Ergänzungen zur Physik I

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1 Ergänzungen zu Physik I Inhaltsverzeichnis Ergänzungen zur Physik I U. Straumann, 22. Oktober 2013 Physik - Institut Universität Zürich Inhaltsverzeichnis 1 Relativbewegungen Relativitätsprinzip der Mechanik Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem Die Dynamik in einem bewegten Bezugssystem Beispiele und Spezialfälle für bewegte Systeme Gleichförmig bewegtes System S r Rein translatorisch beschleunigtes System S r Gleichförmig rotierendes System S r Trägheitseffekte auf der Erde Eigenschaften des Kreisels Trägheitstensor und Eulersche Kreisel-Gleichungen Der kräftefreie rotationssymmetrische Kreisel Stabilität der Drehachse für Körper ohne Rotationssymmetrie Symmetrischer Kreisel im Schwerefeld (Präzession) Rotationsenergie und Energiesatz für die allgemeine Drehung

2 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen 1 Relativbewegungen Bei der Diskussion der Newtonschen Prinzipien wurde betont, dass diese nur in einem Inertialsystem gültig sind. Nach dem 1. Newtonschen Prinzip ist das ein solches Koordinatensystem, in dem ein isolierter, also keinen Kräften unterworfener Massenpunkt sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. 1 Als Inertialsystem haben wir meist ein auf der Erdoberfläche verankertes Koordinatensystem benutzt 2. Die mit der Newtonschen Mechanik berechneten Bewegungen stimmten ausgezeichnet mit den Messungen überein. Es stellen sich dann die Fragen: Wie kann man verschiedene Inertialsysteme unterscheiden? Wie lauten die Bewegungsgleichungen in Nicht-Inertialsystemen? Insbesondere die Beantwortung der zweiten Frage ist von grosser praktischer Bedeutung, da wir sehen werden, dass Rechnungen oft vereinfacht werden können, wenn man sie in einem beschleunigten Nicht-Inertialsystem ausführt. 1.1 Relativitätsprinzip der Mechanik Ein Koordinatensystem können wir uns immer durch Vektoren in einem starren Körper realisiert denken. In einem solchen Körper bleiben per definitionem die Abstände beliebiger Punktepaare konstant. Wir betrachten zwei Systeme dieser Art, das S-System (z.b. Laborsystem) mit den xyz-achsen und das relative S r -System mit den x r y r z r -Achsen (Abb. Seite 3). Der Ort eines Massenpunktes m wird durch die Ortsvektoren r und r r festgelegt. Dann gilt r = r + r r. (1) Wir setzen voraus, dass in beiden Systemen die klassische, nicht-relativistische Mechanik gilt, d.h. alle Geschwindigkeiten sind klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit (v c). Dann gelten bis zu einer hohen Genauigkeit die klassischen Vorstellungen von Raum, Zeit und Masse: a) In beiden Systemen werden die gleichen Massstäbe zur Längenmessung verwendet. Das impliziert, dass die Standard-Massstäbe von S und S r verglichen werden können. b) Beide Systeme benutzen die gleiche Zeit. Wenn in S eine Zeit t zwischen zwei Ereignissen beobachtet wird, so wird in S r das gleiche Intevall t r = t gemesen. c) Der Massenpunkt hat in beiden Systemen die gleiche Masse. In der Relativitätstheorie sind diese drei Annahmen nicht mehr haltbar, sobald die Geschwindigkeiten der Grösse nach mit c vergleichbar werden. Wir wollen nun annehmen, durch Versuche habe sich erwiesen, dass S ein Inertialsystem sei. Dann lässt sich sofort zeigen, dass auch S r ein Inertialsystem ist, falls es sich gleichförmig geradlinig gegenüber S bewegt, d.h. wenn gilt d r = v = konst. (2) 1 Vgl. Halliday, Kap und dabei die Rotation der Erde als kleinen Effekt vernachlässigt. Ein Labor auf der Erde ist bei genauer Messung jedoch ein beschleunigtes Nicht-Inertialsystem mit den entsprechenden Schein- oder Trägheitskräften. 2

3 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen Denn zweimalige Differenziation von Gl.(1) liefert d r = v = d r + d r r = v + v r und d 2 r 2 = a = d2 r r 2 = a r. Aus a = a r folgt aber, dass die Kräfte F = m a und F r = m a r in beiden Systemen die gleichen sind; demzufolge gilt auch in S r die Newtonsche Mechanik, S r ist auch ein Inertialsystem. Alle Koordinatensysteme, die sich gleichförmig geradlinig gegenüber einem Inertialsystem bewegen, sind also ebenfalls Inertialsysteme. Sie lassen sich nicht unterscheiden, und es ist daher unmöglich festzustellen, ob eines dieser Systeme absolut in Ruhe ist. Dies ist das Relativitätsprinzip der Mechanik. Wenn Gl. (2) gilt, so lässt sich Gl. (1) auch in der Form der Galilei-Transformation r = r r + v t (3) schreiben. Wenn diese Transformationsgleichung zwischen den Systemen S und S r gültig ist, gilt das Relativitätsprinzip der Mechanik, das man auch in folgenden Worten formulieren kann: Es ist einem Beobachter unmöglich, mit Hilfe von mechanischen Experimenten herauszufinden, ob sein Bezugssystem in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung ist. Mittels anderer Wechselwirkungen wie z.b. elektrodynamischen oder optischen Versuchen ist eine solche Unterscheidung ebensowenig möglich. 1.2 Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem Wir behandeln jetzt eine beliebige Bewegung (auch Rotationen und damit beschleunigte Systeme) des Systems S r gegenüber dem Inertialsystem S (im Folgenden Ruhe- oder Laborsystem genannt. Ein ausgedehnter Körper mit einer allgemeinen Bewegung hat sechs Freiheitsgrade, 3 der Translation und 3 der Rotation. Es gelte wie oben die klassische Mechanik. Das bewegte Bezugssystem sei ein starrer Raum S r (x r, y r, z r ) (Fahrzeug), der vom ruhenden System S(x, y, z) aus beschrieben wird mit r, v (Ortsvektor und Geschwindigkeit des Ursprungs von S r ) und ω (Winkelgeschwindigkeit von S r um eine Achse durch den Ursprung von S r ). Im relativen System S r (x r, y r, z r ) wird eine Masse m mit r r, v r und a r gekennzeichnet. Im ruhenden System beschreiben r, v und a die Masse m. Für eine reine Translation von S r gilt: v = v. Für eine reine Rotation von S r gilt für einen Massenpunkt: v = ω r r. z r ω z m S r r r r y r x r r S y x Der Koordinatenursprung von S r liegt auf der Drehachse. Die Winkelgeschwindigkeit ist (im Gegensatz zum Drehimpuls L und dem Drehmoment τ ) unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes. 3

