β b a + b + c, cos γ c a + b + c. Für Winkel zwischen beliebigen Vektoren gibt es Formeln, die wir aber erst später im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt kennenlernen werden.. Aufgaben Erfinden Es ist oft gar nicht so schwer, Aufgaben zu erfinden, bei denen nur schöne Zahlen auftauchen. Beginnen wir mit etwas ganz einfachem: wir möchten ein Dreieck mit der Fläche A,5 haben. Nach der Dreiecksformel (. ist A (ad bc, also muss ad bc 5 sein. Nun ist 5 8, also können wir a, d 7, b und c setzen. Dies ergibt die Spannvektoren u ( ( und v 7. Um die Koordinaten der Die Hofbauer-Fuchs-Formeln, nach Linda Hofbauer und Franziska Fuchs aus dem Abi- Jahrgang 0.

26 Ecken A, B, C des Dreiecks zu bekommen, wählen wir A beliebig, sagen wir als A(. Die Koordinaten von B und C bekommen wir dann durch Daher lautet unsere Aufgabe so: OB OA + u ( ( + ( 6, OC OA + v ( ( + 7 ( 5 0. Aufgabe. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(, B(6 und C(5 0. Hier ist noch ein Beispiel dieser Art. Rechtwinklige Dreiecke Wir hätten nun gern ein rechtwinkliges Dreieck ABC. Dazu wählen wir uns die Ecke C(7 beliebig. Die Vektoren CA und CB sollen orthogonal aufeinander stehen; damit der Flächeninhalt keine Wurzeln enthält, soll ihre Länge eine ganze Zahl sein. Die einfachsten Vektoren mit ganzer Länge sind u ( v ( 5 ( w ( p mit u + 5, mit v 5 +, mit v + +, mit p + +, sowie alle ganzzahligen Vielfachen davon; die Länge ändert sich ebenfalls nicht, wenn man eine Koordinate durch ihr Negatives ersetzt. Wählen wir z.b. CA ( ( 9, so wird CA ( ( 9, und wir finden Unsere Aufgabe lautet daher: OA OC + OB OA + CA ( 7 CB ( 7 ( + 9 ( 6, ( + ( 9 9. Aufgabe. Zeige, dass das Dreieck ABC mit A(6, B(9 und C(7 rechtwinklig und gleichschenklig ist, und bestimme seinen Flächeninhalt und seinen Umfang. Hätten wir das Dreieick nicht gleichschenklig gewollt, hätten wir nur CB ( z.b. durch CB ( ersetzen brauchen.

27 5 Übungen.. In einem Würfel ABCDEFGH sind die beiden Ebenen ACEG und BCEH, sowie ihre Schnittgerade einzuzeichnen.. In einem Würfel ABCDEFGH seien P, Q, R, S die Mittelpunkte der Kanten AE, BF, CG und DH. Zeichne die Ebenen ACEG und PQRS, sowie ihre Schnittgerade.. In einem Würfel ABCDEFGH sei M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen EG und FH. Zeichne die Ebenen durch ACM und BDHF, sowie ihre Schnittgerade.. In einem Würfel ABCDEFGH sei M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen EG und FH. Zeichne die Ebenen durch BCM, sowie diejenige durch die Mittelpunkte der Kanten AE, BF, CG und DH, sowie deren Schnittgerade. Hinweis: die Ebene durch das Dreieck BCM ist die Ebene durch PBCQ, wo P und Q die Mittelpunkte von EF bzw. GH sind.

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