Blatt 03.1: Scheinkräfte

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1 Fakultät für Physik T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger Blatt 03.1: Scheinkräfte Ausgabe: Freitag, ;Abgabe: Freitag, , 13:00 (b)[2](e/m/a) bedeutet: Aufgabe (b) zählt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll Beispielaufgabe 1: Galilei-Transformation [3] Punkte: (a)[1.5](e); (b)[1.5](e). (a) Die Systeme B und B seien zwei relativ zueinander bewegte kartesische Koordinatensystem mit parallelen Achsen. Die Position eines Teilchens werde zu einer Zeit t in B beschrieben durch und in B durch r(t) = (6α 1 t 2 4α 2 t)e x 3α 3 t 3 e y + 3α 4 e z r = (6α 1 t 2 + 3α 2 t)e x (3α 3 t 3 11α 5 )e y + 4α 6 te z Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich B relativ zu B? Welche Beschleunigung erfährt das Teilchen in B und in B? B sei ein Inertialsystem. Ist dann auch B ein Inertialsystem? (b) In einem Inertialsystem K breite sich eine elektromagnetische Welle aus, die der Wellengleichung u(r, t) = 0 genügt, wobei 2 x y z 2 1 c 2 2 t 2 auch d Alembert Operator genannt wird. Betrachten Sie die einfache Galilei- Transformation K K : x = x v 0 t, y = y, z = z, t = t, (1) (v 0 = const). Wie lautet die Wellengleichung im Koordinatensystem K? Unter welcher Bedingung ist die Wellengleichung näherungsweise forminvariant? Beispielaufgabe 2: Foucaultsches Pendel [3] Punkte: (a)[2](m); (b)[1](e). Ein mathematisches Pendel der Länge l ist auf der Erde an einem Punkt mit Kugelkoordinaten θ und φ aufgehängt. Es führt kleine Schwingungen im Schwerefeld der Erde aus. Leiten Sie die Bewegungsgleichung für die x - und y -Koordinaten des Pendels her, wobei y in Richtung eines Breitengrades und x entlang eines Längengrades verläuft. Berücksichtigen Sie dabei die Erdrotation; die Bahnbewegung der Erde um die Sonne dürfen Sie dagegen vernachlässigen. (a) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen im rotierenden Bezugssystem Erde her (d.h. berücksichtigen Sie die Corioliskraft und vernachlässigen Sie näherungsweise die Zentrifugalkraft, die in eine 1

2 effektive Gravitationskonstante g resultiert.). Führen Sie dabei die Fadenspannkraft T entlang des Pendelfadens ein. Für kleine Auslenkungen kann T z T aus der z-kompenente der Bewegungsgleichung gewonnen und in die übrigen Bewegungsgleichungen eingesetzt werden. Hinweis: Sie erhalten ẍ + Ω 2 x = 2 ω z ẏ ÿ + Ω 2 y = 2 ω z ẋ, wobei Ω durch die Parameter des Pendels und die Schwerebeschleunigung g bestimmt ist. (b) Zeigen Sie, daß x (t) = A cos(ω z t) cos(ωt) y (t) = A sin(ω z t) cos(ωt) für ω z Ω eine Lösung der Differentialgleichungen in b) ist. Dabei ist A eine beliebige reelle Konstante. Diskutieren Sie Ihr Ergebnis. Beispielaufgabe 3: Coriolis-Kraft [8] Punkte: (a)[2](m); (b)[3](a); (c)[2](m); (b)[1](e). Eine Kugel der Masse m wird auf der Erde mit der Geschwindigkeit v 0 parallel zum Erdboden am Ort r 0 abgeschossen. Eine Zwangskraft in Richtung Erdmittelpunkt verhindert, dass die Kugel sich vom Boden entfernt. Die Kugel bewegt sich also auf einem Großkreis um die Erde. Der Einfachheit halber setzen wir hier den Erdradius R = 1. (a) Berechnen Sie die Bahn ϕ(ϑ) im nicht-rotierenden System und transformieren Sie die Lösung auf das rotierende System. Hinweise zum mögliches Vorgehen: (i) Berechnen Sie aus v 0 und r 0 den Normaleneinheitsvektor n zur Bahn. Überlegen sie sich, warum n die Bahn eindeutig charakterisiert. (ii) In Kugelkoordinaten wird der Ort des Teilchens r durch die Winkel (θ, ϕ) und n durch die Winkel (θ n, ϕ n ) beschrieben. Verwenden Sie die Beziehung n r = 0 um die Gleichung cos(ϕ ϕ n ) + cot θ cot θ n = 0 (2) zu erhalten. Lösen Sie diese implizite Gleichung um die Bahnkurve ϕ(θ) zu erhalten. (iii) Überlegen sie sich, wie sich die Winkel θ n und ϕ n des Normalenvektors im rotierenden System verhalten, um so die Bahngleichung auf das rotierende System zu transformieren. (b) Berechnen Sie die Lösung im rotierenden System. Hinweise zum möglichen Vorgehen: 2