4 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen Beweis: P und Ṕ seien zwei beliebige Bezugspunkte mit relativem Verbindungsvektor s. Die Führungsgeschwindigkeit des Fahrzeuges ist z r m ω S r r r r s Ṕ P x r v F = v + ω r r bzw. v F = v + ω r r ; weiter ist v = v + ω s; rr = r r s v F = v + ω r r = v + ω s+ ω r r ω s ( ω ω) r r = ( ω ω) s. Diese Vektorgleichung kann nur dann für alle r r erfüllt werden, wenn ω = ω gilt, qed. Für eine allgemeine Bewegung des Fahrzeuges ist die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes beschrieben durch die Addition 3 der beiden oben angegebenen Terme für reine Translation bzw. Rotation: v F = v + ω r r. Mit der absoluten Zeit 4 t = t r und unter Beachtung der Tatsache, dass infolge der Drehung d r r r d r r ist 5, gilt in den beiden Systemen für den Ortsvektor, die Geschwindigkeit und den Beschleunigungsvektor eines Punktes: S(x, y, z) S r (x r, y r, z r ) Relativbewegung Ort: r(t) = r + r r r r (t r ) = r r (t) Geschwindigkeit: Beschleuigung: v = d r a = d v = d2 r 2 v r = d r r r r a r = d r v r = d r r r = d2 r r r 2 Spezialfall: nur Führungsgeschwindigkeit m mit Fahrzeug verbunden v F = v + ω r r a F = d v F vr=0 r r = konst v r = a r = 0 Gefragt wird nun nach der Beziehung zwischen den beiden Systemen. Für den allgemeinen Fall mit der Masse m und v r 0 setzt sich die Geschwindigkeit aus der Führungsgeschwindigkeit des Fahrzeugs v F und der vom Fahrzeug aus gesehenen Geschwindigkeit v r zusammen: v = v F + v r = v + ω r r + v r = v + ω r r + d r r r (4) Andererseits kann diese gesamte Geschwindigkeit v auch durch Ableiten des gesamten Ortsvek- 3 Beachte, dass v F, v und ω r r alle drei normale polare Vektoren sind, die addiert werden können. Axiale Vektoren wie ω können nicht so einfach addiert werden. 4 Dies gilt nur für v c; sonst muss die Relativitätstheorie bemüht werden. 5 d r r differenziert im ruhenden und dr rr im bewegten System. Wegen der relativen Bewegung und der Drehung können diese beiden Ableitungen nicht identisch sein wir müssen eine Beziehung zwischen beiden suchen. 4

5 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen tors im System S berechent werden: v = d ( r + r r ) = v + d r r (5) Die beiden Gleichungen sind gleich, die Beziehung für die Transformation der Ableitung vom System S in das System S r lautet also d r r = d r r r + ω r r (6) Dies gilt nicht nur für r r sondern auch für jeden beliebigen Vektor A da = d ra + ω A (7) Für die Beschleunigungen gilt: Absolutbeschleunigung: a = d v = d2 r Relativbeschleunigung: Führungsbeschleunigung: a r = dr vr a F = d v F = d2 r rr 2 dr rr = vr=0 Mit den Gleichungen (4) und (7) kann ein Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen gefunden werden: Es ist d ω = d r ω + ω ω }{{} =0 = d r ω und Wende den Operator d von Gl.(7) auf d r r r a = d v = d v + d ( ω r r) + d an: d ( ) dr r r = d r a = d v + d ω r r + ω d r r + d2 r r r 2 + ω d r r r, ( ) dr r r. ( ) dr r r + ω d r r r mit Gl.(7) für A = r r wird a = d v + d ω r r + ω d r r r + ω ( ω r r ) + d2 r r r 2 + ω d r r r a = d v + d ω r r + ω ( ω r r ) + 2 ω d r r r + d2 r r r }{{}}{{ }}{{} 2 a F a C a r a = + + Wir können also zusammenfassen: a = a F + a r + 2 ω v r = a F + a r + a C (9) (8) 5

6 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen Die verschiedenen Beschleunigungsterme bezeichnen wir wie folgt: a F = a T + a Z + a ω Fuehrungsbeschleunigung (10) a T = d v Beschleunigung des Ursprungs von S r (11) a Z = ω ( ω r r ) Zentrifugal Beschleunigung (12) a ω = d ω r r Beschleunigung aufgrund Aenderung von ω (13) a C = 2 ω v r Coriolisbeschleunigung (14) a r = d2 r r r 2 Relativbeschleunigung, gemessen in S r (15) Eine Coriolisbeschleunigung a C tritt nur dann auf, wenn das bewegte System eine Drehung ω ausführt und der Massenpunkt eine Relativgeschwindigkeit v r 0 hat (und v r nicht parallel zu ω liegt). 1.3 Die Dynamik in einem bewegten Bezugssystem Das Aktionsprinzip der Bewegung eines Körpers mit Masse m im System S ist m a = n F i = F i=1 mit F gleich den resultierenden äusseren Kräften. Dann gilt auch (mit Gl.(9)): m a = m( a r + a F + a C ) = F. Ein in S r mitbewegter Beobachter registriert nur die Relativbeschleunigung a r und findet deshalb für das Aktionsprinzip m a r = F m a F m a C bzw. (mit m a F =: Z sowie m a C = 2 m( ω v r ) = 2 m( v r ω) =: C) m a r = F + Z + C (Aktionsprinzip im bewegten System). (16) Z (die Führungskraft, in der die Zentrifugalkraft m ω ( ω r r ) enthalten ist) und C (die Corioliskraft) haben die Dimension einer Kraft; sie sind jedoch in S keine wahrhaft existierenden Kräfte, sondern Schein- oder Trägheitskräfte, die ein bewegter Beobachter als Korrektur in die Newtonsche Bewegungsgleichung einführen muss, wenn er dort an Stelle der Beschleunigung a die Relativbeschleunigung a r einsetzt. Sie haben keine Reaktionskräfte. Obwohl sie nur Scheinoder Trägheitskräfte sind, existieren sie als reale Kraft im bewegten System S r. Ein beschleunigtes Bezugssystem ist kein in sich abgeschlossenes Inertialsystem, es müssen von aussen Kräfte wirken, um das System mit Massen zu beschleunigen. 6

