3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen
|
|
- Nikolas Stein
- vor 1 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob sie bestehen oder nicht. Zwei Gegenstände können also nicht bis zu einem gewissen Grade in einer Relation zueinander stehen. Damit ist eine einfache mengentheoretische Definition des Begriffs der Relation möglich: Eine Relation R ist eine Menge von n Tupeln. Dinge, die in der Relation R zueinander stehen, bilden ein n Tupel, das Element von R ist. Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben ist, versteht man unter einer Relation eine "zweistellige" oder "binäre" Relation, also eine Beziehung zwischen je zwei Dingen. Die Elemente eines Paares (a,b) können aus verschiedenen Grundmengen A und B stammen; die Relation dann heterogen oder "Relation zwischen den Mengen A und B". Wenn die Grundmengen übereinstimmen, A = B, die Relation homogen oder "Relation in der Menge A". Wichtige Spezialfälle, zum Beispiel Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen, sind Relationen in einer Menge Definition Die vorstehenden Überlegungen erlauben nun folgende formale Definition: Eine binäre Relation R ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen A und B: R A B mit A B := {(a, b) (a A) (b B)} Die Menge A wird als Vorbereich oder Quelle der Relation R bezeichnet; die Menge B als Nachbereich, Ziel oder Zielmenge Allgemeiner ist eine n stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von n Mengen A 1,..., A n R A 1... A n mit A 1... A n := {(a 1,, a n ) (a 1 A 1 ) (a n A n )}. Oft ist die obige Definition, insbesondere einer binären Relation, nicht präzise genug, und man muss die Quelle und Zielmenge in die Definition mit einbeziehen; obige Teilmenge ist dann genauer der Graph der Relation. Dann definiert man eine Relation als Tripel R = (G R,A,B) mit G R = Graph(R) A B. Alternativ könnte man vereinbaren, dass ein Paar (a,b) hier die Mengen A und B als "Zielmengen" für den Index 1 bzw. 2 "beinhaltet". Diese genauere Definition lässt sich offensichtlich direkt auf n stellige Relationen verallgemeinern. Die Kenntnis von Quelle und Zielmenge ist jedoch besonders für binäre Relationen wichtig, u. a., wenn man Funktionen als spezielle (sogenannte funktionale) Relationen betrachtet Erläuterungen und Schreibweisen Das kartesische Produkt ist die Menge aller geordneten Paare von a und b, wobei a irgendein Element aus der Menge A und b eines aus B darstellt. Bei dem geordneten Paar ist die Reihenfolge wichtig, d.h. (a,b) unterscheidet sich von (b,a), im Gegensatz zum ungeordneten Paar {a,b}, das identisch ist mit {b,a}. Für (a, b) R schreibt man meist arb. Oft betrachtet man den Spezialfall B = A, also R A A, die Relation dann auch homogen. Manche Autoren definieren eine allgemeine Relation bereits als homogene Relation, denn eine allgemeine Relation R A B ist auch immer homogen: R A B) A B). 1
2 3.3. Relationen und Funktionen Einer Relation im obigen Sinn entspricht auf eindeutige Weise eine Funktion f R, deren Definitionsmenge das kartesische Produkt der Mengen ist und deren Zielmenge lediglich die Elemente wahr und falsch umfasst, wobei f R (a,b) zu arb äquivalent ist. Diese Funktion ist auch als Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Teilmenge G R A B bekannt (wobei evtl. falsch = 0 und wahr = 1 genommen wird). Umgekehrt kann man aber auch eine Funktion als eine spezielle (nämlich als eine