Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Induktive Statistik

Transkript

1 rof. Dr. Günter Hellmig Aufgabenskript Induktive Statistik

2 Inhalt:.Kombinatorik: Variation und Kombination, jeweils ohne Wiederholung 2.Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten: Additions- und Multiplikationssätze 3.Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten: Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit 4.Allgemeine Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion, Wahrscheinlichkeitssummenfunktion, Erwartungswert, Varianz 5.Binomialverteilung und oissonverteilung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 6.Normalverteilung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, die zu einem bestimmten Intervall gehören 7.Normalverteilung: Berechnung von Ereignissen, die zu einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gehören 8.Normalverteilung: Berechnung von Intervallen, die zu einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gehören 9.Schätzverfahren: Berechnung des Zufallsstreubereichs für einen Mittelwert 0.Schätzverfahren: Berechnung des Vertrauensbereichs für einen Mittelwert.Schätzverfahren: Berechnung des Vertrauensbereichs für einen Anteilswert und dessen Umrechnung 2.Schätzverfahren: Berechnung des Vertrauensbereichs für einen Mittelwert und Verwendung der t-verteilung *** Das vorliegende Aufgabenskript gehört zur Teil-Lehrveranstaltung Induktive Statistik und ist gemäß dem Vorlesungsablauf thematisch geordnet. Das Skript resultiert aus Klausuraufgaben der letzten Jahre. Bei der rüfungsvorbereitung wird empfohlen, die Aufgaben blind zu bearbeiten, d.h. ohne ständigen Blick auf die Musterlösung. Die Bearbeitungszeit für die Aufgaben ist im Durchschnitt mit 5 Minuten zu veranschlagen; im Einzelnen sind es - je nach Anzahl der Unterfragen und je nach Schwierigkeitsgrad 0 bis 20 Minuten.

3 . An einem ferderennen nehmen 0 ferde teil. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit (rozent), dass man wenn man keine Kenntnis über die Stärken der einzelnen ferde hat folgende Ergebnisse richtig voraussagt: a) Siegendes ferd b) Die ersten drei ferde in der Reihenfolge des Einlaufs c) Die ersten drei ferde ohne Berücksichtigung der Reihenfolge d) Wie hoch wären die drei Wahrscheinlichkeiten zu a) bis c), wenn man Kenntnis hat, dass ein bestimmtes ferd siegen wird (und von dieser Kenntnis bei der Voraussage Gebrauch macht)? e) Wie hoch wären die drei Wahrscheinlichkeiten zu a) bis c), wenn man Kenntnis hat, dass ein bestimmtes ferd nicht siegen wird (und von dieser Kenntnis bei der Voraussage Gebrauch macht)? n(a) a) r( A) 0 (rozent) n(i) 0 n! 0! b) Vk(n) (n k)! (0 3)! r( A) 0,0039 0,39 (rozent) 720 c) n Ck(n) 20 k r( A) 0, ,833 (rozent) 20 n(a) d)() r( A) n(i) 00 (rozent) n! 9! (2) Vk(n) (n k)! (9 2)! r( A) 0, ,389 (rozent) n (3) Ck(n) k r( A) 0, ,778 (rozent) n(a) e)() r( A) n(i) 9, (rozent) n! 9! (2) Vk(n) (n k)! (9 3)! r( A) 504 0,0098 0,98 (rozent) n (3) Ck(n) k r( A) 0,090 84,90 (rozent)

4 2. Die Wahrscheinlichkeit (bei einem älteren Ehepaar), dass der Mann noch in 20 Jahren lebt, sei 30 %, und dass die Frau noch in 20 Jahren lebt, sei 40 %. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (rozent), dass () beide noch in 20 Jahren leben, (2) mindestens eine erson noch in 20 Jahren lebt, (3) nur der Mann noch in 20 Jahren lebt, (4) beide in 20 Jahren nicht mehr leben? b) Welche Annahme liegt den Berechnungen zugrunde? (Annahme kurz benennen und erläutern!) a)() ( A B) p p(a) p(b ) 0,3 0,4 0,2 2 (rozent) p p(a) + p(b) p(a) p(b ) 0,3+0,4-0,3 0,4 0,58 58 (rozent) (2) ( A B) p p(a) p(a) p(b ) 0,3-0,3 0,4 0,8 8 (rozent) (3) ( A \ A B) (4) ( A B) p p(a) p(b ) (-0,3) (-0,4) 0,42 42 (rozent) b) Unabhängigkeit Die Überlebenswahrscheinlichkeit des einen Ehepartners ändert sich nicht, wenn der andere Ehepartner stirbt.

5 3. Zur Herstellung eines Artikels werden drei Maschinen X, Y und Z eingesetzt, die unabhängig voneinander arbeiten. Maschine X, die 60 rozent der Gesamtproduktion herstellt, hat eine Ausschuss-Quote von 0,0; für Maschine Y lauten die entsprechenden Werte 30 rozent und 0,04; für Maschine Z sind es 0 rozent und 0,07. a) Erstellen Sie eine (vollständige) Mehrfeldertafel! b) Wie groß ist bei Zufallsauswahl die Wahrscheinlichkeit (rozent), dass () ein mangelhaftes Stück von Maschine X stammt, (2) ein mangelfreies Stück von Maschine Y stammt, (3) ein von Maschine Y stammendes Stück mangelfrei ist, (4) ein von Maschine Z stammendes Stück mangelfrei ist? a) B mangelfrei B mangelhaft X 0,594 0,0 0,6 0,006 0,6 Y 0,288 0,04 0,3 0,02 0,3 Z 0,093 0,07 0, 0,007 0, 0,975 0,025,0 b)() p ( X B) ( X B) p( B) p 0,006 0, % 0,025 (2) p ( Y B) (3) p ( B Y) (4) p ( B Z) ( Y B) pb ( ) p 0,288 0, ,54 % 0,975 ( B Y) py ( ) p 0,288 0, % 0,3 ( B Z) pz ( ) p 0,093 0, % 0,

6 4. Ein Handwerksbetrieb kalkuliert, dass die Arbeitszeit für einen bestimmten Auftrag zwischen 30 und 40 Stunden dauern wird, und zwar: 30 Stunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 rozent 32 Stunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 45 rozent Stunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 rozent 40 Stunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 rozent a) Erstellen Sie grafisch die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Wahrscheinlichkeitssummenfunktion! b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz! a),00 j 0,50 0,40 0,30 0,20 0,0 p j 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0, xj xj b) j x j p j x j p j x j - µ ( xj µ ) 2 2 ( xj µ ) 30 0,5 4, , ,45 4,4-2 4,8 3 0,30, , ,0 4, , , ,5 p j µ k x 34 j j p j 2 k 2 ( xj µ ) pj j 0,5

7 5. Bei einem Glücksspiel ( Roulette ) gibt es bekanntlich Zahlen; eine Zahl wird vom Spieler gewählt; und eine Zahl wird zufällig und unabhängig als Gewinnzahl benannt. Der Spieler hat gewonnen, wenn seine gewählte Zahl mit der benannten Gewinnzahl übereinstimmt. - Ein Spieler unternimmt Spielversuche, wobei er jeweils dieselbe Zahl wählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (rozent), dass er a) kein einziges Mal gewinnt (Berechnung auf zwei Arten!) b) genau einmal gewinnt (Berechnung auf zwei Arten!) c) mindestens einmal gewinnt (Berechnung auf zwei Arten!) n x n x a) B( x n, ) Q ( ) ( ) B 0, ( ) x 0 B ( 0, ) ( ) 0, ,29 % x 36 0 µ µ ( x µ ) e ( 0 ) e x! ( 0 ) e 0, ,79 % n x n x b) B( x n, ) Q B(, ) ( ) ( ) B x (, ) ( ) x ,29,29 % µ µ ( x µ ) e ( ) e x! ( ) e 0! 0, ,79 %! 36 n x n x c) B( x n, ) Q B( 0, ) ( ) 0 ( ) x (, ) ( ) B 0 x 36 0, ,7 % 0 µ µ ( x µ ) e ( 0 ) e x! ( 0 ) e 0, ,2 % 0!

8 6. Der Lagerabgang (Mengeneinheiten) in einem Firmenlager ist normalverteilt mit Erwartungswert 5 und Standardabweichung 2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Lagerabgang a) weniger als 6 Mengeneinheiten beträgt (Antwortsatz!) b) mehr als 8 Mengeneinheiten beträgt (Antwortsatz!) a) u x µ 6 5 u 0,5 2 (0,5) Fe 0,695 Wahrscheinlichkeit 69,5 % b) u x µ 8 5 u,5 2 Fe (,5) 0,9332 Wahrscheinlichkeit 6,68 %

9 7. Ein Bäckereibetrieb kauft für Vorratszwecke 70 akete Zucker (Sollgewicht 500 Gramm, Standardabweichung 0 Gramm, Normalverteilung). Wie viele akete werden voraussichtlich a) zwischen 495 Gramm und 505 Gramm wiegen (Antwortsatz!) b) weniger als 55 Gramm wiegen (Antwortsatz!) c) genau 500 Gramm wiegen (Antwortsatz!) (Hinweis: Bestimmen Sie bei allen Teilfragen zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass das jeweilige Gewichtsintervall bzw. Gewicht für ein aket zutrifft.) a) b) u x µ u 0 Fz (0,5) X N 0,3829 X N X 70 0,3829 0,5 65,093 Anzahl der akete 65 u x µ u 0 Fe (,5) X N 0,9332 X N X 70 0,9332,5 58,644 Anzahl der akete 59 x µ c) u 0 0 Fz (0) 0 X X N 70 0 N Anzahl der akete 0 0

10 8. In einem Sägewerk werden rohe Holzbretter zugeschnitten. Die Länge der Bretter soll 90 cm betragen, die Standardabweichung beträgt,5 cm; es liegt näherungsweise Normalverteilung vor. a) In welchem Intervall wird die Länge eines zufällig ausgewählten Brettes bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % liegen? (Antwortsatz!) b) Welche Obergrenze wird die Länge bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von % haben? (Antwortsatz!) a) u x µ Fz (u) 0,95 uz ±,96 x 90 ±,96,5 92,94 xo xu 87,06 Intervall zwischen 87,06 und 92,94 cm b) u x µ Fe (u) 0,99 ue + 2,33 x ,33,5 93,495 xo Obergrenze bei 93,495 cm

11 9. In einer repräsentativen Studie wurde festgestellt, dass Frauen im Durchschnitt eine Körpergröße von 75 Zentimetern haben bei einer Standardabweichung von 3 Zentimetern. Bei der Nachprüfung dieses Ergebnisses werden 70 Frauen untersucht. - In welchem Intervall liegt deren durchschnittliche Körpergröße, wenn eine Irrtumswahrscheinlichkeit a) von 4,55 % angenommen wird? (Antwortsatz!) b) von 0,27 % angenommen wird? (Antwortsatz!) a) r µ u n x µ + u n α Fz r x ,0455 ( 75 0,72 x ,72) 0, 9545 r ( 74,28 x 75,72) 0, 9545 r Intervall zwischen 74,28 und 75,72 cm b) r µ u n x µ + u n α Fz r x ,0027 ( 75,08 x 75 +,08) 0, 9973 r ( 73,92 x 76,08) 0, 9973 r Intervall zwischen 73,92 und 76,08 cm

12 0.Ein Marktforschungsinstitut befragt 500 zufällig ausgewählte ersonen in Deutschland nach einem bestimmten Waschmittel; davon erklären 80 %, dass sie das betreffende Waschmittel kennen. In welchem Intervall wird dann der entsprechende rozentsatz in der Gesamtbevölkerung liegen, wenn eine Aussagewahrscheinlichkeit a) von 90 % angenommen wird (Antwortsatz!) b) von 98 % angenommen wird (Antwortsatz!) p q p q a) r p uz p + uz α n n 0,80 0,20 0,80 0,20 r 0,80,64 0,80 +, ,90 ( 0,80 0,0293 0,80 + 0,0293 ) 0, 90 r ( 0,7707 0,8293 ) 0, 90 r Zwischen 77,07 % und 82,93 % p q p q b) r p uz p + uz α n n 0,80 0,20 0,80 0,20 r 0,80 2,33 0,80 2, ,98 ( 0,80 0,047 0,80 + 0,047 ) 0, 98 r ( 0,7583 0,847 ) 0, 98 r Zwischen 75,83 % und 84,7 %

13 .Bei 200 Studierenden der Hochschule Bochum wurde eine Befragung durchgeführt. Dabei gaben 0 Studierende an, dass sie regelmäßig mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur Fachhochschule kommen. a) Wie lautet der Anteilswert bei den Befragten? b) Berechnen Sie das Schätzintervall für den Anteilswert bei allen Studierenden, wenn eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 % angenommen wird! (Antwortsatz!) c) Wie lautet das entsprechende Schätzintervall für die Gesamtzahl der Studierenden, wenn die Hochschule Bochum 4500 Studierende hat? (Antwortsatz!) a) x p n 0 p 200 0,55 b) r p p q p q uz p + uz n n α 0,55 0,45 0,55 0,45 r 0,55,64 0,55 +, ,90 ( 0,55 0,0577 0,55 + 0,0577 ) 0, 90 r ( 0,4923 0,6077 ) 0, 90 r Intervall zwischen 49,23 % und 60,77 % der Studierenden c) X N X N Xu 0, Xo 0, Intervall zwischen 225 und 2735 Studierende

14 2.In einem Finanzamt wurden sämtliche Einkommensteuerbescheide und Steuerrückzahlungen einer Nachprüfung unterzogen. Die Steuerrückzahlungen waren normalverteilt; anhand einer Stichprobe wurde ein durchschnittlicher Rückzahlungsbetrag von 500 Euro bei einer Standardabweichung von 00 Euro ermittelt. Innerhalb welcher Grenzen wird der durchschnittliche Rückzahlungsbetrag sämtlicher Einkommensteuerbescheide bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99 % liegen, wenn die betreffende Stichprobe a) einen Umfang von 400 gehabt hat (Antwortsatz!) b) einen Umfang von 6 gehabt hat (Antwortsatz!) s s a) r x uz µ x + uz α n n r 500 2,58 µ , ,99 ( 487, µ 52,9 ) 0, 99 r Rückzahlungsbetrag zwischen 487,0 und 52,90 Euro s ν s b) r x tz ν µ x + tz α n n r 500 2,95 µ , ,99 ( 426,25 µ 573,75 ) 0, 99 r Rückzahlungsbetrag zwischen 426,25 und 573,75 Euro