7 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen 1.4 Beispiele und Spezialfälle für bewegte Systeme Gleichförmig bewegtes System S r Es ist v F = v = konst, folglich a F = a C = 0 und somit a r = a. Dann ist auch S r ein Inertialsystem, wie wir schon in Abschnitt 1 diskutiert haben Rein translatorisch beschleunigtes System S r In einem rein translatorisch beschleunigten Bezugssystem gilt ω = 0, C = 0 und damit m a r = F + Z = F m a F. Mit v F = v (t) folgt a F = d v = a. Damit spürt z.b. der Insasse eines mit a beschleunigten Fahrzeuges die Kraft m a r = F m a. Wenn die auf ihn wirkende Kraft F = 0 ist, erfährt er die beschleunigende Trägheitskraft m a r = m a. S und S r sind nicht mehr äquivalent, in den beiden Systemen werden unterschiedliche Beschleunigungen gemessen. Beispiel: Mathematisches Pendel auf einer vertikal beschleunigten Plattform z a ϕ l F G Z x Es ist Z = m a = ma k und damit die Bewegungsgleichung für die Tangentialkomponente ml d2 rϕ 2 = (mg + ma ) sin ϕ. Für kleine Ausschläge ist sin ϕ ϕ, also d 2 rϕ 2 + ( g + a l ) ϕ = 0. Mit dem Ansatz g + a ϕ(t) = ϕ cos(ωt δ) ist Ω = die Kreisfrequenz des Pendels. l Fällt die Plattform frei, so ist g = a, also Ω = 0, d.h. die Schwingungsdauer T = 2π Ω unendlich. Der freie Fall merkt keine Gravitationskraft. ist Gleichförmig rotierendes System S r Die translatorische Bewegung verschwindet v = 0. w ist konstant. Wir behandeln zwei Experimente auf dem Drehtisch. a) Ein Massenpunkt m sei auf einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω sich drehenden, horizontalen Unterlage durch eine Feder mit der Drehachse verbunden. m sei relativ zur Unterlage in Ruhe. Es herrscht scheinbares Gleichgewicht. Im ruhenden System beschreibt m eine Kreisbahn. Die wahren Kräfte sind, wenn keine Reibungen vorhanden sind, 7

8 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen G = N und F F = m v2 ω r = mr rω 2. Ein mitbewegter Beobachter muss eine Scheinkraft einzuführen, um sich die relative Ruhe erklären zu können. Es r r N ist Z v F = ω r r, v r = 0, also C = 0 F F G sowie v = 0 und d ω = 0. Damit ergibt sich die Führungskraft aus Gl.(10) zu Z = m a F = m[ ω ( ω r r )], der Zentrifugalkraft 6. Ihr Betrag ist gerade Z = mr r ω 2 (da ω r r steht). Z und F F erfüllen also die Gleichgewichtsbedingung im beschleunigten Relativsystem. b) Vom Ursprung des ruhenden Systems S aus bewegt sich eine Masse m mit konstanter Geschwindigkeit v, es wirken keine äusseren Kräfte. Der Beobachter in S r sieht eine spiralförmig nach aussen bewegte Masse, für welche die Geschwindigkeit direkt angegeben werden kann; in Polarkoordinaten hat sie die Komponenten v rr = drrr = v und d v rϕ = r rϕ r r = ωr r. Nach einer einfachen Integration erhält man hieraus auch die Ortskoordinaten r r = v t und ϕ r = ωt. Gemäss Gl.(16) gilt für den Beobachter das Aktionsprinzip m a r = Z + C = m a F m a C = m ω ( ω r r ) 2m ω v r, d.h. er beobachtet eine Zentrifugalkraft und eine Corioliskraft. Letztere sucht die Richtung der Geschwindigkeit dauernd zu ändern ohne den Betrag zu beeinflussen, wie dies auf der Erde bei den Monsunen, Passatwinden und dem Golfstrom ebenfalls beobachtet wird. Versucht der Beobachter in S r die Masse festzuhalten, so muss er eine Reaktionskraft zu Z + C aufbringen. 6 Zur Zentrifugalkraft: vgl. Formel (6-35) im Halliday, Kap

9 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen 1.5 Trägheitseffekte auf der Erde In den vorausgegangenen Beispielen spielte der Hörsaal und damit die Erde die Rolle des ruhenden Systems. Diese Wahl führte zu keinen Widersprüchen mit der Erfahrung, obwohl die Erde ein bewegtes Bezugssystem ist. Der Grund liegt darin, dass auf der Erde Z und C viel kleiner als mg sind. Es können aber terrestrische Versuche ausgeführt werden, die eindeutig die Trägheitseffekte als Folge des Bewegungszustandes der Erde zeigen. Ein Beispiel: Nachweis der Erdrotation mit dem Foucaultpendel N ω S m β ω Ein schwingendes Pendel behält infolge der Trägheit seine Schwingungsebene im Raum bei. Dieses eigentümliche Verhalten offenbart sich beim Foucault-Versuch 7 (1850/51 in Paris). Ein Ort auf der Erde mit der geographischen Breite β rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω sin β um eine zur Erdoberfläche senkrechte Achse; mit dieser Winkelgeschwindigkeit dreht sich die Erde unter dem schwingenden Pendel hinweg. Die effektive Umlaufszeit der Horizontalebene relativ zur Schwingungsebene des Pendels in der geographischen Breite β ist T = 2π/ω sin β mit ω = 2π/24 Stunden. Zur Berechnung wurde hier ω bei der geographischen Breite β in die Komponenten senkrecht (ω ) und parallel (ω ) zur Erdoberfläche zerlegt. 8 Die Pendelebene bleibt bei der Drehung im Raum S erhalten, es gilt die Drehimpulserhaltung und die Drehung ist direkt durch ω gegeben. Es gilt für die Corioliskraft C = 2m( v r ω) = 2m( v r ω + v r ω ), wobei nur der erste Term zu einer Auslenkung führt. Für Zürich mit β 47 ist T = 34h, am Pol erhalten wir T = 24h und am Äquator T =. Die Corioliskraft ist auch die Ursache dafür, dass Hochdruckgebiete auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn rotieren, Tiefdruckgebiete in Gegenrichtung. Bei einem Tiefdruckgebiet strömt die Luft aufgrund des Druckgefälles nach innen. Diese Strömung wird auf der Nordhalbkugel durch die Corioliskraft nach rechts abgelenkt und es ergibt sich eine gegen den Uhrzeigersinn gerichtete Rotation. 7 Für eine ausführlichere Darlegung siehe Halliday, Kap Dies ist nur deshalb möglich, weil es sich bei ω um einen axialen Vektor handelt. 9

10 Ergänzungen zu Physik I 1 Relativbewegungen Schematische Darstellung der athmosph rischen Zirkulation. Temperaturunterschiede führen zu Fall- und Steigströmungen (rechts dargestellt), die wiederum Hoch- und Tiefdruckgebiete erzeugen. Die Corioliskraft bewirkt, dass rotierende Wirbel entstehen. Tiefdruckwirbel können durch bei der Kondensation der aufsteigenden Luftfeuchtigkeit freiwerdender Energie weiter angetrieben werden, sodass Wirbelstürme entstehen. Referenz: zirkulation/atmosphärische zirkulation.htm 10

11 2 Eigenschaften des Kreisels 2.1 Trägheitstensor und Eulersche Kreisel-Gleichungen Auf Grund der formalen Ähnlichkeit von Impuls- und Drehimpulssatz, also von d p = F und d L = τ, könnte man vermuten, dass der Beziehung p = m v ein ähnlicher Zusammenhang zwischen L und ω bei der Rotation entspricht. Das ist aber im allgemeinen nicht der Fall. Die Beziehung L z = I ω gilt nur für ebene Bewegungen. 9 Wird ein Punkt eines starren Körpers festgehalten, dann nennt man die Bewegung um eine Kreiselung. Sie besitzt drei Rotationsfreiheitsgrade, die jedoch wesentlich komplizierter sind als drei reine Translationsfreiheitsgrade. Die Schwierigkeiten mehrerer Rotationsfreiheitsgrade haben folgende Gründe: 1. Es gibt keine Koordinaten, deren Ableitungen direkt Geschwindigkeiten darstellen, wie bei den Translationen. Drehungen sind Pseudovektoren (axiale Vektoren), deren Reihenfolge nicht wie bei polaren Vektoren vertauscht werden kann. 2. Die Trägheitsmomente hängen von der Achsenwahl ab. Ändert die Achse mit der Zeit die Richtung, so wird I = I(t), während in Analogie für Translationen die Masse m konstant ist. 3. Für Drehungen gilt im allgemeinen L I ω, da L im allgemeinen nicht die Richtung von ω hat. Das Trägheitsmoment muss daher durch einen Tensor 10 I dargestellt werden, so dass gilt L = I ω. Im Folgenden wird der Trägheitstensor rein buchhalterisch als Matrix eingeführt 11, wobei die Rechenregeln in der Matrizendarstellung zwanglos einsichtig sind. Ein Beispiel für die Aussage L I ω ist die Hantel, deren Mitte mit einer vertikalen Achse verbunden ist, die mit ω rotiert, und die nicht einer Symmetrieachse entspricht. r 2 p 2 m L o dl o α. ω dϕ m r 1 =r p 1 =p Die Hantel ist um den Winkel α gegen diese Drehachse geneigt. Der Drehimpuls L der Hantel bezüglich ist L = r 1 p 1 + r 2 p 2, was sich wegen r 2 = r 1 =: r und p 2 = p 1 =: p auch als L = 2( r p) = 2m( r v) schreiben lässt. L dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kegelmantel um ω mit dl / = L sin α dϕ/ = ω L ; L und ω stehen also nicht parallel zueinander. Diese Bewegung ist nur möglich mit einem äusseren (z.b. durch Lagerkräfte aufgebrachten) Drehmoment τ := d L = ω L ; ohne Lagerkräfte dreht die Hantel, bis L ω steht und τ = 0 wird. 9 Der Kringel im Index steht jeweils um anzugeben, dass die entsprechenden Grössen bezüglich eines raumfesten Bezugspunktes betrachtet werden. 10 Tensoren sind physikalische Objekte, die durch ihr Transfomationsverhalten definiert sind. Beispielsweise sind Skalare Tensoren 0. Stufe; Vektoren sind Tensoren 1. Stufe. Tensoren 2. Stufe wie das Trägheitsmoment können im einmal gewählten Koordinatensystem durch eine n n Matrix dargestellt werden. 11 Eine eingehendere Einführung findet sich in den mathematischen Hilfsmitteln zur Physik I. 11

