Zur Theorie des Foucaultschen Pendels

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1 Zur Theorie des Foucaultschen Pendels 1 Entscheidend für das Gelingen des Versuchs ist die Aufhängung des Pendels mittels einer praktisch reibungslosen Halterung, die kein Drehmoment hinsichtlich irgendeiner Achse ausüben kann Foucault erreichte dies dadurch, daß der Pendeldraht aus einem Block gezogen wurde, der gleichzeitig als Aufhängung diente (s Anhang 1) Relativ zur Erde ist dieser Aufhängepunkt in RuheWährend die Erde um ihre Achse rotiert, schwingt das Pendel in einer Ebene, die ihre Lage relativ zum Fixsternhimmel nicht verändert Diesen können wir mit guter Näherung als ruhend ansehen (Inertialsystem) Die Pendelebene rotiert jedoch relativ zum Gebäude, in dem das Pendel aufgehängt ist Um für eine ausreichende Beobachtung hinlänglich lange Schwingungszeiten zu erreichen, verwendete Foucault ein langes Pendel und einen Pendelkörper mit großer Masse Bei kleiner Pendellänge und für kontinuierlichen Betrieb muß die grundsätzlich nicht vermeidbare Reibungsdämpfung ausgeglichen werden Die zum Ausgleich erforderliche Energiezufuhr erfolgt beim Pendel im Abendgymnasium des Kreises Viersen mit Hilfe eines Elektromagneten, der durch eine elektronische Schaltung gesteuert wird (vgl Schaltskizze) Hierbei ist darauf zu achten, daß keinerlei Drehmoment bezüglich der senkrechten Achse durch den Aufhängepunkt ausgeübt wird In seinem Vortrag 1 (s Anhang 1) vor der Akademie der Wissenschaften in Paris am hat sich Foucault darauf beschränkt anzugeben, daß die Schwingungsebene sich um einen Winkel dreht, der gleich dem Winkel ist, um den sich die Erde in dieser Zeit gedreht hat, multipliziert mit dem Sinus der geographischen Breite (je dois donc me borner á montrer le déplacement angulaire du plan d'oscillation être égal au mouvement angulaire de la terre dans le même temps multiplié par le sinus de la latitude) Am Ende seines Berichts vor der Akademie verweist er auf ein Mémoire tres-remarquable 2 des Physikers und Mathematikers Siméon Denis Poissson ( ), aber auch dort findet sich keine theoretische Herleitung In seinen Erläuterungen zum Pendelversuch im Panthéon (s Anhang 2) findet sich ebenfalls für diese Formel keine Begründung mit Hilfe der Gesetze der Mechanik In der Sammlung seiner Arbeiten 3 jedoch, die seine Mutter herausgebracht hat - Foucault starb mit 49 Jahren - und von C- M Gariel bearbeitet wurde, findet sich der Entwurf eines Briefes, der Aufschluß über die Überlegungen gibt, die L Foucault angestellt hat (Anhang 3) Der niederländische Nobelpreisträger Heike Kammerlingh Onnes ( ), berühmt durch seine Untersuchungen zur Supraleitung bei niedrigen Temperaturen, befaßte sich 1879 in seiner Doktorarbeit ua eingehend mit Foucaults Pendelversuch ( Nieuwe bewijzen voor de aswenteling der aarde Neue Beweise für die Erdrotation ) Eine vollständige theoretische Herleitung der Formel für die Beschreibung des Foucault-Effektes findet sich auf den Webseiten des Kirchhoff-Instituts für Physik der Ruprecht- Karls-Universität Heidelberg Die folgende Herleitung der Formel ϕ = 360 sin λ für den Abweichungswinkel ϕ oder P = 24h für die Dauer P eines vollständigen Umlaufs an einem beliebigen sin λ Punkt mit der geographischen Breite λ macht von einigen vereinfachenden Annahmen Gebrauch, die aber als durchaus gerechtfertigt erscheinen (vgl JW Broxon, Mechanics, Nerw York 1956) 1 Comptes rendus des Seances de l'académie des Sciences, Paris 1851, T XXXII, p Comptes rendus des Seances de l'académie des Sciences, Paris 1837, T V, p Recueil des travaux scientifiques de Léon Foucault publié par Madame Veuve Foucault sa Mère mis en ordre par C- M Gariel, Paris

