Mathematik für Techniker

Transkript

1 Siegfried Völkel u.a. Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte Auflage

2 =, = = + = =, = 0 0 = = = 4 6 0, = = = = 4 = = = = = = 4 7 = = = = + = 8 = F H G I K J F = H G I K J =0 = =e = = 6 =

3 =0 =e 7 6 = = 4 =lb =ln =lg = cos π/ 0 π/ π π/ π = sin π/ 0 π/ π π/ π 6 = = tan 4 = π/ 0 π/ π π/ π = arctan 0 π / 0 π / π π / π =sin F = = sin( ) sin H G I K J π = sin( )

4 Mathematik für Techniker

5

6 Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 47 Bildern, Tabellen, 647 durchgerechneten Beispielen und 79 Aufgaben mit Lösungen!"#$%&#$'()*"+,-(./0.+!"#$%&'#(%)*+&#,+&'%-

7 Autoren und Bearbeiter Dr. Horst Bach, Eisleben (Kap. 6 bis 8) Dr. Manfred Bannach (Kap. und 4) Berufsbildende Schule Gutjahr Halle Dipl.-Päd. Elke Katz (Kap. 9 und 0) Arwed-Rossbach-Schule / Berufsschulzentrum der Stadt Leipzig Oberstudienrat Ingo Mees (Kap., und ) Staatliche Technikerschule Berlin Dipl.-Ing.-Päd. Annette Thon (Kap. und ) Fachschule für Technik Mühlhausen Dr. Heinz Nickel, Dresden Dipl.-Math. Jürgen Schäfer, Altenburg Dr. Siegfried Völkel, Dresden Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN E-Book-ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den, 4 URG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Ssteme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 04 Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Einbandrealisierung: Stephan Rönigk Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Brand-Erbisdorf Druck und Bindung: Friedrich Pustet KG, Regensburg Printed in German

8 »Der Weltuntergang steht bevor, aber nicht so, wie Sie denken. Dieser Krieg jagt nicht alles in die Luft, sondern schaltet alles ab.«tom DeMarco Als auf der Welt das Licht ausging ca. 60 Seiten. Hardcover ca. 9,99 [D]/ 0,60 [A]/ sfr 8,90 ISBN Erscheint im November 04 Hier klicken zur Leseprobe Sie möchten mehr über Tom DeMarco und seine Bücher erfahren. Einfach reinklicken unter

