Die Finite-Elemente-Methode

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1 Die Finite-Elemente-Methode Anwendungsbereiche, Soft- und Hardwarevoraussetzungen, Programmierbarkeit Seminararbeit Im Studiengang Scientific Programming Fachhochschule Aachen, Standort Jülich Fachbereich 9 Medizintechnik und Technomathematik Studentin: Andrea Winterberg Matrikelnummer: Betreuer: Prof. Dr. rer. Nat. Martin Reißel 2. Betreuer: Dipl.-Ing. Uwe Navrath

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3 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ EINLEITUNG 2 2. DIE FINITE-ELEMENTE-METHODE WAS IST DAS? Geschichte Die Idee mit den Elementen Näherungsansätze und Herleitung von Element-Steifigkeitsmatrizen und Gesamtsteifigkeitsmatrix Berücksichtigung von Materialeigenschaften und Randbedingungen Lösen des Gleichungssystems ANWENDUNGSGEBIETE Bauingenieurwesen Maschinenbau Elektrotechnik Biomechanik FE-SOFTWARE UND ANWENDERPROGRAMMIERUNG LITERATURVERZEICHNIS BILDQUELLENVERZEICHNIS 23

4 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ Einleitung Die vorliegende Seminararbeit behandelt die Finite-Elemente-Methode (FEM), die ein numerisches Verfahren ist und in den verschiedensten Gebieten der Ingenieurswissenschaften angewandt wird. Die FEM ermöglicht z.b. die Berechnung und Simulation von Kräften, Spannungen, Temperaturen und elektromagnetischen Feldern. Bis heute ist es nicht möglich, vielschichtige Problemstellungen im Ganzen analytisch geschlossen zu berechnen. Zur Vereinfachung und Lösung eines solchen Problems kann die Finite-Elemente-Methode herangezogen werden. Dazu wird das Berechnungsgebiet in eine beliebig große Anzahl von Elementen (Bereichen/Gebieten) unterteilt. Das komplexe Problem zerfällt dabei in die Betrachtung kleinerer und einfacherer Teilprobleme. Diese Elemente sind endlich (finit) und nicht unendlich (infinit) klein. Das Aufteilen des Gebiets in eine bestimmte Anzahl Elemente finiter Größe, die sich mit einer endlichen Zahl von Parametern beschreiben lassen, gab der Methode den Namen Finite-Elemente-Methode. Dabei zeichnet sich die FEM durch große Flexibilität im Bereich der Anwendung aus und gehört zu den wichtigsten und am häufigsten genutzten numerischen Rechenverfahren. Bild 1: vernetzte Autokarosserie Bild 2: FE-Modell eines Dummies Durch die rasante Entwicklung der Computer seit den 60er Jahren hat sich auch die Finite-Elemente-Methode stark weiterentwickelt. Komplexe Problemstellungen können mit Hilfe eines Rechners nach Fertigstellung des Modells mit Randbedingungen in relativ kurzer Zeit gelöst werden.

5 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 3 In den folgenden Kapiteln soll ein erster Einblick in die Finite-Elemente-Methode gegeben werden. Kapitel 2 behandelt die geschichtlichen Aspekte sowie den klassischen numerischen Hintergrund der FEM. Darauf folgen Beschreibungen zu den Anwendungsgebieten und in Kapitel 4 wird abschließend auf die verschiedene FE- Software eingegangen, die es für Simulationen und Berechnungen gibt.

