1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik

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1 1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik Übersicht 1.1 Junktoren Quantoren Summen- und Produktzeichen Symbole der Mengenlehre In der Mathematik werden Aussagen formuliert und auf ihren Wahrheitsgehalt hin untersucht. Unter einer Aussage stellen wir uns hierbei vereinfacht einen feststellenden Satz vor, dem eindeutig einer beider Wahrheitswerte FALSCH oder WAHR zugeordnet werden kann. 1.1 Junktoren Mit Junktoren werden einfache Aussagen zu einer komplexen Aussage verknüpft. Wir betrachten die fünf (wichtigsten) Junktoren NICHT UND ODER IMP LIKAT ION ÄQUIV ALENZ Negation Ist A eine Aussage, so ist A die Negation von A. (Heute regnet es) heiÿt: Heute regnet es nicht. (x 5) heiÿt: x < 5. (Für alle x, y M gilt f(x + y) = f(x) + f(y) heiÿt: Es gibt x, y M mit f(x + y) f(x) + f(y).

2 2 1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik UND Sind A und B Aussagen, so kann man A B betrachten; man nennt den UND- Junktor. Es gilt Der UND-Junktor A B ist wahr, wenn beide Aussagen erfüllt sind. A B ist falsch, wenn eine der beiden Aussagen falsch ist. A : Die Sonne scheint und B : Wir haben frei ist nur dann wahr, wenn A und B erfüllt sind. Sind A : x 5, B : x N x < 5, so heiÿt A B : x {1, 2, 3, 4, 5} Oder Sind A und B Aussagen, so kann man A B betrachten; man nennt den ODER- Junktor. Es gilt Der ODER-Junktor A B ist wahr, wenn eine der Aussagen erfüllt ist. A B ist falsch, wenn beide Aussagen falsch sind. Vorsicht. Das ODER ist nicht ausschlieÿend es dürfen auch beide Aussagen erfüllt sein. Ausschlieÿend ist ENTWEDER-ODER. Gesucht ist jemand mit Englisch- oder Französischkenntnissen. Sind A : x R x 2 x 4, B : x {2, 3, 7}, so heiÿt A B : x [2, 4] {7} Implikation Wenn A gilt, dann gilt auch B, kurz A B.

3 1.1 Junktoren 3 Wenn es regnet, dann ist die Straÿe naÿ; kurz: Es regnet Die Straÿe ist naÿ. Wenn m eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist m n eine gerade natürliche Zahl (n N); kurz: m gerade m n gerade (n N). Denn: m gerade m = 2 m, m N m n = 2 m n, m N m n gerade. A B B A: Die Straÿe kann auch dann naÿ sein, wenn es nicht Vorsicht. regent. Wie sieht es mit den Umkehrungen beim zweiten Beispiel aus? Äquivalenz Genau dann gilt A, wenn B gilt, kurz: A B und B A, noch kürzer: A B. Genau dann ist die Straÿe naÿ, wenn es regnet, die Straÿe gereinigt wird, Schnee schmilzt, ein Eimer Wasser verschüttet wurde,... Für x R gilt: Für x R gilt: Denn: x Q x = p q Wähle etwa n = q. Sind m, n N, so gilt: x 5 x N x {1, 2, 3, 4, 5}. x Q es gibt ein n N mit n x Z. mit p Z und q N q x = p mit p Z und q N. m n ist gerade m ist gerade n ist gerade. Denn: : m gerade oder n gerade m n gerade (siehe oben). : m n gerade m n = 2 q mit einem q N. Angenommen, weder m noch n sind gerade. Dann gilt m = 2 m + 1 und n = 2 n + 1 mit m, n N. Es folgt m n = 4 m n + 2 (m + n ) + 1 = 2 k + 1 mit einem k N. Das ist ein Widerspruch zu m n ist gerade.

