Verschränkte Photonenpaare

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1 Verschränkte Photonenpaare Michael Schug Autor, Johannes Gutenberg Universität Mainz Dr. Herwig Ott Betreuer, Johannes Gutenberg Universität Mainz, QUANTUM (Dated: 18. Juli 006) Die Untersuchung einer Korrelation zwischen physikalischen Systemen, die räumlich separiert sind, war und ist bis heute Gegenstand der Forschung in der Physik. Dabei stand in der Vergangenheit die Frage im Raum, inwiefern die Quantenmechanik eine solche Verschränkung von getrennten physikalischen Systemen beschreiben kann. Nachdem die von Einstein vorgeschlagene lokal-realistische Theorie widerlegt wurde, konnte in verschiedenen Experimenten die nicht-lokal-realistische Eigenschaft der Quantenmechanik voll und ganz bestätigt werden. Es zeigt sich eindrucksvoll in den Experimenten, dass durch die Zustandsmessung einer beliebigen Eigenschaften eines Teilchens am System 1, hier der Polarisation von Photonen, der Zustand des Teilchens am System instantan festgelegt ist. Die Messung am Teilsystem ist somit als Messung am Gesamtsystem anzusehen. Heutzutage werden verschränkte Photonenpaare in nicht-linearen, doppelbrechenden Medien wie BBO-Kristallen erzeugt, die den Ausgangspunkt für interessante Anwendungen wie die Quantenteleportation darstellen. I. HISTORISCHES UND MOTIVATION Im Jahre 1935 stellte sich Albert Einstein, zusammen mit dem Physiker Boris Podolsky, und dem Philosophen Nathan Rosen die Frage: "Kann die quantenmechanische Beschreibung der physikalischen Realität als vollstandig angesehen werden?" In dieser Frage kommt in erster Linie der Zweifel Einsteins an der Gültigkeit der Quantenmechanik zum Ausdruck. Um diesen Zweifel zu manifestieren, hatte Einstein folgendes Gedankenexperiment vorgeschlagen: Nachdem Elektronen kollidiert sind und anschlieÿend weit auseinander geogen sind, misst man an Elektron 1 den Impuls und kann damit über Impulserhaltung den Impuls des.elektrons störungsfrei bestimmen. Ebenso kann man den Ort des 1.Elektrons messen, und dadurch den Ort des.elektrons störungsfrei bestimmen. Nun sind also Ort und Impuls von Elektron störungsfrei bestimmt, aufgrund der Tatsache, dass beide an Elektron 1 gemessen wurden. Unbeachtet dessen, dass dies die Heisenbergsche Unschärferelation verletzten würde, bei der Ort und Impuls eines Teilchens nicht exakt bestimmt werden können, wollte Einstein nicht verstehen, dass die Messung an einem Teilsystem, als Messung am Gesamtsystem anzusehen ist. Er forderte Lokalität und Realismus, die auch in seiner allgemeinen Relativitätstheorie verankert waren, als wesentliche Bestandteile einer gültigen Theorie. Lokalität heiÿt, dass es keine kausale Beziehung zwischen Ereignissen gibt, die räumlich voneinander getrennt sind. Realismus meint an dieser Stelle, dass die Messergebnisse eine Folge von Eigenschaften sind, die das System vor und unabhängig von der Messung trägt. Ersteres würde in diesem Fall bedeuten, dass der Signalübertrag für Systeme die Lichtjahre voneinander entfernt sind, mit Überlichtgeschwindigkeit stattnden müÿte. Der zweite Punkt ist in sofern verletzt, als dass die Messung an einem Teilsystem, die Eigenschaft eines weit entfernten Systems ändert, und diese dann nicht mehr unabhängig von der Messung ist. Einstein sah nun durch diese beiden Verletzungen, und