Vorwort. 1. Vorkenntnisse der SchülerInnen/ Rahmenlehrplan

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1 Vorwort In der folgenden Ausarbeitung wird das Thema Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II behandelt. Zunächst wird auf Vorkenntnisse der SchülerInnen eingegangen, die sie laut Rahmenlehrplan für den Sekundarstufenbereich II mitbringen sollten und auf welche im Bereich der Vektorrechnung aufgebaut werden kann. Zu den Schwerpunkten dieser Arbeit zählen die Einführung des mathematischen Vektorbegriffs, sowie die Einführung der Addition und Vervielfachung von Vektoren. An markanten Stellen wird auf mögliche Verständnisschwierigkeiten, die SchülerInnen mit dem Vektorbegriff haben könnten, eingegangen und diese verdeutlicht. Den Abschluss der theoretischen Behandlung des Stoffgebiets Vektorrechnung bildet die Einführung der Parametergleichungen von Geraden und Ebenen im R³. Am Ende unserer Erarbeitung werden drei Thesen diskutiert, die wir dem Plenum zur Diskussion vorgegeben haben. 1. Vorkenntnisse der SchülerInnen/ Rahmenlehrplan Laut Rahmenlehrplan wird in der Sekundarstufe II die Vektorrechnung im Bereich der Analytischen Geometrie und linearen Algebra eingeführt und behandelt. Doch an welche Vorkenntnisse der SchülerInnen können wir hierbei anknüpfen? Um diese Frage ausreichend beantworten zu können, sehen wir in den Rahmenlehrplan der Grundschule und Sekundarstufe I und können u.a. auf folgendes Grundlagenwissen zurückgreifen: Bereits in Jahrgangsstufe 3/4 lernen die SchülerInnen die Begriffe Verschiebung und Drehung kennen und können gedrehte und verschobene Figuren erkennen, benennen, vervollständigen und konstruieren. Die SchülerInnen arbeiten vorwiegend auf der enaktiven Ebene. In Jahrgangsstufe 5/6 orientieren sich die SchülerInnen mithilfe von Koordinaten und verwenden den Begriff geordnetes Zahlenpaar. Außerdem erarbeiten sie Konstruktionsvorschriften von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen und können diese geometrischen Abbildungen nacheinander ausführen (Vgl. Rahmenlehrplan Grundschule). In den Jahrgangsstufen 7/8 orientieren sich die SchülerInnen im zweidimensionalen Koordinatensystem, lesen Parameter (Steigung, Ordinatenabschnitt) aus gegebenen Geraden ab und können Geraden, die durch eine Funktionsgleichung gegeben sind, mittels Ordinatenabschnitt und Steigungsdreieck zeichnen. Im Weiteren lernen die SchülerInnen, wie man ebene Figuren parallel verschiebt, erarbeiten diesbezüglich Konstruktionsvorschriften und wenden sie bei Konstruktionen an. Schließlich führen sie die Abbildungen Spiegelung, Punktspiegelung und Parallelverschiebung im Koordinatensystem durch und stellen ebene Figuren darin dar. Am Ende der Jahrgangsstufen 9/10 verfügen die SchülerInnen über ein komplexes Grundlagenwissen der Elementargeometrie und können 1

2 nun auch geometrische Figuren und Körper im dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen (Vgl. Rahmenlehrplan Sekundarstufe I). Im Sekundarstufenbereich II lernen die SchülerInnen den Begriff Vektor und seine Bedeutung kennen und setzen sich mit der Addition und der Vervielfachung von Vektoren auseinander. Dazu werden in der Regel der geometrische und arithmetische Vektorbegriff eingeführt und miteinander verknüpft. Weiterhin behandeln die SchülerInnen ebene Flächen und Körper im dreidimensionalen Koordinatensystem und können Geraden, Ebenen, Strecken, ebene Flächen und Körper im Raum mithilfe von Koordinaten und Vektoren darstellen. Sie lernen auch Ebenengleichungen in Parameter-, Koordinaten- und Normalenform aufzustellen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen und Abstandsprobleme von Punkten zur Ebene zu untersuchen und Längen, Winkel und Flächeninhalte räumlicher Figuren unter Anwendung des Skalarproduktes vektoriell zu berechnen. Im Leistungskurs werden diese Inhalte durch weitere ergänzt: die SchülerInnnen lernen Verfahren kennen, mit denen sie Gleichungssysteme mit höchstens drei Gleichungen lösen können und wie die Lösungsmenge geometrisch dargestellt werden kann. In diesem Zusammenhang wenden sie den Gaußschen Algorithmus an und erweitern ihren mathematischen Wortschatz um Begriffe wie lineare Un-/Abhängigkeit, Vektorraum, Basis und Dimension. Sie beschreiben Kreise in der Ebene vektoriell und untersuchen deren Lagebeziehung zu Geraden. Eine Erweiterung findet dahingehend statt, dass Kugeln im Raum und deren jeweilige Lagebeziehungen zu Geraden und Ebenen analysiert werden (Vgl. Rahmenlehrplan Sekundarstufe II). Zusammenfassend werden die gesamte Mittelstufengeometrie und das Lösen von linearen Gleichungssystemen als vorausgesetzt angesehen, so dass diese Grundkenntnisse in die Analytische Geometrie aufgenommen werden können. Dabei wird die Geometrie mithilfe von Vektoren arithmetisiert. Beleg dafür ist die Verwendung von Koordinatensystemen, mit deren Hilfe Punkte in der Ebene als Paare von Zahlen dargestellt werden. In der Sekundarstufe I werden auch schon die Pfeile, die Verschiebungen repräsentieren, als Vektoren geschrieben, nur noch nicht als solche benannt. So bestimmen die Punkte A(2 4) und B (5 6) sowie P(9 1) und Q(12 3) zwei Pfeile, die Repräsentanten derselben Verschiebung sind. Liest man im Koordinatensystem die Verschiebung als 3 nach rechts und 2 nach oben, so 3 ergibt sich die schon in der Sekundarstufe I übliche Abkürzung. Aus den Koordinaten 2 der zugehörigen Punkte ergibt sich die erste Koordinate als Differenz der x-werte, die zweite Koordinate als Differenz der y-werte. Dieses führt zur folgenden vektoriellen Darstellung: 2

