Mathematik 1, Teil B

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1 FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten 3.) Vektoren, Rechenregeln 4.) Komplexe Zahlen 5.) Lineare Gleichungssysteme 6.) Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik 7.) Vektoren, Anwendungen in der Geometrie

2 1. Grundbegriffe der Mengenlehre 1.1 Mengenbegriff Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung ( Gesamtheit ) von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens mit gemeinsamen Merkmalen. [ Georg Cantor, 1895 ] Die Objekte heißen Elemente der Menge. Symbolik: große Buchstaben für Mengen: A, B, M, N,... kleine Buchstaben für Elemente: a, b, x, y,... a M : a ist Element von M a M : a ist nicht Element von M Beispiele für Mengen: - Mengen, die in der realen Welt vorkommen : Autos, Zuhörer,... - Mengen in mathematischen Zusammenhängen : Lösungsmenge einer Gleichung IL Menge aller durch 5 teilbaren Zahlen Zahlenmengen: IN Menge der natürlichen Zahlen ( inkl. der Null ) Z Menge der ganzen Zahlen Q( Menge der rationalen Zahlen IR Menge der reellen Zahlen C( Menge der komplexen Zahlen Beschreibung von Mengen: 1.) Durch Aufzählung der Elemente in geschweiften Klammern L = { -2; 4 }, M = { 2, 4, 6, 8, 10 }, S = { 0 } N = { } ist die sog. Leere Menge ( die kein Element enthält ); spezielles Symbol: Ø A = { a, b, a, c } ist ein Widerspruch zur Definition, keine Aufzählung mit gleichen Elementen 2.) Durch verbale Beschreibung: alle durch 5 teilbaren Zahlen andere Beispiele sind IN, Z, Q(, IR erstellt mit Papyrus X! 1-2

3 3.) Durch Angabe der charakteristischen Eigenschaften der Elemente M = { x Eigenschaft(en) } z.bsp.: M = { n n < 10 }, A = { x IR 5 teilt x } Verwenden von Symbolen der Boolschen Algebra bedeutet ODER, bedeutet UND ( und zugleich ) z. Bsp.: M = { n ( n Z ) ( n 10 ) } = { n Z n 10 } M = { n Z ( n < 0 ) ( n > 1 ) } Auf Widersprüche achten: M = { n Z ( n < 0 ) ( n > 1 ) } bedeutet: M = { } M = { n Z 0 > n > 1 } ist nicht erlaubt; die Ungleichungskette ist transparent, d.h. es werden nicht nur die Werte unmittelbar neben den Ungleichheitszeichen einbezogen sondern alle, hier also die falsche Aussage: 0 > 1. Damit sind auch Angaben wie M = { n Z 0 < n > 1 } nicht erlaubt. 4. Intervalle reeller Zahlen (a) Beschränkte Intervalle (1) Offenes Intervall ( a, b ) ist die Menge aller reellen Zahlen x mit a < x < b Mengenschreibweise: A = { x IR a < x < b } graphische Darstellung: (2) Abgeschlossenes Intervall [ a, b ] ist die Menge aller reellen Zahlen x mit a x b Mengenschreibweise: A = { x IR a x b } graphische Darstellung: IR (3) Halboffenes Intervall [ a, b ) = { x IR a x < b } ( a, b ] = { x IR a < x b } erstellt mit Papyrus X! 1-3

4 (b) Unbeschränkte Intervalle sind Intervalle, die die uneigentliche Grenze Unendlich ( ) enthalten ( -, ) = { x IR - < x < } ( a, ) = { x IR a < x < } = { x IR a < x } ( -, b ) = { x IR - < x < b } = { x IR x < b } [ a, ) = { x IR a x < } = { x IR a x } ( -, b ] = { x IR - < x b } = { x IR x b } Anmerkung: Das Symbol kennzeichnet nicht einen festen Punkt auf der Zahlengeraden. Daher kann es keine abgeschlossene Intervallgrenze bei geben! 1.2 Mengenrelationen Def.: Eine Menge A heißt Teilmenge ( = Untermenge ) der Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Symbolik: A Β ( echte Teilmenge ) oder A B ( Das Enthaltensein schließt die Gleichheit ein. ) Graphische Darstellung als VENN-Diagramm: B heißt damit auch Obermenge von A : B Α. Beispiele: Def.: IN Z Q( IR C( Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Def.: Zwei Mengen A und B heißen disjunkt genau dann, wenn sie keine gemeinsamen Elemente enthalten. erstellt mit Papyrus X! 1-4

