2. Stetige lineare Funktionale

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1 Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn eine gewöhnliche Funktion f : ú 6 zu einer in einem t 0 0 ú stetig ist, so heißt das definitionsgemäß, dass Dies wiederum ist dadurch definiert, dass für jede Folge (t n )' (t 1, t 2,...) aus ú, die für n 6 4 gegen t 0 konvergiert, für die also ' t 0 gilt. So ist die folgende Definition für ein Funktional T : D(ú) 6 nur naheliegend: T heißt stetig in einem n 0 0 D(ú), wenn für jede Folge (n n ) ' (n 1, n 2,...) aus D(ú), die für n 6 4 gegen n 0 konvergiert. Die Frage ist nur, was man unter der Konvergenz der Folge (n n ) gegen n 0 zu verstehen hat. Weil (n n ) eine Folge von Funktionen n n : ú 6 auch die Frage nach den für Funktionenfolgen üblichen Konvergenzbegriffen. ist, stellt sich damit (2.1) Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen. Im Hinblick auf spätere Anwendungen betrachten wir zunächst nicht nur Folgen von Testfunktionen, sondern allgemeiner gleich Folgen von Funktionen f n : A n (d ú) 6, wobei n 0 ù. Zur Definition eines für solche Folgen häufig verwendeten Konvergenzbegriffs wird der Begriff des Supremums einer Menge A d ú benötigt. Eng damit verwandt ist der des Infimums von A. Als Erstes sollen daher diese zwei Begriffe erklärt werden. (2.1.1) Definition: Sei A d ú. Dann heißt A 1) nach oben beschränkt, wenn ein c > 0 existiert, so dass t # c für alle t 0 A; 2) nach unten beschränkt, wenn ein c > 0 existiert, so dass t $ &c für alle t 0 A. Eine Menge A d ú ist genau dann nach oben und nach unten beschränkt, wenn sie beschränkt im Sinne von Definition (1.3.6) ist. (2.1.2) Definition: Sei A d ú. Dann ist definiert 1) das Supremum von A durch sup A :' max A a, wenn A nach oben beschränkt ist, :'% 4, sonst; 2) das Infimum von A durch inf A :' min A a, wenn A nach unten beschränkt ist, :'& 4, sonst. (A a : abgeschlossene Hülle von A; s. (1.3.2)). Das Supremum einer Menge A d ú ist gleich dem Maximum von A, wenn dieses existiert. Anderenfalls ist das Supremum eine Art von Ersatz für das nicht vorhandene Maximum. In der gleichen Relation zueinander stehen auch das Infimum und das Minimum von A. Beispiel: Das halboffene Intervall A ' [0, 1, besitzt ein Minimum, nämlich min A ' 0, aber kein

2 -22- Maximum. Die Größen sup A und inf A existieren jedoch beide. Weil A a ' [0, 1], gilt sup A ' max A a ' 1 und inf A ' min A a ' 0. Da min A existiert, ist inf A ' min A ' 0. Im Folgenden treten diese Begriffe fast immer im Zusammenhang mit einer Funktion f : A (d ú) 6 ú auf. Betrachtet wird dann das Supremum oder Infimum der Bildmenge f (I) :' {f (t)* t 0 I} einer Menge I d A, die in der Regel ein Intervall sein wird. In einer Skizze des Graphen von f liegt f(i) auf der Ordinatenachse. Für sup f(i) und inf f(i) schreibt man gerne auch und Beispiel: Sei f : ú 6 ú die arctan - Funktion, also f (t) :' arctan t œ t 0 ú. Weil f auf ganz ú monoton wächst, gilt z. B.: oder, und für die entsprechenden Infima: bzw.. Dabei ist zum Beispiel nur eine andere Schreibweise für Für Funktionenfolgen sind mehrere Konvergenzbegriffe gebräuchlich. Zu den wichtigsten gehören die Begriffe der punktweisen und der gleichmäßigen Konvergenz auf einer Menge I d ú. (2.1.3) Definition: Gegeben seien eine Folge von Funktionen f n : A n (d ú) 6, wobei n 0 ù, und eine Funktion f : A 6, sowie eine Menge I d ú mit I d A n für alle n 0 ù und I d A. Dann heißt die Folge (f n )' (f 1, f 2,...) für n 64 1) auf I punktweise konvergent gegen f, wenn für jedes t 0 I, 2) auf I gleichmäßig konvergent gegen f, wenn Wir schreiben dann oft 1) im Fall der punktweisen Konvergenz: pw. auf I, 2) im Fall der gleichmäßigen Konvergenz: glm. auf I. Für ein festes t 0 I ist (f n (t)) eine Zahlenfolge und f(t) eine Zahl aus, und die Aussage ' f(t) ist daher gleichwertig mit der Aussage Die Größe *f n (t)& f(t)* ist der Abstand, den die Zahlen f n (t) und f(t), d. h. die Funktionswerte von f n und f an der Stelle t in der Zahlenmenge voneinander haben. Folglich ist eine obere Schranke für den Abstand, den die Funktionswerte von f n und f an einer beliebigen Stelle t 0 I voneinander haben können. Daraus folgt sofort:

3 -23- (2.1.4) Satz: Seien (f n ), f und I wie in (2.1.3). Dann gilt: 1) glm. auf I Y pw. auf I; aber: 2) pw. auf I glm. auf I. Beispiel: Sei f n : ú 6 ú für jedes n $ 1 definiert durch œ t 0 ú. Für jedes n $ 1 ist f n gerade, gilt f n (t) ' e & n t für alle t $ 0 und ist f n auf dem Intervall [0, 4, monoton fallend. Für t ' 0 gilt:, und für jedes t 0 hat man:, weil *t* > 0 für t 0. Daraus folgt, dass die Funktionenfolge (f n ) für n 64 punktweise auf ganz ú gegen die für alle t 0 ú durch definierte Funktion f : ú 6 ú konvergiert. (f n ) konvergiert aber für n 6 4 nicht gleichmäßig auf ganz ú gegen f, denn: für jedes n $ 1, so dass. Kommentare: (1): weil *f n (0)& f(0)* '*1& 1* ' 0; (2): weil t 6 e & n *t* gerade; (3): weil t 6 e & n t monoton fallend auf [0, 4,. Für Folgen von Testfunktionen hat man einen ganz speziellen Konvergenzbegriff, nämlich den der sog. D - Konvergenz eingeführt. (2.1.5) Definition: Eine Folge (n n ) von Testfunktionen n n : ú 6, wobei n 0 ù, heißt für n 64 D - konvergent gegen eine Testfunktion n : ú 6, in Zeichen: (D) oder wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt: (D 1) es gibt ein a > 0, so dass Tr(n n ) d [&a, a] für alle n 0 ù; (D 2) für alle k 0 ù 0. (Dabei wie üblich:, n (0) :' n; ù 0 :' {0, 1, 2,...}). Die Bedeutung von (D 1) ist klar: die Träger der Testfunktionen n n, n 0 ù, müssen alle in einem gemeinsamen Intervall [&a, a], a > 0, liegen. Die Bedingung (D 2) bedeutet, dass sowohl die

4 -24- Folge (n n ) als auch alle Folgen (n n N), (n n O),..., die aus den ersten und allen höheren Ableitungen der Testfunktionen n n, n 0 ù, bestehen, für n 6 4 gleichmäßig auf ganz ú gegen die resp. Testfunktionen n, nn, no,... konvergieren müssen. Sie kann noch einfacher formuliert werden. Zunächst können die in ihr auftretenden Suprema durch die entsprechenden Maxima ersetzt werden, d. h., es gilt: œ n 0 ù, œ k 0 ù 0. Das ist richtig, weil für jedes n 0 ù und jedes k 0 ù 0 die Funktion auf ganz ú stetig ist und außerhalb eines kompakten Intervalls verschwindet. Eine weitere Vereinfachung in der Formulierung von (D 2) ist mit Hilfe der sog. Maximumnorm auf D(ú) möglich. Zu ihrer Definition verwenden wir das Symbol ú % für die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen, also: ú % :' {" 0 ú *" $ 0}. (2.1.6) Definition: Die durch œ n 0 D(ú) definierte Abbildung 2. 2 : D(ú) 6 ú % heißt die Maximumnorm auf D(ú). Der Begriff der Norm spielt in der Funktionalanalysis eine große Rolle. Er hat für jeden Vektorraum einen Sinn. Seine Definition ist wie folgt: (2.1.7) Definition: Sei X ein (beliebiger) Vektorraum über. Dann versteht man unter einer Norm auf X eine Abbildung 2. 2 : X 6 ú % mit den folgenden drei Eigenschaften: (N 1) 2x2 ' 0 ] x ' 0. (N 2) 2" x2 '*"*2x2 œ " 0, œ x 0 X. (N 3) 2x % y2 # 2x2 % 2y2 œ x, y 0 X (sog. Dreiecksungleichung). Das bekannteste Beispiel für eine Norm ist der Betrag auf dem Vektorraum ú n, d. h. die durch œ x ' (x 1, x 2,..., x n ) T 0 ú n definierte Abbildung 2. 2 : ú n 6 ú %. Dass sie die Bedingungen (N 1) - (N 3) erfüllt, ist von der elementaren Vektorrechnung und der Linearen Algebra her bekannt. Der Beweis, dass die Maximumnorm auf D(ú) ebenfalls den Bedingungen (N 1) - (N 3) genügt und damit eine Norm im Sinne der Definition (2.1.7) ist, kann zum Beispiel so geführt werden: 1. (Nullfunktion); also ist (N 1) erfüllt. 2. ; gilt für alle " 0 und alle n 0 D(ú) Y (N 2) erfüllt.

5 Für jedes t 0 ú gilt: ; gilt für alle n, R 0 D(ú) Y (N 3) erfüllt. (((): Dreiecksungleichung für Zahlen aus ) m Mit Hilfe der Maximumnorm auf D(ú) kann nun die Bedingung (D 2) von Definition (2.1.5) sehr knapp und übersichtlich wie folgt ausgedrückt werden: (D 2) für alle k 0 ù 0. (2.1.8) Beispiele: Sei n die Testfunktion von Beispiel (1.2.3), d. h.: wobei für t 0 +&1, 1,. Mit n sind auch alle Ableitungen nn, no,... Testfunktionen, wobei Tr(n) ' [&1, 1] und Tr(n (k) ) d [&1, 1] œ k 0 ù. Für jedes k 0 ù 0 ist eine positive reelle Zahl. Ihr exakter Wert, der nur für k ' 0 sofort angegeben werden kann, wird im Folgenden nicht gebraucht. (Für k ' 0: M k ' M 0 ' 2n (0) 2 ' 2n2 ' n(0) ' e &1 ). 1. Sei (R n ) die durch œ t 0 ú, œ n 0 ù definierte Folge von Testfunktionen. Da für jedes t 0 ú, konvergiert (R n ) auf ganz ú punktweise gegen die Nullfunktion R ' 0. Die Folge (R n ) ist auch D - konvergent gegen R ' 0. Es gilt nämlich: i) Tr(R n )' Tr(n) ' [&1, 1] œ n 0 ù Y (D 1) erfüllt. ii) œ n 0 ù, œ k 0 ù 0 und œ k 0 ù 0 Y œ k 0 ù 0 Y (D 2) erfüllt. Also ist (R n ) D - konvergent mit. 2. Sei jetzt (R n ) die durch œ t 0 ú, œ n 0 ù definierte Folge aus D(ú). Weil für jedes t 0 ú und jedes n 0 ù, ist wieder für jedes t 0 ú, so dass auch diese Folge (R n ) auf ganz ú punktweise gegen R ' 0 konvergiert. Sie ist aber nicht D - konvergent gegen R ' 0. Wegen

6 woraus folgt, dass für alle n 0 ù, erfüllt (R n ) zwar die Bedingung (D 1), jedoch nicht die Bedingung (D 2). So gilt zum Beispiel: -26- œ t 0 ú, œ n 0 ù und œ t 0 ú Y 2 œ n 0 ù Y so dass (D 2) für k ' 1 nicht erfüllt ist, weil M 1 > 0. Den nächsten und letzten Satz dieses Abschnitts werden wir im Folgenden des öfteren anwenden. Er folgt sehr schnell aus der Definition (2.1.5) der D - Konvergenz. (2.1.9) Satz: Sei (n n ) eine Folge aus D(ú) und sei n 0 D(ú). Dann gilt: 1) (D) ] (D). 2) (D) Y für jedes k 0 ù.

7 -27- (2.2) Stetige lineare Funktionale. Wir interessieren uns nur für stetige lineare Funktionale auf dem Raum D(ú) aller Testfunktionen n : ú 6. Aufgrund der Bemerkungen zu Beginn von 2 und nach der Vereinbarung eines Konvergenzbegriffs für Folgen aus D(ú) ist die folgende Definition nur selbstverständlich: (2.2.1) Definition: Ein (nicht notwendig lineares) Funktional T : D(ú) 6 heißt 1) stetig in n, wobei n 0 D(ú), wenn für jede Folge (n n ) aus D(ú) mit (D); 2) stetig (deutlicher: stetig auf D(ú)), wenn T in jedem n 0 D(ú) stetig ist. Lineare Funktionale T : D(ú) 6 auf ganz D(ú) stetig, wenn sie nur in n ' 0 stetig sind, d. h.: haben eine besonders erfreuliche Eigenschaft: sie sind schon (2.2.2) Satz: Sei T : D(ú) 6 linear. Dann gilt: T stetig in n ' 0 ] T stetig auf D(ú). Jetzt kann auch der zentrale Begriff dieser Vorlesung endgültig definiert werden. (2.2.3) Definition: Eine ( - wertige) verallgemeinerte Funktion oder auch Distribution auf ú ist ein stetiges lineares Funktional T : D(ú) 6. Weil kürzer, werden wir im Folgenden meistens das Wort Distribution gebrauchen. Aus Satz (2.2.2) und der Definition (2.1.5) der D - Konvergenz folgt: (2.2.4) Satz: Ein lineares Funktional T : D(ú) 6 ist genau dann eine Distribution auf ú, wenn für jede Folge (n n ) aus D(ú) mit (D), d. h. für jede Folge (n n ) aus D(ú), welche die folgenden Bedingungen erfüllt: (D 1) es gibt ein a > 0, so dass Tr(n n ) d [&a, a] für alle n 0 ù; (D 2) œ k 0 ù 0. Hierzu sei noch daran erinnert, dass man bei einem linearen Funktional T anstelle von T(n) lieber +T, n, schreibt. Die Vorteile dieser Schreibweise werden sich noch erweisen. (2.2.5) Beispiele: 1. Sei f : A (d ú) 6 eine lokal integrierbare Funktion. In (1.5.3) wurde schon gezeigt, dass das Funktional [f] : D(ú) 6, definiert durch œ n 0 D(ú), linear ist. Überzeugen wir uns jetzt davon, dass es auch stetig ist. Dazu betrachten wir eine Folge (n n ) aus D(ú) mit den Eigenschaften (D 1) und (D 2) von (2.2.4). Aus (D 1) folgt:

8 -28- daraus weiter mit Hilfe der Ungleichung (2.3.7) von Kap. I: œ n 0 ù, und daraus schließlich aufgrund von (D 2) für k ' 0, dass Nach Satz (2.2.4) ist [f] deshalb stetig auf D(ú) und somit eine Distribution auf ú. 2. Auch die Diracsche Deltafunktion, d. h. das durch +*, n, :' n(0) œ n 0 D(ú) definierte lineare Funktional * : D(ú) 6 (s. (1.5.3)), ist stetig. Ist nämlich (n n ) wieder eine Folge aus D(ú) mit den Eigenschaften (D 1) und (D 2) von (2.2.4), so gilt: œ n 0 ù, woraus nun allein aus (D 2) für k ' 0 folgt, dass