lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:"

Transkript

1 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert auf einem abgeschlossenen Intervall, sei stetig, meint man damit, dass f auf (a, b) stetig ist und ausserdem in den Randpunkten gilt: xցa Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: f(x) = f(a) und f(x) = f(b). xրb Satz Sei I R ein abgeschlossenes Intervall und sei f:i R stetig. Sind x 1 x 2 in I und y R mit f(x 1 ) < y 0 < f(x 2 ), so gibt es ein x 0 zwischen x 1 und x 2 mit f(x 0 ) = y 0. Beweis. Hinter dieser Aussage steht das Supremumsaxiom. Für Funktionen, die nur für rationale Zahlen definiert sind, ist die Aussage nicht richtig. Für den Beweis können wir annehmen, dass x 1 < x 2 ist. Weiter können wir durch Verschiebung der Funktion f um den Wert y 0 die Frage darauf reduzieren, eine Nullstelle von f zu finden. Nehmen wir also an: f(x 1 ) < 0 < f(x 2 ). Eine Strategie zur Konstruktion einer Nullstelle x 0 besteht darin, das Intervall [x 1,x 2 ] fortgesetzt zu halbieren und nur jeweils die Hälfte zu behalten, über der f das Vorzeichen wechselt. Man erhält eine Intervallschachtelung, und die Grenzen der Intervalle bilden je eine aufsteigende und eine fallende Folge, die gegen denselben Grenzwert x 0 konvergieren. Wegen der Stetigkeit muss f(x 0 ) = 0 gelten. q.e.d Beispiel Das Polynom p(x) = x 5 3x+1 besitzt eine Nullstelle zwischen x 1 = 2 und x 2 = 1, denn p( 2) = 25 < 0 und p( 1) = 3 > 0. Wenden wir nun das Intervallhalbierungsverfahren an, um eine solche Nullstelle genauer zu bestimmen. Das Startintervall ist das Intervall I 1 = [ 2; 1]. Der Mittelpunkt des Intervalls liegt bei x = 1.5 und p( 1.5) = < 0. Also wechselt das Polynom zwischen 1.5 und 1 das Vorzeichen, in der rechten Intervallhälfte gibt es also eine Nullstelle. Darum ersetzen wir das Ausgangsintervall nun durch I 2 = [ 1.5; 1]. Weil p( 1.25) = > 0 ist, findet der Vorzeichenwechsel von p in linken Intervallhälfte von I 2 statt, und wir setzen I 3 = [ 1.5; 1.25]. Im nächsten Schritt finden wir p( 1.375) > 0 und daher I 4 = [ 1.5; 1.375]. Weiter ist p( ) < 0 und daher I 5 = [ ; 1.375]. Nochmaliges Halbieren liefert p( ) > 0 und I 6 = [ ; ]. Es gibt also eine Nullstelle zwischen und Die Stelle ist damit bis auf etwa 3 Hundertstel genau bestimmt. Man kann das Verfahren entsprechend weiter fortsetzen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Das hier angegebene Polynom p besitzt noch zwei weitere Nullstellen, und zwar eine im Intervall [0;1] und eine im Intervall [1;2]. Auch diese Nullstellen kann man natürlich mit dem Intervallhalbierungsverfahren beliebig genau berechnen. Der folgende Satz ist weniger leicht zu beweisen, und wir verzichten hier auf den Beweis:

2 36 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Satz Auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] ist jede stetige Funktion beschränkt und nimmt ihr Minimum und Maximum an. Aus beiden Sätzen zusammen ergibt sich: Folgerung: Eine stetige Funktion bildet ein abgeschlossenes Intervall wieder auf ein abgeschlossenes Intervall ab. Beweis. Ist nämlich m das Minimum und M das Maximum von f auf dem Intervall [a, b], so nimmt f nach dem Zwischenwertsatz alle Werte zwischen m und M an. Also folgt f([a,b]) = {f(x) a x b} = [m,m]. q.e.d. Aus dem Zwischenwertsatz folgt auch, dass Umkehrfunktionen von stetigen Funktionen wieder stetig sind Satz Die stetige Funktion f bilde das Intervall [a, b] auf das Intervall [c, d] ab. Dann gilt: 1. f ist genau dann injektiv, wenn f streng monoton ist. 2. Ist f streng monoton wachsend (bzw. fallend), so ist auch die Umkehrfunktion f 1 :[c,d] [a,b] von f streng monoton wachsend (bzw. fallend). 3. Besitzt f eine Umkehrfunktion, so ist diese ebenfalls stetig. Man kann diese Aussage auch auf Umkehrfunktionen von Funktionen mit offenen oder halboffenen Definitionsbereichen anwenden. Denn Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft, das heisst, um die Stetigkeit an einer bestimmten Stelle x 0 zu überprüfen, reicht es die Einschränkung der Funktion auf ein passendes abgeschlossenes Intervall um x 0 zu untersuchen Folgerung Die Wurzelfunktionen n (n N) und die Arcusfunktionen arcsin, arccos und arctan sind stetig. Dabei versteht man üblicherweise unter arcsin die Umkehrung der Sinusfunktion auf dem Abschnitt [ π, π ] und unter arccos die Umkehrung der Cosinusfunktion auf 2 2 dem Abschnitt [0, π].

3 2.4. Wichtige elementare Funktionen Wichtige elementare Funktionen Aus dem Vorrat der rationalen Funktionen, der trigonometrischen Funktionen, sowie der Exponentialfunktionen kann man durch Verknüpfung mithilfe der Grundrechenarten, durch Umkehrung, sowie durch Zusammensetzung neue Funktionen bilden. Dabei ist der Definitionsbereich eventuell geeignet zu verkleinern. Die so gebildeten Funktionen sind, die wie im vorigen Kapitel schon erwähnt, alle stetig. Man bezeichnet sie als elementare Funktionen. Einige wichtige elementare Funktionen werden wir uns jetzt genauer anschauen. Eine harmonische Schwingung wird durch eine Funktion der Form f(t) = Asin(ωt+ϕ) (t R) beschrieben. Dabei ist A > 0 die Amplitude, ω > 0 die Frequenz und ϕ die Phasenverschiebung der Schwingung. Zum Beispiel könnte f(t) die vertikale Auslenkung einer schwingenden Saite zum Zeitpunkt t angeben. Auch die Auslenkung einer Feder durch eine daran befestigte Masse wird durch eine solche Funktion beschrieben. Das exponentielle Wachstum oder auch der radioaktive Zerfall werden durch eine Exponentialfunktion beschrieben. Dazu müssen wir erst etwas ausholen. Ist a R,a > 1 vorgegeben, so definiert man die Exponentialfunktion a x zur Basis a zunächst rekursiv für natürliche Exponenten: a 0 := 1, a 1 := a, a n+1 = a a n für n N. Dann dehnt man die Definition auf negative ganze Zahlen aus: a n := 1 a n für n N. Durch vollständige Induktion ergibt sich das bekannte Potenzgesetz: a n+m = a n a m für alle n,m Z. Und schliesslich setzt man für rationale Exponenten fest: a p/q := ( q a) p für p Z,q N. Diese Festlegung hängt nicht davon ab, wie der rationale Exponent dargestellt ist. Dennangenommen p = p,so ist ( q a) p = ( q q q a) p,wie manmithilfe der Potenzgesetze für ganze Exponenten und der Eindeutigkeit der Wurzeln zeigen kann. Ausserdem gilt a p/q > 1 für alle p,q N. Denn da die Funktion f p :x x p und die Funktion g q :x q x (für positive x) beide streng monoton wachsend sind, folgt aus a > 1 zunächst q a > q 1 = 1 und dann a p/q = ( q a) p > 1, wie behauptet. Die Potenzgesetze gelten auch für beliebige rationale Exponenten. Die Exponentialfunktion lässt sich sogar auf beliebige reelle Exponenten fortsetzen. Dazu halten wir zunächst fest, dass die Exponentialfunktion zur Basis a als

4 38 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Funktion auf der Menge der rationalen Zahlen Q Q >0, x a x, streng monoton steigend ist. Denn da a r > 1 für alle r Q >0, folgt mit dem Potenzgesetz für rationale Exponenten: x < y a x < a x a y x = a x+y x = a y für alle x,y Q. Deshalb ist es sinnvoll, für x R \ Q zu definieren: a x := sup{a t t Q,t < x}. Das Supremum existiert, weil die Potenzfunktion streng monoton wachsend ist, und daher die Menge {a t t Q,t < x} zum Beispiel durch a n nach oben beschränkt ist, wenn n eine natürliche Zahl ist, die grösser als x ist. Für jede reelle Zahl a > 1 erhalten wir eine streng monoton wachsende Funktion exp a :R R >0,x a x,dieaufganzrdefiniert istundnurpositivewerteannimmt. Für beliebige Exponenten gilt das bekannte Potenzgesetz: a 0 = 1 und a x+y = a x a y für alle x,y R. Ausserdem ist (a x ) y = a x y x,y R. Man kann beweisen, dass die so definierte Exponentialfunktion stetig ist und es gilt x ax = und x ax = 0. Eine besonders wichtige Rolle spielt die Exponentialfunktion zur Basis e, der sogenannten Eulerschen Zahl. Man verwendet hier die Notation exp(x) := e x. Wie bereits erwähnt, können wir e definieren durch e := n (1+ 1 n )n und e x = n (1+ x n )n für x R. Ausserdem gilt: e = k=0 1 k! und e x = Mithilfe der Exponentialfunktion können wir, wie schon erwähnt exponentielles Wachstum, aber auch Abklingvorgänge beschreiben. Zum Beispiel wird der Zerfall einer radioaktiven Substanz durch k=0 f(t) = K 0 e λt (t 0) beschrieben. Dabei ist t die Zeit, K 0 bezeichnet die zum Zeitpunkt t = 0 vorliegende Menge und λ > 0 ist die Zerfallsrate. Ein Wachstumsprozess, bei dem eine Sättigung eintritt, lässt sich durch eine Funktion der folgenden Form modellieren: x k k!. f(t) = a(1 e λt )+b (t 0). Hier handelt es sich um eine monoton steigende Funktion, die zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Wert b startet und für t gegen den Grenzwert a+b hat.

5 2.4. Wichtige elementare Funktionen 39 Eine Kombination von Sinus und Exponentialfunktion wird verwendet, um gedämpfte Schwingungen darzustellen: f(t) = Ae λt sin(ωt+ϕ) (t 0). Hier ist λ > 0 eine Dämpfungsrate, und der Faktor e λt sorgt für eine allmähliche Abnahme der Amplitude der Schwingung, während die Frequenz unverändert bleibt. Die Exponentialfunktion exp a :R R >0 für eine Basis a > 1 ist bijektiv und daher umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man den Logarithmus log a zur Basis a. Die Funktion log a :R >0 R ist nur definiert für positive Zahlen und es gilt: a log a (y) = y und log a (a x ) = x für alle x R, y R >0. Die Logarithmusfunktion ist als Umkehrfunktion einer stetigen Funktion auch wieder stetig. Der Logarithmus zur Basis e ist der sogenannte natürliche Logarithmus, den wir mit log e = ln bezeichnen. Durch Umkehrung der Potenzgesetze ergibt sich für Logarithmen folgendes Gesetz: log a (1) = 0 und log a (x y) = log a (x)+log a (y) für alle x,y R >0. Ausserdem ist log a (a) = 1 und log a (x y ) = y log a (x) x,y > 0. Die Logarithmusfunktion ist streng monoton wachsend und es gilt: log a(x) = und log a (x) =. x x Bemerkung Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Exponentialfunktionen ist folgender: Für jede Basis a > 1 gilt: a x = e xlna für alle x R. Beweis. Dies folgt aus den Rechenregeln für Potenzen, denn für x R gilt e xln(a) = e ln(a)x = (e ln(a) ) x = a x wie behauptet. q.e.d.

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,

Mehr

Funktionen. Mathematik-Repetitorium

Funktionen. Mathematik-Repetitorium Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1 4. Funktionen Funktionen 2

Mehr

13 Stetige Funktionen

13 Stetige Funktionen $Id: stetig.tex,v.4 2009/02/06 3:47:42 hk Exp $ 3 Stetige Funktionen 3.2 Stetige Funktionen In anderen Worten bedeutet die Stetigkeit einer Funktion f : I R also f(x n) = f( x n ) n n für jede in I konvergente

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte

Mehr

17 Logarithmus und allgemeine Potenz

17 Logarithmus und allgemeine Potenz 7 Logarithmus und allgemeine Potenz 7. Der natürliche Logarithmus 7.3 Die allgemeine Potenz 7.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a 7.5 Die Potenzfunktion zum Exponenten b 7.6 Die Logarithmusfunktion zur

Mehr

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.

Mehr

15 Hauptsätze über stetige Funktionen

15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15.1 Extremalsatz von Weierstraß 15.2 Zwischenwertsatz für stetige Funktionen 15.3 Nullstellensatz von Bolzano 15.5 Stetige Funktionen sind intervalltreu 15.6 Umkehrfunktionen

Mehr

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B. SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten

Mehr

SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Grundkurs 1

SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Grundkurs 1 SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das

Mehr

Kapitel 6. Exponentialfunktion

Kapitel 6. Exponentialfunktion Kapitel 6. Exponentialfunktion 6.1. Potenzreihen In Kap. 4 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.

Mehr

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Abgabe Donnerstag 7. Dezember, 0:5 in H 5+7+8 = 20 Punkte Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben 29. Das Bisektionsverfahren sucht eine Nullstelle

Mehr

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt

Mehr

Mathematik I. Zusammenhängende Räume

Mathematik I. Zusammenhängende Räume Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 21 Die beiden nächsten Vorlesungen kann man unter dem Aspekt sehen, welche topologischen Eigenenschaften die reellen Zahlen gegenüber

Mehr

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den

Mehr

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte

Mehr

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen

Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen Kapitel 6 Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen 6.1 Polynome Geg.: Polynom vom Grad n p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, also mit a n 0. p(x) = x n ( a 0 x + a 1 n x +...

Mehr

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben

Mehr

Kapitel 7. Exponentialfunktion

Kapitel 7. Exponentialfunktion Kapitel 7. Exponentialfunktion 7.1. Potenzreihen In Kap. 5 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen 4.1. Grundlegende Definitionen Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 22./29. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 205 9. Mai 205 Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Aufgabe (Stetigkeit) (a) Für welche a, b R sind die folgenden Funktionen stetig in x 0

Mehr

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis

Mehr

Potenzen - Wurzeln - Logarithmen

Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Funktionen Evelina Erlacher 7. März 007 Der Funktionsbegriff Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen 3 Einige Typen

Mehr

2. Mathematische Grundlagen

2. Mathematische Grundlagen 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,

Mehr

Exponentialfunktion, Logarithmus

Exponentialfunktion, Logarithmus Exponentialfunktion, Logarithmus. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0 Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel... Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei

Mehr

Kapitel 7 STETIGKEIT

Kapitel 7 STETIGKEIT Kapitel 7 STETIGKEIT Fassung vom 8. Juni 2002 Claude Portenier ANALYSIS 29 7. Der Begri Stetigkeit 7. Der Begri Stetigkeit DEFINITION I.a. sagt man, daßeine Abbildung von einer Menge X in K n, wobei K

Mehr

Potenzgesetze und Logarithmengesetze im Komplexen

Potenzgesetze und Logarithmengesetze im Komplexen Potenzgesetze und Logarithmengesetze im Komplexen Man kennt die Potenzgesetze und die Logarithmengesetze gewöhnlich schon aus der Schule und ist es gewohnt, mit diesen leicht zu agieren und ohne große

Mehr

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,

Mehr

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Reelle Zahlen sind ideale Objekte, die es uns ermöglichen, eine transparente und leistungsfähige Theorie aufzubauen. Ein Computer kann jedoch nur mit Approximationen

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen

Mehr

F u n k t i o n e n Zusammenfassung

F u n k t i o n e n Zusammenfassung F u n k t i o n e n Zusammenfassung Johann Carl Friedrich Gauss (*1777 in Braunschweig, 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker mit einem breit gefächerten Feld an Interessen.

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Analysis Leistungskurs

Analysis Leistungskurs Universität Hannover September 2007 Unikik Dr. Gerhard Merziger Analysis Leistungskurs Themen Grundlagen, Beweistechniken Abbildungen (surjektiv, injektiv, bijektiv) Vollständige Induktion Wichtige Ungleichungen

Mehr

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n

Mehr

Kapitel 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FUNKTION

Kapitel 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FUNKTION Kapitel 3 EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUS-FUNKTION Fassung vom 3 Dezember 2005 Mathematik für Humanbiologen und Biologen 39 3 Exponentialfunktion 3 Exponentialfunktion Wir betrachten als einführendes Beispiel

Mehr

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y

f : x 2 x f : x 1 Exponentialfunktion zur Basis a. Für alle Exponentialfunktionen gelten die Gleichungen (1) a x a y = a x+y (2) ax a y = ax y 5. Die natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion ================================================================== 5.1 Die natürliche Exponentialfunktion f : x 2 x f : x 1 2 x

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=

Mehr

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen...................................

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen In dieser Zusammenfassung werden die für uns wichtigsten Eigenschaften der komplexen und reellen Exponentialfunktion sowie der Winkelfunktionen

Mehr

10 - Elementare Funktionen

10 - Elementare Funktionen Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 1 10 Elementare Funktionen Definition 10.1 (konstante Funktion) Konstante Funktionen sind nichts weiter als Parallelen zur xachse, wenn man ihren Graphen in das

Mehr

1 Beschreibung der Grundlagen

1 Beschreibung der Grundlagen Westsächsische Hochschule Zwickau Fachgruppe Mathematik Grundlagen Inhaltsverzeichnis Aufgaben zu den Grundlagen findet man über den folgenden Link: Aufgaben zu den Grundlagen 01 1 Beschreibung der Grundlagen

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

n 1, n N \ {1}, 0 falls x = 0,

n 1, n N \ {1}, 0 falls x = 0, IV.1. Stetige Funktionen 77 IV. Stetigkeit IV.1. Stetige Funktionen Stetige Funktionen R R sind vielen sicher schon aus der Schule bekannt. Dort erwirbt man sich die naive Vorstellung, dass eine stetige

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1 14 Stetigkeit

Mehr

1 Reihen von Zahlen. Inhalt:

1 Reihen von Zahlen. Inhalt: 5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,

Mehr

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen 4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen 9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a

Mehr

Anwendungen der Differentialrechnung

Anwendungen der Differentialrechnung KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................

Mehr

Exponential- u. Logarithmusfunktionen. Funktionen. Exponentialfunktion u. Logarithmusfunktionen. Los geht s Klick auf mich!

Exponential- u. Logarithmusfunktionen. Funktionen. Exponentialfunktion u. Logarithmusfunktionen. Los geht s Klick auf mich! Exponential- u. Logarithmusfunktionen Los geht s Klick auf mich! Melanie Gräbner Inhalt Exponentialfunktion Euler sche Zahl Formel für Wachstum/Zerfallsfunktionen Logarithmen Logarithmusfunktionen Exponentialgleichung

Mehr

Analysis I, WS 14/15 Verzeichnis der wichtigsten Definitionen und Sätze

Analysis I, WS 14/15 Verzeichnis der wichtigsten Definitionen und Sätze Analysis I, WS 14/15 Verzeichnis der wichtigsten Definitionen und Sätze Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen 2 2 Folgen und Reihen 7 3 Stetigkeit 15 4 Differenzierbarkeit

Mehr

Einleitung 1. 3 Beweistechniken und einige Beweise Teil I 19

Einleitung 1. 3 Beweistechniken und einige Beweise Teil I 19 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis iv Einleitung 1 1 Aussagen, Mengen und Quantoren 3 1.1 Aussagen und logische Verknüpfungen........................ 3 1.2 Mengen.........................................

Mehr

LMU MÜNCHEN. Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2016/17. GRUNDLAGENTUTORIUM 5 - Lösungen. Anmerkung

LMU MÜNCHEN. Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2016/17. GRUNDLAGENTUTORIUM 5 - Lösungen. Anmerkung LMU MÜNCHEN Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2016/17 GRUNDLAGENTUTORIUM 5 - Lösungen Anmerkung Es handelt sich hierbei um eine Musterlösung so wie es von Ihnen in einer Klausur erwartet

Mehr

Mathematik für Studierende der Erdwissenschaften Lösungen der Beispiele des 5. Übungsblatts

Mathematik für Studierende der Erdwissenschaften Lösungen der Beispiele des 5. Übungsblatts Mathematik für Studierende der Erdwissenschaften Lösungen der Beispiele des 5. Übungsblatts 1. Stetigkeit und Grenzwerte: (a) Aus der folgenden grafischen Darstellung von y 1 (x) = x 2/3 /(1 + x 2 ) ist

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 2015/16 Universität Leipzig. Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien 1-10

Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 2015/16 Universität Leipzig. Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien 1-10 Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 05/6 Universität Leipzig Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien -0 Inhaltsverzeichnis Serie Serie 5 3 Serie 8 4 Serie 9 5 Serie 3 6 Serie 6 7

Mehr

SCHWINGUNGEN. Version 2.0 Herbert Paukert. Sinusfunktion y = sin(x) [ 03 ]

SCHWINGUNGEN. Version 2.0 Herbert Paukert. Sinusfunktion y = sin(x) [ 03 ] Schwingungen Herbert Paukert 1 SCHWINGUNGEN Version 2.0 Herbert Paukert Sinusfunktion y = sin(x) [ 03 ] Sinusfunktion y = a*sin(x) [ 08 ] Sinusfunktion y = sin(b*x) [ 09 ] Sinusfunktion y = sin(x+c) [

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/

Mehr

Komplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg

Komplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Universität Hamburg SS 2006 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen

Mehr

WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse

WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse I. Kreiszahl 1. Kreis: Fläche des Kreissektors: = Länge des Kreisbogens: = Im Einheitskreis gilt: = 2 = 2. Kugel: Oberflächeninhalt: = 4 Volumen: = II. Geometrische

Mehr

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen

Mehr

Der natürliche Logarithmus. logarithmus naturalis

Der natürliche Logarithmus. logarithmus naturalis Der natürliche Logarithmus ln logarithmus naturalis Zur Erinnerung: Die Exponentialfunktion y = exp(x) ist festgelegt durch 2 y = exp(x) y (x) = y(x) 0 x y(0) = 2 Zur Erinnerung: e := y() 2.78 exp(x) =

Mehr

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen

Mehr

Repetitorium Mathe 1

Repetitorium Mathe 1 Übungsaufgaben Skript Repetitorium Mathe 1 WS 2014/15 25./26.01. und 31.01./01.02.2015 Inhaltsverzeichnis 1 Bruchrechnung 2 2 Zahlsysteme 2 3 Arithmetisches und geometrisches Mittel 2 4 Wachstum 2 5 Lineare

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.

Mehr

In diesem ersten Abschnitt werden die gebräuchlichsten Bezeichnungen und Symbole definiert. N = {1,2,3,...}, p in Z,q in N}.

In diesem ersten Abschnitt werden die gebräuchlichsten Bezeichnungen und Symbole definiert. N = {1,2,3,...}, p in Z,q in N}. 1 1 Grundlagen 1.1 Zahlen, Mengen und Symbole In diesem ersten Abschnitt werden die gebräuchlichsten Bezeichnungen und Symbole definiert. Zahlenmengen Die Menge N der natürlichen Zahlen ist gegeben durch

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien

Mehr

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1 b) Stetigkeit Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D Sei a D f heißt stetig in a, falls gilt lim f() = f(a) a f heißt stetig auf D, wenn f in jedem

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Summen, Exponentialfunktion, Ableitung Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 2. Vorlesung: 04.11.2011 1/46 Inhalt 1 Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: A. Kirchhoff, T. Pfrommer, M. Kutter, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H.

Mehr

Musterlösung zu Blatt 11, Aufgabe 1

Musterlösung zu Blatt 11, Aufgabe 1 Musterlösung zu Blatt 11, Aufgabe 1 I Aufgabenstellung Es sei I =[a, b] ein kompaktes Intervall. (a) Zeigen Sie, daß eine stetige Funktion f : I R genau dann injektiv ist, wenn sie strikt monoton ist.

Mehr

Thema 3 Folgen, Grenzwerte

Thema 3 Folgen, Grenzwerte Thema 3 Folgen, Grenzwerte Definition Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung von N in R d.h. jedem n N ist eine Zahl a n zugeordnet. Wir schreiben für eine solche Folge. Beispiele. (a n ) n N

Mehr

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015 II Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen 1 5.1 Funktionen einer Variablen...................... 1 5.2 spezielle Funktionen.........................

Mehr

12. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

12. Stetigkeit und Differenzierbarkeit. 2- Funktionen 2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Wenn man von Analsis spricht, so meint man die Untersuchung von Funktionen in einer oder oder in mehreren Variablen, vor allem denkt man an das Differenzieren

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 5 Hausaufgaben Aufgabe 5. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Benutzen

Mehr

Stetigkeit. Klaus-R. Loeffler. 1 Vorstellung, Definition und Folgerungen Stetigkeitscharakterisierung durch Folgen... 3

Stetigkeit. Klaus-R. Loeffler. 1 Vorstellung, Definition und Folgerungen Stetigkeitscharakterisierung durch Folgen... 3 Stetigkeit Klaus-R. Loeffler Inhaltsverzeichnis 1 Vorstellung, Definition und Folgerungen 1.1 Stetigkeitscharakterisierung durch Folgen......................... 3 Regeln zur Stetigkeit an einer Stelle

Mehr

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.1 Sinus und Cosinus 22.3 Definition von 22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems 22.7 Tangens

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen

Mehr

Funktionen und Stetigkeit

Funktionen und Stetigkeit Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit 4.1 Funktionen Definition 4.1: Eine Funktion f : D C ist eine Zuordnung f : z f(z) einer Zahl z D C zu einem Bildwert f(z) C. Der Punkt z heißt auch Urbild von f(z).

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

Trignonometrische Funktionen 6a

Trignonometrische Funktionen 6a Schuljahr 2015/16 andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, November 23, 2015 Winkelmaße Winkelmaß bis 6. Klasse: Grad (0 360 )

Mehr

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.

Mehr

Stetige Funktionen. Kapitel Grenzwerte von Funktionen

Stetige Funktionen. Kapitel Grenzwerte von Funktionen Kapitel 5 Stetige Funktionen 5.1 Grenzwerte von Funktionen In diesem Abschnitt soll der Grenzwertbegriff auf Funktionen erweitert werden. Im Unterschied zu den Gliedern einer Folge sind die Funktionswerte

Mehr

Funktionalgleichungen

Funktionalgleichungen Funktionalgleichungen Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 10. Mai 2010 Funktionalgleichungen sind Gleichungen, mit denen Funktionen charakterisiert oder bestimmt werden können. In diesem

Mehr

Skriptum zum Praktikum Einführung in die Mathematik 2

Skriptum zum Praktikum Einführung in die Mathematik 2 Skriptum zum Praktikum Einführung in die Mathematik Tobias Hell & Georg Spielberger Letzte Änderung:. Februar 0 Universität Innsbruck WS 00/ Inhaltsverzeichnis Präliminarien 4 Rechnen mit Potenzen und

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

U. Rausch, 2010 Potenzrechnung 1

U. Rausch, 2010 Potenzrechnung 1 U. Rausch, 2010 Potenzrechnung 1 Potenzrechnung 1 Schreibweise und Potenzrechenregeln Unter einer Potenz versteht man ein Symbol der Form a x, gesprochen a hoch x, wobei a und x (reelle) Zahlen sind. Dabei

Mehr