Die Thermodynamik des Rechnens / The Thermodynamics of Computation
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- Tomas Krämer
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1 Universität Koblenz Landau Institut für Physik Sommersemester 2005 Seminar: Physik der Informationsverarbeitung Dozent: Prof. Dr. Alfons Stahlhofen Die Thermodynamik des Rechnens / The Thermodynamics of Computation Elmar Brauch Bergstr Weyer E Mail: elcamino@uni koblenz.de
2 Diplomstudiengang Informatik (5. Fachsemester) Mat. Nr.: Datum Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2 2. Irreversibles Rechnen 3 3. Entropie und Maxwells Dämon 4 Entropie 4 2. Hauptsatz der Thermodynamik 5 Maxwells Dämon 5 4. Billard Ball Modell der Berechenbarkeit 7 5. Logisch reversibles Rechnen 9 Reversible Schaltwerke 9 6. Fazit Literaturverzeichnis 13 2
3 1. Einleitung Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit der Thermodynamik des Rechnens. Heutige und frühere Computer rechnen irreversibel, wodurch ein Energieverlust entsteht. Diese Problematik möchte ich am Anfang meiner Ausarbeitung zeigen. Der Energieverlust irreversibler Rechnungen hängt mit der Umwandlung von Entropie in Information zusammen. In diesem Zusammenhang machte der schottische Physiker Maxwell ein Gedankenexperiment mit dem Ziel, den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zu widerlegen. Dieses Gedankenexperiment ist als Maxwells Dämon bekannt, worüber das Kapitel 3 handeln wird. Auf Grund des Energieverlustes beim Rechnen suchte man nach Möglichkeiten, diesen zu vermeiden oder zumindest zu minimieren, weshalb logisch reversible Rechenmodelle entworfen wurden. Ein Beispiel hierfür ist das Billard Ball Modell der Berechenbarkeit von Edward Fredkin. Dieses werde ich im vierten Kapitel meiner Arbeit vorstellen. Logisch reversible Rechenmodelle brauchen reversible Rechnungen, da diese auch essentiell zum Verständnis von Quantenrechnern sind. Daher werde ich mich im fünften Teil mit reversiblen Rechnungen auseinandersetzen. 3
4 2. Irreversibles Rechnen Computer führen Berechnungen aus, für die sie eine bestimmte Menge an Energie benötigen. Diese wird während der Berechnung umgewandelt, so dass man mathematische Arbeit bzw. das Ergebnis der Berechnung erhält. Beispiele für solche Berechnungen sind AND, OR, NAND usw. A B A& B Der AND Operator und dessen Wertetabelle Zum Beispiel hat der AND Operator zwei Eingänge (hier A und B ), aber nur einen Ausgang (hier A&B ). An den Eingängen können vier verschiedene Zustände anliegen, diese sind 00, 01, 10 oder 11, jedoch erhält man am Ausgang nur 0 oder 1. Dies führt dazu, dass der Startzustand nicht erkennbar ist, wenn der Endzustand 0 ist, denn der Startzustand könnte 00, 01 oder 10 gewesen sein. Das Problem ist also, dass man vom Endzustand meist nicht auf den Startzustand schließen kann. Was ist passiert? Bei der Berechnung gingen Informationen verloren. Diese Informationen können aber nicht einfach verschwinden, da vor und nach der Berechnung gleich viel Energie vorhanden sein muss. Folglich wurde ein Teil der Informationen in Wärme umgewandelt. Computer [IN1] können also als Maschinen angesehen werden, die freie Energie in mathematische Arbeit und Wärme verwandeln. Bei dieser Umwandlung ist die mathematische Arbeit das, was man von dem Computer will, während Wärme ungewünscht oder ein Abfallprodukt der Umwandlung ist. Diese Art zu rechnen wird als irreversibles Rechnen bezeichnet. 4