12 Wir wollen nun einen allgemeinen Zusammenhang zwischen L und ω finden und dann mit Hilfe des Drehimpulssatzes Bewegungsgleichungen, die Eulerschen Kreiselgleichungen, aufstellen, die für die Kreiselbewegung gelten, d.h. für Bewegungen eines starren Körpers, von dem ein Punkt fest gehalten wird. Wenn bei einer Kreiselung ein Punkt des Körpers im Raume fest bleibt, dann kann dieser Punkt als raum- ( r i ) und körperfester ( r i ) Ursprung gewählt werden. Es ist dann r i = r i und die Zeitabhängigkeit steckt im raumfesten System in den Komponenten von r i und im körperfesten System in den Basisvektoren i, j, k von r i. Es gilt nach der Definition des Drehimpulses für einen Massenpunkt l i = m i r i ( ω r i ) und damit für n Massenpunkte L = n l i = i=1 n m i r i ( ω r i ) = i=1 n m i [ri 2 ω ( r i ω) r i ] (17) i=1 wobei im letzten Schritt wird die Vektoridentität verwendet wurde. a ( b c) = ( a c) b ( a b) c (18) Für einen ausgedehnten Körper ergibt sich L = r v dm = r ( ω r) dm = [r 2 ω ( r ω) r ] dm = [r 2 ω (xω x +yω y +zω z ) r ] dm. (19) Dabei hängt ω in der Summe nicht von i und im Integral nicht von der Massenverteilung ab. Es besteht jetzt das mathematische Problem, wie man ω aus der Summe herausziehen resp. vor das Integral stellen kann, um so die Beziehung L = I ω aufstellen und den Trägheitstensor I bestimmen zu können. Dazu berechnet man die drei Komponenten des Drehimpulses 12 L x = ω x (y 2 + z 2 ) dm ω y yx dm ω z zx dm } {{ } I xx L y = ω y (x 2 + z 2 ) dm ω x } {{ } I yy L z = ω z (x 2 + y 2 ) dm ω x } {{ } I zz } {{ } C yx xy dm ω z } {{ } C xy xz dm ω y } {{ } C xz } {{ } C zx yz dm } {{ } C yz yz dm } {{ } C yz Die Trägheitsmomente I in den obigen Gleichungen sind in Analogie zum Trägheitsmoment der ebenen Bewegung definiert. Die übrigen, nichtdiagonalen Terme C werden als Deviationsmomente bezeichnet. Für alle drei Komponenten erhält man so in einer buchhalterischen Anordnung Natürlich erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man in Gl.(19) direkt das dreifache Vektorprodukt ausrechnet. 13 Überprüfe mittels Matrix-Vektor-Multiplikation ( Multipliziere die einzelnen Zeilen-Terme der Matrix mit den Spalten-Termen des Vektors ). 12

13 L x =I xx ω x C xy ω y C xz ω z L y =I yy ω y C yz ω z C yx ω x L =: I ω = L z =I zz ω z C zx ω x C zy ω y +I xx C xy C xz C yx +I yy C yz C zx C zy +I zz ω x ω y ω z, (20) d.h. man kann den Trägheitstensor I als (3 3)-Matrix auffassen. In ausgeschriebener Form lautet er: I = (y 2 + z 2 ) dm xy dm xz dm yx dm (x 2 + z 2 ) dm yz dm zx dm zy dm (x 2 + y 2 ) dm. (21) Jede Komponente des Drehimpulses ist eine lineare Funktion von allen Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ω. Der Trägheitstensor I ist reell und symmetrisch (C ij = C ji ), und lässt sich daher 14 bezüglich eines geeigneten Koordinatensystems Ś in Diagonalform darstellen. Die Deviationsmomente C ij verschwinden somit allesamt, übrig bleiben nur noch die Trägheitsmomente I ii der zum Hauptachsensystem Ś gehörigen Hauptachsen. Die Einheitsvektoren entlang dieser Hauptachsen bezeichnen wir mit e 1, e 2, e 3. Wir haben also (mit den Abkürzungen: I xx =: I 1, I yy =: I 2, I zz =: I 3 ) für ein Hauptachsensystem: I Í = 0 I 2 0 und damit L = I 1 ω 1 e 1 + I 2 ω 2 e 2 + I 3 ω 3 e 3. (22) 0 0 I 3 Oft fallen die Hauptachsen mit den (Dreh-)Symmetrieachsen eines Körpers zusammen (Bsp.: ein Quader und die Achsen des Kartesischen Koordinatensystems). L ist auch im Hauptachsensystem nicht parallel zu ω, da (ausser für eine homogene Kugel) I 1 I 2 I 3 ist. Beispiel: Als einfaches Beispiel sei der Trägheitstensor eines zweiatomigen Moleküls (H 2, N 2, O 2 ) im körperfesten Hauptachsensystem berechnet: 2 i=1 i=2 d d 1 3 r 11 = d, r 12 = 0, r 13 = 0, r 2 i = r2 i1 + r2 i2 + r2 i3 r 21 = +d, r 22 = 0, r 23 = 0, mi (ri 2 r i1r i1 ) m i r i1 r i2 m i r i1 r i3 I = m i r i2 r i1 mi (ri 2 r i2r i2 ) mi ri 2r3 i m i r i3 r i1 m i r i3 r i2 mi (ri 2 r i3r i3 ) I = 2m 0 d 2 0 und I 1 = 0, I 2 = 2md 2, I 3 = 2md d 2 14 wie in der Linearen Algebra noch gezeigt werden wird 13

