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1 Herzlich willkommen zur der Um sich schnell innerhalb der ca Mathematikaufgaben zu orientieren, benutzen Sie unbedingt das Lesezeichen Ihres Acrobat Readers: Das Icon finden Sie in der links stehenden Leiste. Bitte beachten Sie: Im Original können Sie alle einzelnen Dateien als WORD, pdf oder Open Office Dokument aufrufen. Die aktuellen Preise entnehmen Sie bitte unserer homepage. Weitere Fragen beantworten wir Ihnen gerne unter Michael Lobsien Geschäftsführer

2 Der Satz des Pythagoras 1. Berechne im Dreieck ABC (γ = 90 0 ) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse. a) a = 8 cm, b = 6 cm b) a = 12 cm, b = 9 cm c) a = 12 cm, c = 13 cm d) a = 5,6 cm, c = 6,5 cm e) b = 2,1 cm, c = 2,9 cm f) b = 3 cm, c = 3,4 cm 2. Berechne im Dreieck ABC (γ = 90 0 ) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse. a) a = 3,4 cm, b = 5,1 cm b) a = 5,8 cm, b = 3,6 cm c) a = 12,4 cm, c = 16,8 cm d) a = 6,6 cm, c = 9,3 cm e) b = 4,1 cm, c = 7,8 cm f) b = 3,9 cm, c = 5,5 cm 3. Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist. a) b) c) d) e) f) g) 1. Seite 9 cm 8,2 cm 16 cm 25 cm 14 cm 5,5 cm 56 cm 2. Seite 40 cm 7,1 cm 30 cm 24 cm 17 cm 3,6 cm 65 cm 3. Seite 41 cm 11,4 cm 34 cm 7 cm 21 cm 4,5 cm 33 cm 4. Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, werden pythagoreische Zahlen genannt (Beispiel: 3 4 5; ; ). Bei welchen aufgeführten Zahlen handelt es sich um pythagoreische Zahlen? a) b) c) d) e) f) g) h) a b c Berechne den Abstand, den die Punkte A und B voneinander haben. Dabei haben A und B folgende Koordinaten: a) b) c) d) e) f) g) h) A (1/2) (3/7) (4/4) (-1/-4) (3/6) (7/6) (2/3) (0/0) B (5/5) (5/8) (1/8) (-5/-9) (-2/5) (-3/-5) (-1/5) (-4/3) 6. Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte A, B, C und D. Verbinde die Punkte miteinander und berechne den Umfang des entstandenen Vierecks. A B C D a) (0/0) (6/2) (5/5) (1/4) b) (1/1) (5/3) (4/4) (2/4) c) (2/2) (5/1) (8/2) (5/3) d) (-1/0) (4/-3) (5/2) (1/4) 7. Gegeben sind die Punkte A(x 1 /y 1 ) und B(x 2 /y 2 ). Der Abstand zwischen den Punkten A und B kann nach folgender Formel berechnet werden: AB = (x2 x 1)² + (y2 y 1) ² Begründe. 2010

3 8. Berechne von einem Quadrat a) mit der Seitenlänge a = 7 cm die Länge der Diagonalen, b) mit der Diagonalen e = 4,5 cm die Länge der Seite a. 9. Berechne von einem Rechteck a, b oder e, wenn gegeben sind: a) a = 11 cm, b = 8 cm b) a = 5 cm, b = 4 cm c) a = 9,3 cm, e = 12 cm d) a = 14,5 cm, e = 17 cm e) b = 11,4 cm, e = 16 cm f) b = 16,8 cm, e = 25 cm 10. Berechne von einem gleichschenkligen Dreieck die Basis c, den Schenkel a oder die Höhe h, wenn gegeben sind: a) c = 22 cm, h = 30 cm b) a = 5 cm, c = 6 cm c) a = 19 cm, h = 16 cm d) c = 6,6 cm, h = 8,8 cm e) a = 7,5 cm, h = 6 cm f) b = 4,4 cm, c = 6,2 cm 11. Berechne unter Anwendung der Flächensätze alle fehlenden Stücke des rechtwinkligen Dreiecks ABC (γ = 90 0 ), wenn gegeben sind: a) a = 8 cm, b = 20 cm b) a = 14 cm, c = 22 cm c) b = 12 cm, q = 9 cm d) p = 4 cm, q = 9 cm e) a = 28 cm, h c = 17 cm f) b = 8 cm, c = 14,5 cm g) p = 5 cm, q = 3,2 cm h) a = 4,2 cm, p = 3 cm i) A = 450 cm², a = 36 cm 12. Wie groß ist der Flächeninhalt einer Steinfliese, die die Form eines regelmäßigen Sechsecks hat und deren Seitenlänge a = 6 cm ist? 13. Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 8 cm. Berechne die Flächen- und die Raumdiagonale. 14. Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 cm, b = 5,5 cm und c = 3 cm. Berechne die Länge der Flächendiagonalen und die der Raumdiagonale. 15. Bestimme die Sichtweite s, die man aus einer Höhe h auf die Erde hat. Der Erdradius beträgt ca km. a) h = 15 m b) h = 200 m c) h = 12 km d) h = 180 km Die Sichtweite kann nach der Formel s = 2rh+ h² berechnet werden. Begründe! 2010