3 (i) Stellen Sie die Bewegungsgleichung im rotierenden Koordinatensystem auf. Um einen besseren Eindruck über die Richtungen der Kräfte zu bekommen, ist es sinnvoll im rotierenden System Kugelkoordinaten und die Einheitsvektoren e r, e θ, e ϕ zu verwenden. Man beschreibt also die Bahnposition durch r = r e r. (ii) Sie sollten die folgenden Gleichungen erhalten, wobei Z den Betrag der Zwangskraft bezeichnet: e r : mr ( θ 2 + ( ϕ + ω) 2 sin 2 θ ) = mg + Z (3) e θ : mr ( θ ( ϕ + ω) 2 sin θ cos θ ) = 0 (4) e ϕ : mr ( ϕ sin θ + 2( ϕ + ω) θ cos θ ) = 0 (5) (iii) Zeigen Sie, dass mit der Substitution φ = ϕ + ω und f = φ sin θ die Gleichungen für die e θ - und e ϕ-komponenten übergehen zu θ f 2 cot θ =0 f + f θ cot θ =0. (6) (iv) Zeigen Sie, dass gilt t ( θ 2 + f 2 ) = 0 und t ( f sin θ ) = 0, und somit die Größen u 0 R θ 2 + f 2 und L z f sin θ konstant sind. (v) Drücken Sie θ in Abhängigkeit von diesen Größen aus. Nach Separation der Variablen und Definition von u 2 0 L 2 zr 2 1 tan2 θ n (7) sollten Sie wiederum erhalten. cos(ϕ ϕ n + ωt) + cot θ cot θ n = 0 (8) (c) Berechnen Sie mit der Annahme g g ω (ω r) g eine Näherungslösung im rotierenden System. Welchen Fehler begeht man dabei? Hinweise zum möglichen Vorgehen: (i) Zeigen Sie, dass durch das Vernachlässigen der Zentrifugalkraft die Bewegungsgleichungen (5) für den e θ und e φ Anteil in θ φ 2 sin θ cos θ = ω 2 sin θ cos θ φ sin θ + 2 φ θ cos θ =0 (9) übergehen. Im Vergleich zu (5) erhält man also eine Nettokraft ω 2 sin θ cos θ e θ. (ii) Um den Einfluss dieser Kraft abzuschätzen, betrachten wir ein im K-System ruhendes Teilchen, d.h. φ = 0, θ = 0 bei t = 0 und θ = π/4. Zeigen Sie dass, die Zeit, die das Teilchen benötigt um zu einem Pol zu gelangen, durch τ = π 1 gegeben ist. 2 2 ω (iii) Überlegen sie sich, auf welchen Zeitskalen die Zentrifugalkraft bei der Teilchenbewegung vernachlässigbar ist. (d) Wo auf der Erde bekommt man die stärkste Auswirkung der Coriolis-Kraft in tangentialer Richtung zur Erde? 3

