8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels

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1 8. Drehbewegungen 8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels Kinetische Energie der Rotation ti 8.6 Berechnung von Trägheitsmomenten Steiner sche Satz 8.8 Das Drehmoment Drehimpuls 8.10 Rotierende Bezugssysteme

2 8 Drehbewegungen eg Drehung der Erde Drehung der Elementarteilchen - Tag/Nacht - Großwetterlage - magnetische Eigenschaften - Aufbau der Materie - Jahreszeiten - Wechselwirkungen Stabilisierung von - Raketen - Schiffen - Fahrrädern (aber wenig)

3 81Gl 8.1 Gleichförmige i Kreisbewegung Wir hatten: Kreisbewegung einer Punktmasse r > Zentripetalbeschleunigung a = a zp erzwingt Kreisbahn Für Betrag gilt: Vektoriell gilt: Allgemein gilt: Punktmasse erfährt radiale radiale Beschleunigung + tangentiale Beschleunigung

4 8.2 Drehung ausgedehnter Körper Idealisierung starrer Körper Besteht aus n ( unendlich) Punktmassen, deren gegenseitige Abstände immer konstant bleiben Dennoch Problem zur Beschreibung Für einzelne Punktmasse gilt: Mögliche, aber unpraktische Beschreibung

5 Besser Beschreibung über Drehgrößen (zunächst skalar) Beschreibung über: ϕ Drehwinkel (in Radiant) Man definiert Winkelgeschwindigkeit ω Man definiert Winkelbeschleunigung g α

6 Spezialfälle 1. Winkelgeschwindigkeit ω ist konstant. 2. Winkelbeschleunigung α ist konstant.

7 8.3 Beziehung Translation - Drehung Tangentialgeschwindigkeit im Abstand r Winkelgeschwindigkeit 8.4 Vektornatur des Drehwinkels Für infinitesimal kleine Drehungen wird Drehung durch Drehvektor dϕ beschrieben Def.: dϕ parallel zur Drehachse, Richtung durch Rechte-Hand-Regel

8 Es gilt: Drehsinn Drehsinn ω r v v r ω Flash Movie

9 8.5 Kinetische Energie der Rotation Wir hatten E kin über v tan gegeben Falls Für n (diskrete) Punktmassen da starrer Körper Punktmasse im Abstand r (Massen)Trägheitsmoment Tä t = Definition Für kontinuierliche Massenverteilung Kinetische Energie bei Rotation für ausgedehnte Körper

10 8.6 Berechnung von Trägheitsmomenten (nur für symmetrische Körper analytisch berechenbar) I von 3-dim Körpern wird über Volumenintegral berechnet Beispiel: Stab konstanter Dichte (1-dim Massenverteilung) Mit L >> L z und L >> L y mit Liniendichte λ = m/l dm = λ dx

11 8.7 Steiner sche Satz Probleme: 1. Trägheitsmomente sind schwierig zu berechnen 2. Bei Änderung der Drehachse muss Rechnung wiederholt werden Steiner sche Satz erlaubt einfache Berechnung von I bezüglich der Achse, die parallel zur Schwerpunktsachse verschoben ist I s Trägheitsmoment um Schwerpunktsachse m ges Gesamtmasse d Abstand der Drehachsen

12 Steinersche Satz: Jede Drehung ist zerlegbar in Translation des Schwerpunktes der Gesamtmasse und Drehung der Masse um die Schwerpunktsachse. = +

13 Beweis Steiner sche Satz (in zwei Dimensionen) 0

14 ?

15 8.8 Das Drehmoment Frage: Ursache von Drehungen? Antwort: Ursache ist Kraft! Aber! Nur Komponente der Kraft F senkrecht r bewirkt Drehung. Def.: Drehmoment Spezialfall: F senkrecht r Kraft mal Hebelarm Massenverteilung

16 89D 8.9 Drehimpuls Kraft = Änderung des Impulses L Def.: Drehmoment Def.: Drehimpuls L Drehmoment = Änderung des Drehimpulses Impuls p senkrecht zu r System von Punktmassen Drehimpulserhaltung puse atu!! [Animation] [Animation]

17 8.10 Rotierende Bezugssysteme Zunächst 2-dim. Betrachtung Rotierendes System ω = konstant Inertialsystem ruhend Punktmasse im Punkt P Geschwindigkeit der Punktmasse Beschleunigung der Punktmasse

18 Falls x = y = 0 gilt : (Masse ruht im rotierenden System) Inertialbeobachter sieht beschleunigte Bewegung In 3 Dimensionen gilt: (ohne Beweis) oder umgeformt: In rotierenden Bezugssystemen treten zwei Trägheitskräfte auf Corioliskraft: F C = Zentrifugalkraft: ft F zf = Man kann mit Hilfe einer Messung feststellen, ob man in einem Rotierenden Bezugssystem ist

19 Zetrifugalkraft Es gibt verschiedene Schreibweisen i für Zentrifugalkraft Was wird beobachtet? Beispiel rotierende Scheibe: Intertialbeobachter: ti b Es wirkt Zentripetalkraft Rotierender Beoabchter: Es wirkt Zentrifugalkraft

20 Corioliskraft Geschwindigkeit der Masse im rotierenden System Im rotierenden Bezugssystem wirkt Corioliskraft Merke! - Corioliskraft ist unabhängig von r - Corioliskraft tritt nicht auf, falls Was wird beobachtet? b t? Beispiel i rotierende Scheibe: Inertialbeobachter Rotierende Beobachter

21 Erde als rotierendes Bezugssystem Auf Masse in A auf Erde muss Zentripetalbeschleunigung wirken mit und Tangentialgeschwindigkeit folgt für λ = 0 o

22 Messung der Erdrotation mit Foucault`schen Pendel Prinzip: Pendel behält Schwingungsebene bei (Inertialsystem) während sich Erde dreht mit Pendel Erde Äquator

23 Für rotierenden Beobachter gilt N D A V Auf A wirkt Zentrifugalbeschleunigung g 0 r mit C λ Äquator-Ebene Beschleunigung durch Gravitation g 0 wird vermindert

24 Geographische Beschleunigung Breite l g in m/s 2 90 o Nordpol 0 o Äquator 48 o 50 (Paris (F)) 9,8321 9,7799 9,8094