14 Bildet man mit Gl.(20), die für ein raumfestes Koordinatensystem hergeleitet wurde, die Bewegungsgleichung (Drallsatz) τ = d L, dann sind die Komponenten des Trägheitstensors zeitabhängig I = I(t) und der Drehimpuls L wird kompliziert es treten jedoch im raumfesten System keine Scheinkräfte auf. Im körperfesten und damit bewegten Hauptachsen-System ist der Trägheitstensor diagonal und der Drehimpuls ist einfach entsprechend Gl.(22); dafür müssen im rotierenden System Scheinkräfte eingeführt werden. (Das Hauptachsensystem dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω gegenüber dem raumfesten System.) Es war die Idee von Euler 15, die Vorteile beider Systeme zu kombinieren und die Nachteile zu unterdrücken. Wir befinden uns also im körperfesten, rotierenden System, und nehmen die Hauptachsen, in dem der Trägheitstensor diagonal ist, als Bezugssytem. Das ist die entscheidende Annahme für die Eulergleichungen. Damit müssen wir in diesem beschleunigten Bezugssystem Zentrifugalkräfte Z als Scheinkräfte einführen. Wir lassen im folgenden die Striche bei den Koordinaten weg, r, v und L sowie die Ableitung d sind also im rotierenden System gemeint. Mit der bei gemäss Gleichung (16) definierten Zentrifugalkraft wird Z = m( ω ( ω r)) (23) Diese Scheinkraft erzeugt ein zusätzliches (scheinbares) Drehmoment τ Z wofür wir nach einsetzen von Z, unter Verwendung der Identität (18) erhalten: τ Z = r Z = ω L (24) wobei auch verwendet wurde, dass v und r senkrecht aufeinander stehen und v = ω r. Im rotierenden System gilt also mit einem äusseren, wirklichen Drehmoment τ: oder umsortiert und eingesetzt: τ + τ Z = d L τ = d L + ω L (26) das ist der Drallsatz im körperfest rotierenden System. Man hätte diese Beziehung auch direkt durch Anwendung der Transformationsvorschrift (7) für die Ableitung des Vektors L bekommen können. Befinden wir uns ausserdem im Hauptachsensystem mit den orthonormierten Koordinaten i = 1, 2, 3 ist der Trägheitstensor diagonal und es gilt deshalb (25) L i = I i ω i (27) 15 Leonard Euler ( ), in Basel geboren, der Vater war Pastor in Riehen, studierte in Basel Theologie und dann Mathematik und Physik. Er war ein Anhänger der Wellentheorie des Lichtes, sein klassisches Werk populärer Wissenschaft: Lettres à une Princesse d Allemagne. 14

15 was wir koordinatenweise in den Drallsatz (26) einsetzen. Damit sind wir bei den gesuchten Eulerschen Gleichungen angelangt: τ 1 = I 1 dω 1 (I 2 I 3 )ω 2 ω 3 τ 2 = I 2 dω 2 (I 3 I 1 )ω 3 ω 1 τ 3 = I 3 dω 3 (I 1 I 2 )ω 1 ω 2 die Eulerschen Gleichungen im körperfesten Hauptachsensystem [123] (28) Mit diesem Rüstzeug kehren wir zum Kreisel zurück. 2.2 Der kräftefreie rotationssymmetrische Kreisel Man betrachtet einen rotationssymetrischen starren Körper mit einem Fixpunkt. Rotationssymmetrie bedeutet in unserem Formalisums, dass zwei der drei Trägheitsmomente gleich sind, z.b. I 1 = I 2. Auf einen kräftefreien Kreisel wirkt kein Drehmoment ( τ = 0). Er kann im Schwerefeld realisiert werden, indem man ihn im Schwerpunkt aufhängt (der raumfeste Punkt ist dann gleich dem Schwerpunkt S) oder eine kardanische Aufhängung wählt. 16 Bei Rotationssymmetrie ist im körpereigenen System I 1 = I 2 =: I und die 3-Achse ist die Figurenachse durch den Schwerpunkt. 3 Mit den Eulerschen Gleichungen und dl s ist = τ s = τ = 0 1 S=o 2 0 = I dω 1 (I I 3)ω 2 ω 3 1 d I 0 = I dω 2 (I 3 I)ω 3 ω 1 0 = I dω 3 3 (I I)ω 1ω 2 = I dω 3 3 ω 3 = konst. Kombiniert man wie angedeutet die beiden ersten Gleichungen, so erhält man S 3 0 = d2 ω 1 2 I I 3 dω 2 I ω 3 = ω 1 (I I 3)(I 3 I) ω 1 ω3 2 =: ω 1 + ω 1 ω 2 I I. (29) Dies ist eine Schwingungsgleichung mit der konstanten Frequenz und den Lösungen ω = (I 3 I) ω 3 (30) I ω 1 = c sin(ω t δ) (31) 16 Ein Diskus fliegt frei von Drehmomenten, da die Schwerkraft G am Schwerpunkt angreift. 15