2 2 Da das Pendel so aufgehängt wurde, daß Drehmomente, die eine Abweichung hervorrufen könnten, nicht auftreten, beruht die Drehung der Pendelebene im Uhrzeigersinn, die man nach einiger Zeit beobachten kann, auf der täglichen Umdrehung der Erde um ihre Achse Daß diese Behauptung stimmt, wollen wir durch Aufstellung der Bewegungsgleichung für das schwingende Pendel zeigen Hierzu führen wir zunächst ein Koordinatensystem K ein, dessen Ursprung im Erdmittelpunkt M liegt Die z-achse weise von M zum Aufhängepunkt, die x - Achse nach Osten und die y - Achse nach Norden Betrachten wir zunächst die Erde als ruhend, so lautet die Bewegungsgleichung m a Z g = + m (1) Hier ist m die Masse des Pendelkörpers, die Fadenspannung und m g das Gewicht, wobei die unvermeidbare Dämpfung unberücksichtigt bleiben soll Unter der Annahme, daß sich die Erde dreht, mithin auch das System K, stellt der mitrotierende Beobachter wegen der auftretenden Corioliskraft eine Rechtsabweichung des Pendels fest, d h für ihn geht die Gleichung (1) über in Z m a = Z + m g + 2m v ω, (1a) m a = Z + m g 2m ω v (1b) wobei v der Geschwindigkeitsvektor des Pendelkörpers P im Koordinatensystem K ist Hierbei haben wir unberücksichtigt gelassen, daß das System K, das ja mit der rotierenden Erde fest verbunden ist, kein Inertialsystem ist In Abschnitt 4 werden wir zeigen, daß es trotzdem berechtigt ist, von der Gleichung (1b) auszugehen Die Frage ist nun, ob die so beschriebene Bewegung mit der beobachteten übereinstimmt Zur Beantwortung ist zu beachten, daß wegen des kleinen Ausschlagswinkels des Pendels v als Vektor in der x-y-ebene aufgefaßt werden kann Somit trägt zum Vektor ω v nur die vertikale Komponente ω ver von ω bei, so daß gilt ω v = ω ver v An einem Ort mit der geographischen Breite ϕ hat diese Komponente den Betrag ω sin ϕ Lassen wir jetzt das oben beschriebene Koordinatensystem K um die z-achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω ver rotieren, so erfährt der Pendelkörper eine Corioliskraft, d hin diesem rotierenden System K* geht die Gleichung (1a) geht über in die Bewegungsgleichung (1), also in die Gleichung eines Pendels mit geringem Ausschlag unter Einfluß der Erdbeschleunigung und der Zugkraft bei ruhender Erde Dieser Sachverhalt läßt sich auch so beschreiben, daß sich im System K, also für den mit der Erde mitrotierenden Beobachter auf der Nordhalbkugel die Schwingungsebene von oben gesehen im Uhrzeigersinn um die z-achse dreht, und zwar an einem Ort mit der geographischen Breite ϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ω sin ϕ In Viersen ( ϕ = 51, 25 ) müßte diese Drehung dann 11,7 je Stunde betragen Dieser Wert ist mit hinlänglicher Genauigkeit gemessen worden, was wir als Bestätigung der Erdrotation auffassen dürfen 2 Z

