Baustatik & Festigkeitslehre Vorlesung & Übung

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1 Baustatik & Festigkeitslehre Vorlesung & Übung Vortragender: O.Univ.Prof. DI Dr. Dr. Konrad Bergmeister

2 Kraftgrößenverfahren Wenn statisch unbestimmte Systeme berechnet werden sollen, müssen zusätzliche Gleichgewichtsbedingungen gefunden werden. an benutzt zusätzlich geometrische Randbedingungen um diese Probleme zu lösen.

3 Grad der statischen Unbestimmtheit Gleichgewichtsbedingungen: im Raum: 6 Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene: Gleichgewichtsbedingungen Statisch bestimmte Systeme: Die Reaktionen und Schnittkräfte sind aus den Gleichgewichtsbedingungen alleine berechenbar. Statisch unbestimmte Systeme: Die Reaktionen und Schnittkräfte sind aus den Gleichgewichtsbedingungen alleine nicht berechenbar.

4 Zerlegungsverfahren Beispiel : Räumliches System 6 6 Anzahl der gelösten Bindungen : = Grad der statischen Unbestimmtheit : n =

5 Zerlegungsverfahren Eingespanntes Auflager Stabschnitt 6 Komponenten y V y V x V z = N x x = T x 6 gelöste Komponenten NV,, V, T,, y z y z y z z

6 Zerlegungsverfahren n i = 6 n a = 6 n= n + n = i a

7 Zerlegungsverfahren Gelöste Bindungen bei ebenen Tragwerken Entfernen von Auflagern: H R H R V RV RV

8 Zerlegungsverfahren Gelöste Bindungen bei ebenen Tragwerken Schnitt eines biegesteifen Stabes: V N N V

9 Zerlegungsverfahren Gelöste Bindungen bei ebenen Tragwerken Biegegelenk einfügen am biegesteifen Stab: Schnitt eines Fachwerkstabes: N N

10 Zerlegungsverfahren n i = 9 Reaktionen Gleichgew.-Bedingungen n a = 6 z.b. Zerlegung in Kragarme n= n + n = a i 9 n = + + = 9

11 Zerlegungsverfahren n= oder : n=

12 Abzählkriterium Das Tragwerk darf kein echanismus sein! a) Ebenes Fachwerk : n = r + s k r= k=6 n = - s = 8 labil r= s = 9 k=6 n = 0 falsch Kriterium nicht hinreichend (echanismus)

13 Abzählkriterium b) Ebenes biegesteifes System s = 6 k = 7 r = 6 g = 8 6 n = + - = = s + r g k s = 6 k = 7 r = 6 g = n = falsch! Kriterium nicht hinreiche (echanismus) s = 5 k = 6 r = 5 g = n = =

14 Kraftgrößenverfahren δ ik Ort Ursache. Zerlegung des vorhandenen Systems in ein statisch bestimmtes Grundsystem (GS). An den Schnittstellen den gelösten Bindungen entsprechende Kraftgrößen, auch als überzählige Größen (ÜG) bezeichnet, einführen: n überzählige Größen X i Bestimmung der Verschiebungen an den n Stellen und in Richtung der überzähligen Größen X i infolge der Belastung und infolge der ÜG X k = ( ) δ i0

15 Kraftgrößenverfahren. Formulierung der Verträglichkeitsbedingungen, auch Kompatibilitätsbedingungen genannt, in den Schnittstellen bis n, d.h. man stellt die Kontinuität des Tragwerkes in allen Stellen wieder her: δi = δ + X δ + i0 i + X n δ in

16 Kraftgrößenverfahren 4. Lösung dieses Gleichungssystems (siehe Lineare Algebra) 5. Die endgültigen Schnittkräfte am statisch unbestimmten System erhält man durch Superposition der entsprechenden Größen am statisch bestimmten Grundsystem.

17 Symmetrie und Antimetrie P P/ P/ P/ P/ p = p/ p/ + p/ p/ SA Symetriefall S Symetriefall A

18 Symmetrie und Antimetrie symetrische Größen S Verlauf symetrisch Bedingung auf SA A Verlauf antimetrisch Bedingung auf SA N, 0 = 0 w antimetrische Größen antimetrisch symetrisch V u, j = 0 0 Lagersymbol

19 Symmetrie und Antimetrie S A Knick S A = + n = n = n = S A

20 Symmetrie und Antimetrie System S A P P/ / I A = 0 I A N = 0

21 Systematik des Verfahrens Schritt : Grundsystem mit statisch Überzähligen x x x numerisch günstig numerisch ungünstig x x x

22 statisch bestimmte Grundsysteme x x x x numerisch ungünstig x x unbrauchbar x möglich x x x x x

23 Systematik des Verfahrens Schritt : Nullzustand (Lastzustand) X=0 Verlauf Schnittgrößen für X=0 Einzelwerte 0, V0, N 0 S0 m0, Vm0, N m0 S m0 Ort Ursache An den Stabenden: S 0 Verlauf Verschiebungsgrößen für X=0 Einzelwerte u 0, w0, ϕ 0 r0 u m0, wm0, ϕ m0 rm 0 Ort Ursache

24 Angabe p = kn/m P = 0 kn m 6 4 Nullzustand p = kn/m P = 0 kn m m0 = = 9 8 d 0 d Verlauf = 0 Biegelinie w 0 Lastwerte : z.b.: nach ohr EI d0 = 69 = 8 Ø º knm ø ß Baustatik EI d 0 = und 69 Festigkeitslehre + 40= 8 - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau 4

25 Systematik des Verfahrens Schritt : Einheitszustände Schnittgrößen für X k = mit k =,, n Verlauf Einzelwerte k, Vk, N k S k mk, Vmk, N mk S mk Ort Ursache Kraftlastfall X = k

26 Systematik des Verfahrens Schritt : Einheitszustände Verschiebungsgrößen für X k = mit k =,, n Verlauf Einzelwerte u k, wk,ϕ k rk u mk, wmk,ϕ mk rmk Ort Ursache Kraftlastfall X = k

27 X = + = m - Verlauf Biegelinie w X = d d = m + - Verlauf d d Biegelinie w Systemwerte (Flexibilitäten) : EI EI d d 0 = EI d = 6+ 4= = EI d = 6 = ØkNm ø Œ knm œ º ß

28 Systematik des Verfahrens Schritt 4: Bedingungsgleichungen (Verträglichkeit) und Lösung endgültiger Einheitszustand Einheitszustand = [ Nullzustand ] + X + X + X = X = Zustand δ i X X = δ + δ + δ + + δ = i0 i i n in X 0

29 Systematik des Verfahrens Schritt 4: Bedingungsgleichungen (Verträglichkeit) und Lösung Ødø Ød d dn ø ØXø Ød0 ø Ø0ø Œ d œ Œ d d d œ Œ n X œ Œ d œ Œ 0 0 œ Œ œ Œ = œ Œ œ+ Œ œ = Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ Œº dnœß Œº dn dn dnnœß Œº X nœß Œº dn0œ ß º 0ß F i X + r = xx - X = Fxx -rx0 x0 0

30 Systematik des Verfahrens Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) Verlauf Schnittgrößen Einzelwerte = + X 0 0 n i= n i= V = V + V X k k i i = + X m m0 mi i i= V = V + V X m m0 mi i i= n n an den Stabenden: S = S 0 + S xx X i

31 Systematik des Verfahrens Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) Verlauf Verschiebungsgrößen Einzelwerte u = u + u X 0 0 n i= w= w + w X n i= i i i i u = u + u X m m0 mi i k = w = w + w X m m0 mi i i= n n an den Stabenden: r = r 0 + r xx X i

32 Kraftgrößenverfahren Systematik des Verfahrens Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) + = X X n m n m n m n m

33 Kraftgrößenverfahren Systematik des Verfahrens Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) + = 0 0 X X w w w w w w w w n m n m n m n m

34 Ausgangssystem EI =,84 0 knm = konst. 4 m 4 m 4 m EA a T = EI / l T = 0 C -5 0 / C statisch bestimmtes Grundsystem X n =

35 Nullzustand d 0 > 0 = 0 a T a a 0 T Verformungszustand = N = 0 ( Verformungslastfall) a d = a T l = =, m a = = 0,60 l -

36 Einheitszustand = 4 =0 =0 4 - Verlauf -Verlau d w Verformungszustand PvK...: EI d = dx = 4 8 = + =

37 4 Bedingungsgleichung (Vertäglichkeit) d = d + X d = 0 d fi =- =- = ,60 X EI,6 knm d

38 5 Endgültiger Zustand (Superposition) = + X 0 = 0 Verfomungslastfall a) -,6 knm -Verlauf Anteil des Nullzustandes w 0 w X a w w a 0 b) Verformungsverlauf a wegen EA = wie im Nullzustand nteil der Krümmung X w (gestrichelt) w = w0 + X w a a

39 Wirkung der Vorspannung innere Vorspannung äußere Vorspannung P Ds Spannbeton Unterspannung Stützensenkung - Sofortiger Verbund:alle Lastfälle sind mit Verbund zu behandeln. - Nachträglicher Verbund: für P + g gilt : zunächst ohne Verbund, alle weiteren Lastfälle mit Verbund.

40 ohne Verbund mit Verbund Eigenschaften Querschnitt Stahl und Beton als getrennte komponenten getrennt ( A c, I b und A P ) Verbundquerschnitt ( Stahl / Beton ) verbunden ideell ( A i. I i ) an den Spannglieder in jedem Querschnitt e e Verträglichkeit e P = e cp zusätzliche innere statische Unbestimmtheit X wie sonst statisches System X X (für Lastfall X = P: n=) n = Spanngliedkraft infolge weiterer Lastfälle direkt aus Systemberechnung nach Systemberechnung aus Querschnittsbetrachtung ( gleiche Dehnung ) D Pp = X p s c s P e = = fid P = c A E E P p P P c P

41 Wirkung der Vorspannung - Beispiel ohne Verbund mit sofortigem Verbund g = 5 kn/m g = 5 kn/m e = 0, m,0 m e = 0, m l = 8,00 m l = 8,00 m 0,6 m N N Ec = 40000, E p = m m A = 0,6 m, A = 0,00m I c c = 0,05m E I = 000Nm c c 4 E A = 4000 N; E A = 600N c c P P P = 00kN P E A I i c i l = 8,00 m l = 8,00 m N N = 40000, E P = m m = 0,6m = 0,05m E I = 04Nm c i E A = 4480N c i P = 00kN 4 0,6 m

42 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Statisch bestimmtes Grundsystem mit Überzähligen A, I b b A, I i i X n = X A P n = X

43 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Nullzustand (X=0) a) Lastfall Vorspannung P vorgegeben P P d 0,P d 0,P - P e =-60 0,P - P e=-60 0,P - P e =-00 N0 cp, - P e =-00 N0 cp, P e =-00 cp Baustatik und Festigkeitslehre - WS 004/05, - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau

44 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Nullzustand (X=0) b) Lastfall Eigengewicht g vorgegeben g P d 0,g d 0,g d 0,g 0, g 0,g ( ) N 0c = 0 l ( l) g = 480 N 0P = 0 g = 480 Baustatik und Festigkeitslehre 8 - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven 8 Ingenieurbau

45 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Einheitszustände X = d d d l = 4 4 l = 4 4 Nc = 0 N c = N = 0

46 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Einheitszustände X = P= d d -0, - N c Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau N P

47 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Einheitszustände - Systemwerte: Ε Ι = c c δ dx = = 85, knm Εc Ιc δ = dx = 8 Εc Ιc δ = dx + ( 4) ( 0,) = 9, 600 Ε Ι Ε Ι + N dx+ Εc Α c ΕP ΑP knm N dx c c c c << c P Spanngliedanteil Ε Ι = ² c c δ dx 0 6 ( 0,) ² + 6 ( ) ² + 6 ² = 56, 07 knm = = 85, knm

48 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt : Einheitszustände - Lastwerte : ) Ε Ι δ = dx = c c 0, P 0, P 8 ( 4) ( 60) = 50 ) Ε Ι δ = dx b b 0, P og, knm = Ε Ι δ = dx c c 0, V 0, P 8 ( 4) ( 60) = 50 Ε Ι δ = dx c c 0, P og, knm = ( 4),5 = 800 Ε Ι δ = dx = c c 0, g og, knm = ( 4),5 = 800 knm = ( 0,) = 5 knm Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau

49 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt 4: Bedingungsgleichungen x, P ) δ = δ + x δ =, P 0, P, P 0 δ δ 50 85, knm 0, P = = x = kn, P 5 ) δ, g δ0, g δ = + X δ, g δ, g δ 0, g δ X δ, g , 9,60 X, g 0 + = 5 9,60 56, X, g 0 X, g 55,6kN = Vg X, g 5,kN m Spannkraftänderung infolge g δ δ δ, P = 0, P + x, P = 0 x, P δ δ 50 85, knm 0, P = = δ x = kn, P 5, g = δ0, g + x, g δ = 800 knm = 85, m X 50 kn X, g, g = ( ) Pg x aus den Querschnittsbetrachtungen m 0

50 Wirkung der Vorspannung - Beispiel Schritt 5: Endgültiger Zustand (Superposition) ) = + X P op,, P = + X P op,, P -60 knm -60 knm -60 knm -60 knm P P 80 knm 80 knm ) = + X + X g og,, g, g = + X g og,, g -40,8 knm -0 knm,6 knm 0 0 0,6 knm g

51 Zusammenfassung d -Werte ( Flexibilitäten) Nullzustand Verformungslastfall ( spannungslos ) direkt P. v. K. X = 0 Vorspannung d i 0 Kraftlastfall Einheitszustände Integrationstafeln X = 0 Kraftlastfall d ik

52 Berechnung der Verschiebungsgrößen a) Ermittlung des endgültigen Schnittkraftverlauf (, gegebenenfalls V und N) b) Bestimmung diskreter Verschiebungsgrößen. z.b. mit dem P.v.K. c) Einhängen des Verschiebungsverlaufes innerhalb der Elemente (wie bei statisch bestimmten Tragwerken).

53 Berechnung der Verschiebungsgrößen, Kraftlastfall, N δ δ V.. Verformungslastfall δ δ + δ 0, N, V spannungslose Verschiebung..

54 Der Reduktionssatz Bei der Anwendung des P.v.K auf ein unbestimmtes Tragwerk kann einer der beiden Zustände an einem statisch bestimmten System aufgestellt werden.

55 Der Reduktionssatz wirklicher Zustand n virtueller Zustand z.b. - Anteil Bewertung n dx δ = v ΕΙ zu aufwendig eduktionssatz.art eduktionssatz.art 0 n dx δ = v 0 ΕΙ n 0 dx δ = v 0 0 ΕΙ günstig bei eine Verschiebung für viele Lastfäll günstig für Lastzustand (Regelfall)

56 Der Reduktionssatz q System m l l E I = konst. n= d m =?

57 Der Reduktionssatz X X q d 0 d 0 m 0 q ( l) 8 0

58 Der Reduktionssatz d Department für Bautechnik und X = d d - Werte d d = _ X = 0 0 = dx E I dx E I l 4 =- l 0 0 linear abhängig d d = = 0 E dx E I dx

59 Der Reduktionssatz Bedingungsgleichung d = d + X d = 0 fi X 0 d = d 0 + X d = fi X Endgültiger Zustand (Superposition) = 0 + X + + = 0 + X _ +

60 Der Reduktionssatz 0 + X dx d = E I 0 + X - l m dx Ø dx dx ø 0 - X 0 X E I l Œ + E I E Iœ º ß m d = 0 dx E I d 0 + X d = 0

61 Integraltafel Auswertung der Integrale f ( x) g( x) dx z.b. ( x) ( x) j j j αa j a a a βa j Stat. System k aj k aj k aj k aj k 0 aj k aj k aj 6 k 4 aj k ( +α ) 6 k 0 k aj k aj 6 k aj k 4 aj k dx ( + β ) 6 ( ) a k aj k aj 4 k aj 4 k aj k a 0, 75 α α 0,5 : β 0, 75 β α 0,5 : α k γ a δ a aj aj( k k + k ) ( +γ ) aj( k + k ) 6 6 ( +δ ) aj( k 6 + k ) Universität für Bodenkultur 6 Wien 0, 75Department γ γ δ : für Bautechnik und δ aj( k + k ) 4 γ δ : 0, 75 δ γ α δ α γ : 6 βγ β γ α γ : 6αδ j j j j aj[ k α 6 ( + β ) + k ( + ) 0 4 j j kubische P. quadratische Parabeln αa j j j β a j j j j j j j j ( ) q j = qa / 8 j = qa / j = qa / j = qa / 6 j = qa /6 q q q q a( j j)k + ( 6 a j + j )k a( j j )k 6 + ( 4 a j + j )k ( 0,5 α ) ( α ) ( β ) a( j + 4 j + j )k a( j j )k ( 6 a j + j )k [ ( ) ( ) j + δ + j + ]k a j ( k + k ) + j ( Baustatik g ( ) ( x x g )dx und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven a j Ingenieurbau ( k + k ) + j( k + 6 ) alle Werte j und k sind mit Vorzeichen einzusetzen ( ) g (x) und g (x) gleichartige Funktionen mit unterschiedlichen Ordinaten j,k a 6 γ 6 [ k + k α 0,5 :( 0,5 α ) α γ : α δ 6 βγ aj[ ( β k ) ( ) + α k β γ 6 α 0,5 :( β 0,5) α γ : 6αδ 5 ( + γδ ) aj( k + k ) 7 ( + γ +γ ) aj( k + k ) 48 7 ( + δ +δ ) aj( k 48 + k ) a( j + 0 j + j )k a[ j j ( ) j ]k δ + + γδ + γ a[ jk + j( k + k) + jk ] ( ) + γ 0 γ aj( 7k + 8k ) 60 ( + γ + γ + γ ) aj( k + 4k ) 0 0 [ k