9 auf der Richterskala Erdbeben untersuchen II/A VORANSICHT

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1 15. Erdbeben untersuchen 1 von 24 9 auf der Richterskala Erdbeben untersuchen Jens Mittag, Oxbüll Ein Erdbeben der Stärke 9 auf der Richterskala ereignete sich 130 Kilometer östlich der japanischen Stadt Sendai. Einen Satz wie diesen haben Sie bestimmt in den letzten Wochen in den Nachrichten gehört. Aber können Sie erklären, was eine Stärke von 9 auf der Richterskala bedeutet? Und woher weiß man eigentlich, wo das Erdbeben stattgefunden hat, wenn es doch weit auf dem Meer und unter der Erdoberfläche geschehen ist? Lassen Sie sich überraschen. Fragestellungen wie diese kann man nämlich mit recht einfachen Mitteln beantworten. Zeigen Sie Ihren Schülern, dass man bei der Lösung von Problemen aus anderen Fachgebieten (hier der Naturgeografie) auf die Mathematik und Physik nicht verzichten kann. Veränderte Welt lauft Jungs, lauft! Wellenfronten und Brechungsgesetz zur Berechnung von Erdbeben braucht man seinen Verstand! Foto: Bilder/erdbeben.jpg Der Beitrag im Überblick Klasse: 11 Dauer: 8 Stunden Ihr Plus: ü Berührungspunkte zum Fach Mathematik: Lineare Funktionen, Logarithmus, Trigonometrie, Rechenübungen, Kreise, Beweisen ü Ein leider immer aktuelles Thema Inhalt: Die Richterskala für die Stärke von Erdbeben; die Entfernung zum Epizentrum und der genaue Zeitpunkt des Erdbebens (Wadati-Diagramm) Primär- und Sekundärwelle Kompressions- und Schermodul Verlauf der Wellenfronten Brechungsgesetz und Totalreflexion Schichtmodell der Erde

2 2 von Erdbeben untersuchen Fachliche und didaktisch-methodische Hinweise In diesem Beitrag untersuchen Ihre Schüler Erdbeben, und zwar mit mathematischen Mitteln. Später, im Physik-Studium, werden sie auch nur einen Teil ihrer Zeit im Labor verbringen, um Experimente durchzuführen. Den weitaus größeren Teil ihrer Zeit verwenden Physiker auf die Berechnung und Erklärung von Naturereignissen. Dieser Disziplin, der theoretischen Physik, ist die vorliegende Unterrichtseinheit zuzurechnen. Die mathematischen Werkzeuge, die sie benötigen, haben die Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennengelernt: lineare und trigonometrische Funktionen, Logarithmen, Kreise und die Technik des Beweisens. Hier setzen sie dieses Wissen ein, um Fragestellungen aus der Naturgeografie zu beantworten. Für das Fach Physik sind vor allem die Themen Wellen und Brechung von Bedeutung. Besonders zum Themengebiet Brechung gibt es einfache Demonstrationsexperimente, die Sie als Ergänzung der Einheit durchführen sollten. Motivieren Sie das Thema anhand der Farbfolie (M 1). So wird deutlich, warum Erdbebenforscher mithilfe von Messinstrumenten und der Mathematik um Erkenntnisse ringen, um Erdbeben vielleicht irgendwann einmal vorhersagen zu können. Führen Sie dann die Richterskala (M 2) ein. Mithilfe dieser Skala wird die Stärke von Erdbeben gemessen. Beispielsweise hatte das stärkste Erdbeben, das bisher registriert wurde, einen Wert von 9,5 auf der Richterskala ( , vor der Küste Chiles). Die Definition der Richterskala beruht auf dem Ausschlag eines Seismografen in einer Entfernung von 100 km zum Epizentrum. Da man diese Entfernung aber zunächst nicht kennt, muss man in die Berechnung einen Korrekturfaktor einführen (M 3). Zur Bestimmung der Entfernung, in der ein Erdbeben stattgefunden hat, nutzt man aus, dass sich die Primär- und Sekundärwellen unterschiedlich schnell ausbreiten (M 