4 Hausaufgabe 1: Der freie Fall [2] Punkte: [2](E). [Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 14] In einem frei fallenden Bezugssystem empfindet man keine Schwerkraft. Um diese Aussage zu erläutern, untersuchen wir die Bewegung eines Massepunktes, dessen Bewegungsgleichung in einem Inertialsystem durch m r = F mge z gegeben ist. Diese Bewegung soll in einem System B beschrieben werden, dessen Ursprung längs e z um 1 2 gt2 verschoben ist. Ansonsten hat B dieselbe Orientierung wie das Inertialsystem. Wie lautet die Bewegungsgleichung in B? Hausaufgabe 2: Scheinkräfte in beschleunigten Bezugssystemen [7] Punkte: (a)[2](m); (b)[3](m); (c)[2](e). Betrachten Sie ein ebenes Karussel, das sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in die mathematisch positive Drehrichtung um die z-achse bewegt. Eine Person, die im Abstand R vom Zentrum auf dem Karussel sitzt, stösst zum Zeitpunkt t = 0 eine Scheibe in Richtung des Zentrums des Karussels. Die Person gibt der Scheibe dabei eine Anfangsgeschwindigkeit v 0 relativ zum Karussel. Die Scheibe gleite reibungslos. (a) Die Bewegung der Scheibe soll zunächst im Inertialsystem I, das nicht mit dem Karussel rotiert untersucht werden. Finden sie die Lösung für die Teilchenbahn und zeigen Sie durch Transformation ihrer gefundene Lösung in das Karussel-System, dass dort gilt x =(R v 0t) cos(ωt) + ωrt sin(ωt) y = (R v 0t) sin(ωt) + ωrt cos(ωt), (10) wobei x und y die Koordinaten des Teilchens im rotierenden System bezeichnen. (b) Stellen Sie nun alternativ die Bewegungsgleichungen im Bezugssystem des Karussels auf. Wählen Sie dieses Bezugssystem so, das der Ursprung im Zentrum des Karussels liegt und die Anfangsgeschwindigkeit der Scheibe in die negative x -Richtung zeigt. (c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten x, y des rotierenden Bezugssystems (Sie können dazu die Koordinaten zu einer komplexen Größe w = x + iy zuammenfassen). Zeigen Sie, dass für die Person auf dem Karussel die Bewegung der Scheibe für kleine Zeiten (vernachäsigen Sie Terme der Ordnung (ωt) 2 ) durch eine Parabel beschrieben wird. Hausaufgabe 3: Perle auf rotierendem Draht [6] Punkte: (a)[2.5](m); (b)[1.5](m); (c)[2](m). 4

5 Eine Perle gleite reibungsfrei auf einem geraden Draht, der, von einem Motor bewegt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in der horizontalen (x, y)-ebene rotiert. (a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen in einem rotierenden Bezugsystem mit x -Achse entlang des Drahtes auf. Berücksichtigen Sie dabei, dass der Draht eine Kraft F D auf die Perle ausüben kann (in welche Richtung?). (b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für x für Anfangsbedingungen x (0) = a, ẋ (0) = 0 und berechnen Sie die kinetische Energie der Perle. (c) Der Energiezuwachs der Perle wird durch die Kraft, die der Draht auf sie ausübt verursacht. Berechnen Sie F D aus der Bewegungsgleichung und berechnen Sie die Arbeit, die der Draht an der Perle verrichtet. Hausaufgabe 4: Infinitesimale Drehungen [3] Punkte: [3](E). Zeigen Sie, dass die Drehmatrizen um die x-, y- und z-achsen, jeweils um einen infinitesimalen Winkel ɛ, folgende Beziehungen erfüllen: R x (ɛ)r y (ɛ) R y (ɛ)r x (ɛ) = R z (ɛ 2 ) 1 + O(ɛ 3 ). Hinweis: Entwickeln Sie dazu zuächst jede der Drehmatrizen bis zur zweiten Ordnung in ɛ. [Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 18] 5