13. AUSBAU DER DIFFERENTIALRECHNUNG. Im Kapitel Grenzwerte wurde bereits der Begriff des Grenzwertes einer Funktion geklärt.

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1 Dfferetalrechug 3. AUSBAU DER DIFFERENTIALRECHNUNG 3.. Stetgket reeller Fuktoe (a) Grezwerte vo Fuktoe Im Kaptel Grezwerte wurde berets der Begrff des Grezwertes eer Fukto geklärt. Es se f ee reelle Fukto. We für jede Folge mt Grezwert z de Folge f( ) koverget st ud für jede Folge deselbe Grezwert q bestzt, so et ma dese Zahl q de Grezwert der Fukto f a der Stelle z: lm f ( ) = lm f ( ) = q z Mt Hlfe deser Defto lasse sch Grezwerte für Fuktoe, falls dese estere, fde. Um cht be jeder Grezwertberechug vo Fuktoe auf Folge zurückgrefe zu müsse, ka ma für Fuktoe ebefalls Grezwertsätze agebe. Grezwertsätze für Fuktoe: [ ] [ ] lm f ( ) + g ( ) = lm f ( ) + lm g ( ) z z z lm f ( ) g ( ) = lm f ( ) lm g ( ) z z z [ ] [ ] lm f ( ) g ( ) = lm f ( ) lm g ( ) z z z lm f ( ): g ( ) = lm f ( ):lm g ( ) z z z We das Kaptel Grezwerte weters gezegt hat, st de Formulerug... für jede Folge deselbe Grezwert... wesetlch, da zuwele de Grezwerte für verschede Folge verschede sd. Im spezelle kote zwsche rechts- ud lkssetge Grezwerte uterschede werde. Strebt gege ee feste Wert z, so ka de Bewegug auf der Zahlegerade vo rechts oder vo lks ach z erfolge. Ma uterschedet dese Aäheruge durch z+ bzw. z-. Ergebe sch be der Grezwertbldug vo f() uterschedlche Grezwerte, so bezechet ma dese als rechtsetge ud lkssetge Grezwerte. Im folgede Abschtt wrd de Uterschedug zwsche rechts- ud lkssetge Grezwerte be der Utersuchug vo Fuktoe m Rahme der erweterte Kurvedskusso vo Bedeutug se

2 Dfferetalrechug (b) Dfferezerbarket vo Fuktoe De Defto des Grezwertes eer Fukto a eer Stelle ermöglcht u ee geauere Defto bezüglch der Dfferezerbarket vo Fuktoe. Ee reelle Fukto f heßt a eer Stelle ( D) dfferezerbar, we der Grezwert fz lm ( ) f ( ) fz f estert. Ist das der Fall, so heßt f ( ) = lm ( ) ( ) de Äderugsrate z z z z bzw. der Dfferetalquotet bzw. de Abletug vo f a der Stelle. Ist ee Fukto f a jeder Stelle hrer Deftosmege dfferezerbar, so sagt ma, de Fukto st dfferezerbar. Betrachtet ma de Herletuge der Dfferetatosregel aus dem Kaptel Eführug de Dfferetalrechug, so köe dese Herletuge mt obger Defto eaktfzert bzw. m achhe vollstädg erklärt werde. (c) Stetgket vo Fuktoe De Begrffe Stetgket ud stetg werde m täglche Sprachgebrauch öfters verwedet. Ma et ee Vorgag stetg, we er ohe Uterbrechuge abläuft ud see ezele Zustäde ohe Sprüge eader übergehe. Legt ma dese Aussage auf mathematsche Fuktoe um, so würde ma ee Fukto da als stetg bezeche, we se eersets kee Sprugstelle aufwest ud aderersets ee klee Äderug des Argumets ur zu eer klee Äderug des Fuktoswertes f() führt. Nachstehed folgt u de geaue Defto der Stetgket vo Fuktoe. De reelle Fukto f heßt stetg a der Stelle, we lm fz ( ) estert ud glech dem z Fuktoswert f() st. Ist f a jeder Stelle hrer Deftosmege stetg, so sagt ma, de Fukto st stetg

3 Dfferetalrechug Aufgrud der obge Defto uterschedet ma zwsche lokaler Stetgket - gemet st de Stetgket a eer Stelle - ud globaler Stetgket - gemet st de Stetgket eer Fukto hrem gaze Deftosberech. Aus der vorge Defto ka ma de Egeschaft der Uuterbrochehet, also das Fehle vo Sprugstelle, eer stetge Fukto herauslese. Verwedet ma astatt des Grezwertbegrffes de ursprüglche Umgebugsbegrff zur Formulerug der Stetgket, so ka ma de wesetlche Egeschaft, daß ee gerge Äderug der -Werte auch ee gerge Äderug der Fuktoswerte f() ach sch zehe soll, ablese. Ee reelle Fukto f heßt stetg a der Stelle der Deftosmege D, we es zu jeder ε-umgebug V(f();ε) vo f() ee δ-umgebug U(;δ) vo so gbt, daß das Bld f(u) deser Umgebug U Telmege vo V st: f(u) V Um festzustelle, ob ee Fukto f a eer Stelle stetg st, hat ma ach deser Defto we folgt vorzugehe: - Ma wählt ee belebge Umgebug V(f();ε) vo f(). - Ma ermttelt zu V ee Umgebug U(;δ) vo so, daß alle Pukte aus U, sofer se zur Deftosmege D gehöre, hre Blder V habe f(u) V. Damt läßt sch de Egeschaft der Stetgket folgedermaße schlagwortartg formulere: f stetg a der Stelle bedeutet: f( + weg) f() + weg Dese Formulerug wederum behaltet auch de Ustetgket eer Fukto a eer Sprugstelle