4). Die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Wellen hängt von drei Größen des Erdmaterials ab, dem Kompressionsmodul, dem Schermodul und der Dichte. Lassen Sie die Schüler aus dem in M 4 abgebildeten Seismogramm die Entfernung vom Erdbebenherd zur Messstation bestimmen. In M 5 konstruieren die Schüler den Verlauf der Wellenfront. So können sie vorhersagen, wo man die Erschütterung als Nächstes spüren wird. Das Brechungsgesetz (M 6) spielt für die Ausbreitung von Wellen im Erdinnern eine große Rolle: An jeder Grenzschicht ändert sich die Geschwindigkeit sprungartig. Sie nimmt mit der Tiefe zu. Das Brechungsgesetz kann man ausnutzen, um den Verlauf der Primärwelle durch die Schichten der Erde zu konstruieren. So lässt sich die Größe des Erdkerns ermitteln (M 7). Neben dem Epizentrum eines Erdbebens interessiert die Wissenschaftler aber auch der genaue Zeitpunkt, an dem das Beben stattgefunden hat. Die Schüler helfen dem Erdbebenforscher Dr. Rüttel-Schüttel bei der Auswertung seiner Daten (M 8). Sie zeichnen nach einer schrittweisen Anleitung ein Wadati-Diagramm und berechnen so die Herdzeit des Bebens. Material M 9 schließlich geht auf die Unterscheidung zwischen Hypozentrum und Epizentrum ein: Das Hypozentrum bezeichnet den Ort, an dem das Beben tatsächlich stattgefunden hat. Es kann auch weit unterhalb der Erdoberfläche liegen. Das Epizentrum ist die Projektion des Hypozentrums auf die Erdoberfläche. Ein Glossar am Ende des Beitrags geht auf die wichtigsten Fachbegriffe ein. Mit diesem können die Schüler das notwendige physikalische Wissen auffrischen oder sich aneignen. In dem Abschnitt Erläuterungen und Lösungen finden Sie gegebenenfalls einen Hinweis auf das Glossar. Eine Übersicht über die mathematischen Themen und Fertigkeiten, die auf einem einzelnen Arbeitsblatt von Bedeutung sind, finden Sie in dem Abschnitt Materialübersicht. Der vorliegende Beitrag eignet sich für den fachübergreifenden Unterricht (Erdkunde) und zeigt, dass fachübergreifender Unterricht gewinnbringend sein kann. Erst die Verknüpfung von Mathematik und Physik ermöglicht es, die gestellten Fragen aus der Naturgeografie zu beantworten.

3 4 von Erdbeben untersuchen Materialübersicht Material Thema Checkliste M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 Erdbeben, Tsunami und Reaktorkatastrophe in Japan Das Thema Erdbeben untersuchen motivieren Die Richterskala was verbirgt sich dahinter? Logarithmus zur Basis 10; Graph der Logarithmusfunktion; Richterskala Ausschläge weit weg die Entfernung durch einen Korrekturfaktor berücksichtigen Logarithmus zur Basis 10; Amplitude Erdbebenwellen laufen um die Wette Kompressionsund Schermodul sagen wie Gleichungen aufstellen, umstellen und lösen; Kompressions- und Schermodul; Entfernung vom Epizentrum Wo spürt man die Erschütterung als Nächstes? Den Verlauf der Wellenfront konstruieren Zirkel und Geodreieck benutzen; trigonometrische Berechnungen; den Verlauf der Wellenfronten konstruieren Was passiert an einer Grenzschicht? Das Brechungsgesetz beweisen Rechnen im rechtwinkligen Dreieck; Beweisen; Brechungsgesetz Der Weg durch die Erde Schichtmodell, Brechungsgesetz und Totalreflexion Taschenrechner Taschenrechner Taschenrechner Zirkel, Geodreieck, Bleistift, Taschenrechner M 8 M 9 Winkel zeichnen; Rechnen mit den trigonometrischen Relationen; Schichtmodell; Brechungsgesetz; Totalreflexion; Größe des Erdkerns Wie spät war es, als die Erde zu beben begann? Ein Wadati-Diagramm erstellen Lineare Funktionen einsetzen; den Zeitpunkt bestimmen, zu dem die Erde gebebt hat So finden Sie das Epizentrum genau konstruieren Kreise und Kugeln; das Epizentrum bestimmen Geodreieck, spitzer Bleistift, einzelnes Blatt Papier, Klebestift Taschenrechner Taschenrechner, Lineal, Bleistift Lineal, Bleistift, farbige Stifte Dauer Pro Materialseite sollten Sie in etwa eine Unterrichtsstunde einplanen. Minimalplan Die Materialseiten lassen sich in drei voneinander unabhängige Einheiten einteilen. Setzen Sie diejenige Einheit ein, die am besten zu Ihrer Unterrichtssituation passt. Einheit 1: M 2 + M 3 Einheit 2: M 4 + M 8 + M 9 Einheit 3: M 5 + M 6 + M 7

4 15. Erdbeben untersuchen 5 von 24 M 1 Erdbeben, Tsunami und Reaktorkatastrophe in Japan Nach dem schwersten jemals gemessenen Erdbeben in der Geschichte Japans überflutete ein Tsunami riesige Landstriche an der Ostküste. Die Zahl der Todesopfer ist auf über gestiegen. Rettungsmannschaften durchforsten die Trümmer der japanischen Stadt Rikuzentakata. Der Tsunami vom 11. März 2011 hat weite Teile dem Erdboden gleich gemacht. Foto: Nicolas Asfouri/AFP/Getty Images AKW Fukushima Sind die verstrahlten Arbeiter an ihrer Verstrahlung mit schuld? Foto: picture alliance / dpa

5 6 von Erdbeben untersuchen M 2 Die Richterskala was verbirgt sich dahinter? The magnitude of any shock is taken as the logarithm of the maximum trace amplitude, expressed in microns, with which the standard [ ] seismometer would register that shock at an epicentral distance of 100 kilometers. Mit dieser Anleitung führte Charles Richter 1935 die nach ihm benannte Richterskala ein, um die Stärke von Erdbeben zu messen. Frei übersetzt lautet dieser Satz: Die Stärke eines Erdbebens ist der Logarithmus (zur Basis 10) der maximalen Amplitude, gemessen in Mikrometer, die ein Standardseismometer in einer Entfernung von 100 km zum Epizentrum aufzeichnen würde. Aufgabe 1: Rechnen Sie nach Richters Anleitung. a) Ein Standardseismometer registriert in einer Entfernung von 100 km zum Epizentrum ein Erdbeben. Bestimmen Sie jeweils die Stärke des Erdbebens auf der Richterskala, wenn eine maximale Amplitude von 2 cm, 45 mm bzw. 0,33 m gemessen wird. b) In das Koordinatensystem rechts sollen Sie einen Funktionsgraphen einzeichnen. Berechnen Sie dazu für die Amplituden von 1 mm bis 7 mm A max [mm] die zugehörigen Werte auf der Richterskala und tragen Sie Ihre Wertepaare in das Koordinatensystem ein. Bestimmen Sie außerdem für die Amplituden 0,1 mm, 0,5 mm sowie 0,75 mm die Stärke auf der Richterskala, damit Sie den Verlauf des Graphen erkennen können. Die Stärke eines Erdbebens auf der Richterskala wird mit M L bezeichnet (Magnitude Local). Diese Bezeichnung finden Sie auch an der y-achse. c) Überlegen Sie sich eine Funktionsgleichung für die gezeichnete Funktion. d) Welche Amplitude gehört zu einem Erdbeben der Stärke 0? Geben Sie einen genauen Wert an. Aufgabe 2: Das bisher stärkste aufgezeichnete Beben a) Ohne Messinstrumente lassen sich Erdbeben ab einer Stärke von circa 2,9 auf der Richterskala spüren. Lesen Sie an Ihrem Graphen aus Aufgabe 1 die maximale Amplitude ab, die man bei dieser Stärke auf dem Ausdruck eines Standardseismografen in 100 km Entfernung vom Epizentrum finden würde. b) Am ereignete sich vor der Küste Chiles ein Erdbeben, für das mit 9,5 der bisher höchste Wert eines Erdbebens auf der Richterskala angegeben wurde. Berechnen Sie die Höhe des maximalen Ausschlags, die man auf dem Ausdruck eines Standardseismografen in 100 km Entfernung vom Epizentrum hätte finden müssen.

6 15. Erdbeben untersuchen 9 von 24 M 5 Wo spürt man die Erschütterung als Nächstes? Den Verlauf der Wellenfront konstruieren Unten sehen Sie eine Wellenfront abgebildet. Der graue Pfeil gibt Ihnen die Ausbreitungsrichtung an. Informieren Sie sich zunächst, was der Begriff Wellenfront bedeutet. Mit Zirkel und Lineal können Sie herausfinden, wie sich eine Wellenfront ausbreiten wird. Wie gehen Sie dabei vor? Sehen Sie selbst! Beispiel: Aufgabe 1: Entdecken Sie die neue Wellenfront. Nehmen Sie an, die Front breitet sich mit einer Geschwindigkeit von 2 cm/s aus. Das bedeutet, dass sich jeder Punkt der Wellenfront mit einer Geschwindigkeit von 2 cm/s ausbreitet. Warten Sie eine Sekunde, so ist der Punkt am linken Ende der Front 2 cm weitergewandert. Er muss also irgendwo auf einem Kreis mit dem Radius 2 cm liegen, den Sie um den Punkt am linken Ende geschlagen haben. Da sich die Welle nach unten ausbreitet, brauchen Sie nicht den ganzen Kreis zu zeichnen. Es reicht der untere Halbkreis. Dasselbe muss für alle Punkte der Front gelten. Zeichnen Sie also um jeden Punkt, der auf der Wellenfront im Bild oben markiert ist, einen Halbkreis nach unten mit dem Radius 2 cm. Sehen Sie nun, wie die neue Wellenfront verläuft? Aufgabe 2: Die Welle wird langsamer. Eine Wellenfront trifft unter einem Winkel von 37 auf eine Grenzfläche. An der Grenzfläche verlangsamt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit von 4,5 cm/s auf 3 cm/s. a) Übertragen Sie das Bild rechts in Ihr Heft. Die Wellenfront hat eine Länge von 6 cm, die Punkte auf der Wellenfront einen Abstand von 1 cm. Konstruieren Sie nun die Wellenfront nach einer Sekunde. Dazu zeichnen Sie wieder Kreise um jeden Punkt. Nur haben die Kreise dieses Mal nicht denselben Radius. Diesen müssen Sie zuerst berechnen. Betrachten Sie dazu den dritten Punkt von oben, an den die gestrichelte Linie gezeichnet ist. Diese Linie bildet mit der Wellenfront einen Winkel von 90. b) Berechnen Sie die Länge der gestrichelten Linie. Bestimmen Sie dann mit der Geschwindigkeit v 1, wie lange der Punkt auf der Wellenfront braucht, um diese Strecke zu durchlaufen. Es ist weniger als eine Sekunde. Den übrig gebliebenen Teil der Sekunde breitet sich die Front mit der Geschwindigkeit v 2 aus. Wie weit kommt sie also noch unterhalb der Grenzfläche? Wenn Sie die beiden zurückgelegten Strecken zusammenzählen, erhalten Sie den Radius. c) Berechnen Sie für jeden markierten Punkt der Wellenfront den zugehörigen Radius und zeichnen Sie dann den Kreis ein. Markieren Sie die neue Wellenfront. Aufgabe 3: Die Welle wird schneller. Bearbeiten Sie Aufgabe 2 mit v 2 = 6 cm/s.

7 10 von Erdbeben untersuchen M 6 Was passiert an einer Grenzschicht? Das Brechungsgesetz beweisen Aufgabe 1: Zuerst brauchen Sie Ihr Mathekönnen. a) In der Abbildung links sehen Sie ein Viereck ABCD. An den Punkten B und D befindet sich jeweils ein rechter Winkel. Beweisen Sie, dass in einem solchen Viereck gilt: a sinγ = c sinα b) Oben rechts ist dasselbe Viereck zu sehen. Das Bild ist um zwei gestrichelte Geraden ergänzt, die senkrecht auf der Diagonalen e stehen. Zeigen Sie, dass gilt: α 1 = α 2 und γ 1 =γ2 Aufgabe 2: Das Viereck finden Sie auch in der Erde. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Erdbebenwelle hängt von der Tiefe ab. Vereinfacht ausgedrückt gilt: Mit der Tiefe nimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu. In einem einfachen Modell von der Erde können Sie davon ausgehen, dass sich die Geschwindigkeit an einer Grenzschicht sprungartig ändert. Auf dem Arbeitsblatt M 5 haben Sie konstruiert, wie sich eine Welle an einer solchen Grenzschicht ausbreitet. Das Ergebnis sehen Sie noch einmal in der Abbildung unten. Wenn sich das rechte Ende der Wellenfront in der Schicht 1 von B nach A ausbreitet, breitet sich gleichzeitig das linke Ende in der Schicht 2 von C nach D aus. Die Zeit, in der dies geschieht, bezeichnen Sie mit t, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfront in der ersten Schicht mit v 1 und in der zweiten Schicht mit v 2. a) Stellen Sie mit den Bezeichnungen für Geschwindigkeit und Zeit jeweils einen Term für die Länge der Strecken AB und CD auf. sinα v1 b) Beweisen Sie mithilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 1 das Brechungsgesetz =. sinβ v 2

8 15. Erdbeben untersuchen 11 von 24 M 7 Der Weg durch die Erde Schichtmodell, Brechungsgesetz und Totalreflexion In der Abbildung oben sehen Sie ein Schichtmodell zum Aufbau der Erde. Die Erdkrümmung ist weggelassen. Am linken Rand ist die Tiefe unterhalb der Erdkruste gegeben und am rechten die durchschnittliche Geschwindigkeit für eine P-Welle in der Schicht. Aufgabe 1: Finden Sie den Weg eines Erdbebens. a) Wiederholen Sie das Brechungsgesetz und informieren Sie sich über das Phänomen der Totalreflexion. b) In der Abbildung sehen Sie oben links eine Erdbebenwelle, die unter einem Winkel von 35 zum Lot auf die erste Grenze trifft. Benutzen Sie das Brechungsgesetz an den Schichtgrenzen, um den Weg der Erdbebenwelle durch die Erde zu finden. Konstruieren Sie zunächst den Weg bis zur rechten Bildgrenze. Kleben Sie anschließend ein Blatt Papier an die rechte Bildseite und ergänzen Sie darauf den Weg der Welle. c) Berechnen Sie die Entfernung vom Startpunkt der Erdbebenwelle bis zu dem Punkt, wo sie das erste Mal wieder an die Erdoberfläche trifft. Aufgabe 2: Erdbebenwellen verraten Ihnen die Größe des Erdkerns. Die Abbildung rechts zeigt Ihnen in einem Modell den Aufbau der Erdkugel. Die Sekundärwellen eines Erdbebens können sich nicht in Flüssigkeiten ausbreiten und deshalb den äußeren flüssigen Kern auch nicht durchdringen. Bebt die Erde an einem Ort, so kann man auf der gegenüberliegenden Erdseite nur bis zu einem Winkel von 105 die Ankunft der Sekundärwellen registrieren. a) Bestimmen Sie aus diesem Messergebnis und dem Erdradius den Radius des äußeren flüssigen Kerns. Nehmen Sie an, dass sich die Wellen geradlinig ausbreiten. b) Berücksichtigen Sie, dass sich die Wellen nicht geradlinig ausbreiten, sondern wie Sie es in Aufgabe 1 gelernt haben. Kommen Sie zu einem größeren oder kleineren Wert für den Radius des flüssigen Kerns? Begründen Sie Ihre Antwort.

9 15. Erdbeben untersuchen 13 von 24 M 9 So finden Sie das Epizentrum genau konstruieren Bei einem Erdbeben unterscheidet man zwischen dem Hypozentrum und dem Epizentrum. Das Hypozentrum ist der Ort, an dem das Erdbeben tatsächlich stattfindet. Das Hypozentrum kann also auch weit unterhalb der Erdoberfläche liegen. Das Epizentrum hingegen liegt immer auf der Erdoberfläche. Es markiert den Entstehungsort des Erdbebens auf der Landkarte und ist die lotrechte Projektion des Hypozentrums auf die Erdoberfläche. Messstation Aufgabe 1: Zeichnen Sie das Epi- und das Hypozentrum ein. a) In der Abbildung oben links sehen Sie den Entstehungsort eines Erdbebens und einen Ausschnitt der Erdoberfläche, die über dem Hypozentrum liegt. Markieren Sie in der Abbildung das Epi- und das Hypozentrum und beschriften Sie beide. b) Wissenschaftler haben berechnet, dass das Hypozentrum eines Bebens in einer Entfernung von 50 km zu einer Messstation liegt. In der Abbildung oben rechts sehen Sie die Messstation auf der Erdoberfläche liegen, die sich im Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius 50 km befindet. Markieren Sie im Bild die möglichen Orte von Hypo- und Epizentrum in verschiedenen Farben. c) Inzwischen haben Wissenschaftler außerdem berechnet, dass das Hypozentrum 30 km von einer zweiten Messstation entfernt liegt. In der Abbildung links sehen Sie die beiden Messstationen und jeweils eine Kugel um die Station. Die Radien dieser Kugeln betragen jeweils 50 km bzw. 30 km. Markieren Sie wiederum im Bild die möglichen Orte von Hypo- und Epizentrum in verschiedenen Farben. Begründen Sie Ihre Antwort. d) Überlegen Sie, wie die Wissenschaftler weiter vorgehen müssen, um das Epizentrum des Bebens zu finden. Aufgabe 2: Finden Sie das Epizentrum. Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem die Punkte S 1 (0 0), S 2 (-2 4) und S 3 (4 6). Diese Punkte repräsentieren Messstationen. Wissenschaftler haben berechnet, dass das Hypozentrum eines Erdbebens in einer Entfernung von 50 km zu S 1, 45 km zu S 2 und 40 km zu S 3 liegt. Bestimmen Sie zeichnerisch das Epizentrum. Verwenden Sie den Maßstab 1 :

10 14 von Erdbeben untersuchen Erläuterungen und Lösungen Die grauen Kästchen kennzeichnen Tipps zum Einsatz. M 2 Die Richterskala was verbirgt sich dahinter? Ein Seismometer ist ein Messinstrument, das Erschütterungen aufzeichnet. Die Begriffe Seismogramm und Amplitude können im Glossar nachgelesen werden. Aufgabe 1: Rechnen Sie nach Richters Anleitung. a) Die gegebene Amplitude muss zunächst in Mikrometer umgewandelt werden. b) 2 cm = 2 10 µ m M = log(2 10 ) = 4,3 4 4 L 45 mm = 4,5 10 µ m M = log(4,5 10 ) = 4, L 0,33 m = 3,3 10 µ m M = log(3,3 10 ) = 5, L A[mm] A[μm] M L 0, ,00 0, ,70 0, , , , , , , , ,85 A max [mm] 3 c) Ist x die Amplitude in mm, so heißt die Gleichung L ( ) M (x) = log x 10. Die Einheiten im Argument des Logarithmus sind dabei weggelassen worden. d) Gesucht ist die Nullstelle: ( ) 0 = log x 10 x 10 = 1 x = 10 = 0, Aufgabe 2: Das bisher stärkste aufgezeichnete Erdbeben a) ( ) b) ( ) 3 2,9 3 2, 9 = log A(2, 9) 10 A( 2, 9) = , 79 9,5 = log A(9,5) 10 A(9,5) = , ,5 3 6 Das Ergebnis ist in mm angegeben. Man sollte sich die Mühe machen, dieses Ergebnis weiter anzuschauen. Rechnet man um, so erkennt man, dass die maximale Amplitude 3,162 km wäre. Natürlich wurde dieser Ausschlag tatsächlich nicht gemessen. Das Standardseismometer (Wood-Anderson-Seismometer), das Richter seiner Definition zugrunde gelegt hat, ist nicht für solch starke Erdbeben ausgelegt.