dadurch dass der Zufall durch freie Wahl dessen, was man miÿt, eine erhebliche Rolle spielt, die Quantenmechanik als unvollständige Theorie an. II. VERSCHRÄNKTE PHOTONENPAARE A. Überprüfung des Gedankenexperiments durch John Bell Im Jahre 1964 wurde die Überprüfung dessen, ob die Quantenmechanik eine lokal-realistische Theorie ist, entscheident vom Physiker John Bell vorrangetrieben. Sein Gedankenexperiment soll nun anhand von polarisierten Photonen vorgestellt werden. Abbildung 1 zeigt den hypothetischen Versuchsaufbau. Nachdem ein Kristall mit einem Laser gepumpt wird, erhält man hinter diesem ein polarisationsverschränktes Photonenpaar, welches durch folgenden Zustand beschrieben wird: 1 (jh > 1 jv > jv > 1 jh > ) In den beiden Strahlen hat man also eine Überlagerung aus horizontaler H> und vertikaler V> Polarisation. Diese gelangen zu einem Polarisator, der die Überlagerung wieder in die jeweiligen Teile aufspaltet, beschrieben durch j > 1,j? > 1, bzw. j > 1,j? > 1. Dreht man nun die Polarisatoren um einen gemeinsamen Winkel so stellt man fest, dass der Zustand j > rotationsinvariant ist, was bedeutet, dass stets zueinander senkrechte

2 Führt man nun eine Messung durch, so erkennt man absolut perfekte Korrelation zwischen den beiden Systemen hinsichtlich der Polarisation. Wird also an einem Polarisator der Zusatnd j > 1 gemessen, dann wird am Anderen der Zustand j? > gemessen, usw. Dies ist insofern erstaunlich, da vorher eine unbestimmte Überlagerung aus horizontaler und vertikaler Polarisation vorlag. Dieses Phänomen kann man nun auf verschiedenen Wegen erklären, jedoch sollte stets die von Einstein geforderte Lokalität mitberücksichtigt werden. Dazu stellt man sich zunächst eine Korrelationsfunktion C(; ) = M ittelwert[a()b()] Abbildung 1: Aufbau des Gedankenexperiments Polarisationen gemessen werden. Man erhält also folgenden Zustand nach der Transformation in die neue Basis: 1 (j > 1 j? > j? > 1 j > ) zwischen den beiden Polarisatoren auf, und führt viele Messungen nacheinander durch. Dabei erhält man 4 verschiedene Kombinationspaare aus den möglichen Ergebnissen einer Messung, deren Wahrscheinlichkeiten die Korrelationsfunktion bilden. C(; ) = P (j > 1 j > ) + P (j? > 1 j? > ) P (j > 1 j? > ) P (j? > 1 j > ) Hinsichtlich des Zustandes j C(; ) = cos[( > erhält man also: )] Die quantenmechanische Beschreibung der Korrelationsfunktion ist also nur noch von den beiden Winkeln der Polarisatoren abhängig. B. Einbeziehung der Lokaliät Um nun die Lokalität miteinzubinden, denierte sich Bell eine verborgene Variable, die die Eigenschaften der Teilchen bei ihrer Entstehung festlegen soll, was zur Folge hat, dass die Teilchen ihre Eigenschaft vor und unabhängig von der Messung besitzen. Damit kann es keine von Einstein zitierte spukhafte Fernwirkung geben, die die Information was an einem System gemessen wurde, zum anderen System überträgt. Unter Berücksichtigung dessen, mit welcher Wahrscheinlichkeit gemessen wird, ergibt sich eine neue Korrelationsfunktion: C HV (; ) = Z A(; )B(; )()d Um nun die quantenmechanische mit der lokalrealistischen Beschreibung zu vergleichen, deniert man sich 4 beliebige Grössen X 1 bis X 4, die alle 1 sind. Diese lassen sich im Hinblick auf die Messung nun zu einer Grösse S verbinden, sodass diese nur die Werte annehmen kann. S = X 1 (X + X 0 ) + X 0 1 (X X 0 ) = Ordnet man den Variablen nun die möglichen Messwertpaare, unter Berücksichtigung der verborgenen Variable zu, so erhält man folgende Beziehung für die Grösse S: S = A(; )B(; ) + A(; )B( 0 ; ) + A( 0 ; )B(; ) A( 0 ; )B( 0 ; ) Integriert man nun über, so erhält man 4 Korrelationsfunktionen, die aufgrund dessen, dass R ()d = 1 gilt, innerhalb des Intervalls von liegen, und die Bell'sche