5 1.3 Mengenoperationen Vereinigung M = A B M = Menge aller Elemente, die mindestens einer der beiden Mengen A oder B angehören Man schreibt: x Μ x A x B Graphische Darstellung: Beispiele: 1.) M 1 = { x x gerade Zahl } M 2 = { x x ungerade Zahl } M 1 M 2 = Z 2.) A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 3, 6, 7 } A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } Wenn gilt: A = B, dann gilt auch A B = A = B Durchschnitt oder Schnittmenge M = A B M = Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören Man schreibt: x Μ x A x B Graphische Darstellung: erstellt mit Papyrus X! 1-5

6 Beispiele zur Schnittmenge: 1.) M 1 = IN, M 2 = IR M = M 1 M 2 = IN 2.) A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 3, 6, 7 } A B = { 2, 3 } Wenn A = B, dann A B = A = B Sind A und B disjunkte Mengen, dann ist ihr Durchschnitt leer: A B = Ø Rechengesetze zu Vereinigung und Durchschnitt: Gegebene Mengen: A, B, C Kommutativgesetze: A B = B A A B = B A Assoziativgesetze: A B C = ( A B ) C = A ( B C ) A B C = ( A B ) C = A ( B C ) Distributivgesetze: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Leere Menge: A Ø = A, A Ø = Ø Komplementärmenge: Gegeben: M : Universal- / Obermenge, Menge A mit A Μ Die Komplementärmenge A _ ist definiert durch A A _ = M und A A _ = Ø. Grafisch: erstellt mit Papyrus X! 1-6

7 Differenz: M = A \ B oder A - B M ist die Menge aller Punkte, die zu A, aber nicht zu B gehören. Man schreibt: x Μ x A x B Beispiele: 1.) A = { x IR 0 x 10 }, B = { x IR 8 x 12 } A\B = { x IR 0 x < 8 } 2.) M 1 = { 1, 2, 3, 4, 5 } M 2 = { 2, 4, 6, 8, 10 } M 1 \M 2 = { 1, 3, 5 } 3.) A\ Ø = A 4.) Wenn A = B, dann A\B = Ø Mengenprodukt ( oder Kreuzprodukt ) A Β = Menge aller geordneten Paare ( a, b ) mit a A und b B symbolisch: A Β = { ( a, b ) a A b B } Beispiele: 1.) A = { a 1, a 2, a 3 }, B = { b 1, b 2 } A Β = { (a 1, b 1 ), (a 1, b 2 ), (a 2, b 1 ), (a 2, b 2 ), (a 3, b 1 ), (a 3, b 2 ) } B Α = { (b 1, a 1 ), (b 1, a 2 ), (b 1, a 3 ), (b 2, a 1 ), (b 2, a 2 ), (b 2, a 3 ) } Die Reihenfolge ist wichtig; z.b. Spielplan der Fußball-Liga, erste Mannschaft hat Heimrecht; oder Zuordnung der Werte in einem Koordinatensystem erstellt mit Papyrus X! 1-7

8 2.) M 1 = { x IR 0 x 3 }, M 2 = { y IR 2 y 4 } M 1 Μ 2 = { (x,y) ( x, y IR ) ( 0 x 3 ) ( 2 y 4 ) } Lösung graphisch: 3.) x,y-ebene : IR IR = IR 2 Das Kreuzprodukt der reellen Zahlen stellt die gesamte x,y-ebene lückenlos dar. erstellt mit Papyrus X! 1-8

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