3 3 Im Folgenden werden wir eine Begründung für das Auftreten der Corioliskraft 2m ω v rel geben Dazu stellen wir die Bewegungsgleichung für einen Körper P in einem Koordinatensystem K auf, das sich bezüglich eines Inertialsystems K i bewegt Da K i ein Inertialsystem ist, gilt in ihm die Gleichung F = m a Wir wollen nun zunächst die Beziehungen herleiten, die zwischen der Geschwindigkeit v rel und der Beschleunigung arel von P im System K und den ent- sprechenden Größen v i und ai im System K i bestehen 31 Bewegt sich ein Koordinatensystem K geradlinig beschleunigt in einem Inertialsystem K i mit der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a, so ergibt sich für die Geschwindigkeit v i und die Beschleunigung a i eines Körpers P im Systerm K i v i = v + v rel, (2a) a i = a + a rel, (2b) wenn P im System K die Geschwindigkeit v rel und diebeschleunigung a rel besitzt 32 Wenn aber das System K bezüglich des Systems K i keine geradlinige Bewegung aus- führt, dann müssen wir für diesen Fall der Bewegung neue Gleichungen aufstellen Weil der Ortsvektor r des sich bewegenden Pendelkörpers P Richtung und Größe verändern kann, muß dies bei der Differentiation nach der Zeit berücksichtigt werden Zu diesem Zweck schreiben wir den Ortsvektor r in der Form r r0, wobei r 0 ein Einheitsvektor in der Rich- r tung von r ist und r sein Betrag, so daß gilt = r r 0 + r r 0 Von dieser Darstellung werden wir im folgenden öfter Gebrauch machen 33 Zunächst leiten wir die Gleichung für die Ableitung eines Einheitsvektors nach der Zeit her, der um eine feste Achse rotiert Die Abhängigkeit des überstrichenen Winkels ϕ von der Zeit sei duch die Funktion ϕ(t) gegeben Die Ableitung von ϕ(t) nach der Zeit, also ϕ (t), bezeich- nen wir als Winkelgeschwindigkeit ω 4 Der Vektor gehe in der Zeit in den Vektor über Diese beiden Vektoren bestimmen eine Ebene Gibt man der Normalen bezüglich dieser Ebene die Länge ω, so kann man die Winkelgeschwindigkeit als Vektor ω in Richtung der Normalen auffassen, wobei die Vektoren u0,, ω in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden sollen Zwischen der Ableitung des Vektors, also u 0, und der Winkelgeschwindigkeit ω besteht folgende Beziehung = ω (3) Rotiert ein Einheitsvektor um einen festen Punkt mit der Winkelgeschwindigkeit ω, so gilt für die Ableitung von nach der Zeit, also, die folgende Gleichung = ω Diese Beziehung läßt sich wie folgt herleiten Es gilt = lim 0 Ist ϕ der in der Zeit überstrichene Winkel, so gilt wegen der Gleichschenkligkeit des von und aufgespannten Dreiecks 4 Die Differentiation nach der Zeit t wird durch einen darübergesetzten Punkt gekennzeichnet 3

4 Für den Betrag von u0 gilt dann: u 0 = 2 u 0 sin ϕ 2 = lim 0 = 2 u 0 lim 0 sin ϕ 2 Für 0 strebt ϕ gegen 0 Für sehr kleine Winkel gilt aber sin ϕ = ϕ,, so daß wegen u0 = 1 folgt : lim lim ϕ = ϕ = ω Legt man die Richtung des Vektors 0 = 0 so fest, daß sie identisch ist mit der Richtung, die der Vek- tor für 0 annimmt, so heißt dies, daß die Vektoren ω, u 0 und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden Es gilt also wie behauptet: u0 = ω 34 Wir wollen nun den Fall untersuchen, in dem das System K bezüglich des Inertialsystems K i eine rotierende Bewegung ausführt Hierbei gehen wir zunächst von der Annahme aus, daß der Ursprung von K mit dem von K i zusammenfällt Den allgemeinen Fall erhalten wir dann dadurch, daß wir die Terme für die reine Translationsbewegung und die für die reine Rotationsbewegung vektoriell addieren Die Lage des Pendelkörpers P im rotierenden System sei gegeben durch seinen Ortsvektor r = r r 0, ω sei die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Systems K bezüglich K i und ω die Winkelgeschwindigkeit von r bezüglich des rotierenden Systems K Die Winkelgeschwin- digkeit von r bezüglich K i ist dann ω + ω Dieser Unterschied ist bei der Differentiation, also bei der Anwendung von Gleichung (3) zu beachten Für die Ableitung des Einheitsvektors r 0 nach der Zeit bezüglich des rotierenden Systems K gilt dann gemäß (3): r 0 (rot Sys) = ω r 0 (4) u0 und hinsichtlich des Inertialsytems K i : r 0 (iner Sys) = ( ω + ω ) r 0 (5) v rel Für den Geschwindigkeitsvektor bezüglich des rotierenden Systems K gilt unter Beachtung von r = r r 0 v rel = r = r r 0 + r r 0 (rot Sys) Gemäß (4) folgt v rel = r ( ω r 0 ) + r r 0, v rel = ω r + r r 0 (6) Für die Geschwindigkeit v i bezüglich des Inertialsystems K i gilt dann entsprechend: v i = r = r r 0 + r, r 0 (inersys) v i = r r 0 + r( ω + ω ) r 0, 4