4 4 1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik 1.2 Quantoren Quantoren erfassen Variable mengenmäÿig; was da heiÿt, versteht man erst später. Wir betrachten vier Quantoren: zu jedem bzw. für alle. es gibt, 1 es gibt genau ein, es gibt kein. Für Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n, die gröÿer als x ist kann man kurz schreiben: x R n N : n x. Man beachte die Reihenfolge: n N : n x x R ist Quatsch. Sind A = {1, 2, 3} und B = {1, 4, 9}, so gilt: b B 1 a A : a 2 = b. 1.3 Summen- und Produktzeichen Das Summenzeichen und das Produktzeichen sind nützliche Abkürzungen, man setzt: n n a 1 + a a n = a i und a 1 a 2 a n = a i i = i = j= i j = n a i = a 0 + n 1 +a l. i=0 l=1

5 1.4 Symbole der Mengenlehre Symbole der Mengenlehre Den Begri Menge denieren wir nicht. Wir stellen uns das richtige darunter vor. Tatsächlich ist der Mengenbegri sehr kompliziert, eine naive Auassung kann schnell zu Problemen führen. Wir hantieren nur mit kleinen Mengen, da ist alles unproblematisch. Die Elemente einer Menge können explizit angegeben sein, wie etwa oder durch Eigenschaften erklärt werden Bekannt bzw. selbsterklärend sind: A = {1, 2, 13, Angela Merkel}, A = {n N n ist gerade } = 2 N 1. a A a ist Element von A. a A a ist kein Element von A. A B A ist eine Teilmenge von B: a A a B. A B A ist keine Teilmenge von B: a A : a B. A B A ist eine echte Teilmenge von B: (a A a B) ( b B : b A). A = B Gleichheit von A und B: A B B A. A B = {x x A x B} die Vereinigung von A und B. A B = {x x A x B} der Durchschnitt von A und B. A \ B = {x A x B} die Mengendierenz: A ohne B. C B (A) = B \ A, falls A B das Komplement von A in B. A die Mächtigkeit oder Kardinalität von A, d. h. die Anzahl der Elemente von A, falls A endlich, bzw. sonst. A B = {(a, b) a A, b B} das kartesische Produkt von A und B. die leere Menge. Beispiel 1.1 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 5, 7}, B = {n N n ist ungerade } C = {2, 2, B}, D = {1, 5, 7}. Es gilt z. B.: D A, D A, D B, D B, C B, B C,

6 6 1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik B C, A D = D, C D =, C B =, B \ C = B B \ A = B \ D = {n N n ist ungerade und n 7} {3} = C B (D), A B = D, C D = {(B, 1), (B, 5), (B, 7), (2, 1), (2, 5), (2, 7), ( 2, 1), ( 2, 5), ( 2, 7)}, C D = 9 = C D. Übrigens nennt man zwei Mengen A und B mit A B = disjunkt oder elementfremd. Das letzte Beispiel läÿt sich verallgemeinern, es gilt oenbar: Lemma 1.1 Sind A und B endliche Mengen so gilt Nicht ganz so oensichtlich ist: A B = A B. Satz 1.2 Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Anders ausgedrückt: Menge B : B. Beweis: Angenommen, es gibt eine Menge B mit B. Dann gibt es laut Denition von ein a mit a B. Dies ist ein Widerspruch, es gibt nämlich kein a. Der Beweis in Kurzform: Angenommen, B mit B a mit a B Widerspruch. Jetzt Unterlagen zumachen bzw. umdrehen und den Beweis noch einmal selber führen. Aufgaben 1.1 Drücken Sie folgende Sachverhalte mit mathematischen Symbolen aus: Es gibt eine Menge, die enthält keine geraden Zahlen. Diese Menge hat drei Elemente Formulieren Sie mit Symbolen und negieren Sie dann die Aussage: Jede Menge hat eine Teilmenge, die 0 Elemente hat Wenn es einen Studenten gibt, der zugleich Maschinenwesen und Architektur studiert, dann studiert dieser auch Mathematik...