3 AB = = ; PQ = = So entstehen die Verschiebung und ihr Verschiebungsvektor. Im Sinne des Spiralprinzips geht es nun um analoge Fragen, die die Sachverhalte und Sätze der Elementargeometrie analytisch behandeln und Probleme rechnerisch lösbar machen. Besonders wichtig für die Einführung des mathematischen Vektorbegriffs ist eine tragfähige Grundvorstellung von Verschiebungen, die sich eindeutig durch die Pfeile darstellen lassen, die gleich lang sind und die gleiche Richtung haben. 2. Einführung des mathematischen Vektorbegriffs Die grundlegende Idee der Analytischen Geometrie ist es, mithilfe von Koordinaten und Vektoren geometrische Sachverhalte algebraisch zu beschreiben und umgekehrt algebraische Sachverhalte geometrisch zu interpretieren (Vgl. Tietze, S. 2) Um den mathematischen Vektorbegriff einzuführen, müssen wir uns im Klaren darüber sein, dass dies auf unterschiedliche Weise erfolgen kann, da wir drei Vorstellungen zum Vektorbegriff unterscheiden (Vgl. Tietze, S. 134): Geometrische Vorstellung: Vektoren werden als Pfeilklassen, als Verschiebungen oder als Punkte eingeführt. Arithmetische Vorstellung: Vektoren werden als n-tupel reeller Zahlen eingeführt und der Vektorkalkül als eine Erweiterung des Rechnens mit Zahlen verstanden. Formal-axiomatische Vorstellung: Vektoren werden als Elemente eines Vektorraumes, wobei ein Vektorraum eine nichtleere Menge mit gewissen Verknüpfungen ist, die gewissen Axiomen genügen, eingeführt. (siehe S. 11) Wichtig ist, dass die Einführung des Vektorbegriffs in der Schule auf einfache und zugängliche Weise erfolgt, indem die Lehrkraft einen ihrer Klasse entsprechenden Weg (arithmetisch oder geometrisch) wählt. Es ist üblich, dass wir in der Schule auf die geometrische und arithmetische Vorstellung des Vektorbegriffs zurückgreifen, da die formal-axiomatische Vorstellung eher dem universitären Niveau entspricht und für die Schulpraxis kaum geeignet zu sein scheint. Im Kapitel 4 werden zusammenfassend die Axiome des Vektorraumes aufgelistet, aber nicht weiter ausgeführt. Wir haben uns für den geometrischen Weg zur Einführung des mathematischen Vektorbegriffs entschieden, da wir an die Kenntnisse über Verschiebungen einer Ebene 3