5 v i = r r 0 + ( ω + ω ) r v i = r r 0 + ω r + ω r, (7) Unter Beachtung von (6) folgt v i = v rel + ω r (8) Für die Beschleunigung a i von P relativ zu K i gilt dann a i = v i = v rel + ω r + ω r (9) Der Vektor ω ist hier die Winkelbeschleunigung α des Systems K bezüglich K i und der Vektor r gleich dem Vektor in Gleichung (8) Im rotierenden System K gilt v i a rel = v rel (rot Sys) = v 0 (rot Sys) v rel = ( ω v o ) v rel + v 0 v rel + v 0 v rel = ( ω v rel ) + v 0 v rel (10) Für die Ableitung von v rel in Gleichung (8) im Inertialsystem K i gilt entsprechend v rel (iner Sys) = v 0 (iner Sys) v rel + v 0 v rel = ( ω + ω ) v 0 v rel + v 0 v rel = ω v rel + ω v rel + v 0 v rel = ω v rel + a rel gemäß (10) Gleichung (9) läßt sich jetzt wie folgt schreiben: a i = ( a rel + ω v rel ) + α r + ω ( v rel + ω r ) (11) a i Mit dieser Gleichung wird, die Beschleunigung von P relativ zum System K i, aus- gedrückt mit Hilfe der Größen v rel und a rel, der Geschwindigkeit und Beschleunigung bezüglich des rotierenden Systems K, sowie den Größen ω und α, der Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung des rotierenden Systems 35 Bisher sind wir davon ausgegangen, daß die Ursprünge der beiden Koordinatensysteme zusammenfallen Führt das System K jedoch relativ zum System K i zusätzlich eine reine Transla- tionsbewegung aus, so gilt für die Geschwindigkeit von P relativ zum System K i v 0 v = v 0 + v rel + ω r gemäß Gleichung (8), wobei die Translationsgeschwindigkeit von K im System K i ist Be- zeichnen wir die Beschleunigung dieser Bewegung mit a 0,so ergibt sich für die Beschleunigung a von P bezüglich K : i (12) 5

6 a = a 0 + α r + ω ( ω r ) + 2 ω v rel + a rel (13) 4 Wir sind jetzt in der Lage die Bewegunggleichung für das Pendel aufzustellen Da K i ein Inertialsystem ist, gilt in ihm F = m a, d h F = m a0 + m α r + m ω ( ω r ) + 2 m ω v rel + m a rel (14) Gleichung (14) läßt sich in der Form m a rel = F m a 0 m α r m ω ( ω r ) 2 m ω v rel (15) schreiben Diese Kraft m a rel ist die Kraft, die ein mitbewegter Beoachter in System K mißt und von der er annimmt, daß sie die Resultierende der Kräfte ist, die auf P einwirken F ist die Summe der von außen auf P einwirkenden Kräfte, in unserem Falle die Zugkraft das Gewicht m g Z des Pendeldrahtes und m a rel = Z + m g m a 0 m α r m ω ( ω r ) 2 m ω 0 v rel (16) Da die aufgestellte allgemeine Bewegungsgleichung (16) als Differentialgleichung mit unseren Hilfsmitteln nicht lösbar ist, machen wir einige zulässige Vereinfachungen Als Inertialsystem K i wählen wir ein fest mit dem Fixsternhimmel verbundenes Koor- dinatensystem, dessen z-achse durch den Erdmittelpunkt M und durch den Himmelspol verläuf, somit auf der Ebene des Himmelsäquators senkrecht steht In diesem System sind nun die Größen a 0, α und ω zu berechnen 4,1 a 0 ist die Beschleunigung der Erde im Gravitationsfeld der Sonne Ihr Betrag ist etwa sechs hundertstel Prozent der Erdbeschleunigung g Dies läßt sich mit Hilfe des Gravitationsgesetzes berechnen F = γ m E m S r 2 a 0 = F m E = γ m S r 2 Es gilt: γ = 6, m 3 kg 1 s 2, m S = 1, kg, r = 1, m Daraus ergibt sich: a 0 = 0, 0059 ms 2 Der Term ist also vernachlässigbar klein 42 Gleiches gilt für den Term m α r Da die Erdachse eine Präzessionbewegung um den Pol der Ekliptik beschreibt, α also nicht Null ist, beläuft sich das Maximum des Betrages von α r für einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche auf deutlich weniger als ein millionstel Prozent der Erdbeschleunigung Dies ergibt sich wie folgt Die Winkelgeschwindigkeit ω der rotierenden Erde beträgt 7, s 1 (ω = 2π Der Vektor verläuft in Richtung der Erdachse Denkt man sich s ) ω das Ende des Vektors im Erdmittelpunkt, so beschreibt seine Spitze im Laufe von Jahren (Platonisches Jahr) einen vollen Umlauf um den Nordpol der Ekliptik Der hierbei entstehende Kegel hat einen Öffnungswinkel von 2ε, wobei ε die Neigung der Äquatorebene zur Ebene der 6