3 3 Ungleichung bilden: 6 C HV (; ) + C HV ( 0 ; ) + C HV (; 0 ) C HV ( 0 ; 0 ) 6 + Nimmt man sich nun 4 verschiedene Winkel = 0, 0 =, 4 =, =, und setzt diese in die quantenmechanische Korrelationsfunktion C(; ) = cos[( )] ein, so erhält man als Ergebnis: p S = C(; ) + C( 0 ; ) + C(; 0 ) C( 0 ; 0 ) = Dieses Ergebnis steht also im Widerspruch zur lokalrealistischen Beschreibung des Experiments. Es zeigt sich also eine Verletzung der Bell'schen Ungleichnung durch die quantenmechanische Beschreibung. Da es sich hierbei um eine theoretische Beschreibung eines Gedankenexperiments handelte, muss nun die experimentelle Überprüfung zeigen, welche der Theorien das Gedankenexperiment korrekt beschreibt. C. Experimentelle Überprüfung Nachdem nun die Theorie in den 60er Jahren aufgestellt wurde, präsentierte Alain Aspect et al. 198 ein Experiment, welches die Bell'schen Ungleichungen bis dahin maximal verletzte, und die gröÿte Genauigkeit bei der Messung von Koinzidenzraten aufwiess. Dabei wurde folgender Versuchsaufbau verwendet: der Quelle emittiert wurden. Aus diesen Koinzidenzraten ergab sich bei Betrachtung der Wahrscheinlichen die Korrelationsfunktion: C(; ) = P ++ (; ) + P (; ) P + (; ) P +(; ) Dadurch konnte nun für 4 verschiedene Ausrichtungen der Polarisatoren die verbindende Grösse S berechnet werden: S = C(; ) C(; 0 ) + C( 0 ; ) + C( 0 ; 0 ) Das Experiment lieferte den Wert S = ; 697 0; 015. Zur bestmöglichen Verizierung wurde zusätzlich eine theoretische Betrachtung des Experiments vorgenommen, bei der sich die Korrelationsfunktion aus den Transmissionskoezienten der Polarisatoren ergab. C(; ) = F (T k 1 T? 1 )(T k T? ) (T k 1 + T? 1 )(T k + T? ) cos (; ) Hier ergab sich der Wert für S = ; 70 0; 05. Wie nun in beiden Werten für S deutlich zu erkennen war, lagen diese ausserhalb des nach der Bell'schen Ungleichung geforderten Intervalls, wodurch das Experiment die quantenmechaniche Vorhersage belegte. Damit war der Beweis geführt, dass die Quantenmechanik eine nicht-lokalrealistische Theorie ist. III. HEUTIGE ERZEUGUNG VERSCHRÄNKTER PHOTONENPAARE Abbildung : Experiment Aspect In einer Calcium-40 Quelle wurden mittels Photonenabsorption im Kristall ein polarisationsverschränktes Photonenpaar erzeugt, welche wiederum durch Polarisatoren in Polarisationsrichtungen getrennt wurden. Aus den Einzelzählraten die mittels Photomultiplier gemessen wurden, konnte man die zugehörigen Photonenpaare durch Messung von Koinzidenzraten bestimmen, d.h. es wurden die Photonenpaare gesucht, die gleichzeitig von Die geläugste Methode zur Erzeugung verschränkter Photonenpaare ist die spontane, parametrische Floureszens, oder auch spontaneous parametric down conversion (SPDC) genannt, bei der ein nicht-linearer, doppelbrechender Kristall durch ein Laser gepumpt wird, dessen Wellenlänge meist im UV-Bereich liegt. Anschlieÿend werden über ein kontinuierliches Spektrum Photonen emittiert. Das dabei verwendete Material ist meist BBO (-Bariumborat) oder KDP. Die Nichtlinearität des Materials drückt sich in der Entwicklung der Polarisation des Materials bis zur zweiten Ordnung in der Suszeptibiliät aus, wie in der folgenden Formel zu sehen: P i = (1) ij E j + () ijk E je k + :::