4 anknüpfen wollen. Dann erfolgt die Übertragung des Verschiebungsbegriffes auf den dreidimensionalen Raum, wobei zur Veranschaulichung für Verschiebungen Elemente von Mengen paralleler, gleich langer und gleich gerichteter Pfeile verwendet werden. Diese Menge von Pfeilen wird als Vektor bezeichnet. Grundvoraussetzung ist, dass geometrische Abbildungen mit einem tragfähigen, verallgemeinerbaren Konzept eingeführt werden: Eine geometrische Abbildung ist eine eindeutige Vorschrift, die jedem Punkt der Ebene oder des Raumes einen Punkt der Ebene oder des Raumes zuordnet. Dann ist die Parallelverschiebung oder Translation eine geometrische Abbildung, die jeden Punkt der Zeichenebene oder des Raumes in derselben Richtung um dieselbe Strecke verschiebt. Sie kann durch einen Verschiebungsvektor gekennzeichnet werden. D.h. jeder Vektor legt genau eine Verschiebung fest und umgekehrt kann jede Verschiebung eindeutig durch einen Vektor beschrieben werden. Dies führt uns zusammenfassend auf die folgende Definition des Begriffes Vektor : Die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich gerichtet sind, heißt Vektor. Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge ist ein Repräsentant des Vektors (Vgl. Duden Lehrbuch, S. 42). Ein Vektor ist also, im Gegensatz zu einer reellen Zahl, durch eine Länge und eine Richtung eindeutig gekennzeichnet. Folgende Übung kann helfen, dass Verständnis von Vektoren als Pfeilklasse zu erhöhen: Aufgaben: 1. Wie viele verschiedene Vektoren sind in der Figur durch Pfeile dargestellt? 2. Welche Vektoren sind zueinander Gegenvektoren? 3. Welcher Vektor bildet C auf D ab? (Quelle: Lambacher, S. 33) Diese Aufgabe unterstützt den Prozess der Verinnerlichung der Begriffe Vektor und geometrische Abbildung. Hinzu kommt, dass den SchülerInnen verdeutlicht werden muss, was ein Gegenvektor ist und wie man ihn bestimmen kann. 4

5 Nun haben wir den Vektorbegriff auf geometrischen Weg anhand einer Menge von Pfeilen eingeführt und wollen ihn jetzt arithmetisch beschreiben. Es ist besonders hervorzuheben, dass die Einführung des geometrischen Vektorbegriffs nicht von der arithmetischen Interpretation losgelöst behandelt wird, da beide Vorstellungen den Begriff des Vektors auf unterschiedlicher Weise beschreiben und verständlich machen. Der arithmetische Vektorbegriff kann folgenderweise eingeführt werden: Wir nutzen zur Einführung eine gegebene geometrische Darstellung. Gegeben ist ein Verschiebungspfeil v in der Ebene bzw. im Raum, der den Punkt P (Anfangspunkt) in den Punkt P (Pfeilspitze) verschiebt. Um den Vektor arithmetisch darzustellen, benötigen wir seine Koordinaten. Offensichtlich können wir die Verschiebung durch das Zahlenpaar (v 1, v 2 ) darstellen, also mithilfe von Koordinaten beschreiben. Diese können wir bestimmen, indem wir den Punkt P um v 1 Einheiten in Richtung der x 1 -Achse und v 2 Einheiten in Richtung der x 2 -Achse verschieben. (Vgl. folgende Abbildung aus Lambacher, S. 36) Analog erfolgt die Bestimmung der Koordinaten eines dreidimensionalen Vektors, wobei eine dritte Koordinate v 3 hinzugefügt wird, die wir mittels der Verschiebung um v 3 Einheiten in Richtung der x 3 - Achse erhalten. An dieser Stelle unterstreichen wir die Besonderheit des dreidimensionalen Koordinatensystems für SchülerInnen, da wir nun eine dritte Achse und eine dritte Koordinate haben, die die gewohnte Anordnung der Achsen eines zweidimensionalen Koordinatensystems abändern. Nun zeigt die x 1 -Achse nach vorn und die x 2 -Achse übernimmt die Lage der x 1 -Achse aus der zweidimensionalen Darstellung. Die x 2 -Achse wird zur x 3 -Achse. Ist dies den SchülerInnen einmal deutlich gemacht worden, sollten keine Probleme bestehen. Zusammenfassend lässt sich jeder arithmetische Vektor bezogen auf ein Koordinatensystem als Punkt, Translation oder Pfeil deuten, wobei jedem arithmetischen Vektor unendlich viele Pfeile, die die gleiche Richtung und gleich lang sind, entsprechen (Vgl. Tietze, S. 159). Umgekehrt kann jedem geometrischen Vektor nach Einführung des Koordinatensystems ein n-tupel zugeordnet werden. 5

6 Die Pfeildarstellung von Vektoren ist zwar sehr anschaulich, aber für Rechnungen kaum geeignet, weshalb wir auf die arithmetische Darstellung der n-tupel zurückgreifen und in den v1 meisten Fällen die Spaltenvektor-Schreibweise nutzen. Hingegen werden v2 Zeilenvektoren (v 1, v 2 ) für die Angabe von Punkten verwendet. 1 Um jeden beliebigen Punkt in der Zeichenebene oder im Raum bestimmen zu können, benötigen wir ein weiteres Hilfsmittel. Zeichnen wir vom Koordinatenursprung einen Pfeil zu einem Punkt P(x,y), so repräsentiert der Pfeil einen Vektor mit den Koordinaten x und y. Der Pfeil OP wird Ortsvektor des Punktes P genannt. (Vgl. dazu folgende Darstellung aus Lambacher, S. 36). Der Begriff des Ortsvektors spielt eine wesentliche Rolle bei der Herleitung der Parametergleichung von Geraden und Ebenen sowohl im R² als auch im R³. Er wird in diesem Zusammenhang als Stützvektor verwendet und erleichtert somit das Aufstellen einer Geraden- bzw. Ebenengleichung in Parameterform. 3. Mögliche Verständnisschwierigkeiten für SchülerInnen Der Begriff des Vektors ist für viele SchülerInnen schwer zu erfassen und muss deshalb angemessen und verständlich eingeführt und verinnerlicht werden. Schüler haben oft Schwierigkeiten mit der arithmetischen Darstellung von Vektoren. Sie scheint ihnen abstrakt und wenig fasslich. Sie können sich schlecht vorstellen, wieso eine analytische Beschreibung einem bestimmten geometrischen Objekt (z.b. Punkt, Ebene) oder einem Zusammenhang (z.b. Lagebeziehung von Geraden) entspricht. Es ist daher die Aufgabe eines verständnisorientierten Mathematikunterrichts, mit geeigneten Veranschaulichungen dazu beizutragen, dass die SchülerInnen die analytische Beschreibung verstehen können. Das soll heißen, dass den SchülerInnen Vektoren als 1 Im Folgenden werden wir unsere Koordinaten mit x, y und z bezeichnen. 6