linkstotale und rechtseindeutige) Relation definieren (siehe unten). Ob man Funktionen als spezielle Relationen oder Relationen als spezielle Funktionen erklärt, bleibt willkürlich Verkettung von Relationen Eine Relation R A B und eine Relation S B C können miteinander verkettet werden. Das Ergebnis ist die Relation RS = S R = {(a, b) A C b B: (a, b) R (b, c) S}. Dies ist eine Verallgemeinerung des bekannteren Konzepts der Verkettung von Funktionen Homogene Relationen Ist R A A, dann nennt man die Relation homogen. In diesem Fall ist die Verkettung R R ebenfalls eine homogene Relation. Hier ist die Schreibweise R 2 =R R und allgemeiner R n für n \ {0, 1} gebräuchlich. Das kann zu Verwechslungen mit dem kartesischen Produkt M 2 M M führen, das sich natürlich auch aus Relationen bilden lässt. Die Bedeutung ergibt sich aus dem Sinnzusammenhang. Eine spezielle homogene Relation ist die Diagonale Δ A (oder auch nur Δ) auf einer Menge A. Dies ist nichts anderes als die Gleichheitsrelation als Teilmenge des kartesischen Produkts A A geschrieben: Δ A = {(a, b) A A a =b} = {(a, a) a A}. Diese Schreib und Sprechweise kann verwendet werden, um gewisse Eigenschaften von Relationen in Mengenschreibweise kurz darzustellen. Eine weitere spezielle homogene Relation ist die Allrelation oder universale Relation U = A A, die etwa in der Graphentheorie eine Rolle spielt. Ein Anwendungsbeispiel ist folgender Satz: Ist G = (V,E) ein gerichteter Graph mit Eckenmenge V und Kantenmenge E V V, so ist G genau dann (stark) zusammenhängend, wenn die reflexiv transitive Hülle von E die Allrelation ist Umkehrrelation Die Umkehrrelation (auch konverse Relation oder inverse Relation genannt) ist für eine Relation R A B definiert als R 1 = {(a, b) B A (a, b) R}. 2
3 Beispiel Alle möglichen Kombinationen von den Elementen aus der Menge A := {a,b,c} und B := {x,y,z}: A B a c b x z y A B ={(a,x), (a,y), (a,z), (b,x), (b,y), (b,z), (c,x), (c,y), (c,z)} A a c b B x z y Eigenschaften (binär) Die in den folgenden Tabellen gegebenen Beispiele beziehen sich bei Verwendung von Gleichheitszeichen "=", Kleinerzeichen "<" und Kleinergleich Zeichen " " auf die gewöhnliche Anordnung reeller Zahlen. Attribute für homogene Relationen Die folgenden Attribute beschreiben gemeinsam eine Äquivalenzrelation, die Attribute reflexiv und transitiv sind auch für Ordnungsrelationen gebräuchlich: reflexiv a A: (a,a) R R symmetrisch transitiv A B ={(a,x), (a,y), (a,z), (b,x), (b,y), (b,z), (c,x), (c,y), (c,z)} R ={(a,y), (b,x), (c,y)} a,b A: (a,b) R (b,a) R a,b,c A: (a,b) R (b,c) R (a,c) R R R 1 R R R Jedes Element steht in Relation zu sich selbst, z. B. ist stets a a. ist ungerichtet, z. B. folgt aus a=b stets b=a Anfang und Ende einer verbundenen Sequenz sind verbunden, z. B. folgt aus a<b und b<c stets a<c. Die folgenden Attribute werden zur Kennzeichnung von Ordnungsrelationen ebenfalls gebraucht: irreflexiv (antireflexiv) asymmetrisch antisymmetrisch für beliebige bzw. identitiv für homogene Relationen a A: (a,a) R a,b A: (a,b) R (b,a) R a,b A: (a,b) R (b,a) R a = b R = R R 1 = R R 1 Δ A 3 Kein Element steht in Relation zu sich selbst, z. B. gilt a<a für kein a. Es gibt keine zwei Elemente, die in beiden Richtungen in Relation stehen, z. B. folgt aus a<b stets, dass b<a nicht gilt. Es gibt keine zwei verschiedenen Elemente, die in beiden Richtungen in Relation stehen, z. B. folgt aus a b und b a stets a=b.