4 Dfferetalrechug Bespel: Zege Se de Stetgket der Fukto f( )= De Deftosmege für dese Fukto st R. Wählt ma e a R, so glt f(a)=3a+5. Nu wählt ma ee belebge Umgebug V(f(a);ε) vo f(a): V = ]( f a) ε;( f a) + ε[ = { y ( f a) ε < y < f( a) + ε } V = ] 3a+ 5 ε;3 a+ 5 + ε[ = { y 3a+ 5 ε < y < 3a+ 5 + ε } Nu muß zu V ee Umgebug U vo a ermttelt werde, dere Bld V ethalte st. Als Umgebug U vo a eget sch: ε ε U = a a+ a a = ε < < + ε ; Setzt ma ämlch mt de Radpukte vo U de Fuktosglechug e, so erhält ma: ε ε f( a ) = 3 a + 5 = 3a+ 5 ε 3 3 ε ε f( a+ ) = 3 a+ + 5 = 3a+ 5 + ε 3 3 Des sd aber geau de Radpukte der Umgebug V. Nu blebt och zu zege, daß f(u) V glt. ε ε a < < a a ε < 3 < 3a+ ε 3a+ 5 ε < < 3a+ 5 + ε f( a) ε < f( ) < f( a) + ε I desem Fall glt sogar: f( U)= V De Fukto f( )= st ee stetge Fukto

5 Dfferetalrechug Zum bessere Verstäds st es zweckmäßg, ee geaue Defto der Ustetgket eer Fukto azugebe. Ee Fukto heßt ustetg a der Stelle der Deftosmege D, we es ee Umgebug V(f();ε) vo f() so gbt, daß für alle Umgebuge U(;δ) vo das Bld f(u) kee Telmege vo V st. Ee Fukto st daher a eer Stelle hrer Deftosmege stetg oder ustetg. Legt de betrachtete Stelle cht der Deftosmege, z.b. we der Neer a deser Stelle Null st, so ka weder vo Stetgket och vo Ustetgket gesproche werde. De Fukto st a deser Stelle cht defert. Aus de Deftoe bezüglch der Dfferezerbarket ud der Stetgket vo Fuktoe läßt sch u weters e Zusammehag ablese. Ist ee Fukto f a eer Stelle dfferezerbar, so bedeutet des, daß der Grezwert des Dfferezequotete, also der Dfferetalquotet, estert ud daß daher de Tagete m Pukt P( f()) estert. I eer Sptze oder eem Kck estert de Tagete cht, da der rechts- ud lkssetge Grezwert des Dfferezequotete uterschedlch sd. Ebesoweg st aber ee Fukto aschaulch a eer ustetge Stelle cht dfferezerbar, da auch dort rechts- ud lkssetger Grezwert des Dfferezequotete uterschedlch sd. Ist also ee Fukto f a eer Stelle dfferezerbar, so st se dort auch stetg. Ist ee Fukto f a eer Stelle dfferezerbar, da st f a der Stelle stetg. fz ( ) f ( ) Bewes: Für alle z aus der Deftosmege vo f mt z glt: fz ( ) = f ( ) + ( z ) z fz ( ) f ( ) Aufgrud der Grezwertsätze folgt daraus: lm fz ( ) = lm f ( ) + ( z ) f ( ) f ( ) f ( ) z z z = + 0 = Somt st f stetg a der Stelle. Zu beachte st, daß de Umkehrug des obge Satzes cht glt. Ee Fukto ka a eer Stelle stetg se, muß aber dort cht dfferezerbar se (ma deke a f() = a der Stelle ). Für de mathematsch Ugeübte sd de Begrffe deses Abschtts ud de Notwedgket der Deftoe afäglch oft schwer verstädlch. De eakte Formulerug ud Awedug obger Sätze sd aber zur Abscherug der bsherge Erketsse ud zur Erlagug ud Überprüfug weterer Resultate ubedgt otwedg

6 Dfferetalrechug (d) Sätze über stetge Fuktoe Das Feststelle der Stetgket eer Fukto ach der Defto st zuwele mühsam ud schwerg. Im folgede solle daher Aussage, telwese ohe Bewes, über de Verküpfug vo stetge Fuktoe getroffe werde, de de przpelle Vorgagswese verefache solle. Sd de Fuktoe f ud g stetg a der Stelle a, so sd auch de Fuktoe f+g, f g, g, f : g (g 0) stetg a der Stelle a. f Bewes für f+g: Da f stetg a der Stelle a st, gbt es zu jeder Umgebug V vo f(a) mt ε ε V = f( a) ; f( a) + ee Umgebug U vo a, sodaß f(u ) V. Ebeso gbt es zu jeder Umgebug V vo g(a) mt ε ε V = g( a) ; g( a) + ee Umgebug U mt g(u ) V. Ist U U = U, so glt für alle U: ε ε ( f + g)( ) < f( a) + + g( a) + = ( f + g)( a) + ε ε ε ud ( f + g)( ) > f( a) + g( a) = ( f + g)( a) ε ud somt ( f + g)( a) ε < ( f + g)( ) < ( f + g)( a) + ε. Aufgrud der Defto st daher f+g a der Stelle a stetg. Für de adere Verküpfuge erfolgt der Bewes aalog, der folgede Satz st für de Bewes des Produkts ud des Quotete hlfrech. Ist de Fukto f stetg a der Stelle a ud de Fukto g stetg a der Stelle b mt b = f(a), so st auch de Kettefukto g(f(a)) = f g stetg a der Stelle a. Bewes: Es se h = f g ud W ee belebge Umgebug vo h(a) = g(b). Wege der Stetgket vo g a der Stelle b gbt es zu jeder solche Umgebug W ee Umgebug V vo b mt g(v) W. Da f stetg a der Stelle a st, gbt es zur Umgebug V vo b = f(a) ee Umgebug U vo a mt f(u) V. Aus f(u) V folgt g(f(u)) g(v) ud weter g(f(u)) W. Aus g(f(u)) = (f g)(u) = h(u) folgt also h(u) W. Das heßt aber, daß de Verkettug vo f ud g stetg st a der Stelle a

