Lösungen zur Biomathe-Klausur Gruppe A Montag, den 16. Juli 2001

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1 Lösungen zur Biomathe-Klausur Gruppe A Montag, den 16. Juli Sensitivität und Spezifität In einer medizinischen Ambulanz haben 30 % der Patienten eine akute Appendizitis. 80 % dieser Patienten haben eine Temperatur von mehr als 38 C. Von den Patienten ohne Appendizitis haben 40 % ebenfalls eine Temperatur von mehr als 38 C. Das Messen der Körpertemperatur soll als diagnostischer Test für die Krankheit Appendizitis aufgefasst werden (mit dem Schwellenwert 38 C). Was gilt dann? Lösung: Wir gehen von 100 Patienten aus. Dann ergibt sich folgende 4-Felder-Tafel: Testergebnis Appendizitis keine Appendizitis Temperatur > 38 C positiv Temperatur 38 C negativ A. Die Spezifität dieses Tests beträgt 80 %. Falsch. 40 % haben ein falsch negatives Ergebnis, das ergibt eine Spezifität von 60 %. B. Der Anteil der falsch negativen Ergebnisse beträgt 40 %. Falsch. Der Anteil der falsch positiven ist 40 %. Wegen der Sensitivität von 80 % ist der Anteil falsch negativer Ergebnisse 20 %. C. Der positive Vorhersagewert in dieser Population ist 6 /13 0, 462. Richtig. Der positive Vorhersagewert ergibt sich aus der 4-Felder-Tafel: 24 / 52 = 6 /13 D. Wenn der Schwellenwert erhöht wird, steigt die Sensitivität. Falsch. Wenn der Schwellenwert steigt, erhalten weniger Patienten ein positives Ergebnis. Dadurch sinkt die Sensitivität (richtig positiv). Der Anteil falsch positiver Ergebnisse sinkt auch dadurch steigt die Spezifität. E. Die Sensitivität ist abhängig von der Prävalenz. Falsch. Die Sensitivität beträgt immer 80 %. Dieser Wert beschreibt die Güte eines Testverfahrens und ist in jeder Population gleich. Nur die Vorhersagewerte sind abhängig von der Prävalenz. 2. Maßzahlen Die mittlere Aufenthaltsdauer für Patienten mit einem Oberschenkelhalsbruch beträgt in einer bestimmten Klinik durchschnittlich 20 Tage. Der Median liegt bei 12 Tagen, ebenso die Standardabweichung. Welche Aussage ist falsch? A. Die Verteilung ist schief. Richtig weil Mittelwert und Median stark voneinander abweichen. B. Der Median wird wesentlich von den Patienten beeinflusst, die sehr lange in der Klinik bleiben. Falsch. Der Mittelwert wird stark von Ausreißern beeinflusst, nicht aber der Median. C. Die Hälfte der Patienten verbleibt maximal 12 Tage in der Klinik. Richtig. So ist der Median definiert. 1

2 D. Zur Berechnung des Mittelwerts und der Standardabweichung sind die Werte von allen Patienten erforderlich. Richtig. In diese beiden Maßzahlen fließen alle Daten ein. E. Wenn man die Aufenthaltsdauern der Patienten, die länger als 30 Tage in der Klinik bleiben, nicht berücksichtigt, verringern sich der Mittelwert und die Standardabweichung. Richtig. Wenn die größten Werte eliminiert werden, verringert sich natürlich der Mittelwert. Weil dann die Werte weniger streuen, verringert sich auch die Standardabweichung. 3. Normalverteilung Der diastolische Blutdruck bei einer Gruppe von jungen Männern ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von 70 mmhg und einer Standardabweichung von 10 mmhg. Welche Aussage folgt daraus? A. Etwa die Hälfte dieser Männer hat einen Blutdruck zwischen 60 und 80 mmhg. Folgt nicht. Zwischen µ ± σ liegen 68 % der Werte. B. Es ist ausgeschlossen, dass ein Mann aus dieser Population einen Blutdruck von mehr als 100 mmhg hat. Folgt nicht. Es ist zwar unwahrscheinlich, dass ein Wert > µ + 3 σ ist, aber nicht ausgeschlossen. C. Der Median dieser Verteilung kann mit den vorliegenden Informationen nicht bestimmt werden. Folgt nicht. Der Median entspricht bei symmetrischen Verteilungen dem Erwartungswert und der ist ja angegeben. D. Etwa 95 % der jungen Männer haben einen Blutdruck zwischen 50 und 90 mmhg. Das folgt. Zwischen µ ± 2 σ liegen etwa 95 % der Werte. E. Wenn man eine Standardabweichung von 14 mmhg zugrunde legt, wird die Glockenkurve schmaler und höher. Folgt nicht. Wenn die Standardabweichung größer wird, wird die Glockenkurve breiter und flacher. 4. Berechnen einer Wahrscheinlichkeit Ein Bronchialkarzinom wird bei einer histologischen Untersuchung von Material einer Probeexcision mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 entdeckt; bei der röntgenologischen Untersuchung beträgt diese Wahrscheinlichkeit 0,8. Wir nehmen an, dass bei einem Patienten mit einem Bronchialkarzinom beide Untersuchungen durchgeführt werden, und dass die Ergebnisse unabhängig voneinander sind. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, das Karzinom nicht zu entdecken? A. 0,72 B. 0,28 C. 0,02 D. 0,1 E. 0,2 2

3 Man berechnet entweder nach dem Additionssatz die Wahrscheinlich, dass das Karzinom entdeckt wird (von einer oder beiden Methoden): P( H R) = P( H ) + P( R) P( H R). Weil die Ereignisse unabhängig sind, gilt P( H R) = P( H ) P( R) und damit: P( H R) = = 0,9 + 0,8 0,9 0,8 = 0,98. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, das Karzinom nicht zu entdecken, gleich 0,02 ist. Man kann auch überlegen: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Karzinom nicht entdeckt wird, ist P ( H R) = P( H ) P( R) = 0,1 0,2 = 0, 02. Also Antwort C. 5. Konfidenzintervall Gegeben sei ein zweiseitiges 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert, das basierend auf der t-verteilung konstruiert wird. Welche Aussage gilt nicht? A. Dieses Intervall ist breiter als das entsprechende 99%-Konfidenzintervall. Gilt nicht. Man hat beim 99%-Konfidenzintervall eine höhere Sicherheit also muss das 95%-Intervall schmaler sein. B. Je höher der Stichprobenumfang, desto schmaler ist dieses Intervall. Gilt. Ein hoher Stichprobenumfang wirkt sich günstig auf die Breite des Intervalls s (wird auch aus der Formel x ± tn 1;1 α / 2 ersichtlich) n C. Die Breite ist unabhängig vom Stichprobenmittelwert x. 2s Gilt. Nach obiger Formel ist die Breite: t n 1;1 α / 2 n D. Je weiter die Werte um den Mittelwert streuen, desto breiter wird das Intervall. Gilt. Je größer s, desto größer wird die Breite (siehe Formel in Antwort C). E. Die Kenntnis der Standardabweichung σ der Grundgesamtheit ist nicht erforderlich. Gilt (siehe Formel oben; man benötigt nur s, nicht σ). Das ist ja der Vorteil der t-verteilung. 6. Korrelation und Regression Der Zusammenhang zwischen der Sekundenkapazität FEV 1 (in Liter) und dem Alter wird anhand einer großen Stichprobe aus einer bestimmten Population geschätzt. Diese Stichprobe umfasst Männer aller Altersgruppen (vom Neugeborenen bis zum Greis). Die Regressionsgerade lautet y = 6,0 0, 03x (wobei y das FEV 1 in Liter und x das Alter in Jahren bezeichnen). Der Korrelationskoeffizient hat den Betrag 0,6. Was folgt daraus nicht? A. Bei der Geburt beträgt die Lungenfunktion durchschnittlich 6 Liter. Das folgt. Man muss nur in die Regressionsgeraden-Gleichung x = 0 einsetzen. B. Wenn ein Mann A 10 Jahre älter ist als ein anderer Mann B, wird der FEV 1 -Wert von A um 0,3 Liter niedriger geschätzt als der von B. Das folgt auch. Das ergibt sich auch aus der Regressionsgeraden-Gleichung. C. Die Lungenfunktion nimmt mit fortschreitendem Alter kontinuierlich ab. Das folgt auch direkt aus der Regressionsgeraden-Gleichung (wegen des negativen Vorzeichens). D. Der Korrelationskoeffizient ist negativ. 3

4 Das folgt natürlich auch. Wenn die Regressionsgearde sinkt (negative Steigung), ist auch der Korrelationskoeffizient negativ. Im Aufgabentest steht nur: Der Betrag ist 0,6 nicht der Korrelationskoeffizeint ist 0,6 (es ist r = 0, 6 ). E. Der Zusammenhang ist wegen des geringen Regressionskoeffizienten schwach. Das folgt nicht. Der Regressionskoeffizient besagt nichts über die Stärke eines Zusammenhangs. Aufgrund r = 0, 6 kann man sagen, dass der Zusammenhang mittelmäßig ist. 7. Binomialverteilung Bei einer schwierigen Operation beträgt die Chance, danach noch ein Jahr (oder länger) zu leben, 0,8. Es werden 10 Patienten operiert. X sei die Anzahl der Patienten, die nach einem Jahr noch leben. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? A. Wenn 10 Patienten operiert werden, erwartet man, dass nach einem Jahr durchschnittlich 2 verstorben sind. Richtig. Der Erwartungswert von X ist µ = np = 10 0,8 = 8. Man erwartet also, dass nach einem Jahr noch genau 8 Patienten leben ergo müssen zwei verstorben sein. B. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem Jahr noch mindestens 8 Patienten leben, beträgt: ,8 = 45 0,8 0,302 8 Falsch. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem Jahr noch genau 8 Patienten leben. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8 Patienten leben, beträgt: k 10 k ,8 = 45 0, ,8 + 0,8 0,6778 k= 8 k C. Der Binomialkoeffizient in Antwort B quantifiziert die Anzahl der Möglichkeiten, von 10 Patienten 8 auszuwählen. Richtig. So ist der Binomialkoeffizient definiert. D. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem Jahr noch alle 10 Patienten leben, ist P( X = 10) = 0,8 = 0,1074 Richtig. Einfache Formel E. Die Standardabweichung von X beträgt 10 0,8 1, 265. Richtig. So ist nun mal die Standardabweichung bei der Binomialverteilung. 8. Skalenniveau Welche der folgenden Aussagen ist falsch? A. Das Merkmal Leukozytenanzahl pro µl Blut kann auch als nominalskaliert aufgefasst werden. Richtig. Dieses Merkmal ist zwar verhältnisskaliert aber man kann das Niveau reduzieren. B. Eine Skala kann nur von einem hohen Niveau auf ein niedrigeres transformiert werden, aber nicht umgekehrt. Richtig. Jedes Merkmal mit den Eigenschaften einer Verhältnisskala hat auch alle Eigenschaften der niedrigeren Niveaus. 4

5 C. Die Maßzahlen, die zur Beschreibung der Eigenschaften eines Merkmals verwendet werden dürfen, sind u. a. abhängig vom Skalenniveau dieses Merkmals. Richtig. Den Mittelwert z. B. kann man nur bei quantitativen Merkmalen (Intervalloder Verhältnisskala) ausrechnen. D. Der Modus kann bei jedem Skalenniveau angegeben werden. Richtig. Man kann den Modus bei einer Nominalskala angeben und demzufolge auch bei Skalen mit höherem Niveau. E. Bei allen quantitativen Merkmalen kann der Variationskoeffizient berechnet werden. Falsch. Nur bei verhältnisskalierten Merkmalen (aber nicht bei intervall-skalierten) kann der Variationskoeffizient berechnet werden. 9. α-fehler und ß-Fehler Welche Aussage ist richtig? A. Je höher die Power eines Tests ist, umso größer ist auch der ß-Fehler. Falsch. Je höher 1-ß, desto geringer ist natürlich ß. B. Der ß-Fehler ist unabhängig von α-fehler. Falsch. Je größer der α-fehler, umso kleiner der ß-Fehler und umgekehrt. C. Ein ß-Fehler wird gemacht, wenn man fälschlicherweise die Alternativhypothese annimmt. Falsch. Das ist die Definition des α-fehlers. D. Wenn beim Vergleich 2er verbundener Stichproben die Voraussetzungen des entsprechenden t-tests erfüllt sind, sollte dieser dem Vorzeichentest vorgezogen werden, da in diesem Fall der ß-Fehler beim t-test kleiner ist. Richtig. Der t-test hat dann eine größere Power und demnach einen kleineren ß-Fehler. E. Wenn die Prüfgröße in den kritischen Bereich fällt, wird die Nullhypothese beibehalten. Falsch. Dann wird die Alternativhypothese angenommen. 10. Klinische Studie Die Hyperhidrose, d. h. das verstärkte Schwitzen, ist eine Erkrankung, die durch Stress verschlimmert werden soll. Sie möchten herausfinden, ob autogenes Training Patienten mit Hyperhidrose hilft, das Stresspotential und damit das Schwitzen zu vermindern und planen die folgende Studie: Alle Patienten in ihrer Sprechstunde, bei denen die letzte Zahl der Patientenidentifikationsnummer gerade ist, erhalten eine Einführung in das autogene Training, alle Patienten, bei denen die letzte Zahl der Patientenidentifikationsnummer ungerade ist, erhalten kein autogenes Training. Sie entscheiden sich für dieses Vorgehen, A. um möglichst strukturgleiche Gruppen zu erhalten. Richtig. Deshalb wird normalerweise randomisiert. Das oben angegebene Verfahren ist quasi-randomisation. B. um die Patienten beider Gruppen über einen vergleichbaren Zeitraum beobachten zu können. Falsch. Dazu bräuchte man nicht zu randomisieren. 5

6 C. um eine genügend große Anzahl von Patienten in beiden Gruppen zu erhalten. Falsch. Auch dazu wäre eine Randomisation nicht nötig. D. um Beobachtungsgleichheit zwischen beiden Gruppen herzustellen. Falsch. Dazu dient die Doppelblindheit. E. um zu verhindern, dass zu viele Patienten die Studie abbrechen. Falsch. Das kann man nicht mit Randomisation verhindern. Bei den anderen Gruppen sind die Lösungen analog. Morgen werden die Lösungen der Gruppen B, C und D ausgehängt werden. 6

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