6 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ Die Finite-Elemente-Methode Was ist das? 2.1. Geschichte Bild 3: Ray W. Clough Die ersten Nachweise zu der Entstehung der Finite-Elemente-Methode erhalten wir aus der Mitte des 19. Jahrhunderts, als Karl Schellbach ein mathematisches Verfahren entwickelte, das große Anwendung im Bauingenieurwesen fand. Dieses Verfahren wurde von vielen Wissenschaftlern verbessert, bis 1942 Alexander Hrennikoff ein Modell erstellte, das zur Vereinfachung der Berechnung eines Körpers ein Gitter über diesen legt [MÜLGRO07]. Dieses Verfahren ist den heutigen schon sehr ähnlich gewesen. Zwei Jahre später zogen Courant und später Prager und Synge Differentialgleichungen heran und nutzten die Unterteilung eines Problems in Lösungsgebiete, die dem Grundgedanken von FEM entsprechen [KLE99] gelang Argyis und Kelsey mit Hilfe der Arbeiten und Erkenntnisse ihrer Vorgänger, die Lösungen für einfache Tragwerke durch Matrizen herzuleiten. Etwa zur selben Zeit konnten Turner, Clough, Martin und Topp das bereits vorhandene Wissen auf die Festkörpermechanik übertragen. Vor allem wurde ihr Erfolg durch das Aufkommen der ersten leistungsfähigen Rechner begünstigt. Ray W. Clough war es vor allem, der den Begriff FEM prägte. Allgemein versteht man ab den 1960ern darunter, das ein Festkörpermodell aus einer Zusammensetzung von Teilbereichen (finiten Elementen) besteht, wobei jeder dieser Teilbereiche das Verhalten des Elements bei äußeren Einwirkungen durch Ansatzfunktionen beschreibt. In den folgenden Jahren entwickelte sich eine riesige Interessensgemeinschaft innerhalb der Ingenieurswissenschaften für die Methode und deren Anwendbarkeit. So wurden unter Anderem erste Lehrbücher darüber verfasst und es gab 1963 auch eine erste Konferenz über die Computermethoden der FEM. Durch das Verbreiten der elektronischen Rechenhilfen konnte die FEM bis heute nicht mehr gestoppt werden.

7 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ Die Idee mit den Elementen Die Finite-Elemente-Methode ist ein numerisches Verfahren, welches das gesamte Gebiet in Bereiche unterteilt. Diese Bereiche werden Elemente genannt. Um das Vorgehen allgemein verständlich zu machen wird es anhand einer Lochplatte aus schwarzem Gummi (Bild 4) erklärt. Bild 4: Lochplatte Bild 5: verformte Lochplatte Wenn äußere Kräfte auf einen Körper wirken, so verformt er sich. In Bild 5 ist zu erkennen, wie sich die Lochplatte dehnt, wenn man an beiden Seiten daran zieht. Um diese Verformung zu berechnen, wird die Finite-Elemente-Methode herangezogen. Mit Hilfe von ANSYS, einer FE-Software, die für solche Berechnungen oft verwendet wird, wird anhand der Geometrie und Eckdaten der Lochplatte ein Modell für den Rechner erstellt (Bild 6). Aus Anschaulichkeitsgründen und aufgrund Bild 6: Viertellochplatte in Ansys der Symmetrie beschäftigen wir uns nur mit dem oberen rechten Viertel der Lochplatte. Zunächst muss die Lochplatte vernetzt werden. Dies geschieht im Vorfeld durch eine entsprechende Aufteilung (Diskretisierung), zum Beispiel über die Linien. Anhand dieser Aufteilung wird ein Netz mit Elementen generiert.

8 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 6 Bild 7: Diskretisiertes Lochplattentviertel (links) und Ausschnitt eines Elements Je feiner die Diskretisierung gewählt wird, desto mehr Elemente erhält man und der Rechenaufwand wird größer. Außerdem werden die Berechnungen des Modells genauer, je feiner die Unterteilung gewählt wird. In Bild 7 wurde das Lochplattenviertel diskretisiert und ein Ausschnitt des nun vorhandenen Netzes zeigt ein Element. Dieses Element schließt an allen Ecken, den sogenannten Knoten (Bild 8) und Kanten, kontinuierlich an die anderen Teilgebiete an. Im Allgemeinen können Elemente von verschiedenen Typen sein. Es gibt Eindimensionale, die Linien-, bzw. Stabelemente genannt werden und lediglich zwei Knoten haben. Zweidimensionale, die als Flächenelemente bezeichnet werden, und Dreidimensionale, den dreidimensionalen Volumenelementen. Für die flächige Lochplatte wird ein 2-D-Element, also ein Flächenelement benötigt. Knoten Bild 8: vernetztes Element und alleinstehend. Um die Verformung der Elemente zu berechnen, wird ein Element-Ansatz benötigt. In diesen Ansatzfunktionen wird die Verschiebung von jedem Knoten des einzelnen Elementes definiert. Die Verschiebungen in x-und y-richtung sind beim Beispiel der Lochplatte die Freiheitsgrade in den Ansatzfunktionen. Grundsätzlich sind auch andere Freiheitsgrade (DOF = Degree of Freedom - zum Beispiel Temperatur, elektrische Spannungen, etc) formulierbar.

