5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.

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1 1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen lässt. 4. Wie findet man einen Vektor, der zu zwei Vektoren a und b senkrecht ist? a) x a y b z c= 0 liefert ein LGS für x,y,z, welches nur die triviale Lösung hat. b) Die aus den Vektoren a, b und c gebildete Matrix hat eine von Null verschiedene Determinante. 5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? a, b und c bilden eine Basis, wenn jeder Vektor des R 3 sich eindeutig als LK dieser Vektoren darstellen lässt. 6. Wie bringt man einen Vektor auf die Länge 1? n= a b Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge. Länge ausrechnen und durch die Länge dividieren. oder mit ClassPad unitv( 7. Wann spannen zwei Vektoren im R 2 den ganzen Raum auf? 8. Wie berechnet man den Verbindungsvektor zweier Punkte? 9. Wie setzt man einen Vektor an einen Punkt an?..., wenn sie l.u., d.h. nicht parallel sind. d.h. keine Vielfache voneinander sind Koordinaten des Endpunktes MINUS Koordinaten des Anfangspunktes ( Spitze minus Schaft. ) Die Koordinaten der Pfeilspitze erhält man, indem man die Koordinaten des Punktes und die Koordinaten des Vektors addiert. A.Zitterbart, StD - 1 von 5-

2 10. Wie findet man die Mitte von zwei Punkten? 11. Wie findet man die Mitte eines Dreiecks (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden)? 12. Winkel zwischen zwei Ebenen Koordinaten der Punkte addieren und durch 2 teilen Koordinaten der drei Punkte addieren und durch 3 teilen. Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren 13. Gerade durch 2 Punkte 14. Bestimmung des Schnittpunkts zweier Geraden 15. Durchstoßpunkte durch die Koordinatenebenen, zeichnerische Darstellung einer Geraden Erster Punkt liefert Stützvektor, Differenz der Ortsvektoren liefert Richtungsvektor der Geraden Setze die beiden Geraden gleich. Man erhält drei Gleichungen für die beiden Parameter. Mit zwei Gleichungen bestimmt man die beiden Parameter und setzt sie dann in die dritte Gleichung ein. z.b. Durchstoßpunkt durch x 2x 3-Ebene (Rückwand): x 1=0 liefert den Parameter, mit dem man dann x 2 und x 3 bestimmt. 16. Abstand windschiefer Geraden 17. Abstand paralleler Geraden 18. Lagebeziehung zweier Geraden Der Verbindungsvektor zweier beliebiger Geradenpunkte muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren sein. Daraus erhält man die beiden Parameter für die beiden Punkte mit dem kürzesten Abstand Man bestimmt den Abstand des einen Stützpunktes von der anderen Geraden. Falls Richtungsvektoren Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel oder identisch Im anderen Fall schneidet man die Geraden: entweder schneiden sie sich oder sie sind windschief. A.Zitterbart, StD - 2 von 5-

3 19. Abstand Punkt Gerade 20. Fläche eines Trapezes 21. Methode der geschlossenen Vektorzüge Ohne CAS: Der Verbindungsv. vom Punkt zu einem bel. Geradenpunkt muss senkr. zum Richtungsv. sein. Daraus erhält man den Parameter für den Geradenpunkt mit dem kürzesten Abstand mit CAS: Gerade g, Pkt P, fmin norm g P,t dann Zerlege das Trapez mit einer Diagonale in zwei Dreiecke; dann mit dem Kreuzprodukt bei beiden Dreiecken weiterarbeiten Suche geschlossenen Vektorzug, mit den interesanten Punkten als Eckpunkte. Stelle alle vorkommenden Vektoren als LK von l.u. Vektoren dar. Nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen erhält man eine Darstellung des Nullvektors. Die Koeffizienten der l.u. Vektoren müssen Null sein. 22. Wie überprüft man, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt? 23. Ebene in Param.Form durch 3 Punkte A,B,C 24. Ebene durch 3 Punkte A,B,C in Koordinatenform Koordinaten des Punktes in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen. E : x = OA t AB s AC AB AC liefert Normalenvektor n der Ebene. E : n x= n a, wobei a der Ortsvektor des Punktes A ist 25. Umformung Param.Form Koord.Form 26. Normalenform einer Ebenengleichung 27. Hesseform der Ebenengleichung Kreuzprodukt der Richtungsvekt. liefert Normalenvektor n der Ebene E : n x = n p, wobei p Ortsvektor des Stützpunktes ist E : [ x p ] n=0 Normalenform durch die Länge von n dividieren: E : n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n p =0 n 2 1 n n 3 A.Zitterbart, StD - 3 von 5-

4 28. Wie findet man einen Normalenvektor einer Ebene? 29. Wie überprüft man, ob 4 Punkte auf einer Ebene liegen? 30. Ebene durch einen Punkt und eine Gerade Kreuzprodukt der Richtungsvektoren Wenn die Vektoren AB, AC, AD die 4 Punkte in einer Ebene. (Überprüfung mit Determinante!) l.a. sind, dann liegen Stützvektor der Geraden, Richtungsvektor und Verbindungsvektor von Punkt und Stützpunkt liefern die Parameterdarstellung der gesuchten Ebene. 31. Ebene durch zwei sich schneidende Geraden 32. Achsenabschnittsform der Ebenengleichung 33. Winkel zwischen Gerade und Ebene Schnittpunkt und die beiden Richtungsvektoren liefern die Parameterdarstellung der gesuchten Ebene. x a y b z c =1 dabei sind a, b, c die Stellen, an denen die betreffenden Achsen geschnitten werden Winkel zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor 34. Fläche eines Dreiecks, das von zwei Vektoren aufgespannt wird 35. Volumen eines Spats 36. Volumen einer dreiseitigen Pyramide A= 1 2 a b V = a b c CAS: dotp crossp a, b, c oder (einfacher) Determinante der drei Vektoren. V = a b c A.Zitterbart, StD - 4 von 5-

5 37. Abstand eines Punktes P von einer Ebene [ x a] n=0 38. Lotfußpunkt von Punkt auf Ebene 39. Siegelung eines Punktes an einer Ebene Punkt in Hesseform einsetzen! CAS: dotp unitv n, p a Normalenvektor und Punkt bilden eine Gerade; diese mit Ebene schneiden. Verbindungsvektor von Punkt zum Lotfußpunkt an den Lotfußpunkt ansetzen. 40. Schnitt von Gerade und Ebene 41. Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene 42. Parallelität von Ebene und Gerade Gerade in die Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen, gefundenen Parameter in die Gerade einsetzen Man schneidet die Ebene mit der Geraden genau eine Lösung: Gerade durchstößt die Ebene keine Lösung: Gerade u. Ebene sind echt parallel allgemeingültige Gl.: Gerade liegt in der Ebene Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene müssen orthogonal sein. 43. Wie überprüft man, ob zwei Vektoren orthogonal sind? 44. Lagebeziehung zweier Ebenen 45. Schnitt zweier Ebenen (in Koordinatenform) Ihr Skalarprodukt muss 0 sein. Falls die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind, sind die Ebenen parallel, sonst schneiden sie sich. manuell: untereinander schreiben und zwei mal x =... z... geeignet addieren liefert y =... z... z = z Umformung in vektorielle Schreibweise liefert Geradengleichung A.Zitterbart, StD - 5 von 5-

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