4 total, linear oder konnex trichotomisch alternativ a,b A: (a,b) R (b,a) R a,b A: (a,b) R (b,a) R a = b a,b A, a b: (a,b) R (b,a) R R R 1 = A A R = R R 1 = R R 1 = A A R R 1 Δ (A A)\ Δ R R 1 Je zwei Elemente stehen in Relation, z. B. gilt stets a b oder b a. Je zwei Elemente sind entweder gleich, oder sie stehen in genau einer Art und Weise zueinander in Relation. Es gilt für verschiedene Elemente stets genau eine der Relationen arb oder bra. Die folgenden Attribute sind besonders zur Beschreibung von Verknüpfungen gebräuchlich: drittengleich oder rechtskomparativ drittengleich oder linkskomparativ a,b,c A:(a,c) R (b,c) R (a,b) R R 1 R R a,b,c A:(c,a) R (c,b) R (a,b) R R R 1 R Stehen zwei Elemente jeweils zu einem dritten in Relation, dann stehen sie auch zueinander in Relation. Zu beachten ist, dass diese Forderung nicht äquivalent zur Transitivität ist. Die folgenden Attribute werden seltener gebraucht: intransitiv antitransitiv a,b,c A:(a,b) R (b,c) R (a,c) R a,b,c A:(a,b) R (b,c) R (a,c) R R R R (R R) R = Bei Nicht bei jeder verbundenen Sequenz sind Anfang und Ende verbunden. keiner verbundenen Sequenz sind Anfang und Ende verbunden. Attribute für Relationen zwischen verschiedenen Mengen Die folgenden Relationen sind für Funktionen (dargestellt als spezielle Relationen) wichtig. Im Allgemeinen besteht hier die Relation R zwischen zwei verschiedenen Mengen R A B, der Fall A = B ist natürlich auch möglich. Die Abbildungen p 1 und p 2 bezeichnen die Projektionen auf die erste bzw. zweite Faktormenge des kartesischen Produkts A B. linkstotal a A b B: (a,b) R p 1 (R) = A surjektiv bzw. rechtstotal b B a A: (a,b) R p 2 (R) = B injektiv bzw. linkseindeutig funktional bzw. rechtseindeutig a,c A, b B:(a,b) R (c,b) R a = c a A, b,c B:(a,b) R (a,c) R b = c R 1 R Δ A R R 1 Δ B bijektiv bzw. eineindeutig oder umkehrbar eindeutig b B!a A: (a,b) R R 1 R Δ A R R 1 = Δ B Jedes Element aus A steht zu mindestens einem Element von B in Relation. Jedes Element aus B hat mindestens einen Partner in A. Kein Element aus B hat mehr als einen Partner in A. Kein Element aus A hat mehr als einen Partner in B Jedes Element aus B hat genau einen Partner in A Eine Relation R Funktion, wenn sie linkstotal und rechtseindeutig ist. Eine linkstotale Relation wird auch Korrespondenz genannt. Die Attribute injektiv, surjektiv und bijektiv werden in der Regel für Funktionen gebraucht. 4
5 Relationszeichen In der elementaren Mathematik gibt es drei grundlegende Vergleichsrelationen: 1. x < y (Beispiel: 2 < 3 "2 ist kleiner als 3") 2. x = y (Beispiel: 3 = 3 "3 ist gleich 3") 3. x > y (Beispiel: 3 > 2 "3 ist größer als 2") mit x, y R. Zwei reelle Zahlen stehen immer in genau einer dieser Relationen zueinander. Mit diesen Relationszeichen lassen sich auch weitere erschaffen; so gilt: x y, falls x < y oder x = y (Beispiel: 4 5) x y, falls x > y oder x = y (Beispiel: 5 5) x y, falls x < y oder x > y (Beispiel: 4 5) für alle x, y R. Für komplexe Zahlen existieren obige Ordnungsrelationen nicht. Mathematiker verwenden das Zeichen auch für abstrakte Ordnungsrelationen (und für die zugehörige Umkehrrelation) während "<" keine Ordnungsrelation im Sinne der mathematischen Definition ist. Für Äquivalenzrelationen werden "symmetrische" Symbole wie, ~, bevorzugt Klassen von Relationen Wichtige Klassen von Relationen: Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, transitiv und symmetrisch. Eine Funktion ist linkstotal und rechtseindeutig (d.h. N:1). Eine Verträglichkeitsrelation oder Toleranzrelation ist reflexiv und symmetrisch (nicht notwendig transitiv). Eine Quasiordnung oder Präordnung ist reflexiv und transitiv (nicht notwendig symmetrisch oder antisymmetrisch). Eine Halbordnung oder partielle Ordnung ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch. (Halbordnung = Präordnung + antisymmetrisch) Eine lineare Ordnung oder totale Ordnung ist reflexiv, transitiv, antisymmetrisch und total (linear). (Lineare Ordnung = Halbordnung + total) Eine strenge Halbordnung oder Striktordnung ist transitiv und irreflexiv. Eine lineare Striktordnung oder strenge Totalordnung ist eine trichotomische Striktordnung. Achtung: eine lineare Striktordnung ist nicht linear, eine strenge Totalordnung nicht total! Eine Wohlordnung ist eine lineare Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge von A ein kleinstes Element besitzt. 5