9 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 7 Im folgenden Bild die Ergebnisse der vollständigen Lochplatte in ANSYS gezeigt. Das Verschiebungsfeld in x-richtung wird farblich dargestellt Bild 9: Ergebnis einer vollständigen Lochplatte mit Skalierung Eine schematische Vorgehensweise zur Berechnung eines strukturmechanischen Problems ist in der folgenden Abbildung gezeigt. Bild 10:Schema einer FEM-Berechnung zur Durchbiegung eines festeingespannten Balkens

10 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ Näherungsansätze und Herleitung von Element- Steifigkeitsmatrizen und Gesamtsteifigkeitsmatrix Die mathematische Vorgehensweise der Finite-Elemente-Methode soll nun anhand eines eindimensionalen Modells verdeutlich werden[zietay00]. Das physikalische Problem (Bild 11) ist ein eindimensionaler Wärmeleiter, bestehend aus 5 Knoten. An den Knoten 1 und 5 wird die Temperatur vorgegeben und zwischen 3 und 5 ist außerdem eine Wärmequelle angebracht, die linear ansteigend ist. Ein geeigneter Differentialgleichungsansatz ist = +=0 0< < und für die Wärmequelle gilt = 0 0<< < < Die Randbedingung ist für =0 und = ist =0, da dort der Wärmeleiter fest verankert ist. Nun soll die Temperaturverteilung der Knoten durch den Hitzeeinfluss berechnet werden. Bild 11: Wärmeleiterproblem

11 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 9 Um die Temperaturverteilung berechnen zu können, wird die Funktion durch angenähert. Diese Annäherung im Knoten wird durch = ausgedrückt, wobei! die Anzahl der Knoten, der Vektor der unbekannten Funktionswerte und Formfunktionen (engl. shape functions) sind. Bei der Wahl der Formfunktionen muss ein problemgerechter Ansatz gewählt werden. Im Besonderen eignen sich dazu Polynome. Die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Element ins benachbarte Element ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen erfüllen. Zum Beispiel muss die Temperatur eines zusammenhängenden Körpers in einer Richtung beim Übergang von einem Element zum anderen stetig sein. Im Fall der Balken- oder Plattenbiegung sind die Stetigkeitsanforderungen höher, da dort aus analogen physikalischen Gründen sogar die Stetigkeit der ersten Ableitung bzw. der beiden ersten partiellen Ableitungen gefordert werden muss. Elemente mit Ansatzfunktionen, welche den Stetigkeitsbedingungen genügen, heißen Konform. Die Gleichungssysteme können nach verschiedenen Vorgehensweisen hergeleitet. Dazu gehören beispielsweise die Matrix-Steifigkeitsmethode, Variationsmethode, Methode der gewichteten Residuen und die Energiebilanzmethode. Auf Einzelheiten und Erklärungen kann hier nicht weiter eingegangen werden und ich verweise auf die einschlägige Literatur im Literaturverzeichnis. Exemplarisch möchte ich einen typischen Näherungsansatz vorstellen. Dieser Näherungsansatz wird dann mit Hilfe der Methode der gewichteten Residuen, insbesondere dem Galerkin-Verfahren, an die Differentialgleichung des zu lösenden Problems approximiert. Als Residuum wird in der numerischen Mathematik die Abweichung des gewünschten Ergebnisses bezeichnet, das entsteht, wenn in eine Gleichung Näherungsfunktionen eingesetzt werden. Das Residuum " hat folgende Form: "= # $+

12 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 10 Des Weiteren spielt für die Methode der gewichteten Residuen eine Wichtungsgleichung % & eine Rolle, damit das Residuum minimiert wird. Im Falle des Galerkin- Verfahren ist % & = &, um eine Symmetrie zu erhalten. Für das Verfahren der gewichteten Residuen gilt allgemein: und mit Galerkin ( '% & " =0 ( ' & " =0 Daraus folgt: ( ) & * +,+- =0 und somit erhalten wir (./ & x & 4 =0 Diese Gleichung kann auf die Form 5+6 =0 gebracht werden und für jedes Element gilt dann

13 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ & 7 =) & 8 und 9 6 & 7 =' & Für alle Elemente würde dann die Summe der Ausdrücke gelten: 5 & = 5 & 7 7 und 6 & = 6 & 7 7 Bild 12: Darstellung der Formfunktionen Aus der Grafik (Bild 12) erhalten wir für die Formfunktionen =1 h und = h. mit der Elementmatrix 5 7 = 1 h ; < und dem Lastenvektor

14 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ = h 6 > ? Nachdem für alle Elemente die Formfunktionen eingesetzt wurden, erhält man für die Gesamtmatrix: Für die Ränder =@ A =0. So erhält man für die Temperatur folgendes Gleichungssystem: * C D F= 48 * E 6 Die Lösung der FE-Berechnung ist in der folgenden Grafik veranschaulicht (Bild 13): Bild 13: Ergebnisse der FE-Analyse

15 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 13 Die Lösung mit den Testfunktionen ergibt zwischen allen Knoten einen linearen Anstieg. An den Elementgrenzen =0 und = ist die Temperatur der Knoten 0. Die größte Temperatur stellt man am vierten Knoten fest, da dort die Hitze den größten Einfluss hat. Zum Vergleich liegt die exakte Lösung als Graph über der Lösung der Ansatzfunktionen Berücksichtigung von Materialeigenschaften und Randbedingungen Um eine Finite-Elemente-Berechnung unter real existierenden Bedingungen durchzuführen, werden zum Einen die entsprechenden Werkstoffkennwerte (z.b. Steifigkeitsverhalten, Temperaturausdehnung, etc.) benötigt. Zum Anderen müssen die Belastungen und Fixierungen (Bewegungsfreiheitsgrade) als Randbedingung definiert werden. Für die Werkstoffkennwerte sind je nach Berechnungsziel (Anwendung) verschiedene Eigenschaften eines Materials von Bedeutung. Zum Beispiel werden für eine statische strukturmechanische Berechnung (Festigkeitsberechnung eines Bauteils) die Steifigkeit (Elastizitätsmodul) und die Querkontraktionszahl benötigt. Ist die strukturmechanische Berechnung dynamisch, so müssen auch noch Dämpfungen und Dichte berücksichtigt werden. Soll die Berechnung darüber hinaus auch temperaturabhängig sein und sich gegebenenfalls auch plastisch verformen, sind entsprechend weitere Daten erforderlich. In anderen Anwendungsbereichen, wie zum Beispiel der Elektrotechnik, müssen entsprechende elektrische Materialkonstanten definiert werden (z.b. die Leitfähigkeit). Die Randbedingungen gelten oftmals am Rand des Definitionsbereiches, also an den Knotenpunkten. Sie können allerdings auch durch zum Beispiel Druck über die ganze Fläche gelten, also eine flächige Randbedingung. Bei jedem klassischen finiten Element kann zwischen zwei Arten von Randbedingungen unterschieden werden. Diese sind die Dirichlet- und die Neumannrandbedingungen. Die Dirichletrandbedingung, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, wird als Synonym für Randwerte genommen, die im Zusammenhang mit Differentialgleichun-