9 Vorwort Die vorliegende 7., neubearbeitete und erweiterte Auflage stellt eine umfangreiche Überarbeitung des in der Mathematikausbildung angehender Techniker bewährten Lehrbuches dar. Der Inhalt orientiert sich an den Lehrplänen für die Technikerausbildung. Aus didaktischen Gründen folgt das Kapitel Gleichungen und Ungleichungen nun direkt dem Kapitel Rechenoperationen. Der Abschnitt, der das Lösen von linearen Gleichungssstemen mit Determinanten behandelt, wurde im Umfang erhöht, dafür entfallen Rechenoperationen mit Matrizen. Die Kapitel Geometrie und Trigonometrie sind entsprechend den Lehrplananforderungen umfassend bearbeitet worden. Das Kapitel Funktionen wurde neu strukturiert. Es schließen sich Zahlenfolgen und Grenzwerte an. Der Differenzial- und der Integralrechnung ist nun je ein eigenes Kapitel gewidmet, um die verschiedenen Grundanliegen dieser Teilgebiete der Infinitesimalrechnung hervorzuheben. Im Kapitel Differenzialrechnung wird auch die geometrische Bedeutung der. Ableitung einer Funktion mit allen Konsequenzen zur Bestimmung von Maima und Minima von Funktionen betrachtet. Der Abschnitt Kurvendiskussion wurde vollständig überarbeitet. Neu aufgenommen wurde ein Abschnitt über das Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels Ableitungen. Im Kapitel Integralrechnung wurden Abschnitte über die Integration durch Substitution sowie die Berechnung des Rauminhalts von Rotationskörpern ergänzt. Anschließend folgen die Kapitel Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Einführung in die Statistik. Neu ist hier ein Bezug im Bereich der Anwendungsaufgaben auf Taschenrechner mit Computeralgebrasstem und auf Tabellenkalkulationssoftware. Die Inhalte zu kompleen Zahlen waren bisher auf verschiedene Abschnitte verteilt. In die Neuauflage wurde ein separates Kapitel Komplee Zahlen aufgenommen. Auf vielfachen Wunsch der Leser dieses Buches wurde die Vektorrechnung als neues Kapitel hinzugefügt. Die Bilder und Grafiken zur Illustration der dargestellten mathematischen Sachverhalte wurden teilweise neu erstellt, an der großen Anzahl von Beispielen wurde festgehalten. Die Autoren, die sämtlich über ein hohes Maß an Erfahrung in der Technikerausbildung verfügen, haben sich um größtmögliche Verständlichkeit und Anschaulichkeit bemüht. Durch die Art der Stoffdarbietung eignet sich das Buch sowohl für den Gebrauch im Unterricht als auch zum Selbststudium. Zu diesem Zweck wurden die Kontrollfragen, die sich jedem Abschnitt anschließen, beibehalten und die Anzahl der Aufgaben, die weitgehend anwendungsorientiert und praisnah sind, erhöht. Am Kapitelende sind zur Selbstkontrolle die Lösungen der Aufgaben eingefügt. Für Kritik, Korrekturen, Anregungen und Hinweise inhaltlicher und didaktischer Art ist das Autorenteam dankbar, soll dieses Buch doch aus der Unterrichtsprais zur Prais, d. h. zum Gelingen des Mathematikunterrichts und zum Lernerfolg der Studierenden, beitragen. Ein besonderer Dank gilt der Lektorin Frau Christine Fritzsch vom Fachbuchverlag Leipzig, der es gelungen ist, das fünfköpfige Autorenteam mit großer Geduld zu koordinieren und dafür zu sorgen, dass dieses Unterrichtswerk in einer neuen Auflage vorliegt. Auch Frau Katrin

10 6 Vorwort Wulst gebührt Dank für die technische Unterstützung und die Herstellung dieses Buches. Die Zusammenarbeit mit beiden Fachfrauen war stets sehr angenehm. Möge dieses Buch dazu beitragen, dass die Vermittlung mathematischer Sachverhalte und Zusammenhänge im Rahmen der Technikerausbildung gelingt! Leipzig, im Mai 04 Die Verfasser

11 Inhalt Rechenoperationen Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik Vorbemerkung Begriff der Menge Relationen zwischen Mengen Operationen mit Mengen Zahlenbereiche Vorbemerkung Bereich der reellen Zahlen und seine Teilbereiche Zahlenssteme Intervalle, Absoluter Betrag, Runden von Zahlen Rechenoperationen erster und zweiter Stufe Vorbemerkung Grundbegriffe Rechenoperationen mit Zahlen Algebraische Summen Bruchrechnung Proportionen Summenzeichen Rechenoperationen dritter Stufe Vorbemerkung Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Rechnen mit Logarithmen Potenz eines Binoms Aufgaben Lösungen Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen mit einer Variablen Vorbemerkung Grundbegriffe Lösen von algebraischen Gleichungen Lösen von transzendenten Gleichungen Lösen von Gleichungen durch Näherungsverfahren Ungleichungen Vorbemerkung Grundbegriffe Einfache Tpen linearer Ungleichungen Lineare Gleichungsssteme Vorbemerkung

12 8 Inhalt.. Herkömmliche Lösungsverfahren Lösbarkeitsbetrachtungen Gaußscher Algorithmus Determinantenverfahren Aufgaben Lösungen Geometrie Planimetrie Vorbemerkung Grundbegriffe Winkel an sich schneidenden Geraden Bewegungen in der Ebene, Kongruenz, Smmetrie Grundkonstruktionen Ähnlichkeit Allgemeines Dreieck Rechtwinkliges, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck Viereck Regelmäßiges n-eck Kreis Flächeninhalte Stereometrie Vorbemerkung Quader Prisma und Pramide Prismatoid Zlinder und Kegel Cavalierisches Prinzip Kugel und Kugelteile Aufgaben Lösungen Trigonometrie Goniometrie Vorbemerkung Winkelmessung Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Winkelfunktionen für beliebige Winkel Quadrantenrelationen Zusammenhang zwischen den Funktionswerten eines Winkels Additionstheoreme Dreiecksberechnung Allgemeines Sinus- und Kosinussatz Grundaufgaben der Dreiecksberechnung Weitere Anwendungen Aufgaben Lösungen

13 Inhalt 9 Funktionen Vorbemerkung Der Funktionsbegriff Die Definition einer Funktion Darstellungsformen von Funktionen Eigenschaften von Funktionen Die Umkehrfunktion Lineare Funktionen (Geraden) Die analtischen Darstellungsarten linearer Funktionen Die lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion Lagebeziehungen zwischen Geraden Quadratische Funktionen (Parabeln) Die Darstellungsarten quadratischer Funktionen Die Umwandlung zwischen den Darstellungsarten quadratischer Funktionen Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften Wurzelfunktionen und ihre Eigenschaften Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Eponential- und Logarithmusfunktionen Eponentialfunktionen und ihre Eigenschaften Logarithmusfunktionen und ihre Eigenschaften Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Der Einfluss von Funktionsparametern auf Funktionsgraphen Bestimmung von Funktionsgleichungen Aufgaben Lösungen Zahlenfolgen Vorbemerkung Grundbegriffe Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Anwendungsbeispiele der geometrischen Folge Grenzwert einer Zahlenfolge Grenzwert einer Funktion Grenzwert einer Funktion an der Stelle = a Grenzwert einer Funktion für ± Aufgaben Lösungen

14 0 Inhalt 7 Differenzialrechnung Vorbemerkung Grundbegriffe Ableitung der Potenzfunktion Ableitung einer konstanten Funktion und einer Funktion mit konstantem Faktor Ableitung einer Summe von Funktionen Differenzial einer Funktion Weitere Grundregeln der Differenzialrechnung Ableitung eines Produktes von Funktionen Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen Regeln für die Ableitung weiterer Funktionen Höhere Ableitungen Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung Kurvendiskussion Etremwertaufgaben Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels der Ableitungen Aufgaben Lösungen Integralrechnung Vorbemerkung Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral Eigenschaften bestimmter Integrale Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summenfolge Flächeninhalte ebener Flächen zwischen einer Kurve und der -Achse Flächen zwischen zwei Kurven Integration durch Substitution Der Rauminhalt von Rotationskörpern Numerische Integration Aufgaben Lösungen Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorbemerkung Zufällige Erscheinungen und Ereignisse Wahrscheinlichkeitsbegriff Anzahl von Ergebnissen und Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche Simulation von Zufallsversuchen Aufgaben Lösungen

15 Inhalt 0 Einführung in die Statistik Vorbemerkung Statistische Erhebung, Auswertung und Darstellung von Daten Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Binomialverteilte Zufallsgrößen Anwendungen zur Binomialverteilung Aufstellen und Testen von Hpothesen Anwendungsaufgaben Die Poisson-Verteilung Die Normalverteilung Anwendungen der Normalverteilung Eponentialverteilung Aufgaben Lösungen Komplee Zahlen Vorbemerkung Die arithmetische Form der kompleen Zahlen Imaginäre und komplee Zahlen Rechnen mit kompleen Zahlen in der arithmetischen Form Die Darstellung kompleer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene Die trigonometrische Form der kompleen Zahlen Die Eponentialform der kompleen Zahlen Die Multiplikation und die Division kompleer Zahlen in der Eponentialform Das Potenzieren, das Radizieren und das Logarithmieren kompleer Zahlen Aufgaben Lösungen Vektorrechnung Vorbemerkung Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensstem Punkte im kartesischen Koordinatensstem Vektoren im kartesischen Koordinatensstem Rechnen mit Vektoren Addition und Subtraktion von Vektoren Die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Die vektorielle Beschreibung von Geraden Die Vektorgleichung einer Geraden Die Lagebeziehungen zwischen Geraden Die vektorielle Beschreibung von Ebenen Die Vektorgleichung einer Ebene