4 Der Satz des Pythagoras Aufgabe: Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge der Hypotenuse c, wenn a = 8 cm und b = 6 cm lang sind. Merke: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates (Satz des Pythagoras). In Formelsammlungen findest man häufig die Kurzform des Satzes des Pythagoras - sie lässt sich aus der Zeichnung ableiten: a² + b² = c² Lösung: c² = a² + b² c² = 8² + 6² c = 10 cm 2010

5 Der Satz des Pythagoras Lösungen 1. Berechne im Dreieck ABC (γ = 90 0 ) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse. a) a = 8 cm, b = 6 cm b) a = 12 cm, b = 9 cm c) a = 12 cm, c = 13 cm c = 10 cm c = 15 cm b = 5 cm d) a = 5,6 cm, c = 6,5 e) b = 2,1 cm, c = 2,9 cm f) b = 3 cm, c = 3,4 cm cm b = 3,3 cm a = 2 cm a = 1,6 cm 2. Berechne im Dreieck ABC (γ = 90 0 ) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse. a) a = 3,4 cm, b = 5,1 cm b) a = 5,8 cm, b = 3,6 cm c) a = 12,4 cm, c = 16,8 cm c = 6,13 cm c = 6,83 cm b = 11,33 cm d) a = 6,6 cm, c = 9,3 cm e) b = 4,1 cm, c = 7,8 cm f) b = 3,9 cm, c = 5,5 cm b = 6,55 cm a = 6,64 cm a = 3,88 cm 3. Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist. a) b) c) d) e) f) g) 1. Seite 9 cm 8,2 cm 16 cm 25 cm 14 cm 5,5 cm 56 cm 2. Seite 40 cm 7,1 cm 30 cm 24 cm 17 cm 3,6 cm 65 cm 3. Seite 41 cm 11,4 cm 34 cm 7 cm 21 cm 4,5 cm 33 cm rw st rw rw sp sp rw 4. Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, werden pythagoreische Zahlen genannt (Beispiel: 3 4 5; ; ). Bei welchen aufgeführten Zahlen handelt es sich um pythagoreische Zahlen? a) b) c) d) e) f) g) h) a b c nein ja ja nein ja nein ja ja 5. Berechne den Abstand, den die Punkte A und B voneinander haben. Dabei haben A und B folgende Koordinaten: a) b) c) d) e) f) g) h) A (1/2) (3/7) (4/4) ( 1/ 4) (3/6) (7/6) (2/3) (0/0) B (5/5) (5/8) (1/8) ( 5/ 9) ( 2/5) ( 3/ 5) ( 1/5) ( 4/3) 5 cm 2,2 cm 5 cm 6,4 cm 5,1 cm 14,9 cm 3,6 cm 5 cm 2010