5 3. Entropie und Maxwells Dämon Entropie Irreversibilität gibt es nicht nur beim Rechnen, sondern auch in vielen anderen Situationen. Wenn man zum Beispiel einen Film sieht, in dem ein Hahn, der zwei mit Gas gefüllte Behälter verbindet, geöffnet wird und dann das Gas sich im rechten der beiden Behälter sammelt, so weiß man, dass der Film rückwärts läuft. Um Entropie zu erklären, vereinfacht man das Beispiel, indem man sagt, dass sich nur vier Gasteilchen in den beiden Gefäßen befinden. Betrachtet man den Aufenthaltsort eines Teilchens, so kann es im linken oder im rechten Gefäß sein. Es gibt also für 4 alle vier Teilchen 2 Möglichkeiten wie sie sich in den beiden Gefäßen positionieren können. Die 16 Zustände werden als Mikrozustände [GER] bezeichnet, die man in Makrozuständen zusammenfassen kann. Ein Makrozustand [GER] beschreibt, wie viele Teilchen im linken und wie viele im rechten Gefäß sind. In unserem Beispiel gibt es fünf Makrozustände, die 4:0, 3:1, 2:2, 1:3 und 0:4 sind. Es fällt auf, dass diese durch unterschiedliche Anzahlen von Mikrozuständen realisiert wurden. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Mikrozustandes ist für alle Mikrozustände gleich, nämlich in unserem Beispiel 1/16. Allerdings gibt es für das Auftreten der einzelnen Makrozustände unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten: So ist die Wahrscheinlichkeit für den Zustand 2:2 6/16, für die Zustände 3:1 und 1:3 jeweils die Wahrscheinlichkeit 4/16, und die Extremzustände 4:0 und 0:4 haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/16. Die Unterschiede der Wahrscheinlichkeiten für die Makrozustände werden viel krasser, wenn man die Teilchenzahl N erhöht. Wenn man zwei Zustände A und B betrachtet, wobei A der Zustand ist, in dem die Teilchen gleichmäßig verteilt sind, und B der Extremzustand ist, also alle Teilchen im rechten Gefäß, so fragt man sich jetzt: Wie viel wahrscheinlicher ist Zustand A als Zustand B? Vereinfacht kann man sagen: Zustand A ist praktisch sicher (für große N), während Zustand B die Wahrscheinlichkeit N 2 hat, da er nur durch einen von N 2 gleichwahrscheinlichen Mikrozuständen realisiert wird. Dazu ein Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit P des Extremzustandes mit N=50 ist P= 1/ Weil bei dieser Formel sehr schnell winzige Wahrscheinlichkeiten entstehen, rechnet man mit 5
6 dem Logarithmus von P. Die Entropie S eines Zustandes [GER] ist dieser Logarithmus, multipliziert mit der Boltzmann Konstante (k=1, J K 1 ): S = k ln P 2. Hauptsatz der Thermodynamik Man kann jetzt sagen: Die Entropie des Zustandes A ist um S = k ln 2 N = kn ln 2 N höher als beim Zustand B, an Stelle von: Zustand A ist 2 mal wahrscheinlicher als Zustand B. Ersetzt man in dem Satz Ein Zustand geht von sich selbst nur in einen gleichwahrscheinlichen oder einen wahrscheinlicheren über das Wort Wahrscheinlichkeit durch Entropie, so kommt man zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik. Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik [IN4] besagt, dass in einem abgeschlossenen System die Entropie niemals abnimmt. Maxwells Dämon Skizze von Maxwells Dämon 1871 versuchte der schottische Wissenschaftler James Clerk Maxwell mit einem Gedankenexperiment [IN1] den 2. Hauptsatz der Thermodynamik zu widerlegen. 6
