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1 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit Hilfe der Vektorrechnung gelöst werden. Wichtig bei der Vektorrechnung sind u.a. die gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. Um die zu untersuchen, müssen die Eigenschaften von Geraden und Ebenen bekannt sein. Bei den Geraden ist es wichtig, dass man entweder einen Stützpunkt und eine Richtung hat oder dass man zwei Punkte auf der Geraden kennt. Wir kennen das von der Geradengleichung bei den linearen Funktionen. Entweder Punkt und Steigung oder zwei Punkte müssen bekannt sein. Damit ist die Schreibweise in der Vektorrechnung nur eine andere Darstellungsform von linearen Funktionen. Eine Geradengleichung in Parameterform sieht allgemein so aus: g: g: x = p + r u (x x p x 3=(p r (u u p 3+ 3 u mit dem Stützpunkt P und dem Richtungsvektor u. Bei den Ebenendarstellungen ist es analog: Entweder man kennt einen Punkt auf der Ebene (Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren (die linear unabhängig sind; evtl. prüfen oder man kennt drei Punkte, wobei einer der Stützpunkt wird und die Verbindungsvektoren zwischen den einzelnen Punkten die Richtungsvektoren bilden. Dazu eine Anmerkung: Bei drei Punkten kann man insgesamt sechs unterschiedliche Richtungsvektoren bilden. Außerdem kann man drei unterschiedliche Stützpunkte wählen. Insgesamt ergeben sich neun verschiedene Ebenengleichungen, die aber immer die selbe Ebene beschreiben! Eine allgemeine Ebenengleichung: E : E : x = p + r u + s v (x (p x p r (u u s (v v x 3= p 3+ u 3+ 3 v mit dem Stützpunkt P und den Richtungsvektoren u und v

2 Wie können nun zwei Geraden zueinander stehen? Sie können sich schneiden parallel sein identisch sein windschief sein Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden I: Gegeben sind zwei Geraden: =( 7 g: x r ( + 3 ; Erster Schritt: die Richtungsvektoren Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig? h: x =( 6 t ( + Wenn das der Fall ist, dann können wir einen Richtungsvektor durch ein Vielfaches des anderen Richtungsvektoren ausdrücken. Also: ( 3 λ ( = Wir erhalten für die erste Koordinate λ = und für die zweite Koordinate λ = 3. Wir können die Rechnung abbrechen, da es keinen einheitlichen Wert für λ gibt. Also sind die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig. Damit können wir schon mal sagen, dass die beiden Geraden entweder einen Schnittpunkt haben oder windschief sind. Zweiter Schritt: der Schnittpunkt Schnittpunkt bedeutet, dass der Punkt auf beiden Geraden zu finden ist. Wir setzen die Geradengleichungen gleich und erhalten folgendes: ( 7 r ( =( t ( + Wenn wir jetzt alles Bekannte auf eine Seite bringen und alles Unbekannte auf die andere Seite, erhalten wir: r ( 3 t ( =( 7 6 Bzw. das Gleichungssystem Die Lösungsmatrix lautet dann: r t = 3 3r t = r t = 3 (, und die Matrix also r = - und t =. ( (

3 Wenn man die Werte für r und t in die jeweilige Geradengleichung einsetzt, erhält man die Koordinaten des gemeinsamen (Schnitt-Punktes. =( 5 s 5 Wenn die Lösungsmatrix des Gleichungssystems keine Lösung hat, existiert kein gemeinsamer Punkt, die Geraden sind dann windschief. Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden II: Gegeben sind zwei Geraden: 3 g: x =( + r ( ; Erster Schritt: die Richtungsvektoren h: x =(5 7 t ( ( 3 λ ( 9 = 3 6 Hier ergibt sich λ = - /3 für alle drei Koordinaten. Die beiden Geraden sind also linear abhängig. Somit sind die Geraden entweder identisch oder parallel. Zweiter Schritt: Punktprobe Um zu überprüfen, ob die Geraden einen gemeinsamen Punkt haben (was bedeuten würde, dass die Geraden identisch wären, reicht es, den Stützpunkt der einen Geraden in die Gleichung der anderen Geraden einzusetzen. Denn bei identischen Geraden ist jeder Punkt der einen auch Bestandteil der anderen Geraden. Wir erhalten die folgende Gleichung: ( 7 t ( 9 3 bzw. das Gleichungssystem =(5 + 6 = 5 + t ( 9 = 7 + t 3 = + t ( 6 Wenn wir für alle drei Koordinaten ein einheitliches t erhalten, liegt der Punkt auf der Geraden, sonst nicht. Koordinate : t = /9, Koordinate : t = - Damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden und die beiden Geraden sind parallel zueinander. Bei der gegenseitigen Lage von Gerade und Ebene können wir ähnlich verfahren. Gerade und Ebene können sich schneiden parallel sein identisch sein Warum können Gerade und Ebene nicht windschief sein? Wenn Gerade und Ebene parallel verlaufen, haben sie keinen gemeinsamen Punkt und sie treffen sich nie. Wenn sie nicht parallel verlaufen, müssen sie sich irgendwann treffen, und damit haben sie einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt.

4 Um nun die gegenseitige Lage zu untersuchen, werden Geraden- und Ebenengleichung gleichgesetzt. Es ergibt sich dann ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen, je eine für eine Koordinate, mit insgesamt drei unbekannten Koeffizienten, den Faktoren der Richtungsvektoren. Untersuchung der gegenseitigen Lage von Gerade und Ebene I: Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E: g: x =( t ( ; E : x =( 3 + s ( r ( 3 + Durch das Gleichsetzen erhalten wir das folgende Gleichungssystem: ( t (7 + 8 s ( 6=( 3+ r ( 3 + ( ( s ( 3= r ( + t ( ( 3 3= s ( r ( + t ( = r + s 7 t 3 = r + s 8 t = r + 3 s 6 t rref( 3 6 Als Ergebnis erhalten wir die folgenden Werte: r = -5 ; s = und t = Wenn wir die Werte in die entsprechenden Gleichungen einsetzen, erhalten wir: g: x = ( + (7 8 6=( 5 9 E : x =( ( 3+ ( 5 ( + 3=( 5 9 Gerade und Ebene haben einen gemeinsamen Schnittpunkt S (5 / 9 /. Untersuchung der gegenseitigen Lage von Gerade und Ebene II: Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E: =( g: x 8+ 7 t ( 5 ; E : x =( 7 + r ( + s ( 3 Mit der Gleichsetzung und Umformung kommt man zu der folgenden Matrix: 7 9 rref( ( ( 5 Die dritte Gleichung lautet: r + s + t =. Diese Gleichung ist nicht zu lösen, daher gibt es

5 keinen gemeinsamen Punkt von Gerade und Ebene. Gerade und Ebene verlaufen parallel zueinander. Untersuchung der gegenseitigen Lage von Gerade und Ebene III: Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E: g: x =( t ( 3 3 ; + E : x =( r ( s ( + + Mit der Gleichsetzung und Umformung kommt man zu der folgenden Matrix: 3 rref( (,5,5 3,5,5 Die dritte Gleichung lautet: r + s + t =. Egal welche Werte wir für r, s oder t wählen, die Gleichung ist immer erfüllt; es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte. Die Gerade liegt in der Ebene. Zusammenfassung Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene g und E schneiden sich g und E sind parallel g liegt in E Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung für r, s und t keine Lösung unendlich viele Lösungen Wenn sich Gerade und Ebene schneiden, oder Gerade und Gerade, oder Ebene und Ebene, kann man noch untersuchen, in welchem Winkel sie dies tun (siehe: Winkel zwischen Vektoren. Die Ebene ist durch zwei Richtungsvektoren definiert. Wenn der Richtungsvektor der Geraden zu beiden Richtungsvektoren der Ebene orthogonal ist, schneiden sich Gerade und Ebene im rechten Winkel. Für einen allgemeinen Schnittwinkel muss die Ebene durch einen anderen Vektor definiert werden. Dieser neue Vektor steht auf beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht und wird Normalenvektor n genannt. Der Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene kann jetzt berechnet werden, indem man den Winkel zwischen Gerade (bzw. dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene bestimmt. Dazu folgende Skizze: die Ebene hat die Richtungsvektoren u und v w ist der Richtungsvektor der Geraden der Winkel α ist der Winkel zwischen Gerade und Ebene der Vektor n steht senkrecht auf u und v β ist der Winkel zwischen w und n β = 9 - α sin α = cos (9 - α = cos β

6 Länge eines Vektors / Einheitsvektor In manchen Bereichen ist es wichtig, die Länge von Vektoren zu kennen. Um z.b. den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu bestimmen, wird ein Vektor von dem Punkt zur Geraden konstruiert, und dessen Länge ist dann der Abstand zwischen Punkt und Gerade. Die Länge eines Vektors ist definiert als dessen Betrag: Die Länge von a ist der Betrag a a =(a a 3 a a = a + a +à 3 Es wird noch ein Einheitsvektor definiert, der die Richtung von a hat, aber die Länge : a = a a a = Der Abstand zweier Punkte P (p p p 3 und Q (q q q 3 ist PQ = PQ = (q p + (q p + (q 3 p 3 Winkel zwischen Vektoren Für den Winkel α, der zwischen den Vektoren aufgespannt ist, gilt die folgende Beziehung: a b = a b cos α ; cosα = a b a b, α 8 Für das Skalarprodukt a b gilt: a b =(a a b a 3 (b 3 = a b + a b + a 3 b 3 b Das Produkt heißt Skalarprodukt, weil das Ergebnis kein Vektor, sondern ein Skalar ist. Eine Besonderheit ergibt sich für den Winkel von 9, wenn beide Vektoren senkrecht (orthogonal zueinander stehen: Es gilt: a b = a b + a b + a 3 b 3 = Wenn das Skalarprodukt Null ergibt, dann sind beide Vektoren orthogonal. Wenn die Vektoren orthogonal sind, ergibt das Skalarprodukt Null. Skizze zu der Definition des Winkels zwischen den Vektoren: Es handelt sich immer um den Winkel zwischen den Vektoren, der zwischen und 8 liegt.

7 Der Winkel zwischen zwei Geraden ist: cosα = u v u v, α 9 u und v sind die Richtungsvektoren der beiden Geraden Für den Winkel zwischen Gerade und Ebene gilt folgendes: sinα = w n w n, α 9 w ist der Richtungsvektor der Geraden und n ist der Normalenvektor der Ebene Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist: cosα = n n n n, α 9 n und n sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen Durch die Betragsstriche im Zähler ist jeweils gewährleistet, dass ein Winkel kleiner als 9 berechnet wird, denn wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen insgesamt vier Schnittwinkel, von denen zwei kleiner und zwei größer also 9 sind. Wenn sich zwei Geraden schneiden, gibt es einen Schnittpunkt. Durchstößt eine Gerade eine Ebene, gibt es ebenfalls einen Schnitt- oder Durchstoßpunkt. Wenn diese Gerade eine Koordinatenachse ist, heißt der Durchstoßpunkt auch Spurpunkt. Schneiden sich zwei Ebenen, entsteht eine Schnittgerade. Wenn eine der Ebenen eine Koordinatenebene ist, heißt diese auch Spurgerade. Berechnung des Normalenvektors Möglichkeit I: Der Normalenvektor ist der Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht. Für die Ebene E gilt: E : x =( + Richtungsvektoren: u =( 7 r ( Es muss gelten: u n = und v n = s ( und v =( 3

8 Damit folgen die beiden Gleichungen: u n + u n + u 3 n 3 = v n + v n + v 3 n 3 = n + ( 7 n + n 3 = n + n + ( 3 n 3 = und die Lösungsmatrix (,65,75 Wir bekommen die Werte für n und n, wenn wir für n 3 einen Wert festlegen. z.b. : n =(7/6 3/ Das ist nur ein möglicher Normalenvektor. Andere mögliche Normalenvektoren sind z.b. n =(7/8 =( 3/ oder n /7 6/7 Möglichkeit II: Mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren bildet man einen Vektor, der auf den beiden Vektoren senkrecht steht. Das Kreuzprodukt wird folgendermaßen gebildet: (u u x v = u v u 3x(v u3v u 3 v u v 3 v 3=(uv3 u v u v Eine mögliche Denkhilfe: Damit würde für die Ebene aus Mögl. I folgen: =( x( n = u x v 7 ( 3 3=(( 7 ( 3 =(7 ( 7 6 Das ist ebenfalls ein Normalenvektor der Ebene.

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

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