7 Hilfsmittel zur Beschreibung von geometrischen Sachverhalten klargemacht und hierbei auf die Darstellung eines Vektors als Verschiebung und damit als Verschiebungspfeil eingegangen werden muss. Die enge Verbindung des geometrischen und arithmetischen Vektorbegriffes muss eindeutig thematisiert und hervorgehoben werden. Eine weitere Schwierigkeit besteht darin, bislang verschiedene Objekte plötzlich zu einer Menge oder Klasse zusammenzufassen und als einziges Objekt zu behandeln. Es heißt DER Vektor (Singular), aber der Begriff umfasst unendlich viele Pfeile, besitzt also Pluralbedeutung (Vgl. Tietze, S. 135). Bei SchülerInnen treten oftmals Vorstellungen auf, dass ein Vektor stets ortsfest ist, ähnlich wie eine Strecke. Den SchülerInnen muss immer wieder deutlich gemacht werden, dass viele Pfeile Repräsentanten eines Vektors sind, solange sie alle zur gleichen Pfeilklasse gehören und somit gleiche Eigenschaften (gleichlang, gleichgerichtet) besitzen. In diesem Zusammenhang sollte darauf hingewiesen werden, dass der Ortsvektor ebenfalls viele Repräsentanten hat. D.h. der Ortsvektor kann theoretisch überall im Koordinatensystem sein und muss nicht im Koordinatenursprung beginnen. Ein ganz einfaches, aber dennoch häufig auftretendes Problem haben SchülerInnen beim Ablesen von Punkten im Raum. Bisher haben sie hauptsächlich geometrische Figuren in der Ebene betrachtet und sich mithilfe von xy-koordinaten orientiert. Durch die Erweiterung des Koordinatensystems auf drei Achsen wird das räumliche Vorstellungsvermögen mehr als zuvor geschult. Ist dieses nicht ausreichend entwickelt, sollten bereits zu Beginn der Einführung von Vektoren ausreichende und abwechslungsreiche Übungen gemacht werden, die das Ablesen von Punkten und die Bestimmung von Vektoren unterstützen (Vgl. Übung 2 und Kreativaufgabe im Anhang, S. 18f). 4. Einführung der Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar Im folgenden Abschnitt wird es um die Addition und Vervielfachung von Vektoren gehen. Dabei können folgende Fragestellungen auf das Problem vorbereiten: Wie wird die Hintereinanderausführung zweier Verschiebungen mithilfe zugehöriger Pfeile bewerkstelligt? Wie kann man eine doppelt so weite Verschiebung darstellen? 1. Addition von Vektoren Die Addition von Vektoren kann auf unterschiedliche Weise eingeführt werden. 7

8 Da wir uns für die Einführung des Vektorbegriffs zunächst auf die geometrische Vorstellung bezogen haben, führen wir auch die Addition von Vektoren auf geometrische Weise ein, um sie dann arithmetisch zu interpretieren. In der folgenden Darstellung (Vgl. Bigalke, S. 20) betrachten wir ein zweidimensionales Koordinatensystem und die drei Vektoren a, b und c. Wir können die Addition zweier Vektoren mithilfe von Pfeilrepräsentanten geometrisch darstellen: Ist PQ ein Repräsentant von a und QR der beginnende Repräsentant von b, so ist PR ein Repräsentant der Summe a +b (Bigalke, S. 20). Dazu können wir uns folgendes merken: Der Anfangspunkt des zweiten Pfeils befindet sich an der Spitze des ersten Pfeils und der Ergebnispfeil reicht vom Anfangspunkt des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils. Möchten wir nun zur arithmetischen Interpretation überleiten, dann können wir das folgendermaßen machen: Den Punkt P(x 1,y 1 ) verschieben wir mithilfe des Vektors a = in den Punkt Q(x 2,y 2 ). Anschließend wird der Punkt Q(x 2,y 2 ) mithilfe des Vektors b = b b a a in den Punkt R(x 3,y 3 ) verschoben, sodass eine direkte Verbindung des Punktes P in den Punkt R mithilfe des Vektors c a1 + b1 = erzielt werden kann. Wir können den Vektor c als a2 + b2 Summe der Vektoren a und b betrachten und somit folgende arithmetische Darstellung definieren: (Quelle: Lambacher S. 39) 8