7 Eine Form, den Maxwell Dämon zu beschreiben, ist diese: Es gibt zwei gleiche Gasbehälter, die über ein Loch miteinander verbunden sind. Dieses Loch ist genau so groß, dass ein einzelnes Gasmolekül durchpasst. Außerdem gibt es den Dämon, der das Loch schließen und öffnen kann, wobei das keine Arbeit für den Dämon ist. Er öffnet das Loch genau dann, wenn von rechts ein Molekül kommt, und er schließt es, wenn von links ein Molekül kommt. Auf diese Weise sammeln sich immer mehr Moleküle im linken Behälter. Die Entropie im System würde also um kn ln 2 abnehmen, was ein Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik ist. Eine andere Interpretation des 2. Hauptsatzes besagt, dass es kein Perpetuum Mobile zweiter Art gibt. Die Idee dieses Perpetuum Mobiles ist, Arbeit aus der Umgebungswärme zu gewinnen. Da aber der Maxwell Dämon ein Perpetuum Mobile zweiter Art beschreibt, sieht man auch hier nochmals den Widerspruch. Einen Schritt zur Lösung des Problems machte Leo Szilard [IN2], denn er stellte fest, dass es eine Beziehung zwischen Entropie und Information gibt. Es wird nämlich eine bestimmte Menge an freier Energie benötigt, damit ein Beobachter anhand eines Experimentes lernen kann, welche von zwei gleich erscheinenden Alternativen die richtige ist. So braucht auch der Maxwell Dämon eine bestimmte Menge an Energie, um festzustellen, ob ein Molekül von links oder rechts auf das Loch zukommt. Hierbei entsprechen zwei Alternativen einem Bit Information [IN2], und ein Bit Information ist äquivalent zu k ln 2 Entropie Einheiten. Den Dämon kann man aber auch als eine Art Computer sehen, und als solcher braucht er einen Speicher. In diesem sammelt der Dämon Informationen, und mit jeder Information, die er speichert, nimmt die Entropie im System ab. Wenn allerdings der Speicher des Dämons voll ist, muss er gelöscht werden. Diese informationszerstörende Operation funktioniert wie das irreversible Rechnen, es entsteht also wieder Entropie. Wird die Position eines Teilchens bestimmt, das heißt man weiß, ob es sich im linken oder rechen Behälter befindet, so wird ein Bit an Information gespeichert, und die Menge an möglichen Zuständen halbiert sich. Beim Löschen eines Bits geht die Information über die Position des Teilchens verloren, man weiß also nicht mehr, ob es im linken oder rechten Behälter ist, so dass sich die Zustandsmenge wieder verdoppelt. 7
8 Man stellt also fest, dass Entropie in Information und Information in Entropie umgewandelt werden kann, und da genau das beim Maxwell Dämon passiert, gilt der 2. Hauptsatz der Thermodynamik weiterhin. 8
9 4. Billard Ball Modell der Berechenbarkeit Edward Fredkin zeigte 1982 [IN1], dass es theoretisch eine idealisierte Maschine geben könnte, die, ohne die kinetische Energie der Signale zu verschwenden, rechnen könnte. Er stellte ein Billard Ball Modell der Berechenbarkeit vor. Eine Maschine, die dieses Modell anwendet, bräuchte eine Art Startlinie, von der aus am Anfang der Rechnung eine bestimmte Menge an Bällen gleichzeitig in die Maschine geschossen wird. Die Maschine hat keine beweglichen Teile, stattdessen befinden sich feste Barrieren in ihr, die wie Spiegel funktionieren. An diesen vollziehen die Bälle elastische Stöße, so dass es auch zu Kollisionen mit anderen Bällen kommen kann. Diese Kollisionen entsprechen ebenfalls elastischen Stößen, da die Bälle sich idealisiert bewegen und alle die gleiche, konstant bleibende Geschwindigkeit haben. Nach einer bestimmten Zeit kommen dann alle Bälle, die gestartet sind, gleichzeitig an der Ziellinie an. In und Output der Maschine werden also durch die Start und Ziellinie repräsentiert. Der logische Wert 1 wird durch das Vorhandensein eines Balles dargestellt, während die 0 durch keinen Ball dargestellt wird. Das wichtigste bei diesem Modell ist, dass kein Ball während der Rechnung verloren geht. Ein Beispiel [IN2] für eine solche Maschine ist das Billard Ball Modell für den AND Baustein. Dieser erfüllt die gleichen Anforderungen wie der irreversible AND Baustein, allerdings erzeugt er keine Wärme, da er keine Informationen löschen muss. A B B&~ A&~B A A&B AND Operator mit Billardbällen realisiert und die entsprechende Wertetabelle Beim Billard Ball AND Baustein gibt es zwei Inputs und vier Outputs. Die Inputs bekommen, analog zum irreversiblen Baustein, die Bezeichnungen A und B. Die Outputs bekommen die Bezeichnungen B&~A, A&~B und A&B, wobei es den 9
10 Ausgang A&B zweimal gibt. Die Werte 1 und 0 werden durch die Präsenz bzw. Absenz eines Billard Balls repräsentiert. Wenn z. B. ein Ball in den Input A gegeben wird, so bewegt er sich auf einer geraden Linie und erscheint anschließend am Output A&~B, somit ist, wie gefordert, A&B nicht erfüllt. Es ist aber auch keine Information verloren gegangen, da man weiß, wenn A&~B gilt, so muss der Startzustand A=1 und B=0 gewesen sein. Der Baustein funktioniert analog für B. Wenn der Startzustand 2 Bälle hat, also einer bei A und einer bei B, so muss der Endzustand A&B sein. Dies funktioniert so: Beide Bälle werden gleichzeitig mit gleicher Geschwindigkeit gestartet, so dass es zu einer Kollision kommen muss. Dadurch werden beide Bälle so abgelenkt, dass an den beiden A&B Ausgängen jeweils ein Ball ankommt. Es gilt also nur A&B, wie gefordert. Die letzte Möglichkeit ist, dass sich an beiden Inputs kein Ball befindet, also kann auch kein Ball am Output ankommen, folglich gilt ~(A&B). Wie man sieht, kann man bei diesem Rechenmodell sowohl vom Startzustand eindeutig auf den Endzustand als auch vom Endzustand eindeutig auf den Startzustand schließen. Rechenmodelle, bei denen das möglich ist, werden reversible Rechenmodelle genannt. 10
11 5. Reversibles Rechnen Bei reversiblen Rechenmodellen muss jeder Rechenschritt sowohl vorwärts als auch rückwärts ausführbar sein. Daher funktionieren diese Rechenmodelle nicht mit irreversiblen Rechnungen, sie brauchen reversible Rechnungen. Es gibt zwei Arten von Reversibilität, die chemische und physikalische Reversibilität [PRI]. Da aber zum Verständnis von Quantenrechnern die physikalische Reversibilität eine entscheidende Rolle spielt, ist hier, wenn von Reversibilität gesprochen wird, stets die physikalische Reversibilität gemeint. Ein reversibler Rechenschritt kennzeichnet sich dadurch, dass der aktuelle Zustand sowohl den zukünftigen als auch den vergangenen Rechenschritt eindeutig festlegt. Reversible Rechenschritte sind also vorwärts und rückwärts determiniert, so dass bei diesen Rechenschritten auch keine Informationen verloren gehen. Reversible Schaltwerke Die aktuellen Schaltwerke [IN6], die in fast allen Computern verwendet werden, setzen sich aus Schaltelementen wie NOT, AND, OR usw., die auf der booleschen Logik basieren, zusammen. Wenn man aber Schaltwerke für Quantencomputer entwerfen will, so benötigt man logisch reversible Schaltelemente. Da man jedes Schaltwerk, so fern es verzögerungsfrei ist, durch die Schaltelemente NOT und AND realisieren kann (dazu siehe [PRI] und [SCH]), braucht man nur ein reversibles AND und ein reversibles NOT. Zur Simulation [PRI] dieser beiden Schaltelemente führte man ein weiteres ein: das Fredkin Gate. 11
