Mathematik 1 nach der Vorlesung Mathematik für Physiker 1 Wiebe. Sebastian Ritz

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1 Mathemati 1 nach der Vorlesung Mathemati für Physier 1 Wiebe Sebastian Ritz

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 2 Mengen Liste der Zahlenbereiche Rechenregeln für Mengen Abbildungen(vgl. Buch Kap.1.B Injet-, Surjet- und Bijetivität Abbildungen und Funtionen(vgl Buch 1.B Refferiert aus Kapitel 1.B Refferiert aus Kapitel 1.B Nachtrag zu Abbildungen Zusatz aus dem Buch Kap 1.B Die natürlichen Zahlen Einführung des Summenzeichens Einführung des Produtzeichens A B Endliche Mengen B.6; 2.B Rechenregeln(2.B Satz über die Grundaufgaben der Kombinatori B Polynomialsatz(vgl Buch 2.B

4 4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Kapitel 1 Einleitung Dieses Sript wird parallel zur Vorlesung erstellt. Sollten Fehler gefunden werden, so bitte eine an Sebastian.Ritz@rub.de. Wäre nett wenn die Angaben dann mit Seiten- und Zeilennummer gemacht würden. Des Weiteren ist dieses Sript natürlich nicht immer auf dem atuellen Stand der Vorlesung, da es von einem Studenten, der nebenher auch noch andere Fächer hören muss erstellt wird. Wer also dem Latex mächtig önnte sich nach Möglicheit auch an die eine oder andere Mitschrift setzen und sie vielleicht texen Dieses Doument ann dann gerne an die o.g. Adresse geschict werden. Die in dieser Vorlesung verwendete Literatur ist: Storch / Wiebe - Band 1 Kerner / van Wahl - Mathemati für Physier - Springer Verlag 5

6 6 KAPITEL 1. EINLEITUNG

7 Kapitel 2 Mengen Definition Beispiel: Eine Menge M ist jede Zusammenfassung von Objeten zu einer Gesamtheit. Die Objete, die zu A gehören heißen die Elemente von A. a A bedeutet: a ist Element von A a / A bedeutet: a ist nicht Element von A. Z 2 Menge der gerade Zahlen 3 / Z2;4 Z2 Wie beschreibt man Mengen: aufzählende Schreibweise -1,11,-1,1 nach beschreibender Eigenschaft {x R x 2 1} Definition: A,B Mengen: AB: jedes Element von A ist Element von B und umgeehrt A und B enthalten die gleichen Elemente. 7

8 8 KAPITEL 2. MENGEN 2.1 Liste der Zahlenbereiche Tabelle 2.1: Zahlenbereiche N:{0, 1, 2, 3, 4, 5,...} N :{1, 2, 3, 4...} Z:{ 2, 1, 0, 1, 2} Q:{ a b a, b Z; b 0} R C Menge der natürlichen Zahlen. Menge der positiven nat. Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der omplexen Zahlen Definition: A B heißt: A ist Teilmenge von B B A(B umfaßt A Beweis: AB A B und B A Definition: : die leere Menge. Die Menge die eine Elemente enthält {x R x 2 1} Dies ist nur ein Beispiel die leere Menge ann jedes Element nicht enthalten sie ist schließlich leer. Definition: Seien A,B Mengen 1. A B : {x x Aund x B} Durchschnitt von A und B 2. A B: {x x Aoder x B} Vereinigung von A und B 3. A-B:(A\ B : {x A und x / B} Differenzmenge von A und B 4. (A: {B B A}Menge aller Teilmengen von A Potenzmenge von A 5. AxB: {(a, b a A, b / B} Kartesisches Produt von A und B Dabei (a,ab(a,b aa und bb. Das Bedeutet im lartext {1, 2} {2, 1}, aber (1,2 (2, Rechenregeln für Mengen A,B,C seien Mengen. 1. A a, A, A 2. A BB A, A BB A 3. (A B CA (B C (A B CA (B C 4. A (B C(A B (A C A (B C(A B (A C 5. A-(B C(A-B (A-C A-(B C(A-B (A-C

9 2.3. ABBILDUNGEN(VGL. BUCH KAP.1.B Abbildungen(vgl. Buch Kap.1.B Definition: A,B seien Mengen Eine Abbildung f:a B (von A nach B ist eine Zuordnungs(vorschrift die jedem Element von A genau ein Element von B zuordnet. Für a A bezeichnet f(a das eindeutig bestimmte Element von A, dass a zugeordent ist bei f. f(a ist das Bild von a unter f. {b B b f(a für ein a A} heisst das Bild von A unter f. Beispiel: 1. f:r R mit f(xx 2 für x 2 R ist eine Abbildung(nicht injetiv, da f(-11 2 (-1 2 f : x x 2 Bild f {y R y x 2 für ein x R} {y R y 0} R+ R 0 nicht negative reelle Zahlen ( f:r R f(x : Quadratwurzel aus x ist eine Abbildung Eine Abbildung ist erst eine Abbildung in der Form wenn man diese Beschreibung ergänzt in der Form: f(x x dasjenige y 0 mit y 2 x 3. f:r+ R mit f(x: x ist eine Abbildung(außerdem ist diese Abbildung nicht surjetiv, da es in -5 ein x R+ gibt mit x 5. Sie ist injetiv. Funtion ist eine Abbildung in einem Zahlenbereich(R oder C. 2.4 Injet-, Surjet- und Bijetivität (vgl. Buch Kap. 1.B.4 Definition f:a B ist eine Abbildung 1. f heißt injetiv wenn: zu jedem b B höchsten ein a A mit f(ab existiert a,a A Elemente mit f(af(a sind, denn dann ist stets aa 2. f heißt surjetiv wenn: zu jedem b B wenigsten ein b mit f(ab existiert. Bild fb 3. f heißt bijetiv, wenn: zu jedem b B genau ein a A mit f(ab existiert in diesem Fall ist f sowohl injetiv als auch surjetiv

10 10 KAPITEL 2. MENGEN 2.5 Abbildungen und Funtionen(vgl Buch 1.B f : A B ist eine Abbildung Graph: Γ(f {(x, f(x x A} A B Wenn A A : f(a {f(a a A Beispiel: f(x : x 2 Dann ist f([1, 2] [1, 4] f R R mit [a, b] : {f(a a A } (2.2 B B mit f 1 (B {a A f(a A } Bild von A unter f Urbild von B unter f. Beispiel: f 1 ([1, 4] [1, 2] [ 2, 1] (2.3 Ist f : A B bijetiv so bedeutet dies, dass f sowohl injetiv als auch surjetiv ist. Dies bedeutet dann, dass zu jedem Element b B genau ein Element a A mit f(a b existiert. In dieser Situation definiert die Umehrabbildung f 1 B A, dadurch, dass man b B dieses eindeutig bestimmte a A zuordnet. Definition: Ist f : A B bijetiv, so ist f 1 : B A, durch f 1 (b a, wo a das eindeutig bestimmte a und f(a b ist. Beispiel: f R+ R+ ist bijetiv mit dem Umehrfeld f 1 (y y f(x x 2 y R+ 2.6 Refferiert aus Kapitel 1.B.9 f : A B, g B C seien Abbildungen. Dann sieht die Hintereinanderschaltung oder die Kompositionen folgendermaßen aus: (g fa C durch (g f(a : (f(ag für a A (2.4 Beispiel: f(x : x 2 und g(f(x : sin x (g f(x g(f(x g(x 2 sin(x 2 (f g(x f(g(x f(sin x sin 2 a 2.7 Refferiert aus Kapitel 1.B.11 Definitionsgemäß sind zwei Abbildungen f : a B und f : A B gleich f f, wenn für alle a A : f(a f(a Obige beiden gleichungen sind offenbar gleich, denn h (g f (h g f

11 2.8. NACHTRAG ZU ABBILDUNGEN 11 Beweis: Sei a A beliebig. (h (g f(a h(g f(a h(g(f(a ((h g f(a (h g(f(a h(g(f(f(a Beispiel Die Abbildung 1 id A A A mit id A (a a heisst Graph id A (Die Identität von A 2 fa B bijetiv mit Umehrbruch f 1 B A f f id A wegen (f f 1 f(f 1 (w f f Nachtrag zu Abbildungen Wie haben gesehen: Ist f : A B bijetiv mit Umehrbruch f 1 B A. so gilt f f 1 id A und f 1 f id A Umgeehrt gilt: Wann ist f surjetiv? Tabelle 2.2: default Satz 1.B.10 Beweis: fa B und g B B seien Abbildungen mit f g id B und g f id A f injetiv: Annahme sei f(a f (a g(f(a g(f(a (g f(a id a für den ersten Teil und (g f(a id A für den zweiten Teil der Gleichung Sei b B. Für a:b(b gilt dann f(a f(g(b (f g(b id B (B b f bijetiv Es gilt die Umehrabbildung f 1 B A f 1 (f g f 1 id B f 1 außerdem gilt (f 1 f g id A g g Aus obigen beiden Aussagen folgt dann f 1 g Aussagen über g folgen aus Symmetriegründen. Zusatz:(1 f A B bijetiv f 1 A und (f 1 1 f 2.9 Zusatz aus dem Buch Kap 1.B.14 Es ist angeraten um die Komplexität des Nachfolgenden zu verstehen sich das o.g. Kapitel anzusehen. f A B, g B C bijetiv g f : A C bijetiv Außerdem gilt die Umehrabbildung: (g f 1 f 1 g 1 (2.5

12 12 KAPITEL 2. MENGEN Beweis mit(1.b.10 (g f (f 1 g 1 g (f f 1 g 1 g id B g 1 g g 1 id C 2.10 Die natürlichen Zahlen N{0,1,2,3,...} 2.A.1:Definition: 1.Version Ist M N eine Teilmenge von N und gilt n 0 N und gilt immer dann, wenn n M ist, ist auch n+1 M M {n 0, n 0 + 1,...} {n N n n 0 } 2. Version (vollständige Indution Sei A eine Aussage über natürliche Zahlen n. Für ein n 0 N gelte: Indutionsanfang Die Aussage muss für n 0 gelten Indutionsschluß (von n auf n+1 Immer dann, wenn die Aussage für n( n 0 gilt, so auch für n+1 Beispiel: A(n sei die Aussage n n(n+1 2 vgl(2.a.2 (gilt für alle n 1 Indutionsanfang: n 0 1 line Seite 1, rechte Seite 1 ( Somit ist dieser Anfang gültig Indutionsschluß n n + 1 Diese Aussage gilt für n, d.h. es sei 1,2,... n n (n+1 2 Zu zegen ist n (n+1 ((n Beweis: n + (n + 1 n(n (n + 1 (n + 1( n (n (n + 1 n+1((n Die Aussage gilt für alle n n Einführung des Summenzeichens a 1, a 2..., a K seinen Elemente aus R oder C Sonderfälle sind: n n+1 a : a 1 + a a n a 1 ( j a : a i + a i+1 + a j, woj i i i a i +i

13 A.4 13 j a + i m j+i i 1 +i a leere Summe0 m a ( Einführung des Produtzeichens Dies verhält sich nahezu analog zu dem Summenzeichen A.4 n a a 1 a 2... a n usw. (2.8 i Ausnahme: i 1 a leeres Produt 1 (2.9 i Sei M + eine Teilmenge von N M enthält ein leinstes Element, d.h. eine natürliche Zahl m B mit m 0 m (für allem M. Beweis: Wir machen einen Indutionsbeweis über n für die folgenden Aussagen: Enthält m eine natürliche Zahl n, so enthält m auch ein leinster Element n + 1 M ist leinstes Element von M n0 Enthält M die Zahl 0, so enthält M ein leinstes Element, nämlich die Zahl 0. Diese ist sogar allen Elementen von N. n n+1 Indutionsvoraussetzung (siehe oben Indutionsbehauptung: Enthält M ein Element n+1, so enthält auch ein leinstes Element Beweis: 1.Fall Enthält M ein Element n+1 M enthält sogar ein Element 1 M enthält ein leinstes Element 2.Fall M enthält ein Element n+1 M enthält n+1 und eine leinere T natürliche Zahl Wegen M enthält aber M irgendein n

14 14 KAPITEL 2. MENGEN B Endliche Mengen Definition: M heißt endliche Menge mit n N : Es gibt eine bijetive Abbildung f : Nn M Nn:{1,2,3,...,n}{ N 1 n} Dann hat M die Form M {x ij,..., x n } mit x i + x j für i j Rechenregeln: M,N endlich M N M + N falls M N M N M + N M N MxN M N Bemerungen Sei M endliche Menge, f : M M sei eine Abbildung, Dann gilt finjetiv f surjetiv f bijetiv Beweis: n{x ij,..., x n } M {x ij,..., x n } f injetiv f(x i,... f(x n sind paarweise verschieden alle Elemente von M ommen als bild vor f surjetiv B.6; 2.B.8 Seien,n N; α R wir definieren: 1.! j1 j Insbesondere 0!1 ( α 2. : α(α 1... (α +1! Dies ist der sogenannte Binomialoeffizient Insbesondere ( gilt: α ( α 1 α 1 α ( n n(n 1(n 2...(n +1 n!!!(n! Rechenregeln(2.B.9 1. ( + 1! ( + 1! ( ( n n 2. für 0 n n Beweis: ( n n! (n!n (n! (2.10

15 B.6; 2.B.8 15 n! (2.11 n!(n! ( n (2.12 ( n 0 für n ( Die Regel vom Pascalschen Dreiec: ( ( ( α + 1 α α + n n 1 wobei 1 (2.14 Beweis: ( α ( α + 1 ( α + 1 (α (α ! α(α 1... (α + 1! α(!(α ( ( + 1! (2.15 (2.16 Abbildung 2.1: Pascal sches Dreiec 4. ( n ist für alle, n N eine natürliche Zahl ( 0 Beweis: Indution über n n 0 ist 1 für n0 ansonsten 0 n ( n + 1 n n + 1 ( n ( n N ( Satz über die Grundaufgaben der Kombinatori M {x i ;... ; x n } Menge mit M n I {x i ;... ; x n } Menge mit I

16 16 KAPITEL 2. MENGEN 1. Die Anzahl der Abbildungen f : I M ist : n n n... n ( Die Anzahl der injetiven Abildungen: f : I M ist n(n 1... (n + 1 ( Die Anzahl der bijetiven Abbildungen f ist: I f ist K( 1... ( + 1! ( Die Anzahl der Teilmengen M ist: 2; 2; 2; 2; n ( (Hierzu siehe ( 2.B.8 Die Anzahl der Teilmengen M, die genau Elemente n enthält ist. Beweis: Es gibt genau n(n 1... (n + 1 Abbildungen f{1,..., } M {x i,... x n } Je! davon führen zur selben Menge {f(1,... f(} die gesuchte anzahl ist dann: ( (n(n 1... (n + 1 n (2.22! B.16 (a + b n n 0 ( n a n b (2.23 Wir folgern: n ( n n 1 n 1 (1 + 1 n 2 n ( Tabelle 2.3: Randbemerung (a + b 2 a 2 + 2ab + b 2 (a b 2 a 2 2ab + b 2 (a b n n ( ( 1 n 0 a n b (2.25

17 2.15. POLYNOMIALSATZ(VGL BUCH 2.B Polynomialsatz(vgl Buch 2.B.17 (a a r n m N ( n Dabei haben wir für m (M 1,..., m r N r definiert: ( n m : die Summe der einzelnen N-Zahlen Beweis: a m (2.26 a : (a 1,..., a r, a m : a m1 1 a m a mr r und außerdem ( n : : m 1,..., m r n! m 1!, m 2!..., m r! (Multinomialoeffezienz (2.27 (a 1 + dots + a r n (a a r (a a r... a m a mr (2.28 m N r Der Summand a m a mr r taucht dabei oft auf, wie ich m 1 mal den summanden a 1, m 2 -mal den Summanden a 2 usw. auswähle. Dies ist: ( ( ( ( n n m1 n m1 m 2 n m1... m... r 1 m1 m 2 m 2 m r n! m 1!(n m 1! ürzen ( n m (n m 1! m 1!(n m 1 m 2! (n m 1... m r 1! m r!0! n m 1!... m r! Dieser Beweis ist auch über vollständige Indution durchzuführen: n0 Indutionsanfang (a + b 0 1, 0 ( 0 0 (2.29 a 0 b 1 (2.30 n n + 1 (a + b n+1 (a + b(a + b n (a + b a n+1 + n ( n 1 a n+1 b + n 1 ( n 0 n 0 ( n a n b a n b +1 + b +1 (2.31 Letzten endes läuft obige Gleichung, u.a. durch indexwechsel( + 1, d.h. 1 auf folgende heraus: a n+1 + n (( n 0 ( n 1 a n+1 b + b +1 (2.32

18 18 KAPITEL 2. MENGEN (( n Hinweis: ( n 1 ( n + 1 Pascalsches Dreiec: n+1 ( n a n+1 b (2.33

19 Index Abbildung, 9, 10 Bijetivität, 9 Bild, 9 Differenzmenge, 8 Durchschnitt, 8 ganze Zahlen, 8 Indution, 12 Injetivität, 9 omplexe Zahlen, 8 Literatur, 5 natürliche positive Zahlen, 8 natürlichen Zahlen, 8 Pascal sches Dreiec, 15 Potenzmenge, 8 Produt, 13 rationale Zahlen, 8 reellen Zahlen, 8 Summe, 12 Surjetivität, 9, 11 Umehrabbildung, 10, 11 Umehrbruch, 11 Vereinigung, 8 Zuordnung, 9 19