Tag 3. Zweidimensionale Spielewelten

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1 Tag 3 Zweidimensionale Spielewelten

2 Lernziele Grundlagen für eine 2D-Spielewelt Beschreibung von 2D-Welten durch Vektoren Zweidimensionale Welttransformationen durch Matrizen

3 Mögliche Problemstellungen Echtzeit Simulation der Flugbahn der Erde um die Sonne Flug einer Rakete von der Erde zum Mond...

4 Beispiel: Flugbahn der Erde um die Sonne Zielsetzung: Einfachste Beschreibung des Sachverhalts Zur Berechnung benötigen wir Ein Koordinatensystem (hier: kartesische Koordinatensystem) Definition des Ursprungspunkt (0/0) des Koordinatensystems Annahme / Vereinfachung: Umlaufbahn der Erde ist kreisförmig (nicht eliptisch) und liegt auf einem Einheitskreis (r=1)

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6 Exkurs Vektoren: Ein Vektor ist Element eines Vektorraums, in der Geometrie, eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge, gleicher Richtung und Orientierung Sie beschreiben z.b. Ort und Lage, Bewegung, wirkende Kräfte innerhalb eines Systems, man unterscheidet z.b.: gebundene Vektoren (Orts-/Abstandsvektor): besitzen einen festen Ursprung, (Pfeil vom Ursprung zur akt. Position (Ort) der Erde) Einheits-/normierter Vektor: ein Vektor mit der Länge 1 (Pfeil vom Ursprung zur Erde) Nullvektor: ein Vektor mit der Länge 0 (Position der Sonne)

7 Notation im Buch: s steht für einen Ortsvektor (Fettdruck beachten) v steht für einen Geschwindigkeitsvektor (Fettdruck beachten) Schreibweisen: Wichtig: DirectX arbeitet mit Zeilenvektoren! Ein Vektor enthält immer soviele Werte wie Dimensionen im Koordinatensystem vorhanden sind

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9 Addition und Subtraktion von Vektoren

10 Skalarprodukte (Punktprodukte) oder inneres Produkt zweier Vektoren, so genannt da das Ergebnis ein Skalar (Zahl) ist Allgemein: Skalarprodukt eines Vektors, bei Multiplikation mit sich selbst Skalarprodukt zweier Vektoren, a und b in allgemeiner Form

11 (0,1) und (1,0): zwei senkrechte Vektoren (2,0) und (3,0): zwei parallele Vektoren die in die selbe Richtung zeigen

12 (-2,0) und (3,0): zwei antiparallele (in entgegengesetzte Richtung zeigende) Vektoren Daraus folgt: Die Berechnung des Skalarprodukts ist somit anhand der Multiplikation der Beträge beider Vektoren unter Berücksichtigung eines Faktors, der sich aus dem Winkel zwischen beiden Vektoren ergibt möglich. Faktor = 1, wenn Winkel 0 zwischen den Vektoren beträgt Faktor = 0, wenn Winkel Faktor = -1, wenn Winkel

13 Gesucht ist eine Funktion die diesen Faktor widerspiegelt Die Kosinusfunktion erfüllt oben genannte Bedingung für den Faktor, daraus folgt:

14 Betrag und Norm eines Vektors Durch Berechnung der Quadratwurzel des Skalarpodukts des Vektors mit sich selbst erhält man den Betrag Mit Hilfe des Betrags kann der Vektor normiert also in einen Einheitsvektor verwandelt werden. Dazu werden alle Elemente des Vektors durch den Betrag geteilt

15 Gegeben: Beschreibung des Systems (Koordinatensystem, Vektoren etc.) Problem: Berechnung der Bahn / Position der Erde zur Simulation Überlegung: Aufgrund der Kreisbewegung sind die Ortsvektoren konstant s = konst Letzter Ausdruck ist die Kreisgleichung, wobei s = Radius des Kreises

16 Durch umstellen, lassen sich nun alle Punkte für die Position der Erde berechnen Nachteil: Lösung viel zu kompliziert, y-wert erhält man durch Einsetzen der jeweiligen x-werte unter Berücksichtigung des Betrags des Ortsvektors 150 Millionen Kilometer = ca. 1 astronomische Einheit (au)

17 Beobachtung: Eigentlich ändert sich nur der Drehwinkel zwischen dem Ortsvektor und der x-achse, die Länge des Ortsvektors bleibt konstant

18 Daher: Beschreibung der Position der Erde als Funktion ihres Drehwinkels

19 Grad- und Bogenmaß

20 Bestimmung Einheits-Ortsvektor

21 Ebene Polarkoordinaten und Ihre Transformation in kartesische Koordinaten

22 Problem: Darstellung der Bewegungsrichtung der Erde Annahme: Vereinfachung des Systems, solange das Ergebnis stimmt, Berechnung aller nicht relevanten Einflüsse wird außen vorgelassen. Lösung: Darstellung durch einen Pfeil (Geschwindigkeitsvektor), die Pfeillänge kennzeichnet dabei den Geschwindigkeitsbetrag. Damit die Erde auf der Bahn bleibt muss sich die Geschwindigkeitsrichtung permanent ändern

23 Ortsvektor als Funktion der Zeit Fazit: Nun sind wir in der Lage alle Bewegungen der Erde zu simulieren, ohne die Kräfte die dafür in der Realität notwendig sind zu berücksichtigen.