16 . Analog ergibt sich aus der umgekehrten Kombination der beiden Gleichungen ω 2 = c cos(ω t δ). Beispiel Erde: Die Rotationsachse führt eine Nutationsbewegung aus mit einer Amplitude auf der Oberfläche der Erde von etwa 6 m. Aus der bekannten Form und unter Annahme einer konstanten Dichte erhält man eine Period von T gerechnet = 304 Tage. Der gemessene Wert beträgt T gemessen = 433 Tage. Der Unterschied kommt unter anderem dadurch zustande, dass die Erde kein starrer Körper ist, sondern einen flüssigen Kern hat und natürlich keine homogene Dichteverteilung besitzt. Zusätzlich zu dieser freien Nutation kommt noch eine erzwungene Schwingung dazu, die von den jahreszeitlichen Massenverschiebungen auf der Erdoberfläche (Schnee etc.) und von unregelmässigen Ereignissen (z.b. Erdbeben) erzeugt werden. Die effektiv gemessene Nutationsamplitude schwant deshalb zwischen 2m und 8m. 1 Figurenachse Gangpolkegel ω1 ω ω c 3 ω3 ω 2 2 Im körperfesten System ist ω ω2 2 = ω2 =: c2. ω 1 und ω 2 sind die Komponenten eines Vektors ω, der in der senkrecht zur 3-Achse stehenden Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Da ω = ω + ω 3 e 3 gilt, ist auch ω = konst. Somit muss sich ω auf einem Kegel, dem Gangpolkegel, um die Figurenachse 17 drehen. Ist ω 1 = ω 2 = 0 und damit ω = ω 3 = konst, dann bleibt der Kreisel in der Figurenachse stehen (ruhender Kreisel). Im raumfesten System ist der Drehimpuls L s = konst. Man wählt daher zweckmässig die z-achse L s = I 1 ω 1 e 1 + I 2 ω 2 e 2 + I 3 ω 3 e 3 (I hat im körperfesten Hauptachsensystem nur Diagonalelemente). Die 3-Komponente des Drehimpulses ist L s3 = I 3 ω 3 = L s cos ϑ = konst. korperfestes " System Man beobachtet folgende Bewegungen der einzelnen Axialvektoren: z Nutationskegel L s ϑ L s3 raumfestes System 3 ω dreht auf dem Gangpolkegel um die Figurenachse 3 im körperfesten Hauptachsensystem. Die Figurenachse 3 dreht unter dem konstanten Winkel ϑ um die raumfeste z-achse (Nutationskegel). Wie bewegt sich ω in Bezug auf die raumfeste z-achse? Aus der Energiebetrachtung K rot = 1 2 ω I s ω = 1 2 ω L s = 1 2 ω zl z = konst (siehe später, Gl.(36)) muss mit L z = L s = konst auch ω z = konst gelten. Damit läuft ω auf einem Kegel um die z-achse (Rastpolkegel). L s (I 3 I)ω 3 e 3 I ω Wir überzeugen uns, dass dann alle drei Vektoren L s, ω und e 3 ( ˆ= 3-Achse) in jedem Moment in einer Ebene liegen. Es ist ja L s = I(ω 1 e 1 + ω 2 e 2 ) + I 3 ω 3 e 3 = I ω + I 3 ω 3 e 3 = I( ω ω 3 e 3 ) + I 3 ω 3 e 3 = I ω + (I 3 I)ω 3 e 3. Der Summenvektor L s liegt also in der durch die Komponentenvektoren ω und e 3 aufgespannten Ebene. 17 so die Bezeichnung für die Hauptachse mit dem grössten Trägheitsmoment 16

17 Nutationskegel z Da die relative Lage der drei Vektoren sich nicht ändert, bleibt als einzig mögliche Bewegung die Drehung dieser Ebene um die raumfeste L s -Richtung übrig. Da sich aber ω schon um die Figurenachse dreht und sich beide um die L s - Achse drehen, haben wir folgendes Resultat für die Rastpolkegel L s ω 3 Gangpolkegel prolater Kreisel I 1 = I 2 > I 3 Bewegung des symmetrischen Kreisels: 18 a) ω dreht sich um L s auf dem raumfesten Rastpolkegel. 3 Nutationskegel Gangpolkegel z L s Rastpolkegel ω oblater Kreisel I 1 = I 2 < I 3 b) ω dreht sich um die Figurenachse 3 auf dem körperfesten Gangpolkegel. c) Beide Kegel rollen aufeinander ab, ω bildet die gemeinsame Mantellinie. d) Die Figurenachse dreht sich um L s auf dem raumfesten Nutationskegel. Je nach Anfangsbedingungen ist natürlich auch der Spezialfall möglich, dass die ω-drehachse und die Figurenachse mit der Richtung des raumfesten Drehimpulses zusammenfallen. 2.3 Stabilität der Drehachse für Körper ohne Rotationssymmetrie Die Stabilität eines Systems z.b. im Schwerefeld kann untersucht werden, indem man kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage untersucht und die resultierende Bewegungsgleichung näherungsweise aufstellt. Die Bewegungsgleichung ist dann vom Typ stabil indifferent labil ẍ + a 2 x 0. Mit a 2 > 0 erhält man eine Lösung x(t) cos(at); x(t) bleibt endlich, ist also stabil. Mit a 2 < 0 ist x(t) e at und x(t), die Lösung ist labil. Allgemein ist für eine kräftefreie Bewegung τ = 0 und I 1 I 2 I 3 im Hauptachsensystem. Dreht sich der Körper bei Stabilität praktisch nur um eine Hauptachse, dann ist ω 1 ω Die Figuren beschreiben einen prolaten Kreisel (I 1 = I 2 > I 3), bei dem der Rastpolkegel ausserhalb auf dem Gangpolkegel läuft, und einen oblaten Kreisel (I 1 = I 2 < I 3), bei dem der Rastpolkegel innerhalb des Gangpolkegels läuft. 17

18 und ω 3 0 und die Eulerschen Gleichungen (Gl.(28)), wenn der quadratisch kleine Term ω 1 ω 2 vernachlässigt wird, sind ω 1 I 2 I 3 ω 2 ω 3 = 0, ω 2 I 3 I 1 ω 3 ω 1 = 0, ω 3 I 1 I 2 ω 1 ω 2 = 0 ω I 1 I 2 I 3 }{{} 3 = konst. 0 Durch Differenzieren der ersten beiden Gleichungen und Einsetzen erhält man für ω 1 und ω 2 (analog zu S.15) die Schwingungsgleichungen ω 1 I 2 I 3 I 3 I 1 ω3 2 ω 1 = 0 und ω 2 I 3 I 1 I 2 I 3 ω3 2 ω 2 = 0 I 1 I }{{ 2 I } 2 I }{{ 1 } a 2 a 2 stabil für a 2 > 0 I 2 I 3 I 3 I 1 I 1 I 2 < 0, es muss dann I 3 das grösste oder das kleinste Trägheitsmoment um die Hauptachse 3 sein. instabil für a 2 < 0 I 1 < I 3 < I 2 führt ω 1 exponentiell von einer zunächst reinen Rotation um die Hauptachse 3 weg ins Torkeln. Die Hauptachsen mit dem grössten und dem kleinsten Trägheitsmoment sind stabile Drehachsen. Anschauliche Betrachtung dieser Stabilitätsbedingungen: Bei gleicher kinetischer Rotationsenergie 1 2 Iω2 entspricht die Rotation um die Hauptachse mit dem maximalen (minimalen) Trägheitsmoment dem minimalen (maximalen) ω, d.h. ω kann bei erhaltener Energie der Rotation nicht mehr in beide Richtungen verändert werden. Ein anderes Stabilitätsbeispiel ist das Problem des Lassowerfers: Das Lasso klappt beim Drehen zu einem Stab zusammen, da das Trägheitsmoment für den Stab mit der Länge l kleiner ist als für einen Kreis mit dem Umfang 2l also I Stab = 1 12 ml2 < I Kreis = 1 ml 2. Man muss deshalb π 2 beim Lassowerfen die Anfangsbedingungen besser wählen und das Lasso steifer machen. 2.4 Symmetrischer Kreisel im Schwerefeld (Präzession) z r s ω L α r s G Wir kehren zum symmetrischen Kreisel zurück. Der Kreisel sei jetzt aber nicht mehr im Schwerpunkt unterstützt, so dass das Gewicht ein Drehmoment τ = r s G ausübt und folglich L nicht mehr konstant ist. Die daraus resultierende Bewegung der Drehimpulsachse nennt man Präzession. Zur Vereinfachung nehmen wir an, die Figurenachse, Drehachse und Drehimpulsachse fallen zusammen und r s liege in der Figurenachse. Es ist also L ω r s. 18