4 4 Dabei wird die Umwandlung der Photonen durch den Hamiltonoperator beschrieben: II.jpg ^H W W ()^a P ^a y S ^ay i + H:c: Die wichtigsten Bedingungen, bei der Umwandlung der Pumpphotonen in Signal und Idler Photonen sind die Energie- und Impulserhaltung (auch Phasenanpassung genannt): ~! P = ~! S + ~! i ~k P = ~k S + ~k i Abbildung 4: SPDC Type II Aus dieser Phasenanpassung entstehen die signikanten Lichtkegel, die zunächst den SPDC Typ I ausmachen, wie in Abbildung 3 zu sehen. Die SPDC Typ I liefert I.jpg j + >= p 1 (jh > 1 jv > +jv > 1 jh > ) 1 (jh > 1 jv > jv > 1 jh > ) j + >= p 1 (jh > 1 jh > +jv > 1 jv > ) j >= p 1 (jh > 1 jh > jv > 1 jv > ) Abbildung 3: SPDC Typ I noch keine verschränkten Photonenpaare sondern Photonen die gleiche Polarisation besitzen, die jedoch senkrecht zu der des Pumpstrahls ist. Man kann sich verschränkte Paare erzeugen, indem man senkrecht zueinander stehende Kristalle hat, die mit dem gleichen Laser gepumpt werden, und man die Lichtkegel sich überschneiden läÿt. Damit gelangt man direkt zur SPDC Typ II, bei der nun Signal und Idler zueinander sekrechte Polarisation besitzen, aufgrund der Tatsache, dass diese Kristalle eine doppelbrechende Wirkung besitzen, sodass die beiden Lichtkegel sich überschneiden. Damit erhält man auf den Schnittpunkten ein verschränktes Photonenpaar, was in Abbildung 4 zu sehen ist. Mit diesem Paar lassen sich dann die Messungen durchführen, die zu den Ergebnissen aus dem genannten Gedankenexperiment führen. Aus diesem Kristall Typ II lassen sich die 4 Bell- Zustände konstruieren, die alle möglichen Kombinationen der Verschränkung darstellen: IV. WEITERE EXPERIMENTE UND ANWENDUNGEN Neben der Verschränkung von einzelnen Photonenpaaren ist auch die Verschränkung von 3 Photonen möglich, die von Greene,Horne und Zeilinger realisiert wurden, und als GHZ-Zustände bekannt sind. Desweiteren besteht nicht nur die Möglichkeit, Photonen mittels Polarisation zu verschränken, sondern auch Atome, die in Ionenfallen gespeichert werden, und mittels ihres Spins über kurze Distanzen miteinander verschränkt sind. Neben diesen Experimenten nden heutzutage immer noch Experimente statt, die sogannte Schlupöcher in der Theorie überprüfen, d.h. es werden Ansätze veriziert, die die Quantenmechanik als inkorrrekt und die lokalrealistische Theorie bestätigen. Jedoch zeigen bis heute alle Experimente die quantenmechanische Beschreibung als korrekt. Eine Anwendung der Verschränkung ndet sich im sicherlich spektakulärsten Beispiel der Quantenteleportation, bei der die Verschränkung ausgenutzt wird, um die Information eines 3.Teilchens über das verschränkte Paar zu teleportieren. Eine weitere Anwendung steckt im Quantencomputer, der mit sogenannten Quantenbits arbeitet, die einen verschränkten Zustand beinhalten, und deshalb wesentlich schneller arbeitet.

5 5 V. LITERATUR Christopher Jerry, Peter Knight, Introductory Quantum Optics A.Aspect, P.Grangier, and G.Roger,Phys. Rev. Lett.,49, (198) Gregor Weihs, Diss., 1998, Universität Wien Jürgen Audretsch, Verschränkte Welt, Wiley-Vch