Grundlagen der Mathematik
Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.
mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen
Einführung in die Logik - 6 mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Modelltheoretische / Denotationelle Semantik der Prdikatenlogik Ein Modell ist ein künstlich geschaffenes
Einführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
Einführung in die Mengenlehre
Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen Dozentin: Wiebke Petersen 2. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 25 n-tupel und Cartesisches Produkt Mengen sind ungeordnet,
Anhang B. Relationenalgebraische Definitionen. B.1 Relationen
Anhang B Relationenalgebraische Definitionen Die relationenalgebraischen Definitionen bilden die Grundlage der formalen Aspekte der Projekte WebReference und InterMediate [Her00]. Sie sind [SS89] entnommen.
Mathematik für Ökonomen 1
Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents 1 2 Ähnlich wie Funktionen besitzen Relationen charakteristische Eigenschaften. Diese Eigenschaften definieren wie
Mengen, Funktionen und Logik
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
2 Modellierung mit Wertebereichen
2 Modellierung mit Wertebereichen Mod-2.1 In der Modellierung von Systemen, Aufgaben, Lösungen kommen Objekte unterschiedlicher Art und Zusammensetzung vor. Für Teile des Modells wird angegeben, aus welchem
1.1 Mengen und Abbildungen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik
Theoretische Informatik
Mathematische Grundlagen Patrick Horster Universität Klagenfurt Informatik Systemsicherheit WS-2007-Anhang-1 Allgemeines In diesem einführenden Kapitel werden zunächst elementare Grundlagen kurz aufgezeigt,
Geordnete Mengen. Eine Relation heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.
Geordnete Mengen Eine Relation heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Ist eine Ordnungsrelation auf eine geordnete Menge., dann nennt man Die Namensgebung
Abbildungseigenschaften
Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert
6. Induktives Beweisen - Themenübersicht
6. Induktives Beweisen - Themenübersicht Ordnungsrelationen Partielle Ordnungen Quasiordnungen Totale Ordnungen Striktordnungen Ordnungen und Teilstrukturen Noethersche Induktion Anwendung: Terminierungsbeweise
Kapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Mengen und Abbildungen
Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen
Vorlesung. Funktionen/Abbildungen
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
Eigenschaften von Funktionen. Definition der Umkehrfunktion. WS 2013 Torsten Schreiber
Eigenschaten von Funktionen Deinition der Umkehrunktion WS 013 Torsten Schreiber Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Eine basiert au einem Produkt und stellt die vorhandenen Komponenten
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und
Diskrete Mathematik für Informatiker
Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung
1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte
Einige mathematische Konzepte 1 Mengen 1.1 Elementare Definitionen Mengendefinition Die elementarsten mathematischen Objekte sind Mengen. Für unsere Zwecke ausreichend ist die ursprüngliche Mengendefinition
Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund
Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer
24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN
24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben
Einführung in Sprache und Grundbegriffe der Mathematik
Einführung in Sprache und Grundbegriffe der Mathematik Markus Junker Mathematisches Institut Albert Ludwigs Universität Freiburg Wintersemester 2010/11, Version vom 22. Dezember 2010 Vorbemerkung Wozu
Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.
Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt
Kapitel 2 MENGENLEHRE
Kapitel 2 MENGENLEHRE In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Mengenlehre, mit der man die ganze Mathematik begründen kann. Wir werden sehen, daßjedes mathematische Objekt eine Menge ist.
3 ist eine Primzahl zugeordnet, während der Zahl 4 die Eigenschaft
Kapitel 7 Relationen Ω bezeichne die Menge aller Aussagen. 7.1 Grundbegriffe 7.1.1 Definition. Sei n: N, und X 1,...,X n Datentypen. Dann heißt jede Konstruktion P vom Typ ein n-stelliges Prädikat. P :
Vorkurs Mathematik Abbildungen
Vorkurs Mathematik Abbildungen Philip Bell 19. September 2016 Diese Arbeit beruht im Wesentlichen auf dem Vortrag Relationen, Partitionen und Abbildungen von Fabian Grünig aus den vorangehenden Jahren.
Kapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2
1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete (und Relationen, Funktionen, Aussagenlogik) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/18 Überblick Alphabete ASCII Unicode
1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale
Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen
Mengen und Abbildungen
1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine
Ordnungsrelationen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Ordnungsrelationen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Geordnete Mengen Eine Relation R A A heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv,
In diesem Kapitel wiederholen wir Begriffe und Notationen für grundlegende mathematische
Kapitel 1 Mathematische Objekte In diesem Kapitel wiederholen wir Begriffe und Notationen für grundlegende mathematische Objekte wie Tupel, Mengen, Relationen und Funktionen. Außerdem erklären wir die
2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin
Die Menge der ganzen Zahlen von Peter Franzke in Berlin Das System der natürlichen Zahlen weist einen schwerwiegenden Mangel auf: Es gibt Zahlen mn, derart, dass die lineare Gleichung der Form mx n keine
1 Mengen. 1.1 Definition
1 Mengen 1.1 Definition Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine Menge lässt sich durch verschiedene
Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen
9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
5 Relationen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012. Robert Marti
Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012 Robert Marti Vorlesung teilweise basierend auf Unterlagen von Prof. emer. Helmut Schauer Allgemeine Definition einer Relation Eine n-stellige Relation
2 Mengen und Abbildungen
2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:
Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion
Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion Äquivalenzrelation Nehmen wir die Menge A = {,,,,,,,,}, z.b. nummerierte Personen. Unter Berücksichtigung
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 10. Juni 2014 Table of Contents 1 2 Äquivalenz Der Begriff der Äquivalenz verallgemeinert den Begriff der Gleichheit. Er beinhaltet in einem zu präzisierenden
Beispiele für Relationen
Text Relationen 2 Beispiele für Relationen eine Person X ist Mutter von einer Person Y eine Person X ist verheiratet mit einer Person Y eine Person X wohnt am gleichen Ort wie eine Person Y eine Person
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
2. Grundlegende Strukturen 2.1 Wertebereiche beschrieben durch Mengen
2. Grundlegende Strukturen 2.1 Wertebereiche beschrieben durch Mengen In der Modellierung von Systemen, Aufgaben, Lösungen kommen Objekte unterschiedlicher Art und Zusammensetzung vor. Für Teile des Modells
Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen.
Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Betrachtungen zu Sprache, Logik und Beweisen Sprache Wir gehen von unserem Alphabet einigen Zusatzsymbolen aus.
Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11
Mathematik für Informatiker I Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3 Aufgabe 1 Zu überpüfen sind jeweils folgende Eigenschaften: 1. Reflexivität: x R x x S 2. Symmetrie:
3 M E N G E N, A L P H A B E T E, A B B I L D U N G E N
3 M E N G E N, A L P H A B E T E, A B B I L D U N G E N Im Kapitel über Signale, Nachrichten,... usw. haben wir auch über Inschriften gesprochen. Ein typisches Beispiel ist der Rosetta-Stein (Abb. 3.1),
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon
13. Funktionen in einer Variablen
13. Funktionen in einer Variablen Definition. Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Vorschrift, wo jedem Element der Menge X eindeutig ein Element von Y zugeordnet wird. Wir betrachten hier
Mengenlehre. Jörg Witte
Mengenlehre Jörg Witte 25.10.2007 1 Grbegriffe Die Menegenlehre ist heute für die Mathematik grlegend. Sie spielt aber auch in der Informatik eine entscheidende Rolle. Insbesondere fußt die Theorie der
2. Symmetrische Gruppen
14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen
4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2
4.1 Definition Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn xfy 1 xfy 2 = y 1 = y 2 Y heißt Zielbereich oder Zielmenge von f. Statt (x, y) f oder xfy schreibt man y = f(x). Vollständige
2 ZAHLEN UND VARIABLE
Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als
Lineare Algebra I. Auswahlaxiom befragen. (Wer schon im Internet danach sucht, sollte das auch mal mit dem Begriff
Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 2 Prof. Dr. Markus Schweighofer 11.11.2009 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 2.1: Behauptung:
Ergänzende Übungen Lineare Algebra I. Wintersemester 2010/11. Prof. Dr. Kristina Reiss Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Ergänzende Übungen Lineare Algebra I Wintersemester 2010/11 Prof. Dr. Kristina Reiss Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik 1 Äquivalenz Was bedeutet Äquivalenz? Wie wird der Begriff
1 Funktionen. 1.1 Definitionen und Bezeichnungen
1 1 Funktionen 1.1 Definitionen und Bezeichnungen Eine Funktion f ist eine eindeutige Abbildung einer Menge X in eine andere Y. Ist x X, dann ist f(x) y Y das Bild des Elementes x. x heißt das Urbild des
Grundbegriffe der Mathematik
Grundbegriffe der Mathematik Geschrieben von Jan Pöschko auf Grundlage der Vorlesung im WS 2005/2006 von Ao.Univ.-Prof. Clemens Heuberger Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 3 1.1 Verknüpfungen..........................................
CNAM. Theoretische Informatik I
Fachhochschule Darmstadt WS 2004 Dr. Frithjof Dau CNAM Theoretische Informatik I So eine Art Pseudoskript Frithjof Dau Version vom 10. Februar 2005, und zwar spät nachts. ii Inhaltsverzeichnis 1 Mengen
Einführung Gruppen, Beispiele, Konjugationsklassen
Einführung Gruppen, eispiele, Konjugationsklassen Fabian Rühle 21.10.2015 Inhaltsverzeichnis 1 Definition von Gruppen und einfache eispiele 1 2 Die zyklische Gruppe n 2 3 Die Diedergruppe D n 3 4 Die Permutationsgruppe
Theoretische Informatik
Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:
Mengenlehre. Yanhai Song. Proseminar Mathematische Modellierung. Fakultät für Informatik Technische Universität München. 12.Juni.