9 D.h. zwei Vektoren a und b werden miteinander addiert, indem einander entsprechende Koordinaten von a und b addiert werden. Achtung: Die Definition der Addition ist unabhängig von der Wahl der Repräsentanten! Anscheinend spielt die Reihenfolge bei der Hintereinanderausführung von Parallelverschiebungen keine Rolle, da die resultierende Verschiebung in x-, y- bzw. z- Richtung gleich bleibt. Es gelten für die Addition von Vektoren das Kommutativ- und Assoziativgesetz. Kommutativität: a +b = b + a Assoziativgesetz: a + (b + c ) = ( a + b ) + c Kommutativität Assoziativität Wie bei der Addition von Zahlen existiert auch bei der Addition von Vektoren ein neutrales Element, der Nullvektor. Es gilt dann: a + o = o + a = a Werden beispielsweise zwei entgegengesetzte Verschiebungen ausgeführt, so wird ein Punkt P auf sich selbst abgebildet und wir sprechen von einer Nullverschiebung mit dem entsprechenden Nullvektor. Es gilt: a +(- a )= o, wobei - a Gegenvektor zu a ist. 2. Multiplikation mit einem Skalar Analog zum Rechnen mit Zahlen liegt es nahe, die Summe mehrerer gleicher Vektoren zu einem Produkt umzuformen und beispielsweise zu schreiben: a + a + a + a = 4 a oder (- a )+(- a )+(- a ) = 3(- a ). Bisher haben wir solche Produkte nicht definiert und legen deshalb Folgendes fest (Vgl. Lambacher, S. 42): 9

10 Wir können von jedem Vektor ein Vielfaches bilden, indem wir alle seine Koordinaten mit r multiplizieren. Im Zusammenhang mit Vektoren sprechen wir bei der Multiplikation mit einer reellen Zahl von Skalaren und bezeichnen die obige Operation als S-Multiplikation. Falsch wäre der Ausdruck: Vektormultiplikation, da es sich hierbei um die Multiplikation von zwei oder mehr Vektoren handeln würde und es nichts mit der Vervielfachung von Vektoren zu tun hätte, wohl aber mit dem Begriff Skalarprodukt. Geometrisch können wir die S-Multiplikation mithilfe der zentrischen Streckung mit einem Streckfaktor r erklären. Hierbei werden alle Pfeile um r gestreckt, sodass eine Pfeilklasse in eine neue Pfeilklasse übergeht (Vgl. Tietze, S. 9). Die Betrachtung der Werte für die reelle Zahl r, bringt folgende Erkenntnisse: r > 0 die Vektoren sind gleichgerichtet, wobei der vervielfachte Vektor um die r -fache Länge gestaucht oder gestreckt wird r > 1 Streckung r < 1 Stauchung r < 0 der vervielfachte Vektor wird um die r -fache Länge gestaucht oder gestreckt und zusätzlich die Richtung umgekehrt je nach dem Vorzeichen der reellen Zahl r, zeigt der Vektor r a in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung von a (auf jeden Fall aber parallel zu a ) Sind r und s reelle Zahlen und a und b Vektoren, dann gelten folgende Rechengesetze: Assoziativgesetz: r(s a ) = (rs) a Distributivgesetze: 1. (r+s) a = r a + s a 2. r( a + b ) = r a + rb In den folgenden Abbildungen sind die Rechengesetze zur S-Multiplikation geometrisch veranschaulicht. Assoziativität 1. Distributivgesetz 2. Distributivgesetz In der Schule werden die Rechengesetze für die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit einem Skalar geometrisch begründet. Dass diese auch arithmetisch gezeigt werden können, ist gar keine Frage, jedoch verzichten wir an dieser Stelle auf eine ausführliche 10

11 Darstellung. Arithmetische Beweise finden Sie in vielen Schullehrbüchern der Sekundarstufe II. Wichtig ist, dass wir bei der geometrischen Darstellung der Addition von Vektoren und der S- Multiplikation immer bestimmte Repräsentanten betrachten und wir mit der arithmetischen Darstellung eine allgemeingültige Definition gefunden haben, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. Betrachten wir unsere zuvor dargestellte Theorie über Vektoren, dann greifen wir auf das folgende Konzept des Vektorraums und seiner Axiome zurück. Diese formal-axiomatische Vorstellung (Vgl. Barzel, S. 250) des Vektorraumes und seiner Elemente, die Vektoren, wird im Anschluss an die Schule im Mathematikstudium thematisiert und sollte unserer Meinung nach nicht in der Schule in dieser Form behandelt werden. Der begriffliche Umfang der Vektorrechnung im Bereich der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra ist für die SchülerInnen weitestgehend durch anwendungsorientierte Sachverhalte ausgeschöpft und muss nicht durch reine Axiomatik erschwert werden. 5. Parametergleichung einer Geraden und einer Ebene im R³ In vorangegangenen Kapiteln haben wir grundlegende Kenntnisse über den Begriff des Vektors und der Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar dargelegt. Nun besteht die Aufgabe, aus diesem Wissen geometrische Objekte mithilfe von Vektoren zu arithmetisieren. 11

12 1. Parameterdarstellung einer Geraden Denken wir an die Sekundarstufe I, dann haben die SchülerInnen bereits kennen gelernt, durch welche Elemente eine Gerade definiert ist und welche Geradengleichungen daraus abzuleiten sind: ein Punkt und eine Richtung (Punktrichtungsgleichung) zwei Punkte (Zweipunktegleichung) Im Folgenden werden zwei Möglichkeiten aufgezeigt, wie Geradengleichungen mithilfe linearer Funktionen (Grundkenntnisse aus der Sekundarstufe I) in Parameterform gebracht werden können. R²: y= 2x+4 sei eine Gerade g Man wählt einen Punkt auf der Geraden g, zum Beispiel A(-4;-4). Wähle danach einen 1 Vektor, der zur Gerade gehört, zum Beispiel AB =. Verschiebt man A mit allen 2 Verschiebungen, deren Verschiebungsvektor ein Vielfaches von AB ist, so erhält man alle Punkte der Geraden g. X = OX = OA + k AB 4 1 = +k

13 Ein anderer Weg wäre, die Geradengleichung umzudeuten. Zur Geraden y =2x+4 gehören alle Punkte P = (x, 2x+4). x R. In vektorieller Schreibweise würde das bedeuten: OX = Den Vektor x 0 1 = + x 2x bezeichnet man als Stützvektor und 1 2 ist der so genannte Richtungsvektor. Es fällt auf, dass die Richtungsvektoren der Geraden gleich sind. Wie wir hier gesehen haben, können wir mithilfe der Mittelstufengeometrie eine analytische Darstellung von Geraden im R² herleiten (Spiralprinzip). Problematisch ist nun die Herleitung der Parameterdarstellung von Geraden im R³, da eine Gerade im R³ durch den Schnitt zweier Ebenen definiert ist. Arithmetisch wird das Problem durch das Hinzufügen einer dritten (z-) Koordinate gelöst und wir können analog wie im R² Geraden und deren Lagebeziehungen und Schnittprobleme im Raum untersuchen. Allgemein können wir von den SchülerInnen erwarten, dass sie mithilfe ihrer neuen Erkenntnisse über Vektoren als Pfeilklassen einen einfachen Weg finden, der sie auf eine Geradengleichung in Parameterform bringt. Wir werden im Folgenden einen möglichen Weg skizzieren: Um eine Punktrichtungsgleichung einer Geraden aufzustellen, benötigen wir einen Punkt A der Geraden und einen Richtungsvektor m. Wir nutzen das Wissen, dass der Ortsvektor eines Punktes A auch als Stützvektor verwendet werden kann. Vervielfachen wir den Richtungsvektor m mit einer reellen Zahl t, dem sogenannten Parameter und tragen diesen im Punkt A ab, entsteht eine Gerade, da wir unendlich viele neue Punkte erhalten. Das heißt, zu jedem t gehört eindeutig ein Punkt der Geraden und umgekehrt. Um nun einen beliebigen Punkt X auf der Geraden zu identifizieren, benötigen wir den Ortsvektor OX. Nach Vektoraddition von Stützvektor OA und vervielfachtem Richtungsvektor t m, können wir folgende Darstellung für unsere Geradengleichung definieren: OX = OA + t m bzw. x = a + t m Die Interpretation der vorangegangenen Gleichung beschreibt x und a als Punkte und t m als frei verschiebbare Pfeile gleicher Richtung und das +-Zeichen als Anhängen eines Pfeils an einen Punkt (Vgl. Tietze, S. 161). 13

14 (Quelle: Bigalke, S. 36) Analog können wir die Geradengleichung für zwei gegebene Punkte A und B aufstellen, indem wir daraus die Richtung (Richtungsvektor) der Geraden ableiten. Aus den Ortsvektoren der Punkte A und B lässt sich mit b - a ein Vektor bestimmen, der die Richtung der Geraden repräsentiert. Der Ortsvektor eines der beiden Punkte kann als Stützvektor der Geraden verwendet werden. 2. Parametergleichung einer Ebene Ebenen können auf zweierlei Weise definiert werden: i. durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren, die nicht parallel zueinander sind (Punktrichtungsgleichung) ii. durch drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen (Dreipunktegleichung) Betrachten wir zunächst den 1. Fall: Gegeben sind ein Punkt P und zwei Richtungsvektoren u und v (Vgl. folgende Darstellung). Wir nutzen den gegebenen Punkt P als Stützvektor (= Ortsvektor OP ) und tragen von P die beiden Richtungsvektoren u und v ab. Die Richtungsvektoren werden auch Spannvektoren genannt, weil sie die Ebene aufspannen. Um alle beliebigen Punkte X der Ebene bestimmen zu können, ergibt sich durch Vektoraddition der Richtungsvektoren und dem Stützvektor OP (Ortsvektor) folgende Parameterdarstellung der Ebene: OX = OP + ru + s v (r, s R) mit u = PR und v = PQ 14

15 Quelle: Lambacher, S. 48 Für den 2. Fall gilt: Gegeben sind drei Punkte, P 1, P 2 und P 3, die nicht auf derselben Geraden liegen. Zu jedem dieser Punkte werden die Ortsvektoren gebildet, sodass durch Addition zweier Ortsvektoren, z.b. von P 1 und P 2 und P 1 und P 3 die Richtungsvektoren ( p 2 p 1 und p 3 p 1) bestimmt werden können. Um aus drei gegebenen Punkten eine Parameterdarstellung einer Ebene angeben zu können, reicht es, die Ortsvektoren aller Punkte X der Ebene als Linearkombinationen der Vektoren OP, ( p 2 p 1) und ( p 3 p 1) darzustellen, sodass wir folgende Gleichung erhalten: OX = OP + r( p 2 p 1) + s( p 3 p 1) mit (r, s R) Quelle: Duden Lehrbuch, S. 87 Anmerkung: Die Parametergleichung hat ihren Namen von der reellen Zahl t, die Parameter ist und jeden beliebigen Wert annehmen kann, sodass es für ein und dieselbe Gerade bzw. Ebene verschiedene Parametergleichungen gibt. 15

16 6. Diskussion Folgende Thesen wurden im Plenum diskutiert: 1. Analytische Geometrie ist überflüssig. In der Schule reicht es, die Elementargeometrie zu lehren. 2. Sollte man Vektoren über einen arithmetischen oder geometrischen Weg einführen? 3. Die Einführung des Vektorbegriffes sollte hauptsächlich durch die Lehrkraft erfolgen. Die Lineare Algebra stellt ein wichtiges Hilfsmittel dar, um geometrische Sachverhalte und Sätze vektoriell beschreiben und beweisen zu können. Dabei wird auf Grundkenntnisse aus der Sekundarstufe I aufgebaut (Spiralprinzip). Begriffe, wie beispielsweise Verschiebung, und Punktrichtungsgleichung (allg. Koordinatengleichung) und die Arbeit mit dem zwei- bzw. dreidimensionalen Koordinatensystem helfen dabei, die Vektorrechnung vorzubereiten und stehen im Mittelpunkt algebraischer Beschreibungen. Mithilfe von Vektoren ist es möglich, dass wir uns im Raum orientieren und u.a. geometrische Probleme analytisch untersuchen können. Deshalb ist der Verzicht auf die Analytische Geometrie nicht zu befürworten. Natürlich wird grundsätzlich auf Kenntnisse der Elementargeometrie aufgebaut, sodass ein tieferes Verständnis für die Vektorrechnung geschaffen werden kann. Den SchülerInnen muss klar sein, dass Vektoren Hilfsmittel sind, mit denen eine Orientierung im Raum ermöglicht wird. Eingangs sprachen wir von einer Arithmetisierung der Geometrie, aber vielmehr geht es hier um eine Arithmetisierung des Anschauungsraums. Um eine tragfähige Vorstellung der räumlichen Geometrie bei den SchülerInnen zu entwickeln, sollte der Umgang mit konkretem Material unter Verwendung von 3D-Software geschult und trainiert werden. Wie wir gesehen haben, sollte die Einführung des Vektorbegriffs sowohl geometrisch als auch arithmetisch erfolgen, da beide Vorstellungen ihre Vor- und Nachteile haben. So sind geometrische Vektoren in Form von Pfeilen für die SchülerInnen eher anschaulich als das bloße Ablesen der n-tupel im Falle des arithmetischen Vektorbegriffs. Dieser ist wiederum für Rechnungen sehr vorteilhaft und darf deshalb nicht außer Acht gelassen werden. Wichtig ist hierbei, dass der Übergang vom geometrischen zum arithmetischen Vektorbegriff ineinander fließen muss, da beide Darstellungen eng miteinander verknüpft sind. Die arithmetische Beschreibung hilft dabei, den Vektor geometrisch darzustellen bzw. einen geometrisch dargestellten Vektor zu interpretieren. Für die Einführung beider Darstellungen 16

17 muss an Kenntnisse über Verschiebungen, Pfeilklassen und n-tupel angeknüpft werden. Im Mittelpunkt stehen Koordinatensysteme. Der geometrische Vektorbegriff lässt sich außermathematisch sehr gut durch den Bezug zur Physik motivieren. Eine Mathematisierung von gerichteten Größen wie Kräfte, die an einem Punkt angreifen und deren mögliche Überlagerung lassen sich durch Zeiger und deren Addition veranschaulichen. Bereits in der Sekundarstufe I arbeiten die SchülerInnnen im Physikunterricht mit den Begriffen Kräfte und Kräfteparallelogramm, sodass ihnen eine Vorstellung von Vektoren anschaulich gemacht werden kann. In vielen aktuellen Schulbüchern erfolgt die Einführung des Vektorbegriffs über das Pfeilklassenmodell bzw. eine Verbindung von Pfeilklassen- und Translationsmodell. Welche Variante bei der Einführung des Vektorbegriffs bevorzugt wird, sollte nicht zuletzt an den Fähigkeiten und Kenntnissen der SchülerInnnen festgemacht werden. Schließlich ist die Verinnerlichung des Vektorbegriffs eine grundlegende Voraussetzung für die Weiterarbeit mit algebraischen und analytischen Sachverhalten. Die Einführung des Vektorbegriffs muss deshalb nicht ausschließlich durch die Lehrkraft erfolgen, sondern kann durch methodische Überlegungen auch von den SchülerInnen selbstständig erarbeitet werden. Vorausgesetzt gut vorbereitete Arbeitsmaterialien werden den SchülerInnen in die Hand gegeben. Durch entdeckendes Lernen ist es außerdem durchaus denkbar, die SchülerInnen in die Thematik Vektorrechnung einzuführen. Selbstverständlich muss eine Systematisierung und Struktur durch die Lehrkraft erfolgen, sodass ein grundlegendes Konzept für alle SchülerInnen ersichtlich ist. 17

18 7. Anhang In der folgenden Übung (Übung 2) sollen die SchülerInnen die gesuchten Vektoren in der dargestellten Figur bestimmen. Wie wir feststellen können, gibt es zur Bestimmung von Vektoren verschiedene Möglichkeiten. Zum einen können wir die Ortsvektoren bestimmen, indem wir die Koordinaten der einzelnen Punkte ermitteln. Zum anderen können wir versuchen, die gesuchten Vektoren mithilfe der Addition und Vervielfachung von Vektoren zu ermitteln. Die Aufgabe eignet sich besonders gut zur Übung des Ablesens von Punkten und schult das räumliche Vorstellungsvermögen der SchülerInnen. Die von uns selbst entwickelte Kreativaufgabe kann eingesetzt werden, wenn man mit den SchülerInnen Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Darstellung von Punkt und Vektor bzw. deren nacheinander Abtragen herausarbeiten möchte. Dazu trägt die erste Gruppe gegebene Punkte in ein zweidimensionales Koordinatensystem und verbindet sie in vorgegebener Reihenfolge. Die zweite Gruppe zeichnet gegebene Vektoren in ein zweidimensionales Koordinatensystem, indem ein Vektor an der Spitze des vorangegangenen Vektors abgetragen wird. Es entsteht die Figur Das Haus vom Nikolaus und kann eine nette Überraschung für die Schüler sein. Zeichne ein 2-dimensionales Koordinatensystem. Gruppe A: Trage folgende Punkte ein und verbinde sie anschließend in der vorgegebenen Reihenfolge! A(0;0) B(3;0) C(3;3) D(0;3) E(1,5;4,5) Reihenfolge: A B C D E C A D B Welche Figur entsteht? 18

19 Gruppe B: Beginne im Koordinatenursprung O(0;0) und zeichne nacheinander folgende Vektoren: 3 a = 0 0 b = 3 3 c = 0 1,5 d = 1,5 1,5 e = 1,5 3 f = 3 0 g = 3 3 h = 3 Welche Figur entsteht? 8. Literatur: Barzel, B.; Büchter, A.; Leuders, T. (2007): Mathematik Methodik- Handbuch für die Sekundarstufe I und II, Cornelsen, Berlin Beutelspacher, A. (2003): Lineare Algebra, Vieweg- Verlag, Braunschweig Duden. Schülerduden. Mathematik 2 (2004): Ein Lexikon zur Schulmathematik für das 11. bis 13. Schuljahr; Verlag: Bibliographisches Institut, Mannheim; 5. Auflage Führer, Lutz (1997): Pädagogik des Mathematikunterrichts- Eine Einführung in die Fachdidaktik für Sekundarstufen; Vieweg; Braunschweig/Wiesbaden Tietze, U.-P.; Klika, M.; Wolpers, H. (2002): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II; Vieweg; Braunschweig Rahmenplan Mathematik Berlin: Schulbücher: Bigalke, A. (Hrsg.) (2006): Mathematik Grundkurs Bossek, H. (Hrsg.) (2007): Duden Lehrbuch Analytische Geometrie, Gymnasiale Oberstufe Lambacher Schweizer (2001): Analytische Geometrie mit linearer Algebra (Leistungskurs) Tews, W.; Trautmann, P.(2006): Mathematik-Abitur, Analytische Geometrie und Lineare Algebra; Verlag: Cornelsen Lernhilfen; 1. Auflage 19