12 Ein Fredkin Gate, FG(c,x,y) = (c, cx+(~c)y, (~c)x+cy) Wie bei jedem Schaltelement ist auch beim Fredkin Gate der Folgezustand eindeutig festgelegt. Jedoch ist das besondere am Fredkin Gate, dass es auch rückwärts determiniert ist. Dies lässt sich zeigen, indem man 2 Fredkin Gates, FG1 und FG2, hintereinander schaltet, das heißt der Output von FG1 ist der Input von FG2. Also gilt: FG2(c, cx+(~c)y, (~c)x+cy) = [c, c(cx+(~c)y)+(~c)((~c)x+cy), (~c)( cx+(~c)y)+c ((~c)x+cy] = [c, ccx+c(~c)y+(~c)(~c)x+(~c)cy, (~c)cx+(~c)(~c)y+c(~c)x+ccy] = [c, cx+(~c)x, (~c)y+cy] = [c, x, y] Dann ergibt sich nämlich, dass der Output von FG2 gleich dem Input von FG1 ist. Ein Fredkin Gate ist also gleich seinem Inversen und damit auch rückwärts determiniert. Da ein Fredkin Gate vorwärts und rückwärts determiniert ist, rechnet es also auch reversibel. Mit Hilfe des Fredkin Gates ist es jetzt möglich, ein reversibles AND und ein reversibles NOT zu entwerfen. 12
13 Reversibles AND simuliert durch ein Fredkin Gate Zur Simulation des booleschen AND setzt man die Eingänge des Fredkin Gates folgendermaßen: c=a, x=b und y=0. Somit ergibt sich für die Ausgänge: c=a, (~c)x+cy=(~a)b+a0=(~a)b und cx+(~c)y=ab+(~a)0=ab. Damit liefert der Ausgang cx+(~c)y das boolesche AND, nämlich ab. 13
14 Reversibles NOT simuliert durch ein Fredkin Gate Zur Simulation des booleschen NOT setzt man die Inputs des Fredkin Gates auf c=a, x=1 und y=0. Somit ergibt sich für die Outputs: c=a, cx+(~c)y=a1+(~a)0=a und (~c)x+cy=(~a)1+a0=~a. Damit liefert der Ausgang (~c)x+cy das boolesche NOT, ~a. Um diese reversiblen Elemente [PRI] mit dem Fredkin Gate zu simulieren, braucht es also zum einen den normalen Input, den auch die nichtreversiblen Elemente bekommen, und zum anderen zusätzliche 0 und 1 Signale als Input. Dieser zusätzliche Input kann als Energie für die Rechnung betrachtet werden. Zu der booleschen Ausgabe liefern das reversible AND und das reversible NOT noch zusätzliche Ausgaben, die für die Reversibilität sorgen, da man mit den booleschen und den zusätzlichen Ausgaben eindeutig auf Eingabesignalverteilung schließen kann. Man kann also sagen, dass die zusätzlichen Ausgaben das Protokoll der Rechnung sind. Somit ist gezeigt, dass man mit reversiblen Schaltelementen reversible Schaltwerke, die die gleichen Rechnungen wie herkömmliche Schaltwerke ausführen können, bauen kann. 14
15 6. Fazit In dieser Seminararbeit wurde gezeigt, warum Computer beim Rechnen Wärme erzeugen. In diesem Zusammenhang wurde der Maxwell Dämon erläutert, so dass der Zusammenhang zwischen Information und Entropie gezeigt werden konnte. Denn das Ergebnis war, dass man Entropie in Information und Information in Entropie umwandeln kann. Als nächstes wurde eine Möglichkeit gezeigt, wie man die Wärmeerzeugung minimieren kann, indem man an Stelle von irreversiblen Rechnungen reversible Rechnungen verwendet. Dazu stellte ich dann das Billard Ball Modell der Berechenbarkeit vor, das diesen Ansatz umsetzt. Im letzten Abschnitt habe ich dann gezeigt, wie man aus einem irreversiblen ein logisch reversibles Schaltwerk macht. Dies geschieht, indem man das reversible Fredkin Gate verwendet, um damit den AND und den NOT Operator zu simulieren. Mit diesen beiden Operatoren ist es dann möglich, jedes Schaltwerk logisch reversibel zu machen. 15
16 7. Literaturverzeichnis [GER] Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 21.Auflage, Berlin, Springer, [PRI] Katrin Erk, Lutz Priese: Theoretische Informatik. Eine umfassende Einführung. 2.Auflage, Berlin, Springer, [SCH] Wolfram Schiffmann, Robert Schmitz: Technische Informatik 1. Grundlagen der digitalen Elektronik. 5.Auflage, Berlin, Springer, Quellen aus dem Internet: [IN1] CH/TTOCaR.html [IN2] [IN3] [IN4] [IN5] [IN6] 16
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