Mengenlehre Yanhai Song songy@in.tum.de Proseminar Mathematische Modellierung Fakultät für Informatik Technische Universität München 12.Juni.2001 Zusammenfassung Die Mengenlehre gehört zu den vier Teilgebieten
4 Elementare Mengentheorie
4 Elementare Mengentheorie 4 Elementare Mengentheorie 4.1 Mengen [ Partee 3-11, McCawley 135-140, Chierchia 529-531 ] Die Mengentheorie ist entwickelt worden, um eine asis für den ufbau der gesamten Mathematik
Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16
Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre
Elementare Mengenlehre
Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,
Theoretische Informatik Mitschrift
Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=
1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,
Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
1 Aussagenlogik und Mengenlehre
1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres
Notizen zu Transformationen und Permutationen. T (A) = {f : A A}
Transformationen Notizen zu Transformationen und Permutationen Ist A eine Menge, so ist die Menge T (A) = {f : A A} bezüglich der Komposition (Hintereinanderausführung) als Operation und der identischen
1.4 Äquivalenzrelationen
8 1.4 Äquivalenzrelationen achdem nun die axiomatische Grundlage gelegt ist, können wir uns bis zur Einführung der Kategorien das Leben dadurch erleichtern, daß wir bis dorthin, also bis auf weiteres,
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz
Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Definition Sei A eine Menge und ɛ A A A eine zweistellige
Analysis I. Vorlesung 4. Angeordnete Körper
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 4 Angeordnete Körper Zwei reelle Zahlen kann man ihrer Größe nach vergleichen, d.h. die eine ist größer als die andere oder es handelt sich
9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
1 Definition von Relation, Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen
1 Definition von Relation, Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen Einleitung 1 Wie der Name schon sagt sind Äquivalenzrelationen besondere Relationen. Deswegen erkläre ich hier ganz allgemein, was Relationen
Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen
Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Grundwissen und Übungen a : a a Stefan Gärtner 1999 004 Gr Mathematik elementare Algebra Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen Definition Quadratwurzel
Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen.
Kapitel 1 - Mathematische Grundlagen Seite 1 1 - Mengen Im allerersten Unterabschnitt wollen wir uns mit einer elementaren Struktur innerhalb der Mathematik beschäftigen: Mengen. Definition 1.1 (G. Cantor.
Mengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:
Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen
8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie. Das Erlanger Programm.
8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie Nach den bisherigen Ergebnissen müssen wir uns nun um die Gruppe PSL 2 C kümmern. Das Studium dieser Gruppe wird uns in dieser Vorlesung zu einem neuen
Die Dimension eines Vektorraumes
Die Dimension eines Vektorraumes Ist (b 1, b 2,..., b n ) eine Basis des Vektorraums V, so heißt n die Dimension von V. Die Möglichkeit dieser Definition beruht auf dem folgenden nichttrivialen Satz. Je
5. Gruppen, Ringe, Körper
5. Gruppen, Ringe, Körper 5.1. Gruppen Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik. Beispielsweise folgt die Gruppe, die aus
Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz Blatt 8
Heilbronn, den 14.5.2010 Prof. Dr. V. Stahl WS 10/11 Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz Blatt 8 Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen könnte und entscheiden
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik
Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik
Lehr- und Forschungsgebiet Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen Prof. Dr. E. Grädel, F. Reinhardt SS 2015 Aufgabe 2 Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik Geben Sie für die folgenden
Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.
1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild
Technische Universität München
Stand der Vorlesung Kapitel 2: Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen Mengen, Potenzmenge, Kreuzprodukt (Paare, Tripel, n-tupel) Relation: Teilmenge MxN Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch, transitiv,
Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
Theorie der Informatik
Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax
1 Vollständige Induktion
1 Vollständige Induktion Die vollständige Induktion ist eine machtvolle Methode, um Aussagen zu beweisen, die für alle natürlichen Zahlen gelten sollen. Sei A(n) so eine Aussage, die zu beweisen ist. Bei
2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen.
Mengenlehre 2 Mengenlehre Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Üblicherweise werden Mengen mit Großbuchstaben
A B A und B w w w w f f f w f f f f. A B A oder B (A B) w w w w f w f w w f f f
Kapitel 1 Zum Aufwärmen 1.1 Aussagen Eine Aussage im üblichen Sinn ist nicht unbedingt eine Aussage im mathematischen Sinn. Aussagen wie Mathe ist doof sind keine Aussagen im mathematischen Sinn, weil
Halbgruppen, Gruppen, Ringe
Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die
Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert