Technische Mechanik III Übungsblatt Nr. 3

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1 Institut für Technische Mechanik Prof. Dr.-In. C. Proppe Prof. Dr.-In. W. Seeann Nae: Testat: Terin: (jew. 19:00 Uhr) Vornae: Di., Matr. Nr.: Technische Mechanik III Übunsblatt Nr. 3 Thea: Newtonsches Grundesetz - Prinzip von d Alebert. Herleitun der Beweunsleichunen für Massenpunkte. Forelsalun: { = Masse a) Newtonsches Grundesetz: F es = a it a = Absolut-Beschleuniun F es = (einepräte Kräfte) + (Zwanskräfte) = F Beispiele: Schwerkraft G =, Kraft it voreebene Verlauf P(t), P(x),... Gleitreibunskraft R, Seilkraft S, Federkraft F f = cx (lineare Feder), Däpferkraft F d = kẋ (viskose Däpfun), usw. Noralkraft N, Laerkraft A, B,... Haftkräfte R 0,... b) Prinzip von d Alebert: F + T = 0 (Kräfteleichewicht) aus de Newtonschen Grundesetz it der Aufteilun F es = F +Z = (einepräte Kräfte) + (Zwanskräfte) und der d Alebertschen Träheitskraft T = a c) Herleitun der Beweunsleichunen: Newtonsches Grundesetz Prinzip von d Alebert 1. Positive Laekoordinate wählen (positive Beschleuniuns- und Kraftrichtun dait festelet). 1a. Beschleuniunsvektor a foral aneben 2. Freischneiden jedes einzelnen Massenpunktes und Anbrinen aller einepräten Kräfte F und Zwanskräfte Z. 3. Kraftvektor F es = F aneben 2a. Zusätzlich d Alebertsche Träheitskraft T enteen den durch die Wahl des Koordinatensystes positiv definierten Beschleuniunsrichtunen einzeichnen. 4. Kraftvektor F es und Beschleuniuns- Gleichewicht der Kräfte vektor a in F es = a einsetzen F + T = 0 aus Skizze. und (skalar) auswerten.

2 Aufabe 2 2 Beispiel r ϕ Nach einer kleinen Störun rutscht ein Massenpunkt unter de Einfluss der Schwerkraft ohne Anfanseschwindikeit reibunsfrei vo Scheitel einer Halbkuel herab. 1. In alleeiner Lae ϕ wende an das Grundesetz der Mechanik in Polarkoordinaten an. 2. Man bestie die Funktion ϕ = ϕ(ϕ) unter Beachtun der Anfansbedinunen. 3. An welcher Stelle ϕ 0 löst sich der Massenpunkt von der Halbkuel?

3 Lösun zur Aufabe 2 2: 1. Newtonsches Grundesetz: e ϕ r N ϕ e r F = a = F r + F ϕ = + N F r = a r e r = Ne r sin ϕe r (1) a r = N sin ϕ F ϕ = a ϕ e ϕ = cos ϕe ϕ (2) a ϕ = cos ϕ 2. ϕ(ϕ) durch Interation: aus (2) : cos ϕ = a ϕ = (r ϕ + 2ṙ ϕ) ṙ = 0! ϕ = d ϕ dt = d ϕ dϕ dϕ dt = d ϕ dϕ ϕ! cos ϕ = r ϕ d ϕ dϕ cos ϕdϕ = r ϕd ϕ ϕ Interation: cos ϕdϕ = r π 2 sin ϕ ϕ π 2 ϕ ϕ( π 2 ) ϕd ϕ = r ϕ2 2 ϕ ϕ( π 2 ) ; ϕ(π 2 ) = 0; (1 sin ϕ) = r 2 ϕ2 ϕ 2 = 2 (1 sin ϕ) r 3. Lösen bei N = 0 : aus(1) : a r = sin ϕ 0 ϕ 2 0 = 2 r (1 sin ϕ 0) sin ϕ 0 = a r = r r ϕ 2 0 ; r = 0! sin ϕ 0 = r 2 r (1 sin ϕ 0) sin ϕ 0 = 2 3 ϕ 0 = 41,8

4 Aufabe 2 14 Beispiel y x, ẋ, ẍ P(t) β Ein Klotz der Masse wird durch eine Kraft P(t) = 2 (1 ct 2 ) eine schiefe Ebene it de Steiunswinkel β hinaufedrückt. Der Reibunskoeffizient zwischen Klotz und schiefer Ebene habe für Haft- und Gleitreibun denselben Wert µ. 1. Mittels des d Alebertschen Prinzips erittle an die Beweunsleichun der Masse. 2. Man berechne ẋ(t) und x(t) für die Anfansbedinunen ẋ(t = 0) = x(t = 0) = Man bestie den Wert c so, dass die Kraft P nach der Zeit t = t 1 Null wird. Wo befindet sich der Klotz zu Zeitpunkt t = t 1?

5 Lösun zur Aufabe 2 14: 1. Prinzip von d Alebert: F + T = 0 P (t) sin β R cos β + 0 N + ẍ 0 = 0 (1) (2) Coulobsche Reibun: R = µn it (2): R = µ cos β, it (1): ẍ + sin β + R P (t) = 0 it P (t) = 2(1 ct 2 ) ẍ + (sin β + µ cos β) = 2(1 ct 2 ) 2. Interation: ẍ(t) = (2 2ct 2 sin β µ cos β) ẋ(t) = [ (2 sin β µ cos β)t 2 3 ct3] + C 1 x(t) = [ (2 sin β µ cos β) t2 2 c 6 t4] + C 1 t + C 2 it AB: ẋ(t = 0) = x(t = 0) = 0 C 1 = C 2 = 0 dait ẋ(t) = [ (2 sin β µ cos β)t 2 3 ct3] x(t) = [ (2 sin β µ cos β) t2 2 c 6 t4] 3. Bedinun: P (t 1 ) = 2(1 ct 2 1)! = 0 c = 1 t 2 1 da 0 Einsetzen! x(t 1 ) = [5 3 (sin β + µ cos β)] t2 6

6 Aufabe 2 12b zu bearbeiten l ϕ µ Ein asseloser Stab der Läne l ist an seinen Enden elenki it zwei Massenpunkten verbunden, von denen einer auf horizontaler Unterlae reibend leiten kann. Der Stab wird in die lotrechte Ruhelae ebracht und setzt sich von dort aus durch eine kleine Störun in Beweun. 1. Mit de Newtonschen Grundesetz stelle an Beweuns- und Zwanskraftleichun des oberen Massenpunktes für den Fall auf, dass die untere Masse in Ruhe ist. 2. Man bestie daraus die Stanenkraft S als Funktion von ϕ. 3. Wie roß uss der Haftreibunskoeffizient µ indestens sein, wenn die untere Masse bis ϕ 1 = 60 in Ruhe bleiben soll?

7 Aufabe 2 11 zu bearbeiten x S h b a Ein Autoobil it der Masse bewet sich eradlini it der konstanten Geschwindikeit v 0. Sein Schwerpunkt S befindet sich auf der Höhe h über der Bodenfläche. Die Abstände der Vorder- und Hinterachse des Autos von der Vertikalen, die durch den Schwerpunkt eht, sind a bzw. b. 1. Man bestie die Belastun der Vorderachse N 1 und der Hinterachse N 2 bei Fahrt it konstanter Geschwindikeit. 2. Zur Zeit t = 0 blockieren durch zu starkes Bresen alle 4 Räder leichzeiti. a) Mit de Prinzip von d Alebert bestie an die Beweunsleichun des Autos und durch Interation daraus den Breswe, wenn die Räder blockiert bleiben und der Luftwiderstand vernachlässibar ist (Reibunskoeffizient zwischen Reifen und Bodenfläche ist µ). b) Wie roß sind die Achslasten N 1 und N 2 während des Bresvorans? c) Wie roß uss der Reibunskoeffizient indestens sein, dait die Belastun der Vorderachse die der Hinterachse übersteit? Hinweis: Das Auto wird als Massenpunkt betrachtet, wobei die esate Masse i Schwerpunkt vereint sei.

8 Aufabe 2 5 freiwilli x(t) = kb v 2 0 (b y(t)) 2, v 0 = b k Ein in der x-y-ebene frei bewelicher Massenpunkt it der Masse befindet sich zu Zeitpunkt t 0 = 0 in A(0,b) und hat die Anfanseschwindikeit v 0 = (0, v 0 ). In einer alleeinen Lae wird er vo Punkt C 1 it der Kraft F 1 = k 1 r 1 abestoßen und vo Punkt C 2 it F 2 = k 2 r 2 anezoen. 1. Mittels des Newtonschen Grundesetzes erittle an die Beweunsleichunen des Punktes. 2. Für den Sonderfall k 1 = k 2 = k erittle an die Lösunen x(t) und y(t) der Beweunsleichunen. Durch Eliination des Zeitparaeters erittle an die Bahnkurve x = f(y). 3. Wie uss v 0 ewählt werden, dait die Bahnkurve durch den Punkt B(b, 0) verläuft und wie lautet dann die Gleichun der Bahnkurve?

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