7 Dfferetalrechug Mt Hlfe der vorge Sätze lasse sch de folgede Sätze über de Stetgket eger spezeller Fuktoe herlete ud bewese. De kostate Fukto f() = d ud de leare Fukto f() = k+d sd stetge Fuktoe. De Potezfukto f() = st ee stetge Fukto. Aufgrud deses Satzes läßt sch de Stetgket aller Polyomfuktoe zege. Jede Polyomfukto f() = a + a a + a + a 0 st stetg. Daher st aber auch der Quotet zweer Polyomfuktoe der Deftosmege stetg. P ( ) Jede ratoale Fukto f) ( =, wor P ud Q m Polyomfuktoe sd ud Q m () Q ( ) 0, st stetg hrer Deftosmege. m De Wurzelfukto f( ) = mt N st stetg R + 0. De Wkelfuktoe s(), cos() ud ta() sd hre jewelge Deftosmege stetg. Abschleßed solle och e Satz ageführt werde, der ausdrückt, was ma aschaulch mt dem Begrff der Stetgket verbdet, desse eakter Bewes aber eer tefere Beschäftgug mt der Matere bedarf. Zwschewertsatz: Ist f ee eem abgeschlossee Itervall [a;b] stetge Fukto ud glt f(a) f(b), so mmt de Fukto desem Itervall jede Wert zwsche f(a) ud f(b) mdestes emal a. Deser Satz drückt letztedlch de Uuterbrochehet eer stetge Fukto eem abgeschlossee Itervall aus. Habe m spezelle f(a) ud f(b) uterschedlches Vorzeche, so folgt aus dem Zwschewertsatz, daß de Fukto dem Itervall mdestes ee Nullstelle hat (Nullstellesatz)

8 Dfferetalrechug (e) Stetge Fortsetzug vo Fuktoe De Fukto f ( )= + st be = cht defert, da der Neer glech Null st. De Deftosmege lautet also D = R \ { }. De obge Fukto ka ma zu f ( )= umforme. Deoch hat de Fukto de Deftosmege D = R \ { }. Der Graph vo f ethält also cht de Pukt P( c), c R. für Jede Fukto f mt f = c für = stmmt mt f der ursprüglche Deftosmege D = R \ { } übere ud st zusätzlch a der Stelle defert. Wählt ma sbesodere c = 3, so wrd de Lücke, de der Graph vo f a der Stelle aufwest, geschlosse. Ma bezechet de Fukto f als ee Fortsetzug der Fukto f de Stelle. Ist f ee Fukto mt der Deftosmege D ud a ee Stelle, de cht zu D gehört, so heßt ee Fukto f ee Fortsetzug de Stelle a, we f auf D {a} defert st ud D mt f überestmmt. Nu ka we m obge Bespel der Fall etrete, daß de Fortsetzug de Stelle a a deser Stelle a stetg st. Da bezechet ma de Fortsetzug als stetge Fortsetzug de Stelle a. Da sch ur für c = 3 ee stetge Fortsetzug der obge Fukto fde läßt, legt de Vermutug ahe, daß de stetge Fukto, falls se estert, edeutg bestmmt st. Ist f ee reelle Fukto mt der Deftosmege D = R \ {a} ud a e Häufugspukt vo D, so gbt es höchstes ee a der Stelle a stetge Fortsetzug vo f. Bewes: Gäbe es zwe verschedee, a der Stelle a stetge Fortsetzuge fudf, da würde gelte: De Fukto g = f f f( ) = f( ) = f ( ) udf( a) f( a), etwaf( a) > f( a) st als Dfferez zweer a der Stelle a stetger Fuktoe ebefalls stetg. Da g(a) a der Stelle a stetg st ud g(a)>0, gbt es ee Umgebug vo a, sodaß für alle aus deser Umgebug g ( ) = f( ) f( ) > 0. Da a Häufugspukt st, gbt es der Umgebug mdestes ee vo a verschedee Pukt p. Für dese glt u f ( p) f ( p) > 0 ud f( p) = f ( p) = f ( p). Des st aber u e Wderspruch ud daher gbt es ur ee stetge Fortsetzug

9 Dfferetalrechug (f) De Regel vo de l Hosptal f De Regel für de Grezwert des Quotete zweer Fuktoe lm ( ) = lm f ( ) : lm g ( ) z g ( ) z z ka ur da agewedet werde, we lm g ( ) 0 glt. Der Grezwert des Quotete ka jedoch auch z estere, we lm g ( ) glt. Des ka zum Bespel der Fall se, we auch lm f ( ) st ud der z z Quotet also de ubestmmte Form 0 0 ammt. I solche Fälle ka de sogeate Regel vo de l Hosptal agewedet werde. De Fuktoe f ud g see eer Umgebug der Stelle a dfferezerbar mt g () 0 deser Umgebug. Ferer se lm f ( ) ud lm g ( ). Estert da der Grezwert z z f lm ( ) f, da glt: lm ( ) f lm ( = ) zg ( ) zg ( ) zg ( ) (Regel vo de l Hosptal) Bespel: Bereche Se de Grezwert lm s( ). 0 Durch Awedug der obge Regel ergbt sch lm s( ) lm cos( = ) = 0 0 Der gesuchte Grezwert hat de Wert. Hat der eue Grezwert mt de Abletuge weder de ubestmmte Form 0, so muß ma de Reche- 0 vorgag wederhole. De Regel vo de l Hosptal glt auch für de ubestmmte Form ud auch für de Grezwertblduge + bzw.. Wetere ubestmmte Forme sd 0,, 0 0,, de sch jedoch alle auf de Fälle 0 0 bzw. durch etsprechede Umformug zurückführe lasse

10 Dfferetalrechug 3.. Kurvedskusso ratoaler Fuktoe (a) Defto Sd P ud Q m Polyomfuktoe mt eer Varable, so heßt de Fukto f ( ) = P Q m mt der Deftosmege D = R\{ Q ( ) } ratoale Fukto. m I deser Schrebwese st ud m der Grad des jewelge Polyoms. Ist m glech Null, so st de Fukto ee gazratoale Fukto bzw. ee gewohte Polyomfukto. De Mege der gazratoale Fuktoe st also ee Telmege der Mege der ratoale Fuktoe. Glt m 0, so bezechet ma de ratoale Fukto auch als gebrocheratoale Fukto. Ist dabe der Grad des Zählerpolyoms kleer als der Grad des Neerpolyoms (<m), so sprcht ma vo eer echt gebrochee ratoale Fukto, aderfalls ( m) legt ee uecht gebrochee ratoale Fukto vor. Jede ratoale Fukto st hrer Deftosmege stetg ud belebg oft dfferezerbar. De Abletuge sd weder ratoale Fuktoe. (b) Verhalte der Nähe der Deftoslücke A de Nullstelle vo Q m () st de gebrocheratoale Fukto cht defert. Vo Stetgket oder Ustetgket ka a dese Stelle cht gesproche werde. Ist ee Nullstelle des Polyoms Q m, so ka zwsche zwe Fälle uterschede werde.. Fall: P ( ) 0, z.b. P ( ) = c P Da für de Grezwert lm ( ) Q ( ) m = glt, hat de Fukto P ( ) Q ( ) m a der Stelle ee Uedlchketsstelle, de auch Polstelle (kurz: Pol) geat wrd. Der Graph der Fukto schmegt sch daher für vo bede Sete mmer mehr a de Gerade g: = a. Dese Gerade st eer zur y-achse parallele Asymptote des Graphe der Fukto. Je achdem, ob de Fuktoswerte vo f() lks ud rechts der Asymptote gleches oder ugleches Vorzeche habe, sprcht ma vo eer Polstelle ohe oder mt Vorzechewechsel

11 Dfferetalrechug De bede achfolgede Graphe zege ee Pol ohe ud mt Vorzechewechsel. Da ee Nullstelle vo Q m () st, ka ma de Learfaktor ( ) abspalte: Q m () = ( ) Q m- () Ist ee q-fache Nullstelle vo Q m (), so glt: Q m () = ( ) q v() Herbe st v() das verblebede Polyom ach Abspaltug des Learfaktors ( ) q mt v( ) 0. Ma et da ee Pol q-ter Ordug oder ee q-fache Pol.. Fall: P ( ) Ist ee q-fache Nullstelle vo Q m () ud ee p-fache Nullstelle vo P (), so hat der Fuktosterm der P ( ) ( ) u( ) p q u ( ) ratoale Fukto de Gestalt: f ( ) = = = ( q ) Q ( ) ( ) v( ) v ( ) Herbe sd u() ud v() de verblebede Polyome ach Abspaltug der jewelge Learfaktore mt u( ) 0 ud v( ) 0. Es gbt u dre Möglchkete bezüglch p ud q: m p u Glt p = q, so folgt lm ( ) lm ( ) u ( ) f = = = y v ( ) v ( ) I desem Fall st u v ee stetge Fortsetzug vo f de Stelle

12 Dfferetalrechug Bespel: f( ) =, D = R \ { } + ( + )( + ) f( ) = = + + lm f( ) = 5 De Fukto st de Pukt P( 5) stetg fortsetzbar. Glt p>q, so folgt lm f ( ) ( u ). v ( ) Auch desem Fall st u v ee stetge Fortsetzug vo f de Stelle. Bespel: f( ) = 3, D = R \ {0} f( ) = ( ) = ( ) lm f( ) 0 De Fukto st de Pukt P(0 0) stetg fortsetzbar. u Glt p<q, so folgt lm f ( ) = lm lm ( ) = ( ± ) ( ) q p v ( ) I desem Fall hat de Fukto be ee Pol, abhägg vo de Vorzeche der Fuktoswerte lks ud rechts vom Pol ergbt sch e Pol ohe oder mt Vorzechewechsel (daher (±) ). Bespel: f( )= , D = R \ {3} ( 3)( + ) + f( ) = = ( 3)( 3) 3 lm f( ) + 5 = lm f( ) + 5 = 3 0 De Fukto hat a der Stelle 3 ee Pol mt Vorzechewechsel

13 Dfferetalrechug (c) Verhalte für Allgeme ka ma de Fuktosterm der ratoale Fukto aschrebe als: Für 0 ka der Fuktosterm vo f we folgt umgeformt werde: P ( ) a + a a + a0 f ( ) = = m m Q ( ) b + b b+ b m m m 0 f ( ) = Es sd u dre Fälle bezüglch ud m zu uterschede. a a a0 a m bm b b0 bm m m r ( ) = s ( ) r. Fall: = m, lm ( ) lm ( ) a f = = s ( ) b m a Der Graph der Fukto hat de zur -Achse parallele Gerade g: y = als Asymptote. b m Bespel: f( ) = ( 3)( + ) = ( 3)( 3) f( )= , D = R \ {3} + + = = 3 3 lm f( ) = = Der Graph hat de Asymptote g: y =.. Fall: < m, lm ( ) lm lm ( ) f = m r a s ( ) b m Der Graph der Fukto hat also de -Achse als Asymptote