16 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 14 gen stehen. Die Neumannrandbedingung nach Carl Gottfried Neumann bezeichnet die Randwerte, die für die Richtungsableitung der Lösung vorgegeben werden In der folgenden Tabelle werden Beispiele gezeigt, welche Randbedingung unter welchen Umständen herangezogen wird. Problemstellung Dirichlet-Randbedingung Neumann-Randbedingung Auflagerbedingung/ Verschiebung statisches Problem Kraft Wärmeleitung Temperatur Wärmequelle elektrischer Strom elektrische Spannung Stromstärke Tabelle Lösen des Gleichungssystems Vorausgesetzt, dass die Anzahl der Freiheitsgrade in dem Gleichungssystem nicht allzu groß ist, lässt dieses sich am besten mittels direkter Verfahren wie beispielsweise dem Gauß-Algorithmus lösen. Da die FE-Gleichungssysteme dünnbesetzt sind, sollte man dies zu seinem Vorteil ausnutzen. Durch geschicktes Wählen eines Pivotelement kann der Rechenaufwand deutlich verringert werden. Für den Fall, dass die Anzahl der Freiheitsgrade zu hoch wird (ca ), bekommen direkte Verfahren zunehmend Schwierigkeiten, da einerseits der Rechenaufwand und der Speicherbedarf zu hoch werden und andererseits das Gleichungssystem schlecht konditioniert ist. An dieser Stelle kommen dann iterative Verfahren zum Einsatz, die das Ergebnis schrittweise verbessern. Am Geeignetsten sind für iterative Löser zum Einen Mehrgitterverfahren und zum Anderen vorkonditionierte Krylow-Unterraum-Verfahren. Für den Rechenaufwand großer Gleichungssysteme müssen oftmals Parallelrechner zum Einsatz kommen, um diese zu bewältigen [WIKI12]. 1 Quelle:

17 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ Anwendungsgebiete Die FEM findet in verschieden Bereichen der Wissenschaften Anwendung, da sie ein universelles Werkzeug für Berechnungen von Verformungen ist. Im folgenden Kapitel wird speziell auf Anwendungsfälle aus den Bereichen des Bauingenieurwesens, des Maschinenbaus, der Elektrotechnik und der Biomechanik eingegangen. Es gibt aber noch viele weitere Gebiete, in denen die Finite-Elemente-Methode zum Einsatz kommt Bauingenieurwesen Bild 14: Foto und FE-Modell einer Brücke Statik Berechnungen waren der ursprüngliche Grund für die enorme Weiterentwicklung der Finiten- Elemente-Methode. So gehören hauptsächlich die Tragwerkberechnungen im Bauingenieurwesen zur Tagesordnung. Tragwerk ist eine Bezeichnung für die statische Gesamtkonstruktion der einzelnen Bauteile eines Bauwerkes und somit maßgeblich für die Sicherheit entscheidend. Es existieren zwei verschiedene Arten von Tragwerken. Zum Einen die Fachwerke, die hauptsächlich aus miteinander verbundenen Stäben bestehen und zum Anderen Flächentragwerke, die aus Platten, Schalen und Membranen zusammengesetzt sind. Ein weiterer Grund für die Anwendung der Finite-Elemente-Methode ist das Einsparen von Material unter Beibehaltung der statischen Eigenschaften. Die Brücke zählt zu den klassischen Fachwerken. Wie man in Bild 14 erkennen kann besteht sie aus Stäben, bzw. Balken. Diese Balken werden bei der Berechnung in Stabelemente unterteilt. Auch andere Brückentypen werden mit Hilfe der FEM be-