19 Ferner sei ω 3 sehr gross. 19 Dann sind wir nicht mehr auf die Euler-Gleichungen angewiesen, sondern können den Drehimpulsatz τ = r s G = d L benützen. L dl τ dl o ω p Da τ senkrecht zu L, aber parallel zu d L steht, muss d L senkrecht auf L stehen. Dieser Sachverhalt gilt für jeden Augenblick, also muss sich die Spitze des L -Vektors auf einem Kreis bewegen, L selbst präzessiert auf einem Kegelmantel, dem Präzessionskegel, um die z-achse. L ist also ein Vektor, der im Relativsystem (Hauptachse) konstant ist und im Absolutsystem nur seine Richtung, nicht aber seinen Betrag ändert. Die Ableitung des Drehimpulses und somit das Drehmoment stehen deshalb senkrecht auf L, man kann somit schreiben (siehe auch Ergänzungsblätter Relativbewegungen, Gl.(5), S.3.): L o α τ = d L = ω p L. ω p nennt man Präzessions-Kreisfrequenz. Der Drehimpulsvektor weicht also der angreifenden Kraft G aus. d Da τ = L = rs G = r s G sin α = ω p L = ωp L sin α gilt, folgt (32) ω p = r sg L = r smg ω 3 I 3 die Präzessionsfrequenz des rasch rotierenden symmetrischen Kreisels (unabhängig von α). (33) Infolge dieser Präzession hat der Kreisel einen kleinen Drehimpuls in der z-richtung erhalten. Falls jedoch ω p ω 3 ist, d.h. für ω3 2 r smg, können wir diesen Drehimpuls vernachlässigen I 3 und nur mit L rechnen. Eine genaue Rechnung mittels der Euler-Gleichungen zeigt, dass die Kreiselachse nicht eine einfache Präzession um die z-achse ausführt, sondern dabei noch Schwankungen des Winkels α auftreten (Nutation). Immerhin gibt es immer einen bestimmten Winkel α, bei dem die Präzession nutationsfrei ist. Insbesondere ist die senkrechte Lage α = 0 nutationsfrei, solange gilt ω > ω krit = 2 I 3 Mgrs I 1. schlafender Kreisel (34) 19 Der Grund für diese Annahme wird mit Gl.(33) klar. 19

20 Sieht man von der Nutation ab, so gelten für den Kreisel die folgenden Regeln: N ω p L o Wand 1. Ein äusseres Drehmoment erzeugt bei einem frei beweglichen Kreisel eine Präzession von L, wobei die Änderung von L die Richtung von τ besitzt. 2. Verhindert man eine Präzession durch Anbringen von Führungen, so erzeugen die Führungen Kräfte, welche die Kreiselachse senken oder heben. ω Mg 3. Will man eine Präzession der Drehachse erzwingen, so müssen die Lager die entsprechenden Kräfte und Drehmomente aufbringen. τ = r N Beispiel zu 2): Die Führungskraft N erzeugt ein Drehmoment r τ = r N und eine Änderung dl τ. Die Kreiselachse senkt sich. Wirkt N umgekehrt, d.h. versucht man die Präzession zu vergrössern, so steigt die 0 Kreiselachse. F 2 ω L o M o F 1 Beispiel zu 3): Wird die Kreiselachse in der Horizontalebene gedreht, so müssen die Lager die Kräfte F 1, F 50 2 ausüben, deren Drehmoment parallel zu dl steht. 2.5 Rotationsenergie und Energiesatz für die allgemeine Drehung Die kinetische Energie K eines Systems von Massenpunkten kann durch die Schwerpunktsgeschwindigkeit v und die die Relativgeschwindigkeit v si der Drehung um den Schwerpunkt ausgedrückt werden, wobei das Schwerpunktssystem definiert ist durch n i=1 m i v si = 0: K = 1 m i ( v + v si ) 2 = 1 m i ( v v v si + v si) = 1 2 m v2 + 1 m i v si 2. 2 i i Für einen starren Körper gilt v si = ω r si mit r si dem Ortsvektor im Schwerpunktssystem. Damit ist die kinetische Energie i K = 1 2 m v2 + 1 m i v si ( ω r si ) = m v2 + 1 m i ω ( r si v si ) = m v ω L s i i }{{} = ω L s 20

21 1 2 m v ωi s ω = K trans + K rot (35) In dieser Form der Aufspaltung in Translationsenergie und Rotationsenergie gilt die Gleichung Gl.(35) nur für Drehungen um den Schwerpunkt. Für die Drehbewegung um einen beliebigen raumfesten Punkt mit v i = ω r i ohne äussere Drehmomente τ = 0 hat man die kinetische Energie für welche der Energieerhaltungssatz gilt. K kin = K rot = 1 2 ω L = 1 ωi ω, (36) 2 21