6 6. Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte A, B, C und D. Verbinde die Punkte miteinander und berechne den Umfang des entstandenen Vierecks. A B C D a) (0/0) (6/2) (5/5) (1/4) b) (1/1) (5/3) (4/4) (2/4) c) (2/2) (5/1) (8/2) (5/3) d) (-1/0) (4/-3) (5/2) (1/4) Lösung a) 6,3 cm + 3,2 cm + 4,1 cm + 4,1 cm = 17,7 cm Lösung b) 4,5 cm + 1,4 cm + 2 cm + 3,2 cm = 11,1 cm Lösung c) 3,2 cm + 3,2 cm + 3,2 cm + 3,2 cm = 12,8 cm Lösung d) 5,8 cm + 5,1 cm + 4,5 cm + 4,5 cm = 19,9 cm 7. Gegeben sind die Punkte A(x 1 /y 1 ) und B(x 2 /y 2 ). Der Abstand zwischen den Punkten A und B kann nach folgender Formel berechnet werden: AB = (x2 x 1)² + (y2 y 1) ² Begründe. Liegen die Punkte A und B weder auf einer Senkrechten noch auf einer Waagerechten, so lässt sich mit zwei Hilfsstrecken ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen. Die Länge dieser Hilfsstrecken ist (x 2 x 1 ) bzw. (y 2 y 1 ). Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich dann obige Formel herleiten. 8. Berechne von einem Quadrat a) mit der Seitenlänge a = 7 cm die Länge der Diagonalen, b) mit der Diagonalen e = 4,5 cm die Länge der Seite a. Lösung a) e = 9,9 cm Lösung b) a = 3,2 cm 9. Berechne von einem Rechteck a, b oder e, wenn gegeben sind: a) a = 11 cm, b = 8 cm b) a = 5 cm, b = 4 cm c) a = 9,3 cm, e = 12 cm e = 13,6 cm e = 6,4 cm b = 7,6 cm d) a = 14,5 cm, e = 17 cm e) b = 11,4 cm, e = 16 cm f) b = 16,8 cm, e = 25 cm b = 8,9 cm a = 11,2 cm a = 18,5 cm 10. Berechne von einem gleichschenkligen Dreieck die Basis c, den Schenkel a oder die Höhe h, wenn gegeben sind: a) c = 22 cm, h = 30 cm b) a = 5 cm, c = 6 cm c) a = 19 cm, h = 16 cm a = 32 cm h = 4 cm c = 20,5 cm d) c = 6,6 cm, h = 8,8 cm e) a = 7,5 cm, h = 6 cm f) b = 4,4 cm, c = 6,2 cm a = 9,4 cm c = 9 cm h = 3,1 cm 2010

7 11. Berechne unter Anwendung der Flächensätze alle fehlenden Stücke des rechtwinkligen Dreiecks ABC (γ = 90 0 ), wenn gegeben sind: a) a = 8 cm, b = 20 cm b) a = 14 cm, c = 22 cm c) b = 12 cm, q = 9 cm c = 21,5 cm, p = 3 cm, b = 17 cm, q = 13,1 cm, a = 10,6 cm, c = 16 cm, q = 18,6 cm, h = 7,4 cm, p = 8,9 cm, h = 10,8 cm, p = 7 cm, h = 7,9 cm, A = 80 cm² A = 118,8 cm² A = 63,5 cm² d) p = 4 cm, q = 9 cm e) a = 28 cm, h c = 17 cm f) b = 8 cm, c = 14,5 cm a = 7,2 cm, b = 10,8 cm, b = 21,4 cm, c = 35,2 cm, a = 12,1 cm, p = 10,1 cm, c = 13 cm, h = 6 cm, p = 22,3 cm, q = 13 cm, q = 4,4 cm, h = 6,7 cm, A = 39 cm² A = 300 cm² A = 48,4 cm² g) p = 5 cm, q = 3,2 cm h) a = 4,2 cm, p = 3 cm i) A = 450 cm², a = 36 cm a = 6,4 cm, b = 5,1 cm, c = 8,2 cm, h = 4 cm, A = 16,4 cm² b = 4,1 cm, c = 5,9 cm, q = 2,9 cm, h = 2,9 cm, A = 8,64 cm² b = 25 cm, c = 43,8 cm, p = 29,6 cm, q = 14,3 cm, h = 20,5 cm 12. Wie groß ist der Flächeninhalt einer Steinfliese, die die Form eines regelmäßigen Sechsecks hat und deren Seitenlänge a = 6 cm ist? Es entstehen 6 gleichseitige Dreiecke mit a = 6. Für jedes Dreieck gilt: 2 a h² + = a² 2 h = 5, 2 cm. Für den Flächeninhalt bedeutet dies: a h Ages = 6 93,6 cm² Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 8 cm. Berechne die Flächen- und die Raumdiagonale. Flächendiagonale e: 11,3 cm Raumdiagonale f: 13,9 cm 14. Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4 cm, b = 5,5 cm und c = 3 cm. Berechne die Länge der Flächendiagonalen und die der Raumdiagonale. e 1 = 6,8 cm; e 2 = 5 cm; e 3 = 6,3 cm; f = 7,4 cm 2010

8 15. Bestimme die Sichtweite s, die man aus einer Höhe h auf die Erde hat. Der Erdradius beträgt ca km. a) h = 15 m 13, 8 km b) h = 200 m 50,5 km c) h = 12 km 391 km d) h = 180 km 1525 km Die Sichtweite kann nach der Formel s = 2rh+ h² berechnet werden. Begründe! Aus der Skizze ergibt sich: r² + s² = (r + h)² s² = (r + h)² r² durch Umformung erhält man: s = 2rh+ h² 2010

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