7 Ekliptik ist (ε = ) Die x-achse des kartesischen Koordinatensystems K i verläuft durch den Erdmittelpunkt und den Pol der Ekliptik Die x-achse und die y-achse liegen dann in der Ebene der Ekliptik Da die Winkelgeschwindigkeit ω auf der Äquatorebene senkrcht steht bildet ω mit der z-achse von K i ebenfalls den Winkel ε ω hat dann in K i folgende Darstellung ω x = ω sin ε cos ϕ ω y = ω sin ε sin ϕ ω z = ω cos ε Hierin ist ϕ(t) der Winkel, um den sich die x-z-ebene des Koordinatensystems K i in der Zeit t ω gedreht hat Für die Winkelbeschleunigung α der Erdachse gil: α =, so daß diese folgende Komponeneten besitzt: ω x = ω ϕ sin ε ( sin ϕ) ω y = ω ϕ sin ε cos ϕ ω z = 0 Gemäß der oben angegebenen Länge des Platonischen Jahres gilt: ϕ = 2π a = 7, s 1 Da die Richtung von r für jeden Punkt der Erdoberfläche eine andere ist, nimmt auch α r unterschiedliche Werte an Wegen α r = α r sin ( α, r ) ist α r das Maxi- mum des Betrage von α r α = ( ω x ) 2 + ( ω y ) 2 + ( ω z ) = ω ϕ sin ε r = 6, m Also: α r = 7, s 1 7, s 1 sin 23, 45 6, m = 1, ms 2 43 Der Term m ω ( ω r ) ist die Zentrifugfalkraft, die ein Körper an der Erdoberfläche erfährt Ermittelt man experimentell die Erdbeschleunigung, so schließt das Ergebnis stets den Einfluß der Zentrifugalkraft mit ein Verstehen wir unter also unter m g diese beobachtete Erdbe- schleunigung, so gilt: m a rel = Z + m g m a 0 α r 2 m ω 0 v rel 44 Die Bewegungsgleichung (16) für das Foucaultsche Pendel nimmt dann unter Berücksichtigung dieser vertretbaren Vereinfachungen die folgende Form an: m a rel = Z + m g 2m ω v rel (17) Der Term 2m ω v rel ist die bereits erwähnte Coriolis-Kraft (GG Coriolis , französischer Physiker) Der Vergleich der Gleichung (17) mit der Gleichung (1b) zeigt, daß wir trotz der Bewegung der Erde berechtigt sind, anzunehmen, daß die beobachtete Drehung der Pendelebene im wesentlichen auf diese Corioliskraft zurückzuführen ist Die Bewegung der Erde um die Sonne haben wir jedoch unberücksichtigt gelassen 5 Fassen wir unser Vorgehen noch einmal zusammen Da wir unsere Beobachtungen auf der bewegten Erde machen, ist ein mit der Erde fest verbundenes Koordinatensystem kein Inertialsystem Um die Bewegungsgleichung aufzustellen, müssen wir aber die Bewegung in einem 7

8 Inertialsystem beschreiben Als solches haben wir ein mit dem Fixstenhimmel fest verbundenes Koordinatensystem gewählt Die Bewegung der Erde, also auch unseres Beobachtungssystems, läßt sich in diesem Inertialsystem als Zusammensetzung aus eine Tranlations- und einer Rotationsbewegung beschreiben Betrachtungen über die Größenordnung der auftretenden Terme führten dazu, daß letztlich nur die Erdumdrehung meßbaren Einfluß auf die Pendelbewegung hat Es zeigte sich, daß die unter der Annahme einer vollen Umdrehung der Erde um die Achse durch Nord- und Südpol innerhalb eines Tages aufgestellte Gleichung die gemachten Beobachtungen richtig beschreibt Daraus schließen wir, daß die gemachten Annahmen über die Erdumdrehung zutreffen 8

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