14 Dfferetalrechug Bespel: f( ) = ( ), D = R \ {} lm f( ) = lm ( ) Der Graph hat de Asymptote g: y (-Achse). m r 3. Fall: > m, lm f ( ) = lm lm ( ) = ( ± ) s ( ) De Fuktoswerte der Fukto äher sch mt wachsedem -Werte mmer mehr + oder. Da >m läßt sch durch Heraushebe mttels Polyomdvso der Fuktosterm we folgt umforme: P ( ) H m( ) Qm( ) + R( ) R ( ) f ( ) = = = H m( ) + Q ( ) Q ( ) Q ( ) Herbe st H m () das Polyom, das sch ach Heraushebe vo Q m () aus P () ergbt, ud R() der Rest ach der Polyomdvso. m m m Bldet ma u de Grezwert vo f() H m () für, so ergbt sch: R lm ( f ( ) H ( )) lm ( ) m = Q ( ) Das Polyom H m () st also Asymptote der Fukto für, da de Dfferez f() H -m () de Grezwert Null hat. m Abhägg vo ud m st das Polyom H() ee schräge Gerade ( = m+) oder ee krummlge Asymptote ( m+). Bespel: f( )= 3 +, D = R \ {-} 8 f( ) = lm ( f( ) ( + 4) ) = lm + Der Graph der Fukto hat de krummlge Asymptote a:

15 Dfferetalrechug 3.3. Kurvedskusso traszedeter Fuktoe De Kurvedskusso traszedeter Fuktoe we de der Wkelfuktoe oder der Epoetal- ud Logarthmusfukto soll her gesodert behadelt werde, da se eersets aufgrud hrer Perodztät (Wkelfuktoe) ud des Auftretes vo Asymptote (Wkelfuktoe, Epoetal- ud Logarthmusfukto) telwese schwerg durchzuführe sd. Be perodsche Fuktoe köe ämlch ubegrezt vele Nullstelle, Etrempukte ud Wedepukte auftrete. I der Techk trete oft Kombatoe vo Epoetalfuktoe ud Wkelfuktoe auf, z.b. zur Beschrebug gedämpfter Schwguge. Daher st der folgede Abschtt de Kurvedskusso vo Wkelfuktoe, vo Epoetalfuktoe ud vo Kombatoe deser bede Fuktostype gegledert. Da ee umfassede Abhadlug deser Kurvedskussoe m Rahme deses Skrptums cht möglch st, wrd de Vorgagswese jewels ahad ees möglchst repräsetatve Bespels gezegt. (a) Kurvedskusso der Wkelfuktoe Da alle Wkelfuktoe perodsch sd, st es zur Dskusso deser Fuktoe ur ötg, sch emal allgeme de jewelge Perode zu verdeutlche. Ee perodsche Fukto mt der Perode p st allgeme ee Fukto, für de f(+p) = f() glt. Da de Wkelfuktoe egetlch über das Bogemaß defert sd, muß de Varable m Bogemaß verstade werde. s(): Perode: π rad = 360 cos(): Perode: π rad = 360 ta(): Perode: π rad = 80 s(): Nullstelle: s() k π = k 80 Etremstelle: s () = cos() π ( k+ ) = ( k+ ) 90 Wedestelle: s () = s() k π = k 80 De Susfukto st hrer gesamte Deftosmege D = R stetg. We obe erschtlch, sd de Nullstelle glechzetg auch Wedepukte der Fukto. De Fukto st alle Itervalle π + π π + π k ; k streg mooto zuehmed ud alle Itervalle π + π π π k ; +k 3 streg mooto abehmed

16 Dfferetalrechug cos(): Nullstelle: cos() π ( k+ ) = ( k+ ) 90 Etremstelle: cos () = s() k π = k 80 Wedestelle: cos () = cos() π ( k+ ) = ( k+ ) 90 De Kosusfukto st hrer gesamte Deftosmege D = R stetg. We obe erschtlch sd de Nullstelle glechzetg auch Wedepukte der Fukto. De Fukto st alle Itervalle [( k+ ) π;( k+ ) π ] streg mooto zuehmed ud alle Itervalle [ kπ;( k ) π] abehmed. + streg mooto ta(): Nullstelle: ta() k π = k 80 Etremstelle: ta () = cos ( ) kee Etremstelle Wedestelle: ta () = 3 cos ( ) kee Wedestelle De Tagesfukto st für de Wkel ( k + ) π cht defert, se st aber hrer Deftosmege D = R π \ ( k+ ) π stetg. De Fukto st alle Itervalle + kπ; π + kπ streg mooto zuehmed. De Fukto hat a de Stelle ( k + ) π Pole mt Vorzechewechsel. Ist de zu dskuterede Fukto ee zusammegesetzte Fukto, so müsse zuwele de Summesätze agewedet werde, um zu eem Ergebs zu gelage. Darüberhaus st aufgrud der Perodztät der Wkelfuktoe der Berech, der für de Kurvedskusso teressat st, zumest auf das Itervall [0;π] egeschräkt. Das achfolgede Bespel beschräkt sch auf de Ermttlug der Nullstelle, Etremstelle ud Wedepukte. Das Mootoeverhalte ud Krümmugsverhalte st be Bedarf mttels deser Stelle lecht zu bestmme

17 Dfferetalrechug Bespel: Führe Se be der Fukto f( ) = s( ) s( ) ee Kruvedskusso m Itervall [0;π] durch. Da kee Quotetefukto vorlegt, st dese Fukto [0;π] stetg ud belebg oft dfferezerbar. Es gbt kee Pole ud kee Lücke ud daher auch kee Asymptote. De Fukto hat folgede Abletuge: f( ) = s( ) s( ) f ( ) = cos( ) cos( ) f ( ) = s( ) + s( ) f ( ) = cos( ) + 4cos( ) Nullstelle: f ( ) 0 = s( ) s( ) 0 = s( ) s( ) cos( ) 0 = s( ) ( cos( )) (s( ) ) ( cos( ) ) ( ; π; π) ( ; π) N ( 00 ); N ( π 0); N ( π 0) 3 Zur Ermttlug der Nullstelle wurde der Zusammehag s() = s() cos() aus dem Kaptel Trgoometre verwedet. Etremstelle: f ( ) 0 = cos( ) cos( ) 0 = cos( ) cos ( ) + s ( ) 0 = cos( ) cos ( ) + cos ( ) 0 = cos ( ) cos( ) 8 cos( ) = ±

18 Dfferetalrechug (cos( ) = ) (cos( ) = ) ( ; π ) π 4π ( = ; ) 3 3 π 4π f ( 0) ; f ( π ) ; f ( ) < 0; f ( ) > π 3 3 4π 3 3 H ; T Zur Ermttlug der Etremstelle wurde de Zusammehäge cos() = cos () s () ud weters s () = cos () verwedet. De quadratsche Glechug wurde aschleßed ach cos() gelöst. Erst ach Esetze der. Abletug lasse sch Hoch- ud Tefpukte bestmme. Wedestelle: f ( ) 0 = s( ) + s( ) 0 = s( ) + 4s( ) cos( ) 0 = s( ) ( + 4cos( )) (s( ) ) ( + 4cos( ) ) ( ; π; π) ( = 3, ; 497, ) f ( 0) 0; f ( π) 0; f ( π) 0; f (, 3) 0; f ( 4, 97 ) 0; W ( 0 0); W (, 3 0, 73); W ( π 0); W ( 4, 97 0, 73); W ( π 0) Zur Ermttlug der Wedestelle wurde der Zusammehag s() = s() cos() verwedet. Zu beachte st, daß de Lösug der Glechug +4cos()=0 ebefalls Radate azugebe st, also geau geomme,3rad ud 4,97rad. Erst ach Esetze der 3. Abletug köe de Wedestelle bestmmt werde. Da de Susfukto de Perode π bestzt, wederhole sch Nullstelle, Etremstelle ud Wedestelle mt deser Perode. Es geügt also de Kurvedskusso m agegebee Itervall durchzuführe

19 Dfferetalrechug (b) Kurvedskusso der Epoetal- ud Logarthmusfukto Aus de Epoetalfuktoe der allgemee Form f() = a soll her de atürlche Epoetal-fukto f() = e herausgegrffe werde. Darüberhaus läßt sch jede Epoetalfukto letztedlch auf ee atürlche Epoetalfukto überführe, de es glt f() = a = e l(a). De Deftosmege für de atürlche Epoetalfukto sd de reelle Zahle, de Wertemege st R +. De Fukto st streg mooto zuehmed; se bestzt kee Nullstelle, kee Lücke ud kee Pole. Der Graph der Fukto verläuft komplett oberhalb der -Achse ud ethält mmer de Pukt P(0 ). Da lm e e + glt, st de -Achse auch Asymptote. Weters glt lm zuehmede -Werte ubegrezt groß. =+, de Fuktoswerte werde be De atürlche Epoetalfukto st ee stetge Fukto, belebg oft dfferezerbar mt der Abletug f ( ) =. De atürlche Epoetalfukto st also mt alle hre Abletugsfuktoe detsch. e De velfache Awedugsmöglchkete der Epoetalfukto wurde berets m etsprechede Abschtt geklärt. Darüberhaus beschrebe Epoetalfuktoe der Physk oft Kombato mt Wkelfuktoe sogeate gedämpfte Schwguge. Bespel: Führe Se be der Fukto f( )= e + 3 ee Kurvedskusso durch. De umfassedste Deftosmege deser Fukto st R. De Fukto st als Verküpfug stetger Fuktoe weder ee stetge Fukto. De Fukto hat folgede Abletuge: f( ) = 3e + + f ( ) = 3e ( ) + f ( ) = 3e ( ) + f ( ) = 3e ( 3 ) De Abletuge wurde mt der Produkt- ud der Ketteregel ermttelt. Sucht ma de Nullstelle eer deser Fuktoe, so st zu beachte, daß de Epoetalfukto selbst kee Nullstelle bestzt ud daher ur da Nullstelle auftrete, we eer der Faktore de Wert Null ammt

20 Dfferetalrechug Nullstelle: f( ) + 3e 3 N( 00 ) Etremstelle: f ( ) + 3e ( ) = f ( ) = 3 H( 3) Wedestelle: f ( ) + 3e ( ) = f ( ) 0 W( 6 ) e Verhalte für lm 3e + = lm 3e = lm = lm + + e + e De -Achse st also Asymptote des Fuktosgraphe. De wetere Pukte der Dskusso der Fukto we z.b. Mootoeverhalte ud Krümmugsverhalte sd u lecht durchzuführe. De obge Fukto st allgeme vo der Form f() = (a+b) e δ mt a,b,δ R (δ>0). Dese Fukto beschrebt de Grezfall eer gedämpfte aperodsche Bewegug; das st e Schwgugsvorgag, der ach eer Auslekug abklgt

21 Dfferetalrechug Auch be de Logarthmusfuktoe der allgemee Form f ( ) = log ( ) soll ur de atürlche Logarthmusfukto f ( ) = l( ), also jee mt der Bass e, herausgegrffe werde. Darüberhaus läßt sch jede Logarthmusfukto letztedlch auf ee atürlche Logarthmusfukto überführe, de es glt l( ) f ( ) = log a( ) =. l( a) a De Deftosmege für de Logarthmusfukto st R +, de Wertemege st R. De Fukto st streg mooto zuehmed, se bestzt ee Nullstelle be N( 0). Der Graph der Fukto verläuft komplett rechts vo der y-achse. Da lm l( ) = 0 glt, st de y-achse auch Asymptote. Weters glt lm l( ) =+, de Fuktoswerte werde be zuehmede -Werte ubegrezt groß. + De atürlche Logarthmusfukto st ee stetge Fukto, se st dfferezerbar mt der Abletug f ( ) =. Se st darüberhaus de Umkehrfukto der Epoetalfukto. Bespel: Führe Se be der Fukto f( ) = (l( ) ) ee Kurvedskusso durch. De umfassedste Deftosmege deser Fukto st R +. De Fukto st stetg ud hat folgede Abletuge: f( ) = (l( ) ) f ( ) = l( ) f ( ) = f ( ) = Nullstelle: f( ) (l( ) ) ( ) (l( ) = 0) ( ) ( = e) Ne ( 0)

22 Dfferetalrechug Etremstelle: f ( ) l( ) = f ( ) = T( ) Wedestelle: f ( ) 0 = kee Wedestelle Grezwertverhalte lm (l( ) ) lm l( ) = = lm = lm( ) lm (l( ) ) = + + De Fukto st also de Pukt P(0 0) stetg fortsetzbar. De wetere Pukte der Dskusso der Fukto we z.b. Mootoeverhalte ud Krümmugsverhalte sd u lecht durchzuführe. (c) Kurvedskusso vo komberte traszedete Fuktoe Abschleßed zu desem Abschtt soll och ee Kurvedskusso eer aus Wkel- ud Epoetalfukto komberte Fukto gezegt werde. Fuktoe deser Art beschrebe der Physk sogeate gedämpfte Schwguge ud habe de δ allgemee Form f ( ) = a e s( ω+ ϕ ). Se gehe aus der Fukto für ee ugedämpfte Schwgug 0 δ f ( ) = a s( ω+ ϕ ) hervor, we de Ampltude a sch mt der Zet ach dem Gesetz a = a e 0 ädert. De Kostate δ (δ>0) heßt desem Zusammehag Dämpfugsfaktor. Das folgede Bespel beschräkt sch weder auf de Ermttlug vo Nullstelle, Etremstelle ud Wedestelle

23 Dfferetalrechug 03, Bespel: Führe Se be der Fukto f( ) = e s( ) ee Kurvedskusso durch. Da de Varable be eer gedämpfte Schwgug für de Zet steht, macht de Dskusso ur über der Deftosmege R + 0 S. De Fukto st als Produkt stetger Fuktoe weder stetg. Se hat folgede Abletuge: 03, f( ) = e s( ) 03, f ( ) = e ( cos( ) 0, 3s( )) 03, f ( ) = e ( 39, s( ) +, cos( )) 03, f ( ) = e ( 3, 573 s( ) 7, 46 cos( )) Nullstelle: f( ) 03, e s( ) s( ) = kπ ( k N) kπ = N ( 0 0); N ( 570, ); N ( 34, 0); N ( 4, 7 0); Etremstelle: f ( ) 03, e ( cos( ) 0, 3s( )) cos( ) 0, 3s( ) ta( ) = 03, =, 4 + kπ ( k N) kπ, 7 +, 7; =, 8; = 3, 853; = 5, 43; f ( ) < 0; f ( ) > 0; f ( ) < 0; f ( ) > 0; T (, 8 0, 998); T ( 5, 43 0, 389);... H ( 0, 7598, ); H ( 3, 853 0, 63);

24 Dfferetalrechug Wedestelle: f ( ) 03, e ( 39, s( ) +, cos( )) 39, s( ) +, cos( ), ta( ) = 39, = 0, 98 + kπ ( k N) kπ = 049, + =, 4; =, 993; = 4, 563; = 634, ; f ( ) 0; f ( ) 0; f ( ) 0; f ( ) 0; W (, 4 0, 383); W (, 993 0, 39); W ( 4, 563 0, 49); W ( 634, 0, 093); Letle: Da s(), glt f() e 0,3. De Graphe der Fuktoe l ud l l : f( ) = e l : f( ) = e 03, 03, heße Letle, da se de Graph der Fukto berühre ud ach obe ud ute beschräke ud lete. Da de Berührpukte zwsche Fukto ud Letle de Fuktoswerte derselbe det sd, bereche sch dese Berührpukte mt s() =. Berührpukte: s( ) = = 57, + kπ ( k N) kπ, B( 0, , ); B3( 3, 97 0, 66);... B (, 356 0, 986); B ( 5, 498 0, 384);... 4 Zu beachte st, daß de jewelge Berechuge m Bogemaß ermttelt wurde ud daß de Deftosmege auf chtegatve Werte egeschräkt wurde

25 Dfferetalrechug 3.4. Fuktoe mehrerer Veräderlcher Im Zuge der Etremwertaufgabe ka de Hauptbedgug der Regel ur mehrere Varable agegebe werde. De Hauptbedgug st also abhägg vo mehrere Veräderlche, wobe be de Etremwertaufgabe e Zusammehag zwsche dese besteht ud sch de Hauptbedgug zumest auf ee Varable reduzere läßt. Ist des cht der Fall, so verblebt ee Fukto f(a,b,c,...) mehrere Varable. Bespel: Das Volume ees Zylders st gegebe durch V(r,h) = r π h Ist ee Bezehug zwsche mehrere Größe gegebe, so lasse sch m allgemee auch verschedee Abletuge blde. Im obge Bespel köte ma das Volume V ach r oder ach h ablete. De adere Varable würde ma herbe als Kostate asehe ud de Fukto emal als V(r) ud emal als V(h) asehe. Ma reduzert also auf ee Fukto eer Varable. dy De Lebzsche Schrebwese f ( ) = (gesproche: dy ach d) stellt ee efache Möglchket dar, de d ge- Varable für de Abletug azugebe. Im obge Bespel köe de Abletuge dv () r dv( h) ud dr dh bldet werde. Bespel: dv( r ) dr r h dv ( ; h ) = π = dh r π Sd jedoch mehrere Größe tatsächlch veräderlch ud köe cht als kostat ageomme werde, so hadelt es sch um ee Fukto mehrere Veräderlche. Um auch da de Fukto ablete zu köe, utertelt ma partelle Abletuge, wobe ma we obe beschrebe vorgeht, doch zur Kezechug ee adere Symbolk, ämlch desem Fall Vrh (, ) ud Vrh (, ), verwedet. r h Bespel: V( r, h) V( r, h) = rπh; = r h r π Uter Verwedug parteller Abletuge st es u möglch, auch Etremwertaufgabe mt mehrere Veräderlche zu löse

26 Dfferetalrechug Das folgede Bespel zegt de Berechug der Koeffzete der Regressosgerade, de berets m Kaptel Statstk behadelt wurde. Herbe gg es darum, für ee Puktemege de Summe der Quadrate der Abstäde zu eer Gerade zu mmere. Des führte letztedlch zu eer Fukto zwe Varable. = Bespel: Ermttlug des Mmums vo F( k, d) = ( Y y ) = ( k + d y ) = Zur Ermttlug des Mmums, also des Etremwertes, deser Fukto werde de partelle Abletug glech Null gesetzt. F k = ( k + d y ) = F d = ( k + d y ) = k + d y k + d y = = = k + d = y = = = = = k + d = y = = Aus der rechte Glechug läßt sch u d ausreche ud damt der lke Glechug esetze. d = y k = = k + = y k = = = y k y = = = = = = = = y k = y y = = = = = Damt sd de Koeffzete der sogeate erste Regressosgerade bestmmt

27 Dfferetalrechug Ahag: Übugsbespele zum 3. Kaptel 3/ Zege Se de Stetgket der folgede Fuktoe: a) f ( ) = 3 b) f( ) = 4 c) f ( ) = d) f ( ) = 5 3 3/ Bestmme Se das Stetgketsverhalte ud de umfassedste Deftosmege der folgede Fuktoe: a) f( ) = + s( ) b) f ( ) = + c) f ( )) = cos( ) d) f ( ) = s( ) e) f ( )= + f) f ( ) = cos 3/3 Bestmme Se de stetge Fortsetzuge der folgede Fuktoe: a) f ( ) = 4 + b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) =

28 Dfferetalrechug 3/4 Bestmme Se de folgede Grezwerte mt der Regel vo de l Hosptal: e a) lm 0 b) lm l( ) c) lm 5 5 d) lm e 4 3/5 Bestmme Se de folgede Grezwerte mt der Regel vo de l Hosptal: a) lm l( ) 0 b) lm l( ) c) lm s( ) 0 d) lm( + ) 0 e) lm 3/6 Bestmme Se das Verhalte der folgede gebrocheratoale Fuktoe der Umgebug der Deftoslücke: a) f ( ) = 6 3 b) f ( ) = 4 c) f ( ) = ( + ) d) f ( ) =

29 Dfferetalrechug 3/7 Bestmme Se das Verhalte der folgede gebrocheratoale Fuktoe der Umgebug der Deftoslücke: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = /8 Bestmme Se das Verhalte der folgede Fuktoe für : a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = ( + ) d) f ( ) = 3 3/9 Führe Se be folgede gebrocheratoale Fuktoe ee Kurvedskusso durch: 6 a) f ( ) = + 3 b) f ( ) = c) f ( ) = 4 3 ( 8 ) d) f ( ) = 3 ( 6)

30 Dfferetalrechug 3/0 Führe Se be folgede gebrocheratoale Fuktoe ee Kurvedskusso durch: 4 a) f ( ) = b) f ( )= 9 c) f ( ) = 4 d) f ( )= e) f ( )= 3/ Führe Se be folgede traszedete Fuktoe ee Kurvedskusso durch: a) f( ) = s( ) s( ) b) f ( ) = s( ) c) f ( ) = cos( ) + cos d) f( ) = cos ( ) 4 e) f ( ) = s( ) 3/ Führe Se be folgede traszedete Fuktoe ee Kurvedskusso durch: a) f ( ) = ta( ) b) f( ) = cot( ) ta( ) 3 c) f( ) = 3cos( ) 4cos ( ) d) f( ) = s( ) s( )

31 Dfferetalrechug 3/3 Führe Se be folgede traszedete Fuktoe ee Kurvedskusso durch: a) f( ) = e b) f ( ) = ( e + e ) c) f( ) = e d) f ( )= e) f ( )= e e 3/4 Führe Se be folgede traszedete Fuktoe ee Kurvedskusso durch: 3 a) f( ) = e b) f ( ) = e e + c) f ( ) = e d) f( ) = ( e ) 3/5 Führe Se be folgede traszedete Fuktoe ee Kurvedskusso durch: a) f( ) = l( ) b) f ( ) = l( ) + c) f ( ) = l( ) + l( ) d) f( ) = l( + ) e) f ( ) = l( + ) l( )

32 Dfferetalrechug 3/6 Führe Se be folgede traszedete Fuktoe ee Kurvedskusso durch: a) f( ) = e s( ) 0,5 b) f( ) = e cos( ) 0,5 c) f( ) = 5, e s( 3) 0, π π d) f ( ) = 5e cos 3 3 3/7 Das Zerfallsgesetz für radoaktve Substaze lautet: m = m e t 0 λ t. Dar bedeute m t, m 0 de Mege der Substaz zur Zet t bzw. zur Zet t=0 ud λ de Zerfallskostate. Bereche Se de Zerfallsgeschwdgket. Bereche Se de Zerfallsgeschwdgket dem Zetpukt, welchem de Hälfte vo m 0 zerfalle st. 3/8 Blde Se be folgede Fuktoe mehrere Varable alle partelle Abletuge: a) f(,,, a b y)= a + 4aby 5 b y mv b) E( mvh,, )= +mhg c) O(, r h)= r π + rπ h 3 3 d) s(,, y z) = yz + y z ( yz) 3 3/9 Lete Se de Formel für de. Regressosgerade mttels parteller Abletuge her

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