18 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 16 rechnet, unter Anderem Hängebrücken wie die Kölner Rheinbrücke Rodenkirchen und die Tacoma-Brücke in Washington. Letztere stürzte nach zu starkem Wind im Jahr 1940 ein, was dazu führte, nicht nur statische Aspekte beim Brückenbau zu berücksichtigen, sondern auch dynamische. Eines der imposantesten Bauwerke aus dem Bereich der Flächentragwerke ist das Olympiastadion in München. Die markante Zeltdachkonstruktion galt bei seiner Fertigstellung sowohl als statische als auch optische Bild 15: Olympiastadion in München Sensation. Das aus Plexiglas m² große Dach wird lediglich durch 58 Stahlmasten gehalten Maschinenbau Der Maschinenbau beschäftigt sich mit der Konstruktion und Produktion von Maschinen. Jedes Bauteil einer Maschine muss analysiert sein, um es später in eine Maschine integrieren zu können. Daten, wie zum Beispiel über die maximalen Belastungen, sind für eine Konstruktion von Bedeutung. Des Weiteren hat sich insbesondere in der Automobilindustrie die Simulation mit Modellen aus dem Bereich der Finite-Elemente-Methode etabliert. Von größtem Belang sind dabei neben den Bauteilfestigkeiten und der Karosserieberechnung inklusive des Crashverhaltens auch die Aerodynamik. In Bild 17 ist eine Simulation aus ANSYS zu erkennen, welches einen Frontalzusammenstoß eines Trucks simuliert. Die Formel-1-Weltmeisterschaften profitieren schon jahrelang von der FEM. Durch Simulationen ist es den Konstruktionsteams der Bild 16: FE-Modell von Zahnrädern Bild 17: Simulation eines Autocrashs

19 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 17 Bild 18: Simulation eines Formel-1-Rennwagen einzelnen Rennställe möglich, das Design der Rennwagen kontinuierlich zu optimieren. Formel-1-Fahrzeuge benötigen effiziente und schnelle Simulationen, die unter anderem auch die Wetterlage eines Rennens mit einbeziehen. So kann die Luftströmung an den Fahrzeugen mit einer hohen Genauigkeit vorhergesagt werden. In den Jahren 2010 und 2011 gewann das Team Red Bull Racing nicht nur die Fahrerwertung, sondern auch den Konstruktionspreis für das Fahrzeugdesign, das durch gute FE-Simulationen ermöglicht wurde Elektrotechnik In der Elektrotechnik eignet sich die FEM zur numerischen Berechnung verschiedener Felder. Dazu zählen die elektrischen, magnetischen und thermischen Felder. Gerade in diesem Teilgebiet der Ingenieurswissenschaften werden durch die FEM teure und zeitaufwendige Messungen, deren Ergebnisse weit abweichen können und bei der manche Größen nur schwer zu erfassen sind, verhindert. Unter anderem werden die elektrischen Felder von Elektromotoren und Batterien auf diese Art und Weise berechnet. Bild 19: Elektromotor 3.4. Biomechanik Die Biomechanik ist eine Wissenschaft, die Bewegungen biologischer Systeme analysiert. Die Finite-Elemente-Methode ist hilfreich dabei, biomechanische Abläufe besser verstehen zu können. Das allgemeine Ziel ist, die Bild 20: FE-Modell eines Kniegelenk

20 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 18 maximale Belastung eines Körpers herauszufinden, um unter anderem Prothesen besser in den menschlichen Körper integrieren und Heilungsprozesse von Bändern und Sehnen, sowie Knochenfrakturen verbessern zu können. Das Minimieren von Versuchen an Lebewesen ist hier ein sehr großer Vorteil.

21 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ FE-Software und Anwenderprogrammierung Der Parallelität bezüglich der FEM-Entwicklung und der Weiterentwicklung der Computer-Technologien im 20. Jahrhundert ist es zu verdanken, dass die FEM eines der bedeutendsten computergestützten numerischen Verfahren ist. Wo früher große Rechner von Nöten, waren können die Berechnungen heutzutage an einem einzelnen Arbeitsplatz abgewickelt werden. Software wie beispielsweise ABAQUS und ANSYS wird auf den Computern vorausgesetzt, um solche Berechnungen durchführen zu können. Die Eingabe, Verarbeitung und Ausgabe werden in der FE-Software auch als Präprozessor, Gleichungslöser und Postprozessor bezeichnet. Die Vorgehensweise einer FE-Berechnung soll im Folgenden kurz skizziert werden: In einem CAD-Programm (computer-aided design, auf Deutsch: rechnerunterstütztes Konstruieren) wird vorerst eine Geometrie des Bauteils erstellt und anschließend mit Hilfe einer Schnittstelle in den Präprozessor übertragen. Präprozessor (Preprocessing): Der Benutzer bekommt Variablen zur Verfügung gestellt, um die Elementgröße und den Elementtypen festzulegen. Die Elemente werden dann durch einen Vernetzungsalgorithmus erzeugt. Des Weiteren muss das Materialverhalten eingegeben werden, welches je nach Werkstoff relevant für die Berechnung ist. Gleichungslöser (Solver): Je nach Art des Problems (statisch, linear, dynamisch, nicht linear) kommt nun entweder ein impliziter oder ein expliziter Gleichungslöser für die Berechnungen zum Einsatz. Die impliziten Löser können direkte oder iterative Verfahren sein, während die expliziten Löser speziell für hochdynamische Problemstellungen (z.b. Autocrash- Simulation) zum Einsatz kommen. Postprozessor (Postprocessing): Der Benutzer erhält das Ergebnis des Gleichungslöser. Die Ergebnisse werden ausgewertet, verglichen und bewertet. In vielen Fällen kann der Postprozessor Verformungen und Spannungen durch farbliche Kennzeichnung hervorheben und anzeigen.

22 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 20 Im Folgenden soll nun näher auf die FE- Software ABAQUS eingegangen werden. ABAQUS FEA (für ABAQUS -finite element analysis) ist eine vielgenutzte Software, die bei der Finite-Elemente-Methode zum Einsatz kommt. Erstmals wurde die Software 1978 veröffentlicht. Für die Quellcodes verwendet ABAQUS die Skriptsprache Python. Die ABQUS-Reihe besteht aus vier Kernprodukten [WIKI10]: 1. ABAQUS/CAE (CAE für Complete ABAQUS Environment) Eine Software, die sowohl für das Konstruieren eines Modells als auch für dessen Werkstoffeigenschaften zuständig ist (Präprozessor). Weiter kann die Software die Ergebnisse der Berechnungen visualisieren. 2. ABAQUS/CFD (CFD für Computational Fluid Dynamics) Diese ABAQUS-Komponente stellt viele weitere Ressourcen für die numerische Strömungsmechanik bereit, welche dann in ABAQUS/CAE umfassend unterstützt werden. 3. ABAQUS/Standard Ein Programm mit einem impliziten Gleichungslöser. 4. ABAQUS/Explicit Diese letzte Kern-Software von ABAQUS ist ein expliziter. Dieser kann für komplexere Rechenaufwände genutzt werden. ABAQUS verfügt außerdem noch über viele Schnittstellen, welche dem Benutzer ermöglichen, eigene Elementformulierungen oder Materialgesetze zu integrieren. Die meisten dieser Schnittstellen sind für die Programmiersprache FORTRAN gedacht. Aus diesem Grund muss für den Nutzen einer solchen Schnittstelle ein der ABAQUS- Version angepasster FORTRAN-Compiler installiert sein. In den Schnittstellen hat der Benutzer Parameterlisten vorgegeben, die er bestimmen kann. Sollten die Schnittstellen aufgrund von bestimmten Benutzerwünschen nicht ausreichen, so hat man aus kommerziellen Gründen nicht die Möglichkeit, auf den Quellcode zurückzugreifen und der Benutzer sollte sich einer anderen Lösung für sein Problem zuwenden, wie beispielweise frei verfügbaren Quellcode, den er selber anpassen kann.

