Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie

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1 Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mengen, speziell Zahlenmengen Aussagenlogik, Beweistechniken Funktionen, Relationen Kombinatorik Abzählverfahren Binomialkoezienten Komplexität von Algorithmen Folgen, Grenzwerte, Rekursionen Graphentheorie Grundbegrie, Zusammenhang, EulerPfade,... kürzeste Wege, minimale Spannbäume, maximale Flüsse und Matchings Galoiskörper (eventuell) Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung mengen11.pdf, Seite 1

2 Literatur Gerald und Susanne Teschl: Mathematik für Informatiker, Band 1 und 2, erschienen im Springer-Verlag 2006 Der Inhalt der Mathe 1 entspricht im Wesentlichen Band 1 ohne die lineare Algebra (Kapitel 9 bis 14). Die (falls ausreichend Zeit vorhanden) am Semesterende behandelte Wahrscheinlichkeitsrechnung ndet sich im Band 2. mengen11.pdf, Seite 2

3 Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte werden als Elemente der Menge bezeichnet. Notation x M: x ist Element der Menge M, x M: x ist kein Element der Menge M, M N: M ist Teilmenge von N: jedes Element von M ist auch Element von N. M = N: M und N haben die selben Elemente. Bemerkung: M N schlieÿt den Fall M = N mit ein. Es ist M = N genau dann, wenn M N und N M. mengen11.pdf, Seite 3

4 Darstellung von Mengen durch Aufzählung der Elemente in geschweiften Klammern ( Mengenklammern), z. B. M = {a, b, c}, N = {1, 2, 4, 6, 9}, durch Aufzählung der einiger Elemente, sodass eine Regel erkennbar ist, z. B. {2, 3, 4,..., 10} oder {1, 3, 5,...}, Beschreibung in Worten, z. B. Menge aller InformatikStudierenden der h_da, feste Bezeichnungen für bestimmte Mengen, z.b. Z Menge der ganzen Zahlen, Angabe einer Eigenschaft, die die Elemente der Menge erfüllen, z. B. M = {x Z : x 0} = {0, 1, 2,...}. Bei der Angabe der Elemente spielt deren Reihenfolge keine Rolle. Ein Element kann nicht mehrfach in einer Menge enthalten sein. mengen11.pdf, Seite 4

5 Beispiele c {a, b, c, d}, f {a, b, c, d}, 3 {a, b, c, d}, {d, b} {a, b, c, d}, Ist M = {4, 8, 12,...} die Menge der Vielfachen von 4, so ist z. B. 28 M und 42 M sowie {8, 24, 64, 124} M und {2, 4, 8} M. mengen11.pdf, Seite 5

6 Mengenoperationen M N: Vereinigung, enthält alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen enthalten sind. M N: Durchschnitt, enthält alle Elemente, die sowohl in M als auch in N enthalten sind. M \ N: Dierenz, enthält alle Elemente, die in M, aber nicht in N enthalten sind. M N = (M \ N) (N \ M) symmetrische Dierenz. Komplement, bezogen auf eine Grundmenge M: CA = A c = A = A M = M \ A (dazu muss A M gelten), z.b. M Studierende, A weibliche Studierende, A männliche Studierende. mengen11.pdf, Seite 6

7 Beispiele Sei M = {a, b} und N = {b, c}. Dann ist M N = {a, b, c}, M N = {b}, M \ N = {a}, N \ M = {c} und M N = {a, c}. Ist M = {2, 4, 6,...} (gerade Zahlen) und N = {3, 6, 9,...} (Vielfache von 3), so ist M N = {6, 12, 18,...} die Menge der Vielfachen von 6 und M N = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...} mengen11.pdf, Seite 7

8 Rechenregeln (Axiome) für Mengen A B = B A und A B = B A (Kommutativität), (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C) (Assoziativität), A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) (Distributivität), A = A und A B = A B sowie A B = A B (demorgan'sche Regeln). Bemerkung Mengenoperationen und zugehörige Rechenregeln können durch VennDiagramme veranschaulicht werden. mengen11.pdf, Seite 8

9 Mächtigkeit Die Mächtigkeit M = #M einer Menge M ist die Anzahl ihrer Elemente. Beispiel: #{a, b, c, d} = 4 und #{1, 2, 3, 4,...} = (unendlich). Zwei Mengen haben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine 1-1-Zuordnung zwischen ihren Elementen gibt. Leere Menge Die leere Menge = {} ist die Menge, die keine Elemente enthält. Sie hat die Mächtigkeit 0. mengen11.pdf, Seite 9

10 Produktmenge Für Mengen M und N ist M N = {(m, n) : m M, n N} die Menge aller Paare (Tupel) von Elementen m M und n N. Im Falle endlicher Mengen hat die Produktmenge (#M) (#N) Elemente. Beispiel {1, 2, 3} {a, b} = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. Wichtige Produktmengen R 2 = R R Menge aller Punkte in der Ebene, R 3 = R R R Punkte im Raum, mengen11.pdf, Seite 10

11 Potenzmenge Die Potenzmenge P(M) einer Menge M enthält alle Teilmengen von M als Elemente. Beispiel P({a, b}) = Satz { }, {a}, {b}, {a, b} Die Potenzmenge einer nelementigen Menge hat 2 n Elemente. mengen11.pdf, Seite 11

12 Zahlenmengen N = {0, 1, 2, 3,...} natürliche Zahlen, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} ganze Zahlen, Q = {p/q : p Z, q N} rationale Zahlen, R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R} mit i 2 = 1 komplexe Zahlen. Bemerkungen Die natürlichen Zahlen werden oft auch ohne die 0 deniert, also N = {1, 2, 3,...} (z. B. im Teschl/Teschl). Möchte man verdeutlichen, dass die 0 dazugehört, schreibt man oft auch N 0. Die am Computer darstellbaren Zahlen (Maschinenzahlen) bilden immer eine endliche Teilmenge der rationalen oder der ganzen Zahlen. mengen11.pdf, Seite 12

13 Vergleich der Zahlenmengen Es gilt N Z Q R C. Q \ Z enthält Brüche wie z. B. 1, und Diese können als endliche oder periodische Dezimalbrüche 1 dargestellt werden, im Beispiel = 0, = 0, 3, = 267, 5 und = 313, Elemente von R \ Q heiÿen irrationale Zahlen. Beispiele sind 2 und die mathematischen Konstanten π = 3, und e = 2, Irrationale Zahlen werden durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche dargestellt. mengen11.pdf, Seite 13

14 Die Grunderechenarten Summe a + b und Produkt a b zweiter natürlicher Zahlen a und b ergeben wieder natürliche Zahlen. In Z ist zusätzlich die Dierenz a b ohne Einschränkungen deniert. Für a, b Q ist zusätzlich der Quotient a b Q immer deniert, wenn b 0. Gleiches gilt mit R statt Q. Das Rechnen mit den 4 Grundrechenarten genügt den bekannten Regeln wie Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzen. mengen11.pdf, Seite 14

15 Eigenschaften der reellen Zahlen R ist eine total geordnete Menge, d. h. zu a, b R gilt entweder a < b (a kleiner b) oder a > b b < a oder a = b. Man schreibt a b b a (a kleiner gleich b), wenn entweder a < b oder a = b. Der Betrag einer reellen Zahl a ist deniert als a = a, falls a > 0 oder a = 0 (d. h. a 0), a = a, falls a < 0. Dann gilt die Dreiecksungleichung a + b a + b. R ist vollständig. mengen11.pdf, Seite 15

16 Potenzen und Wurzeln Zu a R und n N setzt man a n = } a a {{... a} sowie a 0 = 1 und a n = 1 = ( 1 n. a a) n n mal Die nte Wurzel von a > 0 ist für n N deniert als b = n a = a 1/n b n = a. Für a R mit a > 0 und p q Q setzt man ap/q = q ap. Davon ausgehend lässt sich auch a x für beliebige x R denieren. Dann gelten folgende Rechenregeln: a x a y = a x+y, a x b x = (a b) x, (a x ) y = a x y, a x = 1 a x. mengen11.pdf, Seite 16

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