24 Problem: Welche Kräfte wirken auf die Erde und halten Sie auf der Bahn um die Sonne? Darstellung mit Hilfe von Beschleunigungs- und Kraftvektoren

25 Beispiel: Kettenkarussell, was passiert wenn die Kette reißt? Welche Kräfte wirken? FZP = Zentripetalkraft: zeigt Richtung Karussellmitte (Kraft der Kette, hält den Sitz in der Bahn) FZF = Zentrifugalkraft: die Kraft die den Sitz wegdrückt wenn die Kette reisst Addiert man beide Kräfte heben sich die Kräfte gegenseitig auf und man erhält einen Nullvektor.

26 Allgemeine Definition von Kraft: F = m * a Kraft = Masse mal Beschleunigung Krafgesetzt (für die Gravitation): rn = Einrichtungsvektor, gibt die Richtung der Kraft an G = Gravitationskonstante Wichtig: Bei dieser Notation wird kein Unterschied zwischen Spalten und Zeilenvektoren gemacht

27 SI-Einheiten, internationale Norm für die Darstellung der Kraft

28 Beispiel: Aufbruch ins All, Simulation eines Raumfluges Wir bauen ein Raumschiff... Möglichkeiten zur Darstellung eines Objektes (in diesem Fall Raumschiff): Bitmapgrafik Drahtgittermodell (später mit Textur)

29 Drahtgittermodell durch Zeichnung der Vertices (Eckpunkte) Wichtig: Das gezeigte Koordinatensystem ist ausschliesslich gültig für das Objekt selbst

30 Skalierung von Objekten (scalex, scaley)

31

32 Transformation und Translation Triebwerke starten - die Translationsbewegung erster Schritt: Transformation des Modells in das Weltkoordinatensystem Durch Addition des Ortsvektors s des Schiffes im Weltkoordinatensystem zu den Schiff-Vertices

33

34 Bewegung des Schiffes entspricht somit der Änderung des Ortsvektors mit der Zeit Betrachtung: Ortsvektor zu den Zeitpunkten t und t+δt In der Zeitdauer Δt, legt das Schiff die Strecke Δs zurück (Verschiebungsvektor)

35 Wie wird nun die Translation (Verschiebung) berechnet?

36 Rotation oder Steuermann, das Schiff auf Kurs bringen Problem: Wie richte ich die Vertices des Raumschiffs richtig aus?

37 Rotation / Drehung um die z-achse

38 Herleitung der Rotationsformel Betrachtung von Spezialfällen: Fall 1 und 2: 90 Drehung führt zu Vertauschen des x und y Wertes

39 Ansatz: Bestimmen der Koeffizienten a,b,c,d führt zur Formel für die Rotation um die z-achse

40 Gegeben: Koordinatensystem, Möglichkeit zur Bestimmung der Positionen, Transformation, Translation und Rotation von Objekten. Problem: Komplexe Schreibweise, vergleichsweise aufwendige Berechnungen für Rotation etc. da diese Schrittweise erfolgt Lösung: Einsatz von Matrizen (tabellarische Schreibweise) Rotationsgleichung zuvor: Matrizenschreibweise:

41 Matrizenmultiplikation Nichts neues, denn es ist derselbe Fall wie die Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren Ein Vektor ist nichts anderes als eine einzeilige / einspaltige Matrix

42 Nicht erlaubt, die Dimensionen stimmen nicht überein. möglich, die Dimensionen stimmen überein.

43 Einheitsmatrix Multiplikation eines Vektors / Matrix mit der Einheitsmatrix liefert als Ergebnis immer den Vektor / Matrix

44 Nullmatrix, die Multiplikation mit einer Nullmatrix liefert immer den Nullvektor oder die Nullmatrix Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation mit einem Skalar

45 Skalierungsmatrix Beispiel: Multiplikation der Einheitsmatrix und des zugehörigen Vektors mit dem Faktor 4

46 Matrix für Skalierung und Drehung, in einem Schritt Kombination der Matrix für Drehung der z-achse des Vektors und der Matrix zur Skalierung des Vektors Ergebnis:

47 Translationsmatrix (Verschiebungsmatrix)

48 Skalierung, Drehung und Verschiebung: Theorie: Erweiterung der bisherigen Gleichung für Skalierung und Verschiebung um eine weitere Dimension und anschliessende Multiplikation mit der Translationsmatrix Jedoch

49 Unterschiede zwischen Spalten / Zeilenvektoren Wichtig: Die Reihenfolge der Matrizenmultiplikation bestimmt immer die Transformation des Vektors! Erstellung einer Matrix mit Vektoren in Spaltenschreibweise, lesen und abarbeiten von rechts nach links

50 DirectX berücksichtigt jedoch Zeilenschreibweise Erstellung einer Matrix mit Vektoren in Zeilenschreibweise, lesen und abarbeiten von links nach rechts es handelt sich dabei um eine transponierte Matrix, d.h. die Achsen sind gespiegelt. bei Spaltenschreibweise transponiert für Zeilenschreibweise

51 Beispiel für den Unterscheid bei Vektoren mit Zeilenschreibweise

52 Aufbau von 2D-Spielesystemen - Koordinatensysteme (Modell- und Weltkoordinatensystem) - Darstellungsformen von Objekten (Drahtgitter mit Vertices, Bitmapgrafik) - Transformation, Translation und Rotation Vektoren als Möglichkeit zur Darstellung von 2D-Spielewelten - Schreibweise von Vektoren (Spalten / Zeilenschreibweise) - Skalarprodukt eines Vektors Matrizen als Möglichkeit zur Manipulation der Spielewelt - Vereinfachung / Reduktion von Berechnungen durch Matrizen auf einen einzelnen Schritt - Bedeutung der Reihenfolge der Multiplikation von Matrizen

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