23 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 21 Eine in FORTRAN geschriebenen Benutzerschnittstellen heißt UMAT und gehört zu ABAQUS/Standard. In diesem Programmteil kann der Benutzer das mechanische und thermische Verhalten eines Werkstoffes anhand einer eigenen physikalischen Beschreibung zum Materialverhalten definieren. Das Interface (Schnittstelle) hat folgenden Aufbau [ABA64]: Aufruf von UMAT SUBROUTINE UMAT(STRESS, STATEV, DDSDDE, SSE, SPD, SCD, 1 RPL, DDSDDT, DRPLDE, DRPLDT, STRAN, DSTRAN, 2 TIME, DTIME, TEMP, DTEMP, PREDEF, DPRED, CMNAME, 3 NDI, NSHR, NTENS, NSTATV, PROPS, NPROPS, COORDS, DROT, PNEWDT, 4 CELENT, DFGRD0, DFGRD1, NOEL, NPT, LAYER, KSPT, KSTEP, KINC) C INCLUDE 'ABA_PARAM.INC' Übergabeparameter C CHARACTER*80 CMNAME DIMENSION STRESS (NTENS), STATEV (NSTATV), 1 DDSDDE (NTENS, NTENS), DDSDDT (NTENS), DRPLDE (NTENS), 2 STRAN (NTENS), DSTRAN (NTENS), TIME (2), PREDEF (1), DPRED (1), 3 PROPS (NPROPS), COORDS (3), DROT (3,3), DFGRD0(3,3), DFGRD1 (3,3) Definition der Arrays Eigener Code Zusätzlich zu definierender Quellcode DDSDDE, STRESS, STATEV, SSE, SPD, SCD Und, wenn nötig RPL, DDSDDT, DRPLDE, DRPLDT, PNEWDT RETURN END An die vorgegebenen Variablen ist man gebunden. Um diese richtig besetzten zu können, sollte man sich mit der entsprechenden Dokumentation der jeweiligen Schnittstelle auseinandersetzen, um zu wissen welche Variable von welchem Typ ist, und was sie bedeutet.

24 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ Literaturverzeichnis [BET03] Betten, Josef. Finite Elemente für Ingenieure I. 2. Auflage, Aachen: Springer, 2003 [KLE99] Klein, Bernd, FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite- Elemente-Methode, 3.Auflage, Kassel: Vieweg, 1999 [MÜLGRO07] Müller, Günter & Groth, Clemens. FEM für Praktiker Band 1: Grundlagen, 8.Auflage, Renningen: Expert Verlag, 2007 [RIEHAC03] Rieg, Frank & Hackenschmidt, Reinhard. Finite Elemente Analyse für Ingenieure, 2.Auflage, Bayreuth: Carl Hanser Verlag, 2003 [ZIETAY00] Zienkiewicz, O.C. & Taylor, R.L.. The Finite Element Method, 5.Auflage, Oxford: Butterworth- Heinemann, 2000 [WIKI10] Wikipedia: URL: [WIKI12] Wikipedia: URL: [ABA64] ABAQUS- Version 6.4 Analysis User s Manual, Volume VI User Subroutines & Parametric Studies

25 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/ Bildquellenverzeichnis Bild 1: Bild 2: Bild 3: Bild 4: Foto: Andrea Winterberg, Aachen 2012 Bild 5: Foto: Andrea Winterberg, Aachen 2012 Bild 6: ANSYS-Praktikum am LuFG Kontinuumsmechanik, RWTH Aachen 2012 Bild 7: ANSYS-Praktikum am LuFG Kontinuumsmechanik, RWTH Aachen 2012 Bild 8: ANSYS-Praktikum am LuFG Kontinuumsmechanik, RWTH Aachen 2012 Bild 9: ANSYS-Praktikum am LuFG Kontinuumsmechanik, RWTH Aachen 2012 Bild 10: aus Finite-Elemente-Methode, U. Gabbert, Magdebug Bild 11: [ZIETAY00] Bild 12: [ZIETAY00] Bild 13: [ZIETAY00] Bild 14: Bild 15: Bild 16:

26 Seminararbeit Andrea Winterberg WS2012/13 24 Bild 17: Bild 18: CADFEM Journal infoplaner, Ausgabe 01/2012 Bild 19: Bild 20: