K b) [2P] Lösungsvorschlag 1: f '(x) 3 e 2 3x e x e 3x 5 e. (Produktregel und bei der Ableitung der e-funktion Kettenregel anwenden)

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1 Mathmati Lösung Klausur Nr. K Abürzungn bi dr Korrtur: S: Schribfhlr R: Rchnfhlr D: Dnfhlr Mist: Dr Lösungswg ist nicht brauchbar (falsch). Es ist dann oft sinnvoll, mit mir darübr zu rdn. Gnrll solltn sich fast all Schülr um in sinnvollr, bssr Darstllung ümmrn. Es ght im Abi nicht nur darum, irgndwlch Formln aufs Papir zu schribn, sondrn s wird mathmatischs Dnn und Modllirn abgfragt. Notnschlüssl: Es gab 0 Punt, also wurd di halb Abisala bnutzt. Abisala Punt Not Pflichttil (twa 40 min) Ohn Taschnrchnr und ohn Formlsammlung (Disr Til muss mit dn Lösungn abggbn sin, h dr GTR und di Formalsammlung vrwndt wrdn dürfn.) Aufgab 1: Litn Si ab und vrinfachn Si ggbnnfalls (dnn Si an di Produtrgl, di Kttnrgl und an das Umformn dr Funtionn vor dm Ablitn) a) [P] f () g() 1 sin(4 ) b) [P] 4 c) [P] h() Lösungsvorschlag 1: f '() 1 Zu a) (Produtrgl und bi dr Ablitung dr -Funtion Kttnrgl anwndn) g'() sin(4 ) 1 cos(4 ) 4 Zu b) (Produtrgl und bi dr Ablitung dr sin-funtion Kttnrgl anwndn) 4 Zu c) Zurst umformn: h() ', dann mit dr Produt und Kttnrgl ablitn: 1 h '() 1 = Aufgab : [P] Lösn Si di Glichung Lösungsvorschlag 1: Da in Produt gnau dann Null ist, wnn inr dr Fatorn Null ist, muss ntwdr 9 0 odr 4 0 sin. Ist so, dass di rst Glichung Null ist, so gilt 1/, ist so, dass di zwit Glichung Null ist, so muss für notwndigrwis gltn ln ln odr ln odr ln Sit 1

2 Mathmati Lösung Klausur Nr. K Aufgab : Di Abbildung untn zigt di Graphn Kf und Kg zwir Funtionn f und g.. a) [P] Bstimmn Si Bstimmn Si inn Wrt für so, dass f(g()) = 0 ist. b) [P] Di Funtion h ist ggbn durch h( ) f( ) g( ). Bstimmn Si h (). f g Lösungsvorschlag : Zu a1) Dm Graphn ntnimmt man, dass di Funtion g dm Wrt y g 1 zuordnt. Di Funtion f ordnt dm Wrt y f 1 zu. Kurz: f f g 1 dn Wrt 1 dn Wrt Zu a) Di Funtion f hat bi 0 und 4 in Nullstll. Also muss di Funtion f an dm gsuchtn -Wrt ntwdr dn y-wrt 0 odr dn y-wrt 4 annhmn. Dm Graphn von g ntnimmt man, dass damit dr gsucht - Wrt von g damit odr sin muss. Kurz: Aus f g 0 g 0 odr g 4 odr Zu b) Di Ablitung von h ist laut Produtrgl h'( ) f '( ) g( ) f( ) g '( ) Damit ist h'() f '() g() f () g '(). Di Funtionswrt ntnimmt man wi obn dirt dm Graphn. Di Stigung von f an dr Stll ist f ' 0, da dort in Tifpunt vorligt. Di Ablitung dr Gradn ist übrall glich dr Stigung dr Gradn, also g' m 1 h'() 0 g () Damit gilt Wr unbdingt will, ann natürlich im rstn Schritt di Funtionsthrm dr bidn Funtionn bstimmn. f ist in Normalparabl, drn Schitl bi (/-4) ligt, also gilt f 4 und g ist in Grad dr Stigung m = -1 g mit dm y-achsnabschnitt c =, also gilt Zu a) Es gilt g 4 4, also ist f g, dann gilt 4 0 f Si in Nullstll von Zu b) Es gilt f g 4 odr 1/ g h f h' 1 8 und damit ist h' Also ist Sit

3 Mathmati Lösung Klausur Nr. K Wahltil (twa 40 min) Mit GTR und Formlsammlung nach Abgab ds Pflichttils ann dr GTR und di Formlsammlung vrwndt wrdn. Aufgab 4: Das radioativ Elmnt Radium- ist in Bta-Strahlr mit dr HWZ von T = d. Es zrfällt zu Actinium-. a) [P] Bstimmn Si di Zrfallsfuntion von Radium, wnn anfangs μg vorhandn sind. b) [P] Wi vil Proznt ds Radiums zrfällt in zwi Monatn (= 60 Tagn)? Nach wlchr Zit sind 0% dr Atom zrfalln? Lösungsvorschlag 4: Zu a) Di Zrfallsfuntion bzichnn wir mit B, Bstandsfuntion, si gibt ja an, was noch nicht zrfalln ist. Da dr Anfangswrt B(0) = c = ist, gilt B : Zit in Tagn Mass in g t t c Di Konstant bstimmt man mit dr Halbwrtzit T =. Für, / : ln 0, / ln ln 0, ln 0, 0467 Also rgibt sich für di Bstandsfuntion: B : Zit in Tagn Mass in g Zu b) Nach Monatn bträgt dr Bstand t Sit ln t t ln 60 B Das sind 0,01/ 0,060 6,0% ds Anfangswrts. Damit sind 100% 6,0% 9,98% zrfalln. B 60 0,01008 Wnn nach t Tagn 0% zrfalln sind, sind noch 70% vorhandn. Damit ist t so, dass gilt ln t 0,70 / : ln t ln 0,70 / ln t ln 0, 70 ln 0,70 t 7,616 ln gilt

4 Mathmati Lösung Klausur Nr. K Also sind nach napp 8 Tagn 0% dr Atom zrfalln. 4 y 8. (>0) Aufgab : Di Funtionnschar f ist ggbn durch f ( ) Ihr Schaubildr sin C. a) [P] Sizzirn Si für = und = 4 di Schaubild C in in gminsams Koordinatnsystm (Brich: un6 ) b) [P] Bstimmn Si di Kurv dr Schar, drn Tangnt im Punt P 1 f 1 durch dn Ursprung ght. Wi groß ist di Stigung disr Tangnt? c) [P] Bstimmn Si di Ortsurv dr Hochpunt. Zichnn Si dis Kurv in das Schaubild von a) in. Lösungsvorschlag : Zu a) Sih nbnsthnd Sizz: Zu b) Di Tangnt in =1 an di Kurv f ist t f ' 1 1 f 1 Es gilt: f (1) Di Ablitung ist: f '( ) 6 also ist 9 9 f '(1) Damit rgibt sich t Ist nun t so, dass di Tangnt durch dn Ursprung ght, so gilt 0 o- 6 dr Di Kurv ist f1, ( ) Di Stigung dr Tangnt ist f1, '(1) , 6 Di Tangnt ist dann natürlich t (da c ja 0 ist) 1, 1, Zu c) Notwndig Bdingung für in Etrmum: Auslammrn von rgibt: 0. 9 f '( ) 6 0 Sit 4

5 Mathmati Lösung Klausur Nr. K Damit folgt: Möglich Wrt für in Etrmum sind nur 1 0 odr di Null- stll von 0, d.h. 18 Da di. Ablitung f ''( ) 6, folgt f ''(0) 6 0 und 18 f ''( ) Damit ist nur in Hochpunt ( ) Es gilt f Di Mng dr Hochpunt sind also H 9. Schribn wir für, so bdutt dis, dass ist. Damit ist di y-koordinat: 4 4. Di Koordina- 9 9 H. Da- tn dr Hochpunt sind also g mit ist di Ortsurv Sizz mit Tangnt durch dn Ursprung an di 6 Kurv mit und dr Ortsurv dr Hoch- g punt: Aufgab 6: Auch in larn Gwässrn nimmt di Bluchtungsstär B (in Lu) mit zunhmndr Tif (in Mtrn) ab. Nach inm Mtr bträgt si in inm S nur noch 80% ds Wrts an dr Obrfläch. a) [P] Bstimmn Si di Funtion B(), di di ponntill Abnahm dr Bluchtungsstär bschribt, wnn an dr Obrfläch in Bluchtungsstär von 4000 Lu vorhandn ist. b) [P] Wi hoch ist di Bluchtungsstär in 10 m Tif? Wi groß ist di Halbwrtstif? In wlchr Tif bträgt di Ändrungsrat dr Bluchtungsstär -10 Lu/m.? Lösungsvorschlag 6: Zu a) Di Bstandsfuntion bzichnn wir mit B. Da dr Anfangswrt B(0) = c = 4000 ist, gilt B : Tif in m Lichtstär in Lu c 4000 Di Konstant bstimmt sich mit dr Angab, dass j m di Lichtstär auf 80% fällt. Sit

6 Mathmati Lösung Klausur Nr. K ,80 / :4000 Damit gilt: 0,8 / ln 0, 1 Zu b) Es gilt: B B : Tif in m Lichtstär in Lu , ,74% 49,0 In in Tif von 10 m ist di Bluchtungsstär auf gut 10% ds Wrts an dr Obrfläch, auf rund 40 Lu gfalln. Si X di Tif, in dr di Bluchtungsstär auf di Hälft gfalln ist. gilt: ln0,8x / :4000 X 0, / ln X ln 0, X ln 0,,106 Damit ist in inr Tif von gut m di Hlligit auf di Hälft gfalln. Di Halbwrtstif ist also,1 m. ln0,8 Di Ändrungsrat ist di Ablitung dr Funtion B' 4000 Si nun B' 10, dann gilt ln 0.8 ln 0, ln 0, , ,1 Das hißt in inr Tif von 0 m nimmt di Lichtstär pro m um 10 Lu ab. Kontroll (nährungswis Ändrungsrat, nicht loal, bssr durchschnittlich Ändrungsrat zwischn 0 und 1 m) : B 1 B ,8 0, ,8 0,8 1 9, Odr bssr Ändrungsrat zwischn 0,1-0, und 0,1+0. m B 0,1 0, B 0,1 0, ,6 19,6 0,6 19,6 19, ,8 0, ,